CC BY
38
ВЕСТНИК 10/2012
УДК 533.6
Л.В. Кирьянова, А.Р. Усманов
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ОЦЕНКА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Целью данной работы было подробное изучение метода оценки спектральной плотности мощности с использованием узкополосных фильтров. Полученные оценки были запрограммированы в системе Matlab и применены к аэродинамическому коэффициенту лобового сопротивления.
Ключевые слова: аэродинамический коэффициент, гауссовский случайный процесс, дискретизация процесса, дисперсия случайного процесса, критерий согласия Пирсона, многомерное распределение, оценка спектральной плотности, полоса пропускания фильтра, проверка гауссовости, проверка стационарности, спектральная плотность случайного процесса, стационарный случайный процесс, узкополосный фильтр, фильтрация случайного процесса.
1. Теоретическая часть.
1.1. Оценка для дисперсии случайного процесса. Будем рассматривать стационарный в широком смысле случайный процесс Е,(t) . Подробно о таких процессах рассказано в [1].
Оценкой дисперсии процесса E,(t) согласно [2] является величина
dt = T/к« - m ]2 dt, (i)
T 0
где m — истинное математическое ожидание процесса.
Теорема 1. Оценка (1) является состоятельной и несмещенной для гауссовского (стационарного в широком смысле) случайного процесса, если выполнено условие
T
lim —
T2T
1 T
— J (%{t) - m )£(/ -т) - m )dt = о. (2)
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [3]. Заметим, что условие (2) является также достаточным условием эргодичности процесса ) .
1.2. Сохранение свойств стационарности и гауссовости при применении фильтра. Рассмотрим преобразование процесса
Т T
r\(t) = |h(t - u)iD(u)du = Jh(u)£,(t - u)du, (3)
0 0
которое принято называть фильтром, и приближенное значение интеграла
T M
n(t) = J h(t - u)^(u)du « ^Auft(t - ui(ui),
0 i=1
называемое цифровым фильтром (3).
Теорема 2. Процесс n(t) будет стационарным в широком смысле, как только таковым будет процесс £(и).
Теорема 3. Если процесс ) является гауссовским, то процесс n(t) также является гауссовским.
1.3. Оценка спектральной плотности случайного процесса. Вопросы оценки спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса описаны в
[4—6]. Для получения состоятельной и несмещенной оценки спектральной плотности процесса согласно [4] будем использовать фильтрацию процесса. Дисперсия выходного случайного процесса п(0:
D = 2-j S? (ю)|K(/ю)|2 dю.
2 л
Теперь можно приступить к рассмотрению оценки спектральной плотности
^(®) = I(П(?) -тп)2Л . (4)
Аю0Т 0 {Аю0/к)
Покажем, что эта оценка является состоятельной при выполнении определенных условий.
Поскольку Бт является несмещенной оценкой Б, для математического ожидания имеем:
M
(( (ю) )
D„
| (ю)|K(/ю)|2 dю
(Дю0/ л) 2Дю0
Итак, оценка (4) в общем случае является смещенной. Далее рассмотрим идеальный фильтр такой, что:
IX юо-Дюо<ю<юо +Дю; К (;ю0) = < г ,
I 0, иг[й0 -Дю;ю0 + Дю].
Применительно к этому фильтру математическое ожидание оценки:
ю0 +Дю.2
| Б (ю)ё ю
М (( (ю)) = Ю0-Дю2 Дю-,
где Дю = 2Дю0.
Смещение оценки относительно оцениваемой величины:
М (((ю)) - Б (ю) и Б(ю).
Для дисперсии получаем "((<">)=(% (5)
(Дю<,/ л)
Из формулы (2) и при условии гауссовости процесса ) имеем оценку последнего выражения:
Т-
Б(йт) < -1 Я2(т)Ст. (6)
Т 0
Далее примем в рамках допущения о постоянстве спектра внутри полосы пропускания фильтра, имеем выражение для дисперсии оценки
D
(((ю) )
T (Дю/-).
Отсюда полная нормированная среднеквадратичная ошибка оценки (4) приближенно будет иметь вид
M [S (ю)) - S? (ю)] ^ ! 1 Дю^fS \ (ю) V
S, (ю)
- + -
- . (7)
Б*(ю) Т (Дю/л) 576 " ' 4
Проанализировав последнее выражение, можно сделать вывод, что оценка спектральной плотности (4) будет эргодической, если и только если одновременно выполнены два условия:
ВЕСТНИК
10/2012
Лю(Т) ^ 0;
при Т ^х.
[ТЛю(Т) ^ 0,
Полученные оценки описаны в [7].
1.4. Критерий Пирсона согласия многомерному нормальному распределению с заданными параметрами. Критерий согласия Пирсона многомерному нормальному распределению, который применяют для проверки гауссовости, формулируется аналогично одномерному случаю с той разницей, что интервалы заменяются на гиперкубы. При расчете статистики вычисляется частота попадания многомерного вектора в каждый куб, по которому интегрируется многомерная функция распределения. Подробно об этом можно прочитать в [8].
1.5. Дискретизация процесса. В дальнейшем будем отождествлять интегралы с конечными суммами:
Р м
Гh(t -uU)Ъ¡(u)du = ЛU^h(t-и1у*..
(8)
2. Практическая часть
Подробно с физической моделью, для которой посчитан аэродинамический коэф -фициент, читатель может ознакомиться в [9].
В качестве входного параметра мы имеем вектор, в котором построчно записаны результаты измерений этой величины с определенным шагом по времени (рис. 1).
-0,1 -0,15 -0,2 - 0,25 - 0,3 -0,35
У11
50 100 150 200 250 300 350 400
Рис. 1. Аэродинамический коэффициент
Все приводимые ниже вычисления проведены в пакете МЛТЬЛБ. Об используемых встроенных функциях пакета МЛТЬЛБ можно прочитать в [10].
2.1. Подготовка данных для статистических проверок. Равномерное разбиение на Р = 80 сегментов по N = 159 отсчетов в каждом.
2.2. Начальные статистические проверки. Далее будем полагать, что значения аэродинамического коэффициента = *(пТ + ), / = 1, 2...Р являются испытаниями одной и той же случайной величины
Уп = 0.^ -1.
Другими словами, закон распределения случайной величины может «нарушаться» только в пределах сегмента.
Также мы предполагаем независимость между сегментами.
Проверка гипотезы о нормальности распределений (это необходимо для возможности применения дальнейших оценок) для выборок ,. = 1, 2,... .
Результаты (все проверки проводятся на уровне значимости 0,05):
число неудавшихся проверок: 3;
общее число проверок: 149.
Теперь можно приступить к проверке стационарности процесса
2.3 Проверка стационарности. 1) Проверка равенства математических ожиданий и дисперсий случайных величин , п = 0,1...(N-1).
Результаты:
число неудавшихся проверок: 12;
общее число проверок: 148.
Проверка независимости коэффициентов корреляции от времени. Очевидно, что достаточно доказать равенство коэффициентов корреляций, из которого с учетом доказанного в предыдущем пункте равенства математических ожиданий следует и равенство корреляционных функций.
Результаты:
число неудавшихся проверок: 0;
общее число проверок: 10878.
2.4. Проверка гауссовости. Для того, чтобы процесс на выходе из фильтра был га-уссовским, достаточно, чтобы любое k-мерное распределение входного процесса было гауссовским. Здесь k < n-полного объема данных.
Понятно, что проверка последнего утверждения представляется невозможной, поскольку у нас имеется только одна реализация, поэтому мы проверим лишь 4-хмерное распределение. Проверку проведем с помощью критерия Пирсона для случайного вектора: S = {£n}, n = 1...159.
Выборка этого вектора: Sz = },n = 1...159; i = 1...80.
Результаты:
В качестве примера взят случайный вектор £3, £5, £ 7.
Полученное значение статистики: 77,61.
Критическое значение статистики: 112,95.
Значение статистики критерия значительно меньше критического, поэтому данные хорошо согласуются с гипотезой о том, что распределение является нормальным.
2.5. Фильтрация процесса для оценки спектра. В Matlab свертку (8) реализует функция filter (b, a, x), параметры b и a которой могут быть заданы в зависимости от желаемого
Г N
вида комплексно амплитудной характеристики K(jю) = J h(u)e-iюudu ^T^ h(uk )e-шщ.
0 k=1
Построим модуль комплексно-частотной характеристики следующего эллиптического фильтра, который был выбран для аппроксимации идеального фильтра (рис. 2).
1
0,9 0,8 0,70,6 0,50,4 0,30,20,1
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 2. Идеальный узкополосный фильтр (МайаЬ)
Мы видим, что данная дискретная система хорошо реализует идеальный фильтр.
ВЕСТНИК
10/2012
2.6. Выбор ширины полосы пропускания и оценка спектра. Ширину полосы пропускания выберем по формуле А/ =-1-= 0,0081, в то время как длина реализации
2пу/ЫТ
составляет 382,45.
Такой выбор ширины асимптотически (при больших Ы) удовлетворяет условиям (7.1), а значит им можно руководствоваться при оценке спектра.
Оценка спектра производится по дискретизированной формуле (5)
/ \ 2 П 1 Н ( 1 ^ Л
Лю0 N ,=1
1=1 V j=1, У
Результаты приведены на рис. 3.
5
4,5 4 3,5 3
2,5 2 1,5 1
0,5 -20
Рис. 3. Спектральная плотность мощности
Заключение. Итак, мы вывели эргодическую оценку спектральной плотности и применили ее к аэродинамическому коэффициенту лобового сопротивления. Однако мы получили оценку для конечного числа частот, и, как видно из приведенных выше рассуждений, увеличения этого числа можно добиться только путем увеличения числа данных по времени.
Полученная оценка справедлива как только процесс является стационарным и га-уссовским, поэтому перед расчетом спектра следует провести соответствующие статистические проверки.
Применение. Полученная спектральная плотность аэродинамического коэффициента применяется для расчета ведущей частоты воздействия на объект в физической модели (1) и для последующей проверки на наличие резонансного эффекта от этого воздействия.
Библиографический список
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М. : Высш. шк., 2000. С. 331—350.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М. : Мир, 1989. С. 276—280.
3. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М. : Высш. шк., 1974. С. 19—43.
4. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М. : Наука 1968. С. 401—413.
5. ДженкингГ., ВаттсД. Спектральный анализ и его приложения. М. : Мир, 1971. С. 255—263.
6. Март С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М. : Мир, 1990. С. 146—159.
7. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника // Радио и связь. 1982. № 2. С. 515—546.
8. Симчера В.М. Методы многомерного анализа статистических данных. М. : Финансы и статистика, 2008. С. 104—115.
9. Афанасьева И.Н. Сравнительный анализ результатов численного и экспериментального моделирования турбулентного воздушного потока в зоне прямоугольной призмы // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. 2008. № 4. С. 3—6.
10. АнуфриевИ.Е., СмирновА.Б., СмирноваЕ.Н. MATLAB 7. СПб. : БХВ-Петербург, 2005. С. 241—477.
Поступила в редакцию в июле 2012 г.
Об авторах: Кирьянова Людмила Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Усманов Антон Равильевич — студент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Кирьянова Л.В., Усманов А.В. Оценка спектральной плотности аэродинамического коэффициента лобового сопротивления // Вестник МГСУ. 2012. № 10. С. 88—94.
L.V. Kir'yanova, A.R. Usmanov
ASSESSMENT OF SPECTRAL DENSITY OF THE AERODYNAMIC FACTOR OF FRONT RESISTANCE
The subject matter of this article encompasses a detailed study of spectral density through the employment of narrow-band filters. The article is composed of the two sections. The theoretical section contains a theoretical estimation of spectral density and its theoretical substantiation. Further, we assume that the spectrum is constant. We have also made an intermediate conclusion that the estimation of spectral density will be ergodic if the two conditions are simultaneously satisfied. The strength of this method is that any estimates made on its basis are ergodic.
In the second practical part the estimations are entered into the Matlab software and applied to the aerodynamic factor of front resistance. Before the entry of estimations, statistical checks have been made. No spectral analysis is possible absent of the above checks.
Key words: aerodynamic factor, process digitization, variance of casual process, multi-variant distribution, spectral density estimation, spectral density, narrow-band filter, filtration of casual processes.
References
1. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Teoriya sluchaynykh protsessov i ee inzhenernye prilozheniya [Theory of Stochastic Processes and Its Engineering Applications]. Moscow, Vyssh. shk. publ., 2000, pp. 331—350.
2. Bendat Dzh., Pirsol A. Prikladnoy analiz sluchaynykh dannykh [Applied Analysis of Random Data]. Moscow, Mir Publ., 1989, pp. 276—280.
3. Liptser R.Sh., Shiryaev A.N. Statistika sluchaynykh protsessov [Statistics of Random Processes]. Moscow, Vyssh. shk. Publ., 1974, pp. 19—43.
4. Sveshnikov A.A. Prikladnye metody teorii sluchaynykh funktsiy [Applied Methods of the Theory of Random Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1968, pp. 401—413.
5. Dzhenking G., Vatts D. Spektral'nyy analiz i ego prilozheniya [Spectral Analysis and Its Applications]. Moscow, Mir Publ., 1971, pp. 255—263.
6. Marpl S.L. Tsifrovoy spektral'nyy analiz i ego prilozheniya [Digital Spectral Analysis and Its Applications]. Moscow, Mir Publ., 1990, pp. 146—159.
7. Tikhonov V.I. Statisticheskaya radiotekhnika [Statistical Radio Engineering]. Radio isvyaz' [Radio and Communications]. Moscow, 1982, no. 2, pp. 515—546.
8. Simchera V.M. Metody mnogomernogo analiza statisticheskikh dannykh [Methods of Multivariate Statistical Analysis]. Moscow, Finansy i statistika publ., 2008, pp. 104—115.
9. Afanas'eva I.N. Sravnitel'nyy analiz rezul'tatov chislennogo i eksperimental'nogo modelirovaniya turbulentnogo vozdushnogo potoka v zone pryamougol'noy prizmy [Comparative Analysis of Results of
ВЕСТНИК 10/2012
Numerical and Experimental Modeling of a Turbulent Air Stream in the Zone of a Rectangular Prism]. Mezhdunarodnyy zhurnal po raschetu grazhdanskikh i stroitel'nykh konstruktsiy [International Journal of Analysis of Civil and Building Structures]. 2008, no. 4, pp. 3—6.
10. Anufriev I.E., Smirnov A.B., Smirnova E.N. MATLAB 7 [MATLAB 7]. St.Petersburg, BKhV-Peter-burg Publ., 2005, pp. 241—477.
About the authors: Kir'yanova Lyudmila Vladimirovna — Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Usmanov Anton Ravil'evich — student, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Kir'yanova L.V., Usmanov A.R. Otsenka spektral'noy plotnosti aerodinamicheskogo koeffitsienta lobovogo soprotivleniya [Assessment of Spectral Density of the Aerodynamic Factor of Front Resistance]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 88—94.
