CC BY
45Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org
2G1G, б
С. И. Скуратовский, И. А. Скуратовская
Отделение геодинамики взрыва Института геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины, e-mails: skurserg@rambler.ru, skurativska@rambler.ru
Локализованные автоволновые решения нелинейной модели сложной среды
В работе рассматривается одномерная нелинейная математическая модель сложной среды, впервые предложенная Слепяном и Пальмовым, в виде двух связанных континуумов, один из которых является осциллирующим включением. Особое внимание уделяется изучению волновых решений, которые удовлетворяют автономной динамической системе. Используя методы качественного и численного анализа, изучена структура фазовой плоскости динамической системы, ее зависимость от параметров модели. В некоторых случаях получены точные решения в виде уединенных волн, в том числе компактонов. В рамках конечно-разностного численного метода обнаружено неупругое взаимодействие двух локализованных волновых решений при столкновении.
Ключевые слова: среда с внутренними осцилляторами, уединенные волны, фазовая плоскость.
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивные, высокоскоростные физические процессы в сложно устроенных реальных средах отличаются особым разнообразием протекания и непредсказуемостью [1, 2]. Формирование сложной реакции среды на внешнее воздействие связывают с иерархической внутренней структурой среды, с динамическими процессами, происходящими на уровне ее структурных элементов.
Необходимое обобщение моделей классической механики сплошной среды, постулирующих бесструктурную среду, ведется в направлении видоизменения уравнений состояния сред [3-7], уравнений движения ([8], моментные теории [9]) с целью учета внутренней, в частности осцилляторной, динамики частиц материала. Такие модели с внутренними осцилляторами используются для описания колебаний в жидкостях [2], кристаллических решетках [3, 9], зернистых [6, 10], блоковых средах [4-
6, 11]. При этом в экспериментах, например по механическому воздействию на песок [12], обнаружено возбуждение колебаний структурных элементов среды, которые определяют набор резонансных (доминантных) частот континуума и формируют частотный состав волны переупаковки — акустической эмиссии среды.
Одна из моделей, учитывающая колебания элементов континуума, была предложена Слепяном [13] и Пальмовым [14] в виде:
Получена 18.02.2010, опубликована 25.03.2010
^2 ^ х ^2 ^2
д и да с / \д w , д ^ 2/\гч
ТТ= ^—]т(о)ТТСо’ + о ( -и) = 0, (1)
дг дх 0 дг дг
где и — смещение основной среды, а — напряжение, w — смещение включений,
X
осциллирующих с собственной частотой о, |т(о)Со — плотность распределенных
0
осцилляторов.
Рассмотрим модель (1) в случае нелинейного уравнения состояния несущей среды
3
а = в1их + в3их и единственной частоты колебаний включений о. Тогда модель (1) имеет вид
д 2и д
дг2 дх
ди (диV
е' &+[&)
22 д н д н 2 / \
- т—— —— + а> (н - и)= 0. (2)
дг2 дг2
Целью данной работы является исследование структуры волновых решений модели (2) и моделирование их распространения конечно-разностными методами.
1. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим решения в виде бегущей волны и = и (У), w = Ж (У), 5 = х - Вг, (3)
где В — постоянная скорость фронта волны.
Подставляя решение (3) в систему (2), получим динамическую систему
В2и' = а{и')-тВ2Ж', Ж" + 02 ( - и)= 0, (4)
где 0 = оВ_1, (•) = . Из первого уравнения системы получим Ж' = аЯ + а3 Я3, где
Су
01 — В2 е?
Я = и’, «1 = —-—, а3 = —. Исключая переменную Ж из системы (4), перейдем к
тБ тБ
динамической системе (5):
, , 6а Я7 2 + 02 ({а-1)) + «3 Я3)
Я = 7, 7' =----3------у--^ 1 Д------ъ—^-. (5)
( + 3а3Я )
Исследуем фазовый портрет динамической системы (5), используя методы качественного анализа [15]. Отметим, что система (5) инвариантна относительно преобразования (Я, 7 )^(- Я,-7), поэтому ее фазовый портрет симметричен относительно точки О. Прировняем правые части системы (5) к нулю и найдем
координаты стационарных точек О(0;0) и | '^1 (1 с/1а ;01. Линейный анализ
устойчивости стационарных точек показал, что точка О характеризируется
собственными значениями Х\2 = ±0д/ (1 - «1 )а 1 , точка А± — собственными
значениями ХХ2 = ±Ол/2д/ а1 -1 .
Таким образом, система (5) имеет несколько разных типов фазовых портретов в зависимости от параметра а. Заметим, что параметр а связан со скоростью бегущей волны В. Из зависимости а (В) следует, что возрастание В от 0 до + х отвечает уменьшению а от +х до -1/т.
Рассмотрим типичные фазовые портреты динамической системы (5) в зависимости от параметра а.
а) а1 > 1
б) 0 < а1 < 1
в) а1 = 0 г) а1 < 0
Рис. 1. Типичные фазовые портреты динамической системы (5)
Случай а1 > 1. Система (5) имеет только одну стационарную точку 0(0;0), являющуюся центром (рис. 1а).
Случай 0 <а1 < 1. Точка 0(0;0) превращается в седловую. Траектории, выходящие из седла, образуют гомоклинические петли, внутри которых находятся два центра А±. Также существует множество периодических траекторий, извне окружающих сепаратрисный контур (рис. 1б). Зависимость Я(у), представленная на графике рисунка 2а, имеет характерную солитоноподобную форму с асимптотическим выходом на стационарное значение.
Случай щ = 0 можно рассматривать как результат непрерывной деформации структуры фазового пространства с рисунка 1б при значении параметра а ^ 0 +. При этом в седловой стационарной точке 0(0;0) пересекаются два решения: тривиальное и соответствующее гомоклинической петле. Зависимость для гомоклинической
петли, представленная на рисунке 2б, теряет аналитичность (разрывная производная), оставаясь ненулевой только на ограниченном отрезке переменной 5. Для траекторий, лежащих вне сепаратрисного контура, функция Я($) также отлична от нуля только на некотором отрезке, но с неограниченной производной в крайних точках этого отрезка. Такое локализованное решение с компактным носителем известно как компактон [16]. Отметим, что режимы компактонного типа были обнаружены в экспериментах по изучению эволюции возбуждений в цепочках стальных шаров [17-19], т. е. в дискретных средах, и в континуальном нелокальном аналоге такой модели, исследовавшейся в работах [19, 20].
Случай а < 0. Все три стационарные точки системы (5) — центры, разделенные
двумя линиями непродолжаемости решений Я±=± - а (рис. 1г). Области
V 2аз
существования периодических финитных решений и неограниченных разделены сепаратрисными контурами.
а) б)
Рис. 2. Графики переменной Я(э) при (а) 0 < а < 1 и б) а = 0
2. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ
Структура фазового пространства системы (5) указывает на ее гамильтоновый
характер. Действительно, умножая уравнения системы на выражение ( +а3Я2) и преобразовывая временную переменную (а +а3Я2 ) = ( ) , получим:
Я' = 2( + а3Я2 ), )' = -{ба3Я22 + О2 ((а1 - 1)Я + а3Я3 )}а + 3а3Я2). (б)
Функция Гамильтона, принимающая постоянные значения на траекториях системы (6), имеет вид
т2 , ^ 1г\ г>\2
н =
7'
-(, + Заз К2 ) + )К- (а! К
-4 4а, — 3 - - і
+---------аз К + а, — а, I = сопяі.
2 ' ' 2 ^ 2 Рассмотрим траектории, проходящие через седловую стационарную точку 0(0;0) при 0 < щ < 1. Тогда Н = 0 и
О2К21 а32К4 + 4а- 3 а3К2 + а,2 — а,
сК
(7)
(а, + Заз К )
Уравнение (7) определяет гомоклиническую петлю в плоскости (К; 7) (рис. ,б). Решение этого уравнения можно получить в квадратурах методом разделения переменных:
3_
20
-агсБіп
4аз — 3 + 4а
д/9 — 8а,
і - (
а ІП Д +
1 201 , — а, і
Д2 — а32 (9 — 8а,)
Хб^зг, — а,2 )
(8)
г0
г = К2.
1 3а3 - 4аа3
где Л = - + —?—-^23 г 4 (а1 - а ]
Соотношение (8) определяет солитоноподобное решение с неограниченным носителем (рис. 2а). Важной характеристикой уединенного волнового режима служит зависимость амплитуды и ширины волны от скорости распространения. Для решения
(8) амплитуда определяется ненулевой Я -координатой точки пересечения
гомоклинической петли с горизонтальной осью координат на рисунке 1б, т. е. из
уравнения а3 АК +
2 л2 , 4а, — 3
2
'у
а.3 Ак + а, — а, = 0.
АК =
Тогда зависимость амплитуды от скорости V описывается выражением
У
3 — 4а
, + д/(3 — 4а, )2 — ]б(оГ|2 —а,)
4а3
где следует учесть зависимость а, 3 от
параметра Б. При фиксированных значениях параметров модели (2) зависимость Ля (в) имеет монотонно возрастающий характер. Так как 0 <а < 1, то наименьшее
(нулевое) значение Ля достигается при В = -^ёЦх+ш (или а = 1). Наибольшее — при
В = 4^1, что соответствует а = 0.
Отметим, что для солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) амплитуда х В, для модефицированного уравнения Кортевега-де Вриза — х л/В, для решений
уравнений КдВ-иерархии К(т,п): и{ + (ит )х + (ип)ххх = 0 амплитуда х В 1т-1 [16].
2
г
Для гомоклинической петли, существующей при значении параметра а = 0, уравнение (7) имеет особенно простой вид
состояния е,3 и характеристиками осцилляторов т и о, движется со скоростью звука
основной среды. Это обстоятельство можно использовать в задачах диагностики среды, восстанавливая по известной амплитуде и ширине уединенной акустической волны характеристики включений.
Найденные компактонные режимы представляют собой неаналитические решения динамической системы с разрывом производной [,б, 9, стр. 209]. Система (5), кроме локализованных, имеет и периодические решения с разрывной производной в случае
а, < 0, соответствующие сепаратрисным контурам (рис. ,г). Эти решения
удовлетворяют уравнению
получить неаналитическое решение.
Как известно [21, стр. 212], гомоклинические траектории динамической системы, полученной из некоторой системы в частных производных, могут соответствовать
Если это периодическое решение «сшить» с
Соответствующее решение для функции и(з), имеющее вид кинка, определяется выражением
(9)
По сути компактонное решение К(^), определяемое параметрами уравнения
2Н
(к+;о)-П 2 К 2
2
При этом линии разрыва Я = Я+ удовлетворяют ему тождественно, что и позволяет
уединенным волнам с характерной солитоноподобной формой в виде «шапочки». Но основным свойством солитона служит не форма волны, а частицеподобный характер столкновений солитонов. Задача о столкновении локализованных волновых режимов иногда допускает аналитическое решение (например, методом Хироты, методом обратной задачи рассеяния [22]), в других случаях используют численные методы.
В частности рассмотрим взаимодействие двух волн при столкновении, решая систему уравнений (2) численно с начальными условиями в виде комбинации решений (9).
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СОЛИТОНОПОДОБНЫХ
РЕШЕНИЙ И ИХ СТОЛКНОВЕНИЙ
Таким образом, построим, используя конечно-разностный метод, численное решение модели (2) в области Е = [о < х < Ь]х[0 < t < Т]. Введем равномерную прямоугольную сетку, заданную линиями х = Ш и t = ]х, на которой построим трехуровневую численную схему. Пусть и = и(^+!), V = и(^), q = и(-1), а также К = +,), О = ), ^ ).
Заменим производные в модели (2) их конечно-разностными аналогами:
2 2
д и и _2у + qi д и 3и_1 _2и + и+1 +( ?)У_1 _2у + у+1 б*2 ~ г2 ’ <Х?~ к2 1 } к2 ’
ди ^ vi+1 _ у _1 д2Ж ^ К _ 2°- + Fi ж _ и ^ ° ^ vi + qi
дх 2к ’ ді2 т2 2 2
При 8 ^ 0 система разностных уравнений составляет неявную числовую схему вида
Аіиі-1 + Сіиі + Віиі +1 = Уі >
= 2Сі-Вг-т2.2р^, (10)
где Аі = ві = 8Ф, Ф = Є1 + 3^3^^ +12/1-1 ] сі = -28
к2^ 1 31 2к ) 1 к2" ~2
У =-
г 1 -8)^і-і^Щ±!+да02 Г - ^1+1
к2 І 2 2 ) т2 )
Система линейных алгебраических уравнений (10) решалась методом прогонки. Очевидно, что необходимые условия устойчивости метода прогонки (|Д-| +N < С)
выполняются. Для определенности примем, что параметры модели следующие в1 = 1,
вз = 0.5, о= 0.9, т = 0.6, Б = 0.9. Параметры числовой схемы Ь = 30, N = 400,
3 = 0.3, к = Ь / N, т = 0.05.
Для численного интегрирования в качестве начальных условий выберем режим, отвечающий солитоноподобному с рисунка 2а. Анализируя результат работы числовой схемы (10), следует отметить автомодельный характер распространения кинка, что в некоторой степени может служить одним из критериев качества схемы.
Для исследования столкновения двух кинков удвоим количество точек и представим начальные условия в виде у = {,Ух_ьУх_ь...,уьу0}, где у = {,V,q,К,О,В}. В результате столкновения (рис. 3) кинки не аннигилируют, а переводят систему (2) в соседнее стационарное состояние. При этом в отличие от решений уравнения синус-Гордон [22], наблюдаются осцилляции на фоне стационарного решения, которые часто рассматривают как некоторое излучение, свидетельствующее о неупругом характере столкновения.
б)
Рис.3. Эволюция кинкового решения (а) модели (2) и столкновение двух кинков: б — поверхность в пространстве (х, / ,и)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в нелинейной модели структурированной среды (2) найдены локализованные волновые решения солитонного и компактонного вида, существование которых обусловлено учётом как нелинейности, так и осцилляторной динамики включений среды. Все это указывает на то, что учёт дискретной структуры среды и её динамических характеристик даже в простейшей форме позволяет расширить класс описываемых феноменов, вскрыть новые закономерности формирования отклика активной среды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Проблемы нелинейной сейсмики / под ред. А. В. Николаева и И. Н. Галкина. М., «Наука», 1987.
2. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. I. М., «Наука», 1987.
3. Чугаевский Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов. Кишинев, 1974.
4. Николаевский В. Н. Механизм вибровоздействия на нефтеотдачу месторождений и доминантные частоты. Доклады АН СССР, 570-575, 1988.
5. Даниленко В. А., Даневич Т. Б., Скуратовский С. И. Нелинейные математические модели сред с временной и пространственной нелокальностями. Киев, Институт геофизики им. С.И.Субботина НАН Украины, 2008.
6. Вахненко В. А., Даниленко В. А., Кулич В. В. Элементы теории самоорганизации и нелинейных волновых процессов в природных средах со структурой. Киев, Институт геофизики им. С.И.Субботина НАНУ, препринт, 1991.
7. Николаевский В. Н. Вязкоупругость с внутренними осцилляторами как возможная модель сейсмоактивной среды. Доклады АН СССР, том 283, №6, 1321-1324, 1985.
8. Алексеев Б. В. Грушин И. Т. Процессы переноса в реагирующих газах и плазме. М., «Энергоатомиздат», 1994.
9. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. М., «Наука», 1975.
10. Богданов А. Н., Скворцов А. Т. Нелинейные сдвиговые волны в зернистой среде. Акустический журнал, том. 38, вып. 3, 408-412, 1992.
11. Даниленко В. А., Скуратовский С. И. Хаотические инвариантные решения нелинейных нелокальных моделей многокомпонентных сред с внутренними осцилляторами. Доклады НАН Украины, №9, 111-115, 2006.
12. Вильчинская Н. А., Николаевский В. Н. Акустическая эмиссия и спектр сейсмических сигналов. Изв. АН СССР. Физика Земли, № 5, 91-100, 1984.
13. Слепян Л. И. Волна деформаций в стержне с амортизированными массами. Механика твердого тела, №5, 34-40, 1967.
14. Пальмов В. А. Об одной модели среды сложной структуры. Прикладная механика и математика, вып. 4, 768-773, 1969.
15. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М., «Наука», 1976.
16. Rosenau P. On nonanalytic solitary waves formed by a nonlinear dispersion. Physics letters, A230, 305-318, 1997.
17. Нестеренко В. Ф. Импульсное нагружение гетерогенных материалов. М., «Наука», 1992.
18. Белинский И. В., Гржибовский В. В., Лемешко В. А. Исследование гомохронности эволюции возмущения в цепочке стальных шаров. Физическая мезомеханика,
том 12, №2, 105-107, 2009. (http://www.ispms.ru/i/upload/a60d45d830863114bfeb43f6a 1792d6а.pdf)
19. Porter M. A., Daraio C., Herbold E. B. Highly nonlinear solitary waves in periodic dimer granular chains. Physical review, vol. E77, 015601, 2008.
20. Владимиров В. А., Скуратовский С. И. Уединенные волны с компактным носителем в континуальном аналоге модели гетерогенной среды. Доклады НАН Украины, №3, 122-125, 2009. (http://www.nbuv.gov.ua/Portal/all/reports/2009-03/09-03-21.pdf)
21. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1979.
22. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., «Мир», 1988.
