К вопросу развертывания поверхностей сложной формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

изделий индустрии моды. [Текст] / С.В. Павлова // Естественные и технические науки, 2008. - № 5 (37) -С. 321-323.

4. Павлова, С.В. К вопросу геометрического проектирования изделий индустрии моды [Текст] / С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев, В.В. Найханов // Вестник ВСГТУ. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009. - № 3 -С.77-83.

5. Павлова, С.В. Описание виртуальной модели изделия в индустрии моды с позиции геометрического моделирования формы. [Текст] / С.В. Павлова, Аюшеев Т.В. // Вестник ВСГТУ. - Улан-Удэ, 2007.

- № 3 - С.32-35.

□ Авторы статьи:

Аюшеев Тумэн Владимирович

- докт.техн.наук., зав. каф.«Инженерная и компьютерная графика» Восточно-Сибирского государственного технологического университета, г. Улан-Удэ E-mail: atv_a@mail.ru

Павлова Светлана Владимировна

- ст. преп. каф. «Технология изделий легкой промышленности» ВосточноСибирского государственного технологического университета, г.

Улан-Удэ, E-mail: tasvepa@mail.ru

УДК: 687.016:515.2

С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев К ВОПРОСУ РАЗВЕРТЫВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Как известно, одной из основных задач автоматизированного проектирования изделий индустрии моды является получение плоских шаблонов - деталей изделий со сложной поверхностью, к которым относятся одежда, обувь, головные уборы. Приближенная развертка заданного участка поверхности двойной кривизны складывается из элементарных геометрических фигур - условных разверток элементов поверхности, полученных в результате членения ее различным образом. Членение поверхности на отдельные участки осуществляется с помощью геодезических кривых, служащих исходными линиями развертывания. Дальнейшее развертывание полученных в результате членения участков производится с помощью аппроксимации исходной поверхности сложной формы плоскостью либо другой, развертывающейся поверхностью. Известно, что наилучшим посредником при подобном геометрическом моделировании являются торсовые поверхности [1].

В тех случаях, когда форма исходной поверхности не позволяет выполнение обычного членения на элементарные участки геодезическими линиями (например, в местах сочленения разных по форме поверхностей), необходим другой подход [2, 3]. Ранее авторами было предложено теоретическое обоснование [2] и вычислительное проектирование [4] метода построения развертки для некоторого участка поверхности на основе построения негеодезической кривой и аппроксимации исходной поверхности торсовым посредником. Указанный способ включает задачи построения вспомогательной торсовой поверхности, огибающей исходную поверхность по заданной кривой сложной конфигурации, и, далее, развертывания на плоскость торсового посредника [3, 5].

Вычислительный эксперимент, рассмотрен-

ный в работе [4], позволил выделить из конгруэнции линейчатых поверхностей искомый вспомогательный торс, аппроксимирующий заданный участок поверхности. Завершить процесс получения искомой развертки - плоского шаблона детали изделия - позволит решение задачи построения развертки выделенного линейчатого посредника. Последовательность геометрического процесса развертывания участка поверхности сложной формы представлена на рисунке.

Решение задачи развертывания торсовой оболочки, в свою очередь, основано на свойстве инвариантности коэффициентов первой квадратичной формы поверхности. Развертывание должно производиться с непрерывным уменьшением кручения и при сохранении кривизны развертываемой линии. В этом случае стрикционная линия торса вырождается в плоскую кривую с нулевым кручением. Прямолинейные образующие торса, касательные к ребру возврата, останутся касательными и к плоской кривой. Таким образом, под разверткой торса обычно понимают его ребро возврата после изгибания поверхности на плоскость.

В дальнейшем оно может использоваться как базовая линия для построения кривых на развертке. Указанные кривые ограничивают отсек торса в пространстве, т.е. определяют некоторый участок поверхности, далее модифицируемый в искомый шаблон детали изделия. При задании уравнения ребра возврата вспомогательного торса в параметрической форме, с длиной дуги 5 в качестве параметра уравнение торсовой поверхности [1], будет

тт = тт ( 5) (1)

где V - параметр, величина которого определяет расстояние от точки касания образующей до произвольной точки на ней. Если выразить V как некоторую непрерывную функцию параметра, то

Математическое моделирование

147

Блок-схема алгоритма построения развертки заданного участка поверхност

уравнение некоторой линии, принадлежащей торсу, определяется формулой

~ = Г( )+ / (Л ) Г'( ) (2)

Задание уравнения ребра возврата вспомогательной торсовой поверхности определяет зависимость между координатами точек на посреднике гтр и ее развертке гкут в виде

ГЯУТ = I(гТР ) (3)

Для разработки математической модели задания и развертывания торсовой поверхности на плоскость рассмотрена следующая последовательность рассуждений. Торс задается своей стрикционной линией, задания которой достаточно для построения его развертки. Натуральные уравнения ребра возврата торсовой поверхности к = к (л), т = т( л) (4)

где к - кривизна, а т - кручение соответствующей пространственной кривой.

Пусть кривая (1) есть ребро возврата торсовой поверхности, тогда

к = к (л), т = 0 (5)

- натуральные уравнения плоского ребра возврата после развертывания торса на плоскость [1].

Уравнения (5) получены из условия, что кривизна кривой на торсе есть инвариант изгибания, так как к = Нш //Д5, где / - угол смежности касательных к соответствующей пространственной кривой. Если уравнение ребра возврата задано в параметрической форме с длиной дуги 5 в качестве параметра, уравнение торсовой поверхности будет

гт = гт (V, 5)= )+ vl(5) (6)

где р(5) - текущий радиус-вектор ребра возврата:

р(я ) = х (5 )Г + у (5 )] + г (5 )к (7) а единичный касательный вектор I (5), заданный в каждой точке ребра возврата определяется по формуле

I(5)= р'(5)= х '(5) г + у'(5)] + г' (5)к (8) С учетом формул (7, 8) уравнение торсовой поверхности принимает вид уравнения

гт (и, 5) = [х(5)+ V • х' (5)] г +

+

(9)

где V - параметр, величина которого определяет расстояние от точки касания образующей до про-

извольной точки на ней.

Если выразить V как некоторую непрерывную функцию параметра 5 и подставить ее значение в формулу (9), получим уравнение некоторой линии, принадлежащей торсу

~ = х( )+ / (5 )х'( )

~ = у(5 )+ / (5 ) у(5 ) (10)

~ = г(5 )+ / (5 ) г'(5 )

Согласно утверждению, что при изгибании торса на плоскость все его геодезические линии становятся прямыми, и теореме Джеллета [1] отрезок V сохраняет прямолинейность, а дуга 5 -кривизну в каждой точке. Координаты точек плоского ребра возврата связаны с координатами точек пространственной линии зависимостью

Л 5 / 5 Л

I cos I I к (s)ds ds, у = J sin I J к (s )ds

ds (11)

X = I cos I

i _ l о у

где X, y - координаты точек плоского ребра возврата, а к - кривизна пространственного ребра возврата как функция длины его дуги.

Если за параметр взята дуга, кривизна кривой выражается формулой

к=Ki=VX2

•2 “2 “2

г + у + z

ss ss ss

(12)

При этом зависимость между координатами точек на торсовой поверхности и развертке получает вид

Л (5 Л

x р =

I cos IIк ( s)ds I ds + v cos I I к(s)ds

s г s л г s л

у р = I sin II к(s)ds ds + v sin I I к(s)ds (13)

0 v 0 У v 0 У

Таким образом, система уравнений (13) задает последовательность развертывания вспомогательной поверхности на плоскость [6].

Формулы изометрического отображения торса на плоскость следующие:

u^x'2 + у'2 + z'2 X '(t)

X = X (t )-

4\X '(t)]2 +[Y '(t)]2 u^jx'2 + y'2 + z'2 Y' (t)

V[X'(t )]2 + [Y'(t)]2

(14)

Криволинейные координаты и, / произвольной точки М на поверхности торса определяют с одной стороны точку в пространстве посредством уравнений

х = х(?) + их (?), у = у(^) + иу'(), г = ) + иг'(),

(15)

а с другой - соответствующую ей в изометрическом отображении точку М на плоскости развертки посредством уравнений (15). Если на поверхности торса задана линия своим внутренним уравнением и=и(}), то ее уравнение на развертке

получим подстановкой в (14) вместо его уравнения (15).

Таким образом, построение развертки торсового посредника позволит завершить методическое обоснование получения развертки участка поверхности [5], построенного вокруг негеодезической кривой сложной формы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошапко, С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник [Текст] / С.Н. Кривошапко -М.: УДН, 1991. - 280 с.

2. Найханов, В.В. Построение разверток при проектировании одежды [Электронный ресурс] / В.В. Найханов, С.В. Павлова // Тр. междунар. конф. по компьютерной графике и ее приложениям «Графи-Кон-98»/ 7-11 сентября 1998 г. - М., 1998. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв.; 12 см.

3. Павлова, С.В. Моделирование процесса геометрического проектирования кривых и поверхностей изделий индустрии моды. [Текст] / С.В. Павлова // Естественные и технические науки, 2008. - № 5 (37) - С. 321-323.

4. Павлова, С.В. К вопросу геометрического проектирования изделий индустрии моды [Текст] / С.В. Павлова, Т.В. Аюшеев, В.В. Найханов // Вестник ВСГТУ. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2009. - № 3 -С.77-83.

5. Павлова, С.В. Разработка системного комплекса средств геометрического моделирования для САПР изделий индустрии моды. [Текст] / С.В. Павлова // Естественные и технические науки, 2008. - № 2 (34) - С. 430-433.

6. Скидан, И.А. Развертка торсов [Текст]/ И.А. Скидан // Прикладная геометрия и инженерная графика - Киев, 1988. - Вып. 46. - С 35-37.

□ Авторы статьи:

Аюшеев Тумэн Владимирович

- докт.техн.наук., зав. каф. «Инженерная и компьютерная графика»

Восточно-Сибирского государственного технологического ун-та, г. Улан-Удэ E-mail: atv_a@mail.ru

Павлова Светлана Владимировна - ст. преп. каф. «Технология изделий легкой промышленности» ВосточноСибирского государственного технологического ун-та, г. Улан-Удэ, E-mail: tasvepa@mail.ru