Торсовые поверхности для перекрытия заданного прямоугольного плана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ПЕРЕКРЫТИЯ ЗАДАННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПЛАНА

С.Н. Кривошапко

Кафедра сопротивления материалов Российского университета дружбы народов 117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Для перекрытия прямоугольных планов помимо цилиндрических оболочек можно использовать и оболочки с невырожденными торсовыми срединными поверхностями. В общем виде приведено уравнение однопараметрического семейства плоскостей, формирующих искомую торсовую поверхность. Даны условия для направляющих плоских кривых, лежащих на противоположных краях прямоугольного плана. Методика проиллюстрирована на четырех конкретных примерах.

На практике тонкостенные оболочки наиболее часто перекрывают прямоугольные и круговые планы. Для перекрытия прямоугольных планов помимо цилиндрических оболочек можно использовать и оболочки с невырожденными торсовыми срединными поверхностями. Торсовая поверхность является поверхностью нулевой гауссовой кривизны и развертывается на плоскость без разрывов и складок, что относится к преимуществам этих поверхностей при использовании их в практических целях.

Рассмотрим торсовые поверхности, опирающиеся на две плоские кривые

I: * = 0, у = Fx (/?), z = Р и II: х = /, у = F2 (у), z = у , (1)

лежащие на противоположных торцах. Причем будем считать, что две другие противоположные стороны заданного прямоугольного плана совпадают с прямолинейными образующими торсовой поверхности.

Г. Монж [1] предложил для получения уравнения однопараметрического семейства плоскостей в виде

М(х, у, z,P) = 0 или М{х, у, z,y) = 0 (2)

использовать систему четырех предложенных им уравнений. Эти уравнения для торсовых поверхностей, опирающихся на две направляющие плоские кривые (1), можно привести к виду

M = -lz- J3(x - /) + ух - [- yl - xFx (/?) + IFX (/?) + xF2 (у)] =0. (3)

Fx

Уравнение (3) можно привести к виду (2) путем подстановки в него зависимостей

Р = Р(у) или у = у(/3), (4)

которые можно получить из условия единственности торсовой поверхности

^P- = F!(P') = Fi(r) = dHj^l (5)

dp dy

или из последних двух уравнений системы четырех уравнений Г. Монжа [2].

Чтобы искомой торсовой поверхностью можно было перекрыть заданный прямоугольный план 2ах/ (рис.1), направляющие кривые (1), лежащие в плоскостях х=0 и х=1, должны удовлетворять следующим условиям:

I: z — Р = ±а приу=0, или Fx (±а) = 0; и z = /? = 0 щту=Ь, или i^(0) = Ъ\

II: z - у - ±а щму=0, или F2 (±а) = 0; u z = у = 0 при_у=с, или F2(0) = с; (6)

Кроме того, учитывая, что прямолинейные образующие торсовой поверхности проходят через точку z = Р первой кривой (I) и точку Z — у второй кривой (II), в которых тангенсы углов наклона касательных к этим кривым равны, поставим последнее условие

F({±d)^Fi{±d). (7)

Таким образом, принимая уравнения двух плоских направляющих кривых в виде (1), в которых константы удовлетворяют условиям (6) и (7), можно найти торсовую поверхность,

которая будет перекрывать заданный прямоугольный план с размерами 2ах/. Причем две контурные прямолинейные образующие торсовой поверхности (у — 0, г = ±а) будут параллельны оси Ох и лежат в горизонтальной плоскости у~0. Следующим этапом является нахождение уравнения однопараметрического семейства плоскостей по формуле (3), а затем, используя систему трех уравнений

М(х,у,г,Р) = %дМ!др = &,д2М1др2 = 0, (8)

можно найти параметрические уравнения ребра возврата запроектированной торсовой поверхности.

о

а

Рис. 1

Рис. 2

Необходимо отметить, что подобная задача с двумя направляющими кривыми в виде эллипса и параболы была решена в монографии [3]. В настоящей же статье задача решается в общем виде. Проиллюстрируем предложенную методику на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть даны две плоские направляющие кривые в виде парабол порядка т и п: I) х=0, у=ргп+Ь и 2) х=1, у—кг'+с. Выполняя условия (6), находим:

р=-Ъ/ап, к=-с/ат.

В результате уравнения направляющих кривых принимают вид: I: х=0, у=-Ьгп/ап+Ь; II: х—1, у=-сгт/ат+с. Из равенства (7) определяем с—Ъп/т. Таким образом, для выполнения поставленной цели уравнения двух направляющих парабол необходимо принимать в виде:

г Л Ь „ , ТТ . Ъп

I : х = 0, у =------------г +Ь\ II: х = 1, у = —

а" т

Из условия единственности (5) определяем

„„т-1 _т-п пп-1 Оп-\ .,/и-1 / _т-л /1л\

у = а р или р = у Iа . (Ю)

Если взять кривые (9) за направляющие кривые, то уравнение однопараметрического семейства плоскостей (3) в форме (2) для торсовой поверхности, перекрывающей заданный прямоугольный план 2ах/, примет вид:

М = (/ - х)[рп(п -1) + а”]- п\рп~хг --апу + ап'тпхут\ I -- ] + а" —х = 0.

Ь V т) т

Таким образом, варьируя двумя независимыми параметрами а и Ь можно запроектировать торсовую поверхность, перекрывающую заданный прямоугольный контур2а х / и имеющую на противоположных торцах х=0их~1 две параболы порядка пат.

Для случая, когда т =2, п=4, формулы (9), (10) принимают вид (рис.1):

1:х = 0,у = -Ьг* / а4 +Ь;11:х = 1,у = 2Ь(1-г2 /а2); у = р3 / а2.

Запишем уравнение однопараметрического семейства плоскостей, образующих торсовую поверхность с заданными направляющими кривыми:

М(х,у,г,Р) = (2/?6 /а2 - З/?4 + а4)х - 1а4у/Ъ - + 31/З4 + 1а4 = 0.

Используя систему трех уравнений (8), получаем параметрические уравнения

1а2 _ Ъ \р6-ЗаАр2+2а6) 2ръ

а2-ЗР2’ У~ ал а2-3р2 ’2_ а2-Зр2'

ребра возврата, касательные к которому образуют рассматриваемую торсовую поверхность.

Пример 2. Пусть даны две плоские направляющие кривые в виде параболы: I) х—0, у=рг2+Ь и эллипса: II) х=1, (у+т^/к2+г2М2—1. Выполняя условия (6), находим:

р--Ь/а2; к=с+т, к2=т2(12/(с12-а2).

Из равенства (7) определяем

(I2 =а‘

(П)

Подставляя полученные результаты в исходные формулы для направляющих кривых, получим их представление в форме:

I :х = 0,у = -Ьг21аг +Ь; П:х = 1,(у + т)г /т + 2Ьг2 /а2 =2Ь + т. (12)

2

Выполнив условие у=с при г=0 для эллипса (кривая И), находим т—с /(.2Ь-2с), где т>0, следовательно, Ь>с. Подставив значение Ш в выражения (12), получаем окончательные формулы для двух направляющих кривых (рис.2):

Ьг2 \с2(2Ь-с)2 Ьс2г2 с2

I :х = 0,у = —V + Ь; 11:х = 1,у =-------------г---------------------. (13)

а у 4(Ъ-с) а (Ъ-с) 2(Ъ-с)

Из условия единственности (5) определяем

(2 Ь-с)Р

г = —±====ш===. (14)

Если взять кривые (13) за направляющие кривые, то уравнение однопараметрического семейства плоскостей (3) в форме (2) для торсовой поверхности, перекрывающей заданный прямоугольный план 2ах/, примет вид:

_2 Л2 ,

M(x,y,z,p) = 2p(yx-lz) + {l-x)(p2 +а2)+ ° ° Х

Г—\ Р

2

У

(у = 0. b *

2 Ь(Ъ-с)

Таким образом, задаваясь тремя независимыми геометрическими параметрами а, Ъ, с, можно запроектировать торсовую поверхность, перекрывающую заданный прямоугольный контур 2а х / и имеющую на противоположных торцах х—0 и х—1 параболу и эллипс, соответственно.

Пример 3. В справочнике [2] предложена еще одна торсовая поверхность для перекрытия заданного прямоугольного плана 2а х /. Примем в качестве направляющих кривых два полуэллипса:

I :х = 0,(у2 lb2 +z2/а2) = 1; 11:х = 1,(у2 /с2 + z2 /а2) = 1. (15)

Уравнения (15) автоматически удовлетворяют условиям (6), а из условия единственно-

сти (7) торсовой поверхности находим:

acv Y

р = ,где у = — (0 < у < 1). (16)

yjb2 +(с2 -b2)v2 а

Уравнение однопараметрического семейства плоскостей (3) примет вид:

М(х,у,г,V) = ау]ь2 + (с2 -Ь2)у2 (/ -х) + асх - сЬг - 1ау41 - V2 = 0.

Из системы трех уравнений (8) получаем параметрические уравнения ребра возврата полученной торсовой поверхности с двумя эллипсами на торцах

Ъ2с1 (с2-Ъ2){ 1-у2)3/2 а(с2-Ь2) 3

х =-------г-------------ътт; у = -------—-------—х\г - —-—-—-V I

*2с-[*2+(с2-г.>2Г а ь21

Пример 4. Рассмотрим невырожденную торсовую поверхность с плоской гиперболой 1: х—0, (у-ф2/к?-г2/т2~1 и параболой И: х=1, у=рг2+с на торцах. Выполняя условия (6), находим: с1=Ь+к, р=-с/а2,

к =------■■■-, • (17)

1-л/1 + а 1т

Подставляя полученные значения констант в уравнения торцевых направляющих кривых, находим, что для выполнения поставленной цели эти уравнения необходимо записывать в виде

I С

I: х = 0,у = Ь + к-кл\\ + —Т-,\1\х = 1,у =-----г2+с. (18)

V т а

Условие (7) равенства углов наклона касательных к направляющим кривым (18) в точках г = ±а дает еще одно соотношение для констант кривых

т

2

V 2 с)

(19)

Ь — с

Таким образом, окончательно принимаем уравнения направляющих кривых в форме (18) с учетом полученных дополнительных зависимостей (17) и (19). Из условия (5) находим

Задаваясь тремя независимыми геометрическими параметрами а, Ъ, с, получаем торсовую поверхность, перекрывающую заданный прямоугольный контур 2а х / и имеющую на противоположных торцах Х=0 и X=/ гиперболу и параболу, соответственно. Рассматриваемая торсовая поверхность образовывается однопараметрическим семейством плоскостей (3). В развернутом виде это уравнение будет иметь вид:

Литература

1. Монж Г. Приложение анализа к геометрии. - M.,JI.: ОНТИ, 1936,- 699с.

2. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. - М.: Изд-во УДН, 1991. -287с.

3. Polanski Stanislaw,Pianowski Leslaw. Rozwiniecia powierzchni w technice. Konstrukcje wspomagane komputerowo.-Warszawa: Wydawnictwo Naukowe, PWN, 2001. - 412p.

Developable surfaces with the edge of regression may be applied as covering the given rectangular plan. An equation of the single-parametric system of the planes (3) forming the examined developable surface is presented. Geometrical conditions (6) and (7) for two plane directrices coinciding with two opposite edges of the rectangular plan are given. A method is illustrated by four examples.

Кривошапко Сергей Николаевич родился в Волгограде в июле 1948 г. Окончил в 1972 году УДН. Основные научные интересы: исследование геометрии и анализ напряженно-деформированного состояния тонких упругих оболочек сложной формы. Доктор техн. наук, профессор кафедры сопротивления материалов РУДН. Автор более 80 публикаций, в том числе, 3 монографий, 2 изобретений и 11 учебных пособий, е.т: sn_krivoshapko@mail.ru

Krivoshapko S.N. was born in Volgograd, Russia in July 1948. He completed the Peoples’ Friendship University of Russia in 1972. His primary research interests are geometric investigations and stress-strain analysis of thin elastic shells of complicated form. He is Professor of Strength of Materials. Approximately 80 publications including 3 monographs, 2 inventions, and 11 manuals of strength of materials and of shells theory resulted from his research.

r =

ka2 ß

DEVELOPABLE SURFACES FOR COVERING THE GIVEN RECTANGULAR PLAN

S.N.Krivoshapko

Department of Strength of Materials Peoples’ Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya St., 6, Moscow, 117198, Russia