К вопросу определения коэффициента готовности трактора Текст научной статьи по специальности «Математика»

***** ИЗВЕСТИЯ *****

№ 3 (39), 2015

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Результаты расчетов на ЭВМ модельных решений краевой задачи с функцией источника (*) приведены в таблице 2, где т - время в часах, 0т - точное решение в метрах, 0 - приближенное решение [5] в метрах, 5 - погрешность в %.

Таблица 2

т 0.2 0.8 36 38

0т x1=z1=0.15 x1=z1=0.65 x1=z1=38.3 x1=z1=39.2

0 0.082 0.511 39.877 40.013

5 19 12 10 6

Таким образом, линеаризованные решения дают более точный результат.

Библиографический список

1. Алексашенко, А.А. Методы определения гидрохимических параметров и прогноза водно-солевого и теплового режимов мелиорируемых земель [Текст]: дис. ... /Алексашенко А.А. - М., 1984. - 363 с.

2. Боровой, Е.П. Аналитический подход к определению параметров контура увлажнения почвы на основе решения уравнения влагопереноса [Текст]/ Е.П. Боровой, Е.А. Ветренко //Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2009. - №4. - С. 52-57.

3. Ветренко, Е.А. Моделирование влагопереноса в ненасыщенных почвогрунтах при внутрипочвенном орошении яблоневого сада [Текст] / Е.А. Ветренко //Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. -2014. - №4(36). - С. 219-222.

4. Новосельский, С.Н. Применение уравнений баланса для прогноза водного и солевого режимов ненасыщенных почво-грунтов при внутрипочвенном и капельном орошении [Текст]/ С.Н. Новосельский, Д.Ф. Шульгин //Формирование и прогноз природных процессов. - Калининград: Изд. Калининского государственного университета, 1980. - С. 69-78.

5. Плешакова, Л.И. О некоторых методах численного решения одной задачи пространственной неустановившейся фильтрации [Текст]/ Л.И. Плешакова, В.Г. Пряжинская // Прикладная механика и техническая физика. - 1965. - №2. - С. 141-142.

E-mail: [email protected]

УДК 631.372

К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ ТРАКТОРА

Г. И. Жидков, кандидат технических наук, доцент Г.А. Любимова, кандидат педагогических наук, доцент

Волгоградский государственный аграрный университет

В статье представлены аналитические расчеты по определению коэффициента готовности трактора с учетом его работоспособности при эксплуатации на основании теории граф состояний. Получено выражение коэффициента готовности трактора в зависимости от коэффициента готовности составляющих его механизмов без составления и решения дифференциальных уравнений, позволяющее повысить достоверность его определения.

Ключевые слова: трактор; работоспособное, неработоспособное состояния, коэффициент готовности, теория граф состояний надежности, плотность распределения, параметр потока восстановлений, функция готовности, восстановление, оперативный коэффициент готовности.

183

***** ИЗВЕСТИЯ *****

№ 3 (39), 2015

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

При расчете будем считать, что в течение заданного времени работы трактора допускаются отказы и вызываемые ими перерывы в работе. В этом случае имеет большое значение свойство готовности трактора - способности находиться в процессе эксплуатации в работоспособном состоянии. Тогда процесс эксплуатации можно выразить в виде схемы (рис. 1).

J1)

tB

(1)

(2)

J2)

tB121

и-----и

J3)

tB

(3)

X а X а X 0

t1 t'i t2 t'2 t3 t'3

0

t

а

Рисунок 1 - Процесс эксплуатации трактора

После отказа (этот момент отмечен крестиками) трактор некоторое время находится в неработоспособном состоянии, т.е. восстанавливается. В результате ремонта он переходит в работоспособное состояние.

Следовательно, в процессе эксплуатации трактора чередуются периоды времени безотказной работы t и времени восстановления В'\

Случайное время между очередными восстановлениями (обозначены кружками)

равно

. (1) Если время безотказной работы и время восстановления независимы, то плотность распределения их суммы по известному из теории вероятностей [1] правилу о композиции распределений будет:

/о(0 = /о/Mg (t - x)dx, (2)

где f(x) - плотность распределения времени безотказной работы; g(t) - плотность распределения времени восстановления (ремонта) трактора.

Поток восстановлений с параметром ш0 (t) определяется по формуле:

"о(0 = />п(0 + /о "oCOfo (t - T)dr, (3)

где т - текущее время; fon (t) - плотность распределения времени между очередными восстановлениями.

Плотность />п (t) распределения времени до появления n-го восстановления и параметр потока восстановлений ш0 (t) связаны зависимостью

2п=1^0 = /оп(0 (4)

Надежность трактора по аналогии со сложными объектами можно оценить при помощи мгновенных и числовых показателей.

В качестве мгновенного показателя используется параметр потока восстановлений ^o(t). На практике чаще применяют вероятность Г(tj) застать трактор работоспособным (готовым к применению) в момент времени , либо вероятность П(£[) = 1 — Г(tj) того, что трактор в момент времени будет неработоспособным (будет находиться в состоянии вынужденного простоя). Зависимость Г(£^) называется функцией готовности.

184

***** ИЗВЕСТИЯ *****

№ 3 (39), 2015

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Функции готовности Г(£[) и простоя П(£[) находятся в предположении, что при t = 0 трактор работоспособен, т.е. Г(0) = 1, П(0) = 0.

Трактор может находиться в момент времени t в работоспособном состоянии при осуществлении одного из двух, несовместимых событий:

а) трактор в течение времени (0, £) не отказал;

б) трактор отказывал и восстанавливался, и после последнего восстановления больше не отказывал.

Вероятность T(t) застать трактор работоспособным в момент времени t равна сумме вероятностей появления указанных событий. Вероятность появления первого события равна вероятности безотказной работы P(t) трактора в течение времени (0, £). Для определения вероятности появления второго события возьмем малый интервал времени (т,т0 + dr), который предшествует £. Вероятность того, что на этом интервале закончится последнее n-ое восстановление и трактор больше не откажет за оставшееся время (t — т), будет:

/оп (r)dr • p(t — т). (5)

Возьмем сумму по всем n восстановлениям и тогда получим:

Z“=i /оп (r)drp(t — т) = ^0(r)drp(t — т), (6)

где о)0(т)- параметр потока восстановлений.

Проинтегрировав выражение (6) по т от 0 до £, получим:

JoP(t — T)w0(T)dr. (7)

Откуда следует, что вероятность застать трактор работоспособным в момент времени £:

Г(t) = P(t) + Jo P(t — r)w0 (r)dr. (8)

Выражение можно решить, применив узловую теорему восстановления:

limt^„ J* Q(t — x)dH (x) = — J“ Q(x)dx, (9)

u mto u

где mt0 - математическое ожидание времени между очередными событиями потока; Q(x)- невозрастающая интегрируемая функция на интервале (0, от); П(х) - ожидание числа отказов на интервале (0,х).

На основании того, что математическое ожидание случайной величины t0 = t + tB равно mt + mtB и, что

limt^„ P(t) = 0; limt^m ш0(t)

i

(10)

будем иметь:

ит^”Г(с) = ;^т;^Ср(с)Л:

mt

mt+mtB

= Kr

(11)

Из выражения (11) следует, что вероятность T(t) при t ^ от стремится к установившемуся значению Кг, не зависящему от законов распределения случайных величин t и tB.

Полученная величина Кг часто отождествляется с коэффициентом готовности, который определяется как вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование объекта по назначению не предусматривается.

На основании выражения (11) коэффициент готовности можно понимать как долю времени, в течение которого трактор работоспособен, от общего времени эксплуатации трактора.

В соответствии со свойствами процесса восстановления можно установить особенность процесса приближения T(t) к установившемуся значению Кг, т.е. при фиксированных значениях mt и mtB стационарный режим наступает медленнее, чем меньше дисперсия случайной величины t = t + tB.

185

***** ИЗВЕСТИЯ *****

№ 3 (39), 2015

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Тогда

Коэффициент готовности часто определяют по формуле:

Kr=-LJ0tr(t)dt.

ссл

limt^OT Kr = Kr .

(12)

(13)

В теории надежности используется оперативная готовность. Для этого можно найти выражение для определения вероятности r(t, t + т) того, что трактор не только окажется работоспособным в момент времени £, но и проработает безотказно на заданном интервале (£, £ + т). Такую готовность можно получить на основе таких же выводов, как и при нахождении выражения (8), т.е. по аналогии напишем

Г(£, £ + т) = P(t + т) + / P(t + т — х)ю0 (x)dx. (14)

В действительности функцию готовности Г(£) можно рассматривать как частный случай функции Г(£, £ + т) при условии, что т = 0. При т ^ от функция Г(£, £ + т) превращается в условную вероятность безотказной работы трактора, найденную в предположении, что в момент времени £ трактор работоспособен.

Установившееся значение функции

Густ(т) = limT(£, £ + т) = —-—/” Р(х) dx = Kr = — /” Р(х) dx. (15)

у mt+mtB т mt т

При показательном законе распределения времени между отказами трактора и времени восстановления в результате решений уравнений (8...15) функция готовности примет вид:

г(о=^Ъ+^Ъехр[—("+^)t]. (16)

Откуда следует, что

Kr = limr(£) =-^= mt

£0+^.

(17)

Тогда установившиеся значение вероятности будет определяться выражением:

Г(£, £ + т) = + -^^ехр[—(ш + ц)£]| ехр(—шт). (18)

Густ(т) = Krexp(—^т). (19)

Таким образом, оперативный коэффициент готовности или готовность на промежутке (£, £ + т) есть произведение коэффициента готовности на вероятность безотказной работы.

Рассмотрим возможные состояния, в которых может находиться трактор. На рисунке 2 изображен граф состояний, на котором обозначены возможные состояния.

Символами шг, ш2 ... швобозначены интенсивности отказов; р1, р2 ■■■ Рп - интенсивности восстановления соответствующих узлов.

Для нахождения коэффициента готовности используем теорию надежности, приведенную в работе Гнеденко Б.В. [2]

Рисунок 2 - Г раф состояний трактора

186

***** ИЗВЕСТИЯ *****

№ 3 (39), 2015

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

На данном графе приведены следующие состояния: 0 - все механизмы трактора работоспособны; 1 - двигатель неработоспособен, остальные механизмы работоспособны; 2 - шасси неработоспособно, остальные работоспособны; 3 - гидросистема неработоспособна, остальные работоспособны.

Эти разработки позволяют находить выражения для показателей надежности по графу состояний без составления решения дифференциальных выражений.

Выражение для стационарной вероятности нахождения в j-ом состоянии можно получить, используя следующее правило:

переходы проходят кратчайшие (без возвращения) пути из всех крайних состояний в каждое состояние системы и перемножают все интенсивности переходов, соответствующие проходимым стрелкам (каждая интенсивность перехода учитывается только один раз). Вероятность нахождения в j-ом состоянии для графов будет:

pj

д]

(20)

где Д/, Д£- произведения интенсивностей переходов из всех крайних состояний соответственно j-е и i-е при движении по кратчайшему пути в направлении стрелок; к+1 -число состояний системы.

Крайними считаются состояния, имеющие не более одной выходящей стрелки.

Применяя это правило, можно получить формулу коэффициента готовности без составления и решения дифференциальных уравнений.

Причем разбивка трактора на n механизмов не будет оказывать влияния на общий результат, так как узлы, не попавшие в разбивку, входят в те или иные механизмы, т.е. их отказы учтены в надежности тех составных частей, в которые они входят. Для n=3, согласно рисунку 2 и выражению (20), при движении из крайних состояний в направлении стрелок имеем:

Kr = P0

М1М2М3

или

1+уП

Вероятность нахождения в j-м состоянии будет:

р = ^ip р Mi

Из соотношения Kr = —— имеем:

Подставив в формулу (22) выражение (24), получим

Kr 1

1

^ЧкЬ"1

1 11^1 |^2 !^3 (21)

Ml М2 М.З (22)

(23)

КГ; 1-КГ; . (24)

(25)

Таким образом, получено выражение для определения коэффициента готовности трактора в зависимости от коэффициентов готовности составляющих его механизмов с помощью теории графа состояний без составления и решения дифференциальных уравнений.

Библиографический список

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и её инженерные приложения [Текст]/Е.С. Вент-цель, Л.А. Овчиров. - М.: Высшая школа, 2000. - 250 с.

2. Гнеденко, Б.В. Математические методы в теории надежности [Текст]/ Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев; под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: Наука, 1973. - 303 с.

E-mail: [email protected] 187