К вопросу обтекания вогнутой поверхности потоком сжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2016, 9(1), 32-38

УДК 532.546

The Issue Flow Concave Surface Flow in Compressible Fluid

Samara T. Zhusupbekova*

Kyrgyz National Agrarian University im. K.I. Skryabina 68 Mederova, Bishkek, 720005, Kyrgyzstan

Received 12.03.2015, received in revised form 27.07.2015, accepted 20.11.2015

The article deals with Gertler vortices in the boundary layer of fluid applied typical range of variation of the wavelength of the vortices. Formulated boundary problem for the typical short-wavelength regime. The development of vortices Gertler in compressible, especially hypersonic flows, attracted by now considerable interest in the development of new technologies, namely the creation of new supersonic little turbulent wind tunnel and the design of hypersonic aircraft, which detect the position of the laminar-turbulent transition and finding the distributions and peak values of the heat flows are key elements. In this article the mathematical model describing the nonlinear stage of development of disturbances in compressible boundary layer in the field of centrifugal forces at large, but subcritical Reynolds numbers and Gertler. This model is designed for the description of the vortices Gertler, and to describe the perturbed flows about local or periodic irregularities in the transverse direction or the other spatial disturbed flow. For small amplitudes of perturbations of nonlinear boundary value problems are reduced to linear problems of the theory of stability, which so far developed only in fragments. Based on the method of matched asymptotic expansions we studied some linear modes of perturbations in the field of centrifugal forces. In particular, The role of the transition temperature layer in the development of disturbances in hypersonic flows. At the same time, the experimental studies suggest the occurrence of other possible forms ofperturbed vortex movement of gas that requires further research.

Keywords: perturbed region, Gertler Taylor vortices, the thickness of the boundary layer, transversal speed.

Citation: Zhusupbekova S.T. The issue flow concave surface flow in compressible fluid, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2016, 9(1), 32-38. DOI: 10.17516/1999-494X-2016-9-1-32-38.

© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: [email protected]

*

К вопросу обтекания вогнутой поверхности потоком сжимаемой жидкости

С.Т. Жусупбекова

Кыргызский национальный аграрный университет им. К.И. Скрябина Кыргызстан, 720005, Бишкек, Медерова, 68

В статье рассматриваются вихри Гертлера в пограничном слое жидкости применительно к характерным диапазонам изменения длины волны вихрей. Формулируется краевая задача для характерного коротковолнового режима. Развитие вихрей Гертлера в сжимаемых, в частности гиперзвуковых, потоках привлекает в настоящее время значительный интерес в связи с разработкой новых технологий, а именно с созданием новых сверхзвуковых малотурбулентных аэродинамических труб и с проектированием гиперзвуковых летательных аппаратов, для которых определение положения ламинарно-турбулентного перехода и нахождение распределений и пиковых величин тепловых потоков являются ключевыми элементами. В настоящей статье сформулирована математическая модель, описывающая нелинейную фазу развития возмущений в сжимаемом пограничном слое в поле центробежных сил при больших, но докритических значениях чисел Рейнольдса и Гертлера. Эта модель предназначена для описания как развития вихрей Гертлера, так и возмущенных течений около локальных или периодических в трансверсальном направлении неровностей или других пространственных возмущенных течений. При малых амплитудах возмущений нелинейные краевые задачи сводятся к линейным задачам теории устойчивости, которая к настоящему времени разработана лишь фрагментарно. На основе метода сращиваемых асимптотических разложений исследованы некоторые линейные режимы развития возмущений в поле центробежных сил. В частности, выявлена роль переходного температурного слоя в развитии возмущений в гиперзвуковых потоках. В то же время имеющиеся экспериментальные исследования свидетельствуют о возникновении других возможных форм возмущенного вихревого движения газа, что требует проведения дальнейших исследований.

Ключевые слова: возмущенная область, вихри Гертлера - Тейлора, толщина пограничного слоя, трансверсалысая скорость.

Рассмотрим режим, соответствующий длинам волны вихрей Гертлера - Тейлора X, сравнимым с толщиной пограничного слоя 5. В этом случае характерные размеры возмущенной области течения с олпадают по порядку ве личиоы, тогда одинаковые порядки будут иметь и возмущенные величины вертикальной и трансверс альной скоростей что следует из уравнен ия неразрывности и принципа минимального вырождения.

Предположим, что вихри вызывают нелинейные изменения основного течения, тогда

и~Ди~0.

Нелинейность, ироявляющаяся в трансверсальномнапровле нии , дае т

м~Дм~(Др)2. (2)

При этом исследуются нелинейные процессы, проявляющиеся в течении с характерным масштабом в направлении координаты z, равным X, что опреде ляет величину градиента давления в поперечном направлении:

- 3 3 -

9Р Р1*2 ™ ~---• (3)

ду и

1 1

Отсюда Др —ей. Далее V — л/у — е2 н/ (4)

Из ниряясИ—нЕПр/^ 1-1Я неразрывноети и оценок ( 1) - (3) можно найти продольный размер возмущенной области

1 1

X — £2"Н2. (5)

Для дальнейшего онн поза важно оценить порядок отношения диффуоионного и инерционного членов в уравнении продольного импульса

d2u 2Эу 2

^ ЛУ2 1 1

du pU fl*

0(82 К21 ^ 0.

Понятно, что в таких условиях нее; вышолнено условие прилипапин и поэтому необходимо ввести на дне основной области подслой с толщиной

з 1

у ~ £4 к~4,

течение, в котором будет описываться системой уравнений! трехмерного пограничного слоя. Решение такой систе мы можно представить в виде

1 1

: х « 1 + Хе_2к_2ха

у «^Уа

г « ^^^а

и(х, у, г, 8) « иа(ха, Уа^а) У —

, з 1

У(х, у, г, 8) « Уа(ха, уа, га) ■ А_182К2 + —

(6)

г \ 1 !

w(х, у, г, 8) « Wа(ха, уа, га) ■ £2К2 + —

Р(х,у, г,8) « ра(ха,уа, га 1 + •••

Н(х,у,ь,8) « Иа(хха,уа,гсс) У — Р(Уи2,)_1 у 8КРа(ха<уа, га)+- • •• •

Подстановка этих разложений! в систему уравнений Навье - Стокса и совершение предельного перехода при Яе—» —» со приводят к модифицированной системе урхвнений Эйлера для трехмтрного во зму щенного течения:

d(pgua) | d(pava) | d(pawa) = o

dxa dya dza

ua + va ^ + Wa = 0

a дха a 5ya a 5za

PK + va + Wa + ^ =0

a fea a Зуа a a Pa ^ (7)

Г„ dWa I v dwa , w dwa] , 1 3Px _ 0

^ + Va aX^ a gX"К 7" 37 _ 0

dXa dXa dXa pa 3za

dHa dHa dHa

Ua dXa + Va aya + Wa iza _ 0

£2

Отличие системы уравнений (6) от обычной системы уравнений Эйлера состоит в наличии члена в уравнении для поперечного импульса, учитывающего в лияние центробежных сил.

Другая особенность связана с отсутс твием градиента давления в уравнении продольного импульса. Из второго уравнения системы (6) следует сохранензе продольной со ставляющей вектора сеерости вдоль линии тока. Аналогичным пезвым интегралом обладает е уравнение для полной элосльпис. Для возмущений малой емплитуды сешезее слстлмы уравнений (6) можно представить е виде

u(x) = u0(yj + xua(aa) sin zaexp (axa) + -Va = TVa (ya) exp (axa)sinza+.....

Wa = TWa (ay) exp (aXy)C0SZy+.....

H = Но (ау)т Go(ay) exp (axy)sinZy+..........(8)

pa = Го (yy) + T Ry(ay) exp (axy)sinZy+.....

Pa = Po (ay) + T Py(ay) exp (axy)sinZy+.....

t « 1.

Ограничиваясь нулевым и переым принижением из (6) и (7), межно получить систему оИыкновенных дифферензиельзыx уравнений веда

apoua + auaRy = P0Va + VaP0 " P0Wa = 0 aUoUa a VaUo = 0

u 1 ' Ry '

P[aUoUa a 2UoUa] a — PyUo--oPo = 0

Po Po o

au0Ga + vaH0 = 0

Ga = - (l/ (i - l) p)) Ra/Po + u0ua Po = Po^P^Po = Povi Ct^'^o^0,

(10)

где

Если ввести новую переменную z — —г- , то можно свести систе му (88) к одном}' дифферен-

uo

циальному уравнению

Это уравнение представ ляет собой задачу на собственные значения. Существует два пути решения еравнения (30) с :^ы>1]\е[:в[ уаловаями (11): поиак собственные значений матрицы,

аалучающеаса при ртзноатном представлении рравнения (1.0)); второй путь - как результат решения диффаренциального уравнения методом Рунте - Катта.

На рис. 1и 2 представлены профили скорости z для различных значений g, у.

(11)

с граничными условиями

Vi(0) = 0; Vj(x)) = 0;

z(x>) = 0; е(0) = const.

(12)

OJW J 30

Рис. 1. График распределения скорости z при с = 0,2, g = 2,5, у = 1,8, а = 15, в = 0,01,

| = 0,2, g = 0,6 , у = 10, а = 15, в = 0,01, | = 0,2, g = 2, 0, у =1,8, а = 3,5, в = 0,01

- 0.42 0,80

Рис. 2. График распределения скорости z при |п = 1,4, g = 1,4, у=1,8,а = 15 , в = 0,01

Рис. 3. Схема исследуемого течения

(Список литерату ры

[1] Ершин Ш.А. Гидроаэродинамика. Алматы, 2013 [Ershin Sh. A. Hydroaerodynamics. Almaty, 2013 (in Russian)]

[2] Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике. М.: Мир, 1967 [Van Dyke M. Perturbation methods in mechanics. Moscow, Mir, 1967 (in Russian)]

[3] Peerhossaini H. On the subject of Gortler vortices. Lecture notes in Phisics, ed. S. Zaleski, 1984, 376-384.