К вопросу о вычислении радиационного давления на сферических включениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2008, том 18, № 3, c. 80-85

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 534.29; 534.138 © Б. П. Шарфарец

К ВОПРОСУ О ВЫЧИСЛЕНИИ РАДИАЦИОННОГО ДАВЛЕНИЯ НА СФЕРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЯХ

В работе сравниваются различные подходы к оценке радиационного давления на сферических включениях произвольного радиуса в плоской бегущей, стоячей и квазистоячей волнах. Показано, что разработанный ранее метод оценки радиационного давления для общего случая включений с заданной характеристикой — амплитудой рассеяния — полностью совпадает с частными методами, разработанными специально для сферических включений.

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Пожалуй, максимальное число работ, по расчету радиационного давления на включения посвящено сферическим включениям. Работы [1-6] — лишь некоторые, в которых точно решается задача для жидкой или упругой (в том числе и абсолютно мягкой или твердой) сферы произвольного радиуса. Методы решения этой проблемы носят частный, приспособленный к геометрии задачи и виду падающего (осесимметричного) поля, характер. Так, в работах [1, 2] просто решается краевая задача методом, восходящим к Рэлею. В работах [35] решение представляется в упрощенном по сравнению с [1, 2] виде через коэффициенты возбуждения парциальных сферических волн в представлении ближнего поля рассеяния. Наконец, в работе [6] показано, что рассмотрение дальнего поля рассеяния приводит к тем же выражениям, что и в

[3-5].

Ранее в работах [7, 8] были получены выражения, связывающие радиационное давление на сложные включения с произвольной амплитудой рассеяния в произвольном падающем поле. Поэтому представляется полезным сравнить соответствующие частные случаи общих выражений из [7, 8] с выражениями, полученными в работах [16].

Для расчета радиационного давления на включения, согласно идеологии [7, 8], необходимо уметь оценивать амплитуды рассеяния этих частиц, поскольку при оценке сил радиационного давления в идеальной жидкости именно эта характеристика, а не физические свойства включения является существенной. В большинстве публикаций на эту тему полагается, что частицы представляют собой жидкие частицы со свойствами, отличными от окружающей жидкости. Однако рассеянию и на упругих телах посвящено значительное число публикаций. Впервые решение этой

проблемы для упругих бесконечного цилиндра и сферы было найдено в работе [9]. Затем в работе [10] было предложено уточнение выражений работы [9] для поля рассеяния на упругой сфере, а далее к этой проблеме возвращались неоднократно многие авторы (см. обзоры литературы в работах [11, 12]), в том числе и в связи с вопросами резонансного рассеяния на упругих телах [11].

Следует отметить, что особенно в случае упругой сферы выражения для поля рассеяния, будучи достаточно громоздкими, представлены в крайне разнообразной нотации с множеством различающихся обозначений и видов решения. Так, в работе [9] решение представлено по аналогии с работой [13] через введение многочисленных углов. Примерно так же поступил автор работы [10]. В работах [11, 12, 14] решение выражено через некие определители. В работах [11, 15] решение дано в квантовомеханической нотации, заключающейся в том, что парциальные коэффициенты в разложении поля рассеяния по сферическим функциям выражены в виде, явно отражающем закон сохранения энергии в парциальных слагаемых представления суммарного поля по сферическим гармоникам [15].

Целью настоящей работы является тестирование общих выражений работ [7, 8] применительно к случаю произвольного сферического включения путем сравнения с уже полученными ранее выражениями на примере жидкой и упругой сфер.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Запишем известные выражения для падающего и рассеянного полей. Так, выражение для плоской волны единичной амплитуды и нулевой фазы, распространяющейся вдоль положительного направления оси Oz при временном факторе е~ш>, имеет вид [13]

Р, = efc = eikrcose = £(21 + 1)i'j,(kr)p(cose). (1)

1 =0

Выражение для поля рассеянной волны при падении волны (1) на рассеиватель с центром в начале координат имеет вид [11, 15]:

ps = £t, (2/ + 1)il^/ (kr )P (cos в) =

/=0

1 да

= - £ (e2iS/ -1)(21 + 1)i1^11(kr)P1 (cose). (2)

2 l =0

при фиксированном радиусе сферы. Поскольку в работах [3-6] рассматривается случай фиксированного радиуса сферы а, то далее будем придерживаться именно этого случая.

В наиболее удобном, по мнению автора, виде выражение для коэффициентов Т приведено в работе [3]:

T (X) = -

F/j,(x) - xji'(x)

FfiKx) - xh1'(x)'

где коэффициенты F:

(5)

Здесь

(e2i^ -1) = 2Tl =a;

(3)

а , 81, Т — некоторые функции волнового параметра х = ка ; а — радиус сферы; к = а/с ; с — скорость в жидкости; ]1 и к/ — соответственно сферические функции Бесселя и Ханкеля первого рода; (г,в,ф) — сферические координаты.

Выражение для амплитуды рассеяния получается из (2) подстановкой асимптотики функции

Ханкеля к/ (г)--/~1~1еи при г ^да и вычленени-

2

е'кг

ем множителя- [11]. Имеем окончательно:

f (в, x) = \

1 да

-£T (x)(21 + 1)P (cose),

,k 1=o

a

- £ T (x)(21 + 1)P (cose);

ix 1=o

или

f (в, X) =

1 да

—£a( x)(21+1)P (cose), 2ikt0

a да

— £a( x)(21 + 1)P (cose);

2ix 1=0

или

f (e, x) =

£(e2^(x) -1)(21 + 1)p(cose),

2ik 1=o

a да

£(e2iSl(x) -1)(21 + 1)P(cose).

2ix 1=o

(4)

F(x)=1P x22 x

2 P

x1jl,(x1)

2(12 +1) j1 (x2)

x1/

,*17l'(xq) - jl(x) (12 +1 - 2) jl(x2) + x22 jl"(x^

V ((<7/(1 - 2<)) (x1) - /1"(x1))

xJi'(x1) - ji(x)

2(12 +1) (((x2) - x2 j1'(x2))

"(12 +1 - 2) j1 (xg + x22 j1"(x2)

(6)

Штрих в (6) означает дифференцирование по ар-

1

гументу x; < = —

с2 - 2с22

2 2 С1 - С2

— коэффициент Пу-

ассона материала сферы; с1, с2 — скорость продольной и поперечной волн в сфере соответственно; р1 — плотность шара; р, с — акустические параметры среды; х1= к1а, х2 = к2а, к =ф/с, I = 1,2. Отметим, что выражение (6) получено независимо в работах [3, 10]. В работе [9] в выражении (6) допущена описка, отмеченная автором работы [10]. Отметим, что выражение (6) сводится к случаю жидкой сферы при стремлении к нулю сдвиговой скорости с2.

В системах без потерь коэффициенты Ц действительны [11], и в этом случае справедливо равенство [15]

=1

Fh2( x) - xh2\ x)

Fh/(x) - xh '(x)

=1,(7)

откуда следует, что функции 81(х) являются действительнозначными, т. е.

2iS, л

e 1 = 1.

(7а)

Первые выражения в каждой строке (4) удобны при расчетах для фиксированной частоты, вторые —

Вводя обозначения

X

r

e

A, 0( x) = — T (x)(2l +1) =-а, (x)(2l +1) =

ix 2ix

= Л. (e2iS'(x) -1)(2, +1),

2ix

f (в, x) = £ A 0( x)P, (cose).

l=0

Исходя из (7), (8), легко оценить поведение функций A,0 (x):

Re (A0 (x)) =—(2/ +1) sin 2Sl (x)

a (2l +1) < Re (A, 0(x))< — (2l +1),

2 x

2 x a

0 < Im(A,0(x))< — (2l +1).

v ' 2 x

T (x) = a, (x) + ibl (x):

(8)

О A 0 2, + 1

Re A, = a-b,

запишем (4) окончательно в виде разложения функции /(в) по сферическим функциям:

Im A,0 = -a

2, +1

-—a.

(9)

2x

Im (0 (x)) = 2- (2, +1) (1 - cos 2Sl (x)) .

Отсюда имеем граничные оценки для действительной и мнимой составляющих зональных коэффициентов разложения амплитуды рассеяния по сферическим функциям

Сравнивая с гармоническим рядом сходящийся ряд (4) и учитывая свойство \Pl (cos в)| < 1 при в е [0, п], получаем завышенную оценку для

T (x)|:

T(x)| <27^+7' l ^ (12)

Такая же оценка верна и для ее составляющих: 11

a, (x)|

<-

b (x)|

<

2l2 + V 11 2l2 +1

Из (8) и (12) следует оценка

2l + 1. . ч| a

l (12а)

A 0( x)|

= a-

T(x)| <-l\ l ^oo. (13)

(10)

Далее свяжем с помощью (8) действительные и мнимые составляющие функций Л10 с соответствующими составляющими функций

X X

Отсюда следуют оценки для составляющих функций Л10( х), аналогичные (12а).

Ниже приведены примеры расчета зависимостей а1 (х) и Ъ1 (х) для жидкой сферы для некоторых 1. Параметры таковы:

с = 1500 м/с, с1 = 2350 м/с, с2 = 0 м/с, р = 1000 кг/м3, р = 1200 кг/м3.

0.4

0.2

-0.2

-0.4

Рис. 1. Зависимости составляющих функции Tt (x) = a, (x) + ibt (x), l = 0, от x: a0 (a), b0 (б)

b

0

x

б

а

a10

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

x

25

10

0.4

0.2

-0.2

-0.4

а б

Рис. 2. Зависимости составляющих функции Tt (x) = a, (x) + ibt (x), l = 10, от x: a10 (a), b10 (б)

x

25

Так, на рис. 1 представлены а0(х) и Ъ0(х), на рис. 2 аналогично представлены а10(х) и Ъ10(х) . Общим в поведении функций является то, что по мере роста номера 1, составляющие а1 (х) и Ъ1 (х) начинают достигать существенных значений при все больших х. Это приводит к необходимости учета все большего количества мультиполей. В целом выполняется приближенное равенство между предельным значением х и необходимым числом учитываемых в расчете радиационного давления мультиполей.

В результате достаточно простых вычислений по методике работы [7] могут быть получены следующие выражения для радиационного давления на радиально-симметричное включение в поле плоской бегущей, стоячей и квазистоячей волн.

Плоская бегущая волна р0е,Ь . Радиационное давление для z-компоненты равно

F z pr —

2pc2

-4пх

-I Im( A,0) -X

- l=0 l=0

Здесь E =

2pc

бегущей волне.

2(l +1) 4l2 + 8l +

Re (A,0 ((+10

(14)

средняя плотность энергии в

F z st = -2

У0

2pcz

x4nsin 2kh j-1 (-1У Re (A,0)-

I

2(l +1)

,=J4l2 + 8l + 3

(-1У Im ( A,0 ((+10 )*)}.

(15)

Здесь Est = -P°2 — средняя плотность энергии в pc

стоячей волне, а p0 амплитуда давления в каждой бегущей друг навстречу другу волне.

Плоская квазистоячая волна (по терминологии работы [5]): p0 (se'k(z+h) + 2^ cos k(z + h)), e и n — некоторые константы.

Fz qs = -E4n j2( +ne)sin2kh x

"Х^"'»' Im(A,°(Г)'

да

I (-1У Re (A,°)

a

x l=0

Плоская стоячая волна 2p0 cos k(z + h) . Радиационное давление для z-компоненты равно

+

2(l +1)

0 4l2 + 8l + 3

( + 2ne)l Re (A,0

(A,+0-

I Im (A, °)][.

a

x l=0

(16)

5

5

2

2

Остальные компоненты силы в (14)-(16) вследствие азимутальной симметрии равны нулю. Если теперь подставить в (14)-(16) вместо At 0 их выражения через aj и bj из (11) и учесть оценку (12а), то окажется, что эти выражения полностью совпадут с соответствующими выражениями в работах [3-6]. Выражение (16) при этом совпадет при условии s + п = 1 Это условие необходимо для приводимости выражения p0 (seik (z+h) + 2^cos k (z + h)) к выражению, принятому в указанных работах.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе показано, что общие выражения, полученные в работах [7, 8], в случае сферического включения точно совпадают с полученными для этого случая другими авторами частными результатами.

Автор благодарит Е.Д. Макарову за полезные дискуссии, приведшие, как кажется автору, к улучшению содержания статьи.

Настоящая работа выполнена при поддержке фонда РФФИ, грант № 05-03-33108 и целевой научно-технической программы Российской Федерации "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы", лот 2, шифр 2007-2-2.2-04-08.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. King L. V. On the Acoustic Radiation Pressure on Spheres // Proc. Roy. Soc. 1934. V. 147. P. 212240.

2. Yosioka K., Kavasima Y. Acoustic Radiation Pressure on Compressible Sphere / /Acustica. 1955. V. 5. P.167-173.

3. Hasegawa T., Yosioka K. Acoustic-Radiation Force on a Solid Elastic Sphere // J. Acoust. Soc. Am. 1969. V. 46, N 5. P. 1139-1143.

4. Hasegawa T. Comparison of Two Solutions for Acoustic Radiation Pressure on a Sphere // J. Acoust. Soc. Am. 1977. V. 61, N 6. P. 14451448.

5. Hasegawa T. Acoustic Radiation Force on a Sphere in Quasistationary Wave Field-Theory // J. Acoust. Soc. Am. 1979. V. 65, N 1. P. 32-40.

6. Mitri F., Fellah Z. New Expressions for the Radiation Force Function of Spherical Targets in Stationary and Quasi-Stationary Waves // Arch. Appl. Mech. 2007. V. 77. P. 1-9.

7. Курочкин В.Е., Шарфарец Б.П. Связь радиационного давления с амплитудой рассеяния сложных включений в идеальной жидкости // ДАН. 2008. Т. 419, № 3. С. 324-327.

8. Шарфарец Б.П., Курочкин В.Е., Князьков Н.Н. Радиационное давление в произвольном падающем поле. Связь с амплитудой рассеяния включения // ДАН. 2008. Т. 421, № 2. С. 186189.

9. Faran J.J.Jr. Sound Scattering by Solid Cylinders and Spheres // J. Acoust. Soc. Am. 1951. V. 23, N 4. P.405-418.

10. Hicling R. Analysis of Echoes from a Solid Elastic Sphere in Water // J. Acoust. Soc. Am. 1962. V.34, N 10. P.1582-1592.

11. Flax L., Gaunaurd G. and Uberall H. Theory of Resonance Scattering // Physical Acoustics. Principles and Methods. Volume XV. Academic Press: N. Y., 1985. P. 191-294.

12. Hackman R. Acoustic Scattering from Elastic Solids // Physical Acoustics. Underwater Scattering and Radiation. Volume XXII. Academic Press: N. Y., 1993. P. 1-194.

13. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр. лит-ры. Т. 2. 1960. 860 с.

14. Chena X., Apfel R.E. Radiation Force on a Spherical Object in an Axisymmetric Wave Field and its Application to the Calibration of High-Frequency Transducers // J. Acoust. Soc. Am. 1996. V. 99, N 2. P.713-724.

15. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Т. 1. М.: Мир, 1974. 341 с.

Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 15.06.2008.

EVALUATION OF RADIATIVE PRESSURE ON SPHERICAL INSERTS

B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg

Different approaches to evaluation of radiative pressure on spherical inserts of any radius in flat running, still and gauzy-still waves are compared. Previous method of evaluation of radiative pressure for a general case of inserts with the pre-set characteristics, a scattering amplitude, was shown to coincide with particular methods specially developed for spherical inserts.