CC BY
9ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 2, c. 82-89
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 534.213 © Б. П. Шарфарец
К ВОПРОСУ О ВЫЧИСЛЕНИИ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ НА РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ УПРУГИХ ВКЛЮЧЕНИЯХ
В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрена задача расчета поля рассеяния на однородном, радиально-слоистом и непрерывно радиально-неоднородном упругом шарике. В каждом случае векторное уравнение упругих колебаний решается с помощью сведения последнего к независимым скалярным уравнениям для скалярных потенциалов. В силу малой практической пригодности такого подхода в случае непрерывной радиальной неоднородности шарика предложено использовать ее аппроксимацию радиальной кусочно-постоянной неоднородностью, что позволит достаточно просто решать задачу для общего характера радиальной неоднородности упругих параметров шарика.
Кл. сл.: амплитуда рассеяния, упругий шарик, идеальная жидкость, тензор напряжений, смещение
ВВЕДЕНИЕ
¡uAu + (Х + u)VV • u - pu = 0.
(1)
В терминах амплитуд рассеяния включений решается широкий круг задач, в том числе и задачи расчета радиационного давления в различных первичных полях [1-3]. Библиография, посвященная тематике рассеяния на различных включениях, обширна (см., например, обзор в работе [4]).
Наиболее популярным видом неоднородностей в задачах вычисления радиационного давления являются однородные жидкие и упругие шарообразные включения. Несмотря на это, в большом количестве работ, посвященных, например, упругому однородному шарообразному включению, отсутствует подробное решение и единообразие в представлении конечных результатов, часто они количественно отличаются, что приводит к неопределенности. Анализу этих публикаций на предмет степени их совпадения будет посвящена другая работа, а в настоящей работе сначала предполагается подробный разбор решения задачи рассеяния на упругом однородном шарике, а затем с помощью примененного в этом разборе аппарата — решение такой задачи также в кусочно-слоистом радиально-симметричном и непрерывно радиально-неоднородном шариках.
Если вектор перемещений и представить в виде суммы продольной и, (потенциальное поле) и сдвиговой и (соленоидальное поле) составляющих
и = и, + и;
и, = УФ ; иг = Ух ¥ ; У¥ = 0,
то уравнение (1) распадается на два волновых уравнения — скалярное и векторное:
1
1
АФ--Ф = 0; AT--¥ = 0.
(2)
Для гармонических колебаний и = ие~ш волновые уравнения (2) сводятся к скалярному и векторному уравнениям Гельмгольца соответственно:
АФ + ^2Ф = 0:
А¥ + k22¥ = 0.
(3)
В (3) под Ф и ¥ уже понимаются амплитуды соответствующих колебаний.
Выше приняты обозначения:
С =.
jÄ + 2u
ОДНОРОДНЫЙ упругии шарик
Линейное уравнение движения в векторной форме для идеально упругого однородного изотропного тела при отсутствии объемных сил имеет вид [5-7]
с2 = — — скорости, а к1, к2 — волновые числа
Чр
продольных и поперечных волн соответственно; X, / — постоянные Ламе; Ф и ¥ — соответственно скалярный и векторный потенциалы векторного поля и (и). Векторное поле ¥ допускает
c
С
2
разложение на три векторных поля [7, т. 2]:
¥ = L+M + N. (4)
В этом представлении L — продольная часть вектора ^ : L = V у/0, которая не имеет физического смысла и при вычислении вектора и дает нуль. Два оставшихся вектора М и N в сферических координатах допускают разложение [6-9]
M = rot(r у/2), N = rotrot (r wJ ) .
(5)
А если учесть только составляющие этих векторов, ротор которых отличен от нуля, то
M = rot(rw2), N = w .
(5а)
АГ г 2 __
r2 dr V dr J r 2 sin в дв
д f • ад .. sine—Ф | + дв
+-
J
д2
r2 sin2 в дф2
J д
тт-1 r^W 1 +
r2 5г
5г
Ф + ^2Ф = 0, J д
(6)
. sine—w. 1 + r2 sine дв Г дв '1
+
J
д2
r2 sin2 в дф2
i = J,2.
W + k22W = 0,
ГФ! w
n = 0,J,2,...; m = -n,...,n.
(r, в, ф) = dn (ktr) Pnm (^в)е'
i = 1,2;
W J n=0 m=-n
f A,„ !
в
V nm J
dn (k,r)Pnm (cosв)еШф .
В случае осевой симметрии, когда функции Ф и ^, 7 = 1,2, не зависят от угла азимута, в (6), (7)
д2
исчезает член, содержащий оператор-:
дц>2
_L—
r2 5г
+-
J
5г д
+
r2 sin в дв
ГФ Yl
.Wt J J f
sin в —
дв
дГФ|| fk2Уф!
vWt j J
+
k 2 V k2 J
w,
= 0, (9)
а общее решение (8) преобразуется к виду
=1
f A !
в
V nt J
dn (kj,2r)Pn (cosв).
(8а)
Здесь г — вектор в сферической системе координат: г = г0г, где г0 — единичный орт; г = Г . Для потенциалов Ф и ^, 7 = 1,2 справедливо уравнение Гельмгольца в сферической системе координат
Здесь Pn (cos в) — полиномы Лежандра.
Таким образом, в стационарном случае вектор смещения точек упругого тела в сферических координатах выражается через три скалярные функции следующим образом:
U = U + U( = gradФ + rot(M + N):
(J0)
где М и N выражаются из (5а) через скалярные функции \у1 и \у2, удовлетворяющие уравнению (7). Скалярный потенциал Ф удовлетворяет уравнению (6). С учетом (5) окончательно можно записать [6, 9]:
U = gradФ + rotrot(r w2) + rot(r wJ).
(JJ)
(7)
Пусть составляющие вектора смещения в сферической системе координат равны и = (Ц, ив, и^). Для дальнейших рассуждений
необходимо выписать компоненту и^ вектора смещения через скалярные потенциалы [6, 9]:
Частные однозначные решения последних уравнений Гельмгольца имеют вид
иФ =
J
д
Ф + -
J
д f д ^ r— W2
r sin в дф r sin в 5г V дф
/
дв
Wj.
(J2)
где dn (kir) — одна из сферических функций Бесселя jn (kir), Неймана nn (kir) или Ханкеля hn(1) (2)(kir); Pnm (cosв) — присоединенная функция Лежандра.
Общее решение уравнений (6), (7) определяется так:
Для случая осевой симметрии, когда отсутствует компонента смещения и^ = 0 (тело не подвергается кручению), очевидно, что Ф = Ф(г,в), щ2 = у12(г,в), и из (12) видно, что либо ^ = 0, либо у1 = у1 (г). В последнем случае у1 (г) удовлетворяет уравнению (см. уравнение (9))
1 д (
(8)
~ Ir2 Wj |+k22Wj =0 r2 5г V 5г
решением которого являются функции
ttk^r
(ухо-
дящие и приходящие сферические волны). Последние решения не годятся, т. к. они неограниче-ны при г = 0 . Остается решение \у1 = 0 . Решение (11) с учетом этого перепишется в виде
д
2
r
n=0
д
д
е
U = gradO + rot rot(r ¥2).
(13)
В случае, когда упругий шарик находится в идеальной жидкости, граничные условия на поверхности упругого шара таковы [10, 11]:
- радиальная компонента смещения в жидкости иг + иг и в упругом теле иг на поверхности шара равны
и. + и
= U
(14)
- суммарное давление падающей pi и рассеянной волн в жидкости равны с обратным знаком нормальному напряжению <г на поверхности шара
Р, + Pi -a = -ст;
(15)
- касательная компонента напряжения на поверхности рассеивателя в невязкой жидкости равна нулю (величина тождественно равна нулю вследствие осевой симметрии задачи)
^ = о.
(16)
Выпишем нужные величины, выраженные через соответствующие отличные от нуля потенциалы. Поскольку выражения для аг не совпали в работах [6, с. 41] и [9, с. 111], то автором были самостоятельно выведены все нужные величины. Для этого использовалось выражение (13) для вектора смещения, а также следующие выражения для определения нужных напряжений. Согласно [12, с. 367], имеем
ст =(Я + 21л)ег + А(ев + е),
= 2Ме„
где
е = — U , ев = -(— Ue + U r dr r в r {дв в r
ер =1 (Uectge + Ur), r
1 Г д „ 1 f д Г7 тт
евв =" — Ue+-1— Ur - Ue { dr r { дв
2
е — соответствующие компоненты тензора деформаций.
Окончательно нужные величины имеют вид:
л d _ 11
Ur =—Ф----
r dr r sine дв
d Г • в д
sine—w2
дв 2
(17)
r = 2M
-bk2 +-|Ф +
1 дr2
д д2
+1 kn2 + kn2 r — + 3
+r
д3
агв = 2м
дr дr2 дr3
1AfA-1 1Ф+
r дв { дr r I
¥2
(18)
д f д2 1 д 1 1
+—I-+----+—k 2 \w2
дв 1 дr2 r дr r2 2 2 \ 2
(19)
что показало полное совпадение с результатами
работы [6, с. 41]. Здесь Ь = — = —<— ; < —
2/ (1 - 2<)
коэффициент Пуассона материала шарика, который выражается через скорости продольных и сдвиговых волн следующим образом [13]:
ст =
д2 - 2c22 2 (c12 - С22) •
Запишем известные выражения для падающего и рассеянного шариком полей в жидкой среде с плотностью р и скоростью звука с . Так, выражение для плоской волны единичной амплитуды и нулевой фазы, распространяющейся вдоль положительного направления оси Oz, при временном факторе е~"м имеет вид [7]
Р^ = gfc = е,ктсанз = £ (2/ +1),^ (kr)P (cosв). (20)
l=0
Выражение для поля рассеянной волны при падении волны (20) на рассеиватель с центром в начале координат имеет вид [14, 15]
ps = £ T (2l + 1)ilht1 (kr) P (cos в) =
l=0
1 да
= - £ (e2iS> - 1)(2l + 1)/lhl1(kr)Pl (cos3). (21)
2 l=0
Здесь (e2iS -1) = 27] = al; al, Sl, Tl — некоторые коэффициенты, зависящие от волнового параметра x = ка ; о — радиус сферы; к = со / c . В дальнейшем будем искать коэффициенты Tl .
Скалярный и векторный потенциалы представим формулами
Ф = £ 4 (2l + 1)iljl (k1r) P (cos в),
l=0 да
¥2 =£^ (2l + 1)iljl (k2r)p (cosв).
(22) (23)
вид которых обусловлен осевой симметрией и ко-
2
r=a
r=a
l=0
нечностью потенциалов в начале координат.
Выражение для амплитуды рассеяния получается из (21) подстановкой асимптотики функции
Ханкеля к}(2) □ — г1-1е12 при г ^<х> и вычленени-2
е1кг
ем множителя-. Имеем окончательно [16]:
f (в, x) = - £ T (x)(2i + Щ (cose) =
ik г=о 1 да
= —£а, (x)(2 + 1)P (cose) = 2ik t0
1
A^tJi (k1r ) dr
+ - Bt 1(1 +1) j (k2 r) r
i
peo2 dr
(Th (kr) + j (kr))
А^/'(Xi) + B, 1(1 +1) j(X2)---Th '(x) =
pe
pa
-Ji'(x)-
(25)
Здесь и далее х{ = к{а, 1 = 1,2. Для условия равенства на границе нормальных напряжений (15) имеем
2PlC2
A¡kf
f
а
(1" 2а)
J i(x) + J , "W
Л
+
+Bik22 ( Ji (x2) + x2 Ji '(x2) + 3Jl "(x2) + x2 Ji "'(x2)) +Th(x) = - j, (x).
+
(26)
=-У (е21^(х) -1)(21 + 1)р(^в). (24)
21к £0
Отметим, что в случае наличия множителя в падающей волне, все остальные характеристики поля в силу линейности задачи также приобретут этот постоянный мультипликативный коэффициент.
Выпишем условия на границе (14)-(16) для парциальных коэффициентов разложений (20)-(23). Условие (14) в парциальном виде с учетом выражения (17) и дифференциального уравнения Лежандра
1 д ( д ^
--1 sinв—р(^в) 1 +1(1 + 1)Р(^в) = 0
sinв дв ^ дв )
можно переписать в виде
При обработке условия (16) учтем в касательном напряжении авв (19) следующее равенство
[17]:
--d- р (cose) = p/(cose).
Тогда, учитывая последнее равенство и ортогональность системы функций P/(cose), i = 1,2,...
на интервале [0,^] с весом sin в, имеем для парциальных коэффициентов равенство
1A í^-11 / 1 (k1r) + r V dr r
d2
1 d 11
+^+rdr - 72+2 k22 l/i(k2r)
= 0.
Здесь справа стоит парциальное радиальное смещение жидкости. Или окончательно из равенства смещений имеем
Или окончательно:
2 (х1 Л,(х1) - Л(х1)) А +
+(Х22л "(Х2) + (12 +1 - 2)Л(Х2))в1 = 0. (27)
В последнем случае для приведения выражения к укороченному виду использовалось уравнение для сферических функций
d2
d
r2-+ 2r— + (k22r2 - l(l +1))
dr2 dr V 2 '
ji (k2 r) = 0.
Таким образом, получена система трех уравнений (25)-(27) для определения бесконечной цепочки из трех неизвестных (А1, В1, Т1), 1 = 0,1,2,...
r
2
r
r=a
r=a
r=a
r =a
x
Выпишем ее в матричном виде:
Х1/1'(х1)
1(1 +1) / (Х2)
"А"к'(х)Л
ра>
2Р1С2%2 - < ч /1 (х1) + /1 "(х1) 2Р1с22к22 (./, (х2) + Х2/1 '(х2) + 3/1 "(х2) + Х2/) "'(х2)) к/(х)
У (1 - О )
2(х/'(Х1) -/(х)) (Х22/, "(Х2) + (12 +1 - 2)/,(Х2)) 0
(
: /1,(Х) ра>
- /1( Х) 0
Г А1
у Т)
(28)
В результате решения этой системы коэффициент Т определяется так:
Т = -
р/1(Х) + ХХ/1'(Х)
^1Л11( Х) + Хк1'(Х)
(29)
где
Р = [ / 1'(Х1) Х (-2 /, ( х ) /1 (Х2 )1(1 +1) +
+/1 '(X)Х/ (Х2)(2 + 1 +12) - / "(Х2)Х22))рю2]х
2с22Р1 (-к12 (2 / (х) / (Х2)1(1 +1) +
+/1'(X) Х (-/ 1 (Х2)(2 +1 +12) + /1"(Х2) Х22)) х
х1 /1 (х1)"
-1 + 2< +2(- /1(х1) + /1'(х1) )
+ />"(Х1) 1 +
/', '(Х1)Хк22 I /1 (Х2) +
+3/"(Х2) + (/','(Х2) + /',"'(Х2)Х2) - / (Х2)к121(1 +1) х
х|/1 "(X) +
]1(Х< -1 + 2<
(30)
Замечания.
- Выражение (29) можно переписать в виде
Т (х) = --
/1(х) + -1 Х/1,(х) р
к/(х) + -1 хк,1'(х)
Р
и коэффициенты при производных уже с точностью до констант можно трактовать как импедансы, помноженные на парциальные колебательные скорости.
- Штрих в верхнем индексе функций означает дифференцирование по параметру х.
СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫЙ РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ УПРУГИЙ ШАРИК
Речь идет о физической модели шарика, состоящего из плотно соприкасающихся друг с другом однородных упругих сферических оболочек различной толщины с различными упругими свойствами общим числом п . В центре общего шарика может находиться либо упругий, либо газообразный или жидкий шарик и имеет номер т = 1. Радиус первого шарика а1, радиус общего шарика а , толщина т -й оболочки Нт . Все упругие постоянные в каждом слое также имеют соответствующий номер. Эта задача является близкой рассмотренной выше, за исключением ряда нюансов, которые необходимо отметить.
На границе между упругими оболочками должны выполняться следующие краевые условия [11, 18]:
- разница нормальных и тангенциальных смещений вдоль орта в (смещение вдоль орта р равно нулю вследствие осевой симметрии задачи) на разных сторонах всех границ, а также разница нормальных напряжений и напряжений вида гв равны нулю, а именно
[иг I = ^ [ив 1=0, [<гг ]т = ^ [<гв ]т = ^ т = 1,п -1;
(31)
X
-1
- на границе общего шарика и идеальной окружающей жидкости выполняются условия (14)-(16). Аналогичные условия выполняются также и в случае, если в центре шарика находится идеальная жидкость.
Падающая волна по-прежнему определяется выражением (20), а рассеянная волна — выражением (21). Учитывая сохраняющуюся осевую симметрию задачи, можно утверждать, что скалярные Фт и векторные у/2т потенциалы (потенциалы у/1т в силу осевой симметрии равны нулю у/1т = 0) определяются выражениями типа (22), (23), но только в слоях, за исключением первого, имеют несколько видоизмененный вид:
Ф т = £[(21 + 1)1 (А1т1]1 (к,тГ) +
1=0
+ А2тП, (к1тГ))Р (COSв)] ,
да
^2т =У[(21 + 1)'1 (В1т1]1 (к2 тГ ) + + ВтП (кт-)) Р (cosв)],
=0
(32)
(33)
т = 2, п .
В центральном шарике вследствие ограниченности поля для этих потенциалов сохраняются представления (22), (23). Далее с помощью соответствующих выражений для смещений и напряжений необходимо с помощью уравнений "сшить" все условия на границах, как это делалось в первой части статьи. Так как в слоях, кроме первого, число неопределенных коэффициентов удвоилось, задача решается введением условий на границах Ц ] = 0 . Выпишем выражение для составляющей смещения ив в слое с постоянными упругими свойствами [6]:
ТТ 1 д _ 1 д ( д
ив =--Ф +--1 г—у/2
г дв г дг \ дв
Все остальные действия представляют собой рутинный повтор с учетом многослойности проделанных в первой части статьи действий.
РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫЙ УПРУГИЙ ШАРИК
Возможна ситуация, когда модули упругости и плотность материала включения являются кусочно-непрерывными функциями координат. Тогда упругие колебания включения описываются в рамках теории упругости неоднородных тел.
Уравнения теории упругости неоднородных тел рассмотрены в общем плане, например, в работах
[19, 20], а применительно к радиально-неоднородной среде — в работе [21]. Согласно [19], обобщенный закон Гука, выражающий зависимость между тензорами напряжения и деформации, для неоднородных тел выполняется так же, как и для однородных тел; причем соотношения между напряжениями и деформациями будут отличаться от соответствующих соотношений для однородных тел лишь тем, что входящие в них модули упругости являются функциями координат. Кроме того, принимается предположение, что в областях непрерывности модулей упругости и плотности материала являются непрерывными и их первые две производные по координатам. Сохраняются также формулы Коши для однородного случая, связывающие тензор деформации с производными компонент вектора перемещений. Кроме того, сохраняется также зависимость между компонентами вектора перемещений и тензором напряжений такая же, как и в однородном случае.
Волновые процессы в неоднородной изотропной упругой среде с коэффициентами Ламе Л, /и и плотностью р описываются векторным уравнением [20]:
(Л + 2u)grad divu - гоШ + divu gradЛ +
+gradи х гоШ + 2gradи • gradu = р ^^.
д*2
(34)
Здесь под gradu понимается тензор
(gradu)] . А для радиально-неоднородной
среды (модули упругости и плотность являются функциями одной переменной: Л = Л(г), / = ¡и(г), р1 = р1 (г)) уравнение (34) преобразуется к виду [21]
(Л + 2u)gradS - /го^оШ + Л' Sr0+
ды
д2u
+/'(г0 хrotu + 2—) = р—-.
дг'
д*2
(35)
Здесь штрих означает дифференцирование по г ; 5 = divu .
Обычно решение (35) пытаются, как и в однородном случае, искать, разделяя исходное векторное уравнение теории упругости (35) на независимые скалярные уравнения для обобщенных скалярных потенциалов. В работе [21] решение ищется в виде
и = и1 + и2 + и3,
(36)
где
u1 =—^grad( f^x f1(r)
U2 =
1
/2 (r)
u3 = rot(rr0^3).
rotrot(rr0./2^2),
(37)
В работе [22] векторы (37) ищутся несколько иначе:
U1 =¥1(r )grad(O1(r ,в)), U2 = ¥2(r )rotrot(r0 Ф2(г,3)), U3 = rot(r)O3(r ,в)).
(38)
Здесь и1, и2, и3 соответствуют векторам смещения продольных (и1) и сдвиговых волн (и2, и3); /1, /2, ¥1, ¥2 — скалярные функции от г ; ф{, Ф;, i = 1,2,3 — некие скалярные потенциалы.
Как показано в [22], представления (37) и (11), (13) для однородного случая являются частными случаями представления (38). Однако для получения независимых скалярных уравнений для потенциалов , Ф;, ; = 1,2,3 в неоднородном случае в отличие от однородного, где они изначально являются независимыми, необходимо чтобы поведение функций ¥1 (г), ; = 1,2, X = —(г), /и = /и(г), р1 = р1 (г) удовлетворяло некоторым дополнительным условиям. В [22, 23] показаны примеры случаев, когда такое разделение возможно. Приведем один из них:
Р1 = Рк
( X4 r
V r0 I
М = М0
fr V
V r01
r(r) = ¥1 =
c22(r)
4
V r0 I
4
¥2 = ^ ¥1 =
V r0 I
Здесь г0 — некоторое фиксированное значение координаты г; р0, /0 — значения соответствующих величин при г = г0 .
Отметим, что рассмотренный здесь способ решения задачи упругости сведением ее к независимым скалярным уравнениям для обобщенных потенциалов в радиально-неоднородном случае является достаточно трудоемким и пригодным лишь для избранных распределений параметров X = —(г), и = /(г), р1 = р1 (г). Уместнее, по всей вероятности, применять либо общие методы скалярного и векторного потенциалов, также трудоемкие, либо аппроксимировать задачу кусочно-слоистой моделью, описанной выше.
ВЫВОДЫ
В статье последовательно рассмотрена задача расчета поля рассеяния на однородном, радиаль-но-слоистом и непрерывно радиально-неоднородном упругом шарике. В каждом случае векторное уравнение упругих колебаний решалось с помощью сведения последнего к независимым скалярным уравнениям для обобщенных скалярных потенциалов. В силу малой практической пригодности такого подхода в случае непрерывной радиальной неоднородности шарика предложено использовать ее аппроксимацию радиальной кусочно-постоянной неоднородностью, что позволит достаточно просто решать задачу для произвольной радиальной неоднородности упругих параметров шарика.
Для вычислений в работе использовался пакет Ма-(квта^са-8 (лицензия L3259-7547).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курочкин В.Е., Шарфарец Б.П. Связь радиационного давления с амплитудой рассеяния сложных включений в идеальной жидкости // ДАН. 2008. Т. 419, № 3. С. 324-327.
2. Шарфарец Б.П., Курочкин В.Е., Князьков Н.Н. Радиационное давление в произвольном падающем поле. Связь с амплитудой рассеяния включения // ДАН. 2008. Т. 421, № 2. С. 186-189.
3. Князьков Н.Н., Курочкин В.Е., Шарфарец Б.П. Радиационное давление на сферу в смешанном поле бегущей и стоячей плоских волн // ДАН. 2009. Т. 424, № 6. С. 751-754.
4. Hackman R. Acoustic scattering from elastic solids // Physical Acoustics. Underwater Scattering and Radiation. Volume XXII. N.Y.: Academic Press, 1993. P. 1194.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.
6. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук. Думка, 1978. 308 с.
7. Морс Ф.М. Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во иностр. лит-ры. Т. 1, 2. 1958, 1960. 930+886 с.
8. Стрэттон Дж.Ф. Теория электромагнетизма. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 539 с.
9. Гузь А.Н., Головчан В.Д. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наук. думка, 1972. 255 с.
10. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Am. 1951. V. 23, N 4. P. 405-418.
11. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
12. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004. 468 с.
13. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 376 с.
14. Флюгге З. Задачи по квантовой механике, т. 1. М.: Мир, J974. 34J с.
J5. Шарфарец Б.П. К вопросу о вычислении радиационного давления на сферических включениях // Научное приборостроение. 2008. Т. J8, № 3. С. 80-85.
J6. Flax L., Gaunaurd G., Uberall H. Theory of resonance scattering // Physical Acoustics. Principles and Methods. Volume XV. N.Y.: Academic Press, J985. P. Ш-294.
J7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, J98J. 5J2 с.
J8. Pao Y.-H., Mow C.C. Scattering of plane waves by a spherical obstacle // Journal of Applied Physics. J963. V. 34, N 3. P. 493-499.
J9. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, Ш6. 368 с.
20. Karal F.S., Keller J.B. Elastic wave propagation in homogeneous and inhomogeneous media // J. Acoust. Soc. Am. J959. V. 3J N 6. P. 694-705.
2L Saugh S.J., Ben-Menahem A.B. Decoupling of the vector wave equation of elasticity for radially heterogeneous media // J. Acoust. Soc. Am. J969. V. 46, N 3b. P. 665-660.
22. Саакян С.Г. Независимые скалярные уравнения движения некоторых радиально-неоднородных изотропных упругих сред // Докл. АН Арм. ССР. Механика. 1987. Т. 85, № 4. С. 152-156.
23. Саакян С.Г. Распространение волн в радиально-неоднородном упругом шаре // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1990. Т. 43, № 1. С. 36-43.
Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург
Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]
Материал поступил в редакцию 7.J2.20JJ.
TO THE PROBLEM OF SCATTERING AMPLITUDE EVALUATION ON RADIALLY-SYMMETRIC ELASTIC INSERTS IN PERFECT FLUID
B. P. Sharfarets
Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg
The problem of calculation of a leakage field on the homogeneous, radially-layered and continuously radially-non-uniform elastic ball is discussed. In each case the vector equation of elastic oscillations is solved by means of reducing the last to the independent scalar equations for scalar potentials. Due to insignificant practical suitability of such approach in case of the continuous radial heterogeneity of a ball it is offered to use its approximation by radial piecewise constant heterogeneity that will allow to solve rather simply the problem for the general character of radial heterogeneity of ball elastic parameters.
Keywords: scattering amplitude, elastic ball, perfect liquid, tensor of tension, displacement
