К вопросу о разработке математической модели изотермического стесненного деформирования анизотропной листовой заготовки в прямоугольную матрицу Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.983; 539.374

К ВОПРОСУ О РАЗРАБОТКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СТЕСНЕННОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ ЛИСТОВОЙ ЗАГОТОВКИ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ МАТРИЦУ

С.Н. Ларин, В.И. Платонов

В многослойных листовых конструкциях прямоугольные элементы получают пневмоформовкой листов, предварительно жестко соединенных по контуру с наружными листами, в связи с чем актуальна задача, рассмотренная в статье, и заключающаяся в оценке влияния технологических параметров на устойчивое протекание процесса. Приводятся результаты моделирования процесса изотермического стесненного деформирования анизотропной листовой заготовки в прямоугольную матрицу, которые позволяют в дальнейшем оценить силу и повреждаемость при различных условиях деформирования.

Ключевые слова: пневмоформовка, стесненное деформирование, напряжения, деформации, силы.

Прямоугольные элементы, являющиеся частями многослойных листовых конструкций, получают посредством пневмоформовки внутренних листов с наружными листами до полного их прилегания. Проанализируем ту стадию, на которой реализуется стесненное деформирование. В работе будет исследовано формирование элементов в углах оболочки в плоскостях уог и хог. Учтем, что Ь > а > Н1. Принимаем, что материал заготовки - анизотропен; учитываем, что главные оси анизотропии совпадают с осями координат х, у, г. Большая сторона заготовки перпендикулярна направлению прокатки х. Известны давление Р1, высота оболочки Щ, накопленная повреждаемость Юд и распределение толщины оболочки = (ф) в момент ? = ?1, где ф - угол, характеризующий положение точки на угловом элементе заготовки. После контакта вершины купола с обшивкой принимаем, что осуществляется то состояние, при котором толщина оболочки меняется одинаково в каждой точке оболочки от начальных размеров при ? = ^, а форма деформируемой угловой части оболочки в плоскости хог сохраняет форму части окружности, а в плоскости уог -сначала форму части эллипса с последующим переходом в форму части окружности.

Разобьем стесненное деформирование на два этапа. На первом этапе в плоскостях уог и хог реализуется плоский участок в районе вершины

купола до того времени, когда 51 = 51* = Ь - Щ и Sз = 53* = а - Щ соответственно. На втором этапе реализуется симметричное формообразование оболочки относительно новых осей симметрии О2О2 и О3 О3 с образова-

183

нием симметрично плоских участков в угловой части оболочки; при этом форма деформируемой свободной угловой части в указанных выше плоскостях имеет форму части окружности (рис. 1 и 2). Примем, что на первом этапе в плоскости уог форма эллипса сохраняется, его полуось ОС не изменяется, оставаясь равной Н1, а полуось Od изменяется от размера Ь до размера Н1, после чего реализуется второй этап второй стадии деформирования с изменением формы оболочки на часть окружности.

Рис. 1. Формообразование угловых Рис. 2. Формообразование угловых элементов в плоскости уо2 элементов в плоскости хог

Рассмотрим возможные ситуации на втором этапе деформирования:

1) 51 £ 51*, £3 £ £3* ;

2) 51 £ 51*,53 > 53*(54 > 0);

3) 51 > 51* (52 > 0), 53 > 53* (54 > 0).

Рассмотрим два деформированных состояния на первом этапе в плоскости уог: первое с длиной средней линии свободной поверхности оболочки в виде эллипса Ьо и длиной участка контакта £1 и второе с длиной средней линии свободной поверхности оболочки Ь и длиной участка контакта 51 + dS1. При переходе из первого состояния во второе приращение меридиональной деформации определится так:

184

йе

р[1,5(6 - 51 - й51 + И1 )-у1 (Ь - 51 - й51)И1 ]+ 51 + й51

4

У

к 4

1,5(Ь - 51 + И1) -^1 (Ь - 51)И1 ]- 51 1,5(Ь - 51 + И1) (Ь - 51) И1 ] + 51

к 4

к 4

1,5(Ь - 51 + И1) -V (Ь - 51) И ] - 51

(1)

Запишем выражение, которое приближенно позволяет определить периметр эллипса

Ь = к[1,5(Ь + И1) -■^ЬИ~1], (2)

где Ь и И - полуоси у получаемого эллипса.

В выражении (1) приведем к подобию члены, и воспользовавшись

разложенной

в ряд функций л/Т-Х = 1 - —

йе у =

2

0,5 +1 2Ц

Х, получим

И

Ь - 5

1)

й51

[1,5(Ь - 51 + И1) (Ь - 51) И1 ] + - 51

к

(3)

Скорость деформации в данном случае оценивается по соотноше-

нию

0,5 + ^Щ/(Ь - 51)

й5

1

(4)

'у 1,5(Ь - 51 + И1 (Ь - 51)И1 + 451 / к й '

Для дальнейшего решения задачи выделим и оценим два близких состояния заготовки на первом этапе рассматриваемой стадии формовки в

/ / о

плоскости х о^ , которая параллельна хог с условием у = 5^ первое состояние - радиус нейтрального слоя р и длина зоны контакта 5з и второе - когда радиус нейтрального слоя р + йр и длина зоны контакта 5з + й5з. Примем, что 5з < а - И.

Приращение окружной деформации в условиях перехода из первого во второе состояние определяется в следующем виде:

р Хйа + йр Ха + й5з

а

где tg — ;

И

a - 53

йе Х =■

а = 2агctg- И1

р ха + 53

(5)

а-5

йа = 2

И1й53

3

(а-5з)2 + И2 '

(а - 53)2 + И2 (а - 53)й53

р х =-—^-йр х =~

2 И

1

И

1

Подставив эти выражения в уравнение (5), получим

' а - 53 Н Л 1--- аг^

2 Н

Н

1

а - 5

3

[(а - 53)2 + Н2]arctg—Щ— + Н153

(7)

а - 5

3

В случае равенства длины поверхности контакта 5з скорость де-

формации в искомом направлении находится по формуле

' а - 53 Н Л 1--- аг^

2Н

X

Н

1

а - 5

3;

й5

3

X

[(а - 53)2 + Н2]аг^—^1— + Н153 Л

(8)

а - 53

Можно отметить, что в одно и то же время с образованием зоны контакта 51 на поверхности yoz реализуется образование зоны контакта 53 в плоскости xoz. Связь между данными поверхностями не известна, что значительно затрудняет анализ процесса.

Учтем, что 51 > 51* = Ь - Н1 или 52 > 0, тогда образуется зона контакта параллельно оси О2О2. Исследуем два похожих состояния заготовки в углах на втором этапе рассматриваемой стадии. Приращение деформации в меридиональном направлении во время перехода из первого состояния во второе находится по формуле

р

йеСу

йр у — + 2й52

р

(9)

р у- + 252 + 5

2

1*

Из рис. 2 получим

р у = Н1 - 52, йр у = -й52.

Уравнение (9) имеет вид

(10)

г

йе

р

2

V 2

й52

У

2

р

2

р

(11)

52 + Н12 + 51*

и скорость деформации будет определяться как

X у =■

2

р

2

-5

2 -

р

2

р

2.

5 2 + Н12 + 51*

(12)

В/ /

случае, при котором в плоскости х о^ , параллельной xoz при у = 51, 51* = Ь - Н\, 53 > а - Н1 или 51 > 0, приращение окружной деформации найдем по формуле

р

йр х — + 2й54

йе

2

X

р

(13)

р х 2 + 254 + 53*

Из рис. 2 определим

рх = Н1 - 54, йрх =-й54.

(14)

В результате подстановки (13) и (14) в выражение (11) получим

й54

йел

' 2Л 2

V

У

V

2-р

2 ,

г

р

54 + Н12 + 53*

(15)

X

2-р

V 2

X

/

р

~5>4 .

2

V 2

р

(16)

5 4 + Н12 + 53*

Когда 52 > 0 (51 > 51* = Ь - Н1), 54 > 0 (53 > 53* = а - Н1), значения Xх и Ху находятся по выражениям (12) и (16). Используя уравнение равновесия безмоментной оболочки

о

у

о х

р. к

(17)

ру рх

и выражения для определения отношений скоростей деформаций Xсх и Ху,

определим компоненты напряжений

о

у

рру к

1 + Xх*х (1 + ) уХхХу ру

о х =

V XyЯy (1 + Ях ) + ^х*х*у рх ;

X хКх (1 + Ку ) + ^ уЯхКу

X уЯу (1 + Ях ) + X хКхК

о

У

(18) (19)

Здесь

р х =

(а - 53)2 + Н2

2Н

если 53 £ 53* = а - Н.

1

рх = Н1 - 54, если 53 > 53*(54 > 0),

\3/2

р у = (Ь - 51)2 Н12

2

■ + •

у

2

Н14 (Ь - 51 )4 ,

187

если 51 £ 51* = Ь - Н1,

/

7

ру = И1 - 52, если 51 > 51*= Ь - И1(52 > 0).

Запишем выражение для получения отношений скоростей деформаций, предварительно подставив уравнения для получения напряжений в определенной точке 51 = 5{, границы контакта в момент времени t на поверхности уо2:

Xх = А(1). (20)

х у

Запишем выражения для оценки величины радиусов кривизны в плоскостях уо2 и х 012 границы контактных зон, используя полученные ранее выражения:

р = (Ь-51)2. р = (а-5з)2 + И12 , рх = (а-5з)2 + И1 (21) р у И1 ' р Х 2И1 ' р у 2(Ь - 51) , ( )

если 51 £ 51* и 5з £ 5з*

Допустим, что известно значение 51 = 5l(t) с условием t > ^ и, значит, —-, где ^ - время, когда вершина изделия достигнет обшивки. В Ш

итоге запишем следующую формулу для оценки 5з :

й53 = а($ Ш51. (22)

Л Р2 (53) А

Данное выражение возможно решить методом последовательных приближений численно путем перехода к конечно-разностному уравнению

5з (tй) = 5з (tй-1) + А() /1((51:\ [51 (tй) - 51 (^-1)]. (23)

^2(53, tn-1)

Само решение возможно с момента времени t2 = tl + At. В первом приближении примем, что А^) = A(tl). Значение A(tl) известно на основании решенной ранее задачи о свободной формовке. В следующих приближениях определяются значения р Х по выражению (21) и А^п) по

уравнению (22), 53) - по формуле (12). Значение радиуса кривизны р у

определим по (21).

Уточнение значения 53 прекращается в случае, когда разность двух приближений становится не больше ранее заданной величины. Имея значение изменения 51 и 53 в процессе формовки, можно определить скорости деформаций Xу и XХ в любой точке 51. Этот подход будет корректен,

если 51 £ 51* и 53 £ 53*.

В случае выполнения условий 51 £ 51*, 53 > 53* (54 > 0) величины ру и р Х будут определяться как

р

у

= (Ь - 51)2;

р х = Н1 - 54 . -

Р у

р х_ (Н1 - 54)Н1

(Ь - 51)2

(24)

с учетом

В итоге

X у=ад)

й51

X х =

' 2-р ^

V 2

у

/

р

-5.

2

V 2

р

4.

(25)

5 4 + Н1 2 + 53*

Xх = А^).

X у

(26)

Для оценки 54 и 5&4 при заданном 51 = 5l(t) по аналогии с представленным выше образцом получим

^ = ди )Ж511 й51. (27)

Л и ^4(54) А

Данная формула может быть решена методом последовательных приближений:

54 (tй) = 54(^-1) + 4 ^п ) Д5^ )11 [51 (tй) - 51 (tй-1)]. (28)

^4[5 4(^п-1)]

В случае, при котором 51 > 51*(52 > 0), 53 > 53*(54 > 0), радиусы кривизны рх и ру будут определяться при заданном значении 52:

рх = НХ -54; ру = Н1 -52, -рх = . (29)

' ру Н1 - 52

Скорости деформаций на поверхности в точке 52 могут быть определены следующим образом:

X у = ^3(52)5&2 ; X х = ^4(54)5&4. (30)

В итоге

Xх = A2(t).

X у

(31)

Выразим уравнение, с помощью которого в дальнейшем можно будет найти 54 и 5&4 при известной 52 = 52 ^):

й5 4 = д (t) _^3(5 2) 52

^ (32)

А ^ ^4( 5 4)

Это уравнение также может быть решено методом последовательных приближений:

Р3^п)]

54 (^п ) = 54 ^п-1) + Д2^п-1)

^[5 4(tn-1)] 189

[52 (^) - 52 (tn-1)]. (33)

Решение последовательных приближений осуществляется аналогично описанному ранее.

Зная значения X Х и Xу в точке 51 и используя условие несжимаемости, найдем (учитывая, что 51 £ 51* и 53 £ 53*)

= -^1(51) ^ - ^(53) ^ (34)

НА ш А

й53 Л, ^1(51) й51

При условии —- = А^)—--- получим

А (53) А

-—= -[ A(t) + Цад)—Т. (35)

Н ш ш

Определим из представленного выше выражения изменение толщины за время At = tn - tn-1:

АН(1п) = Н(^-1)[1 + А( Щ(5—) А^) 5l(tn), (36)

где Н(tn_—) - толщина заготовки в искомой точке, когда t = tn-1, которая по своей траектории движения попала в точку ) с толщиной купола

Н[ 5т (^)] = Н(^-1) {1 - [ А^) +ВД (5т)[5— (^) - 5т (tn-1)]}. (3 7) Когда 5Т < 5Т*, 53 > 53* (54 > 0),

Н[ )] = Н(^-—){1 - [ А—^) + ШЗДЗДп) - -—)]}. (38) Когда 5Т > 5т*(52 > 0), 53 > 53*(54 > 0),

Н[52^п)] = Н(^-1){1 - [А2^) + 1]^(52)[52(^) - 52^п-1)]}. (39) Рассмотрим теперь случай, когда формовка происходит в плоскости хо2. Решение произведем аналогично представленному ранее. Задача сведется к оценке отношения скоростей деформации в искомой точке 53 = 53, а также поверхности контакта в момент t в Х02.

При условии, что 53 = 53 ^), получим следующее уравнение для оценки 51 :

Ш5— = 1 ^2(53) Ш53

А А^) ^(50 А По аналогии с предыдущими получим ( при 53 £ 53*, 5— £ 5—*)

(40)

5— (tn) = 5— (tn-1) + [53 (tn) - 53 (tn-1)]. (41)

А<^) 51(^-1)]

На каждом последовательном приближении уточняются величины р у, А(^), ^1(5—).

Если выполняются неравенства 53 > 53*(54 > 0), 5— £ 5—*, радиусы кривизны р Х и ру вычисляются по формулам

р х = Н1 - 54; р у

= (Ь - 51)2

Н1

(42)

X

= ).

у

Воспользуемся зависимостью 54 = 54^), для того чтобы найти

51, 5&1:

¿51

1 ^4( 5 4) А5 4

(43)

А A1(t) 51) А Представленную выше зависимость решим методом последовательных приближений:

5^п) = 5^п-1) +

1 ^^^п) - 54(tn-l)].

(44)

А1(^) ^[5^-1)]

При 53 > 53* (54 > 0), 51 > 51* (52 > 0) величины радиусов кривизны

р х = Н1 - 54; р у = Н1 - 52

и

X х = А2^).

у

X

Воспользуемся зависимостью 54 = 54 ^), найдем 52, 5&2: 5 2(tn ) = 5 2(tn-1) +

1 )] [54(^) - 54(^-1)].

(45)

А2^) 52^п-1)]' Представленную выше зависимость решим методом последовательных приближений.

Получим из условия несжимаемости формулу (при 53 £ 53*,

51 £ 51*)

I ¿к = - ^(53) ^ - ^

к а А А

(46)

Учитывая, что ^ (51)

1 Ак_

к А

А51 = 1 ^ /с \А53

А А(0

53)-

А

найдем

1 +

1

АЦ )

^2(53)

А53 А

(47)

Используя конечные разности, выразим формулу для оценки изменения толщины за время Дt:

Лк = -к(^-1)

1 +

1

А()

53)Д53

(48)

где к(tn-1) - толщина оболочки в точке при t = tn-1, которая по траектории попала в точку 53^п) - границу контакта заполнителя и обшивки. Толщину в точке 53^п) определим по выражению

191

1 +

h[ s3(t„)] = h(t„ _i)|i - L a(í )

При S3 > S3*(S4 > 0), S1 < s1*

1

F2(S3)[S3(tn) - S3(tn-i)]

h[S 4(tn)] = h(tn-i)

1 -

1 +

1

4(t)

При S3 > S3*(S4 > 0), S1 > S1*(S2 > 0)

F4(S4)[S4(tn) - S4(tn-1)]

h[S 4(tn)] = h(tn-1)

1-

1 +

Ä2(t)

F4(S4)[S4(tn ) - S4(tn-1)]

Работа выполнена в рамках грантов РФФИ № № 16-48-710016 и 1608-00020 и гранта администрации Тульской области.

Список литературы

1. Ларин С.Н. Изотермическое деформирование элементов листовых конструкций цилиндрического и прямоугольного сечения в режиме кратковременной ползучести // Извести вузов. Машиностроение. 2011. №11. С. 44-50.

2. Ларин С.Н. Пневмоформовка ячеистых панелей из анизотропного материала // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2010. Вып. 3. С. 51-61.

3. Математическая модель свободного изотермического деформирования анизотропной листовой заготовки в прямоугольную матрицу / С.Н. Ларин [и др.] // Известия Тульского государственного университета. Механика деформированного твердого тела и обработка металлов давлением. 2003. Вып. 1. С. 3-13.

4. Яковлев С.С., Ларин С.Н., Трегубов В.И. Изотермическая пнев-моформовка элементов ячеистых многослойных листовых конструкций из анизотропных высокопрочных материалов в режиме ползучести / под ред. С.С. Яковлева. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 173 с.

Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., mpf-tulaaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., mpf-tulaaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

TO THE PROBLEM OF ISOTHERMAL DEVELOPMENT OFMÄTHEMÄ TICÄL MODELS CRAMPED DEFORMATION ANISOTROPIC SLAB IN A RECTANGULAR MATRIX

S.N. Larin, V.I. Platonov 192

>

1

>

The multilayer sheet structures rectangular elements get pnevmoformovkoy sheets previously rigidly connected on a path from the outside-governmental sheets. In this connection the urgent problem considered in the paper, andput-yuschayasya in assessing the impact of process parameters on the steady flow of pro-process. The results of the modeling process isothermal uneasy th deformation anisotropic slab into a rectangular matrix to-torye allow in the future to assess the strength and defect under different conditions of deformation-tions.

Key words: pnevmoformovka constrained deformation, stress, strain, force.

Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, associate professor, mpf-tulaa rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.983

МЕТРОЛОГИЧЕСКИЙ МОНИТОРИНГ ИЗДЕЛИЙ, ПОЛУЧАЕМЫХ

РОТАЦИОННОЙ ВЫТЯЖКОЙ

В.И. Трегубов, Д.И. Благовещенский, Г. А. Нуждин, М.В. Ларина

Представлены результаты теоретических исследований влияния технологических параметров на качественные характеристики цилиндрических деталей, получаемых ротационной вытяжкой. Исследования выполнялись при различных величинах степеней деформации и рабочей подачи. Полученные результаты позволяют оценить влияние различных сочетаний исследуемых технологических факторов ротационной вытяжки на показатели качества цилиндрических деталей.

Ключевые слова: качество, точность, ротационная вытяжка, эксперимент.

Одним из важнейших требований, предъявляемых к тонкостенным цилиндрическим деталям из малоуглеродистой стали 10, легированных сталей 30ХМА, 10ГН, 12ХЗГНМФБА и алюминиевого сплава АМГ6, является обеспечение заданных формы и размеров. Обеспечение толщины стенки с заданными отклонениями является одним из наиболее важных технических требований при производстве деталей ответственного назначения. Известно, что колебания толщины стенки в готовых деталях зависят в значительной степени от разностенности исходных заготовок, точности используемого оборудования и инструмента. В процессе деформирования исходной заготовки при ротационной вытяжке с утонением стенки происходит изменением величины разностенности, как правило, в сторону уменьшения. Однако в отдельных случаях (при использовании заготовок с малой исходной разностенностью) разностенность в готовой детали может превышать разностенность исходной заготовки, что связано с достижимой

193