CC BY
28
Malyshev Aleksandr Nikolaevich, candidate of technical science, do cent, amalv-shev(cvru.zestamp. com, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Moscow State Technical University named after N.E. Bauman
УДК 621.983; 539.374
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО СВОБОДНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЛИСТОВОЙ ЗАГОТОВКИ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА В КВАДРАТНУЮ МАТРИЦУ
В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ
С.Н. Ларин, В.И. Платонов, Ю.В. Бессмертная
Приведены результаты математического моделирования процесса изотермического свободного деформирования листовой заготовки из анизотропного материала в квадратную матрицу в режиме ползучести. Полученные соотношения в дальнейшем позволят произвести анализ влияния закона погружения, геометрических размеров заготовки, анизотропии механических свойств исходного материала на напряженное и деформированное состояния, силовые режимы и предельные возможности исследуемого процесса изотермической пневмоформовки в режиме кратковременной ползучести, связанные с накоплением микроповреждений.
Кчючевые слова: пневмоформовка, матрица, листовая заготовка, свободное деформирование.
В статье рассмотрено деформирование заготовки из листового материала, имеющего толщину /?о в матрице квадратной формы со сторонами 2а при ползучести. На заготовку действует гидростатическое давление р, которое меняется от времени деформирования ? по закону: п
Р ~ Ро + ар1 Р > гДе ар и пр " параметры закона нагружения. Материал
исходной заготовки принимаем анизотропным. Предполагается, что заготовка вырезана таким образом, что ее сторона параллельна направлению оси у (перпендикулярно к направлению проката) [1-6]. Заготовка зафиксирована по внешнему контуру (рисунок).
Предполагается, что напряженное состояние в заготовке плоским (о г = 0) и ее поверхность при деформировании является частью сферы, так же что профиль у заготовки вдоль осей симметрии является окружностью.
Радиусы кривизны р х и ру окружности равны [5]:
Н 2 + а2
р х =р у = 2Н • (!)
Предположим, что траектории точек ортогональны в данный момент образующемуся профилю.
Скорости деформаций в этом случае в полюсе срединной поверхности будут определяться по формулам
хс = Хс = 2 НН . хс = — (2)
х хс = х ус = 2 2 ; х 1С = , , (2)
Н 2 + а2 —
где Н = dH / Ж; — = А— / А.
Учитывая, что листовая заготовка закреплена по внешнему контуру, в точках х = а, у = 0 и х = 0, у = Ь имеем
Хс = 0. о = Ноха = Ку0ха . хс = _хс (3)
4>уа ~и 5 ^уа— — , Ъха ~ 4>га ^
у у ^ + Н 1 + Ку
и
х°хь = 0; 0 хь = Но^ = Кот; х°уь = _хсь, (4)
Н + О 1 + Кх
где Н, О, F и Ях, Ку - параметры и коэффициенты анизотропии в направлении прокатки и перпендикулярном направлении листовой заготовки соответственно.
Для облегчения расчетов принимаем, что в определенный момент деформирования в сечении заготовки хог скорость деформации Xу от купола к стороне х = а параллельно оси х меняется линейно от максимальной величины в верхней точке купола до нулевого значения в точке х = а ,
а значение скорости деформации Хх не меняется по величине. Предполагаем, что в сечении уог скорость деформации Хсх падает линейно от своей большей величины в верхней точке купола оболочки до нуля в точке у = Ь,
а значение Ху не меняется.
В этом случае в плоскости сечения хог в точке х = а имеем
хс = 2 НН (5)
Ъха о о •
Н 2 + а2 23
Так как в окрестности точки х = а реализуется плоское деформированное состояние, то
Хха = _Хга; (6)
2НН = _—а . (7)
Н 2 + а2 К
Выполняя интегрирование уравнения (7) при начальных условиях ? = 0, Н0 = 0, Иа = —0, получим выражение для определения толщины в рассматриваемой точке:
а 2
—а = —0~2-2, (8)
Н2 + а2
где И0 - начальная толщина листовой заготовки.
Таким же образом возможно получить уравнение для определения толщины в плоскости уог в точке у = а, которая будет определяться по формуле
а2
—Ь = —0—2-2, (9)
Н 2 + а 2
т. е.
а2
Иа = ИЬ = И0—2-2. (10)
Н2 + а2
Изменение толщины заготовки в вершине оболочки (точка с) определяется из условия несжимаемости материала:
рс рс . —с _ 2 НН 2НН /11\
Хгс = _Х хс _Х ус; = о о о о". (11)
Ис НЛ + а п
Проинтегрировав выражение
И а 2
1п = 21п—а—-, (12)
И0 Н 2 + а2
выразим следующее уравнение для оценки толщины купола в рассматриваемой точке:
Ис = И0
а 2
Н 2 + а 2
(13)
Приведем уравнения для оценки искомых напряжений о х и о у к окончательному виду [5]
РР у
Оу =-—- /(1+ С1); Ох =%10у, (14)
2
где
XI
ях(\ + яу) + яхяу ях+2яхя}
(15)
Яу(1 + Ях) + ЯхЯу Я у + 2ЯхЯу
Исследуем медленное деформирование в изотермических условиях при вязком течении (се<аео) материала заготовки, когда справедливы уравнения энергетической теории ползучести и повреждаемости.
Выразим уравнения для определения величины давления р. Так как значение давления р в определенный деформирования одинаково распределена по поверхности заготовки, значит будем вычислять ее в полюсе оболочки (точка с). Для чего найдем сначала эквивалентную скорость деформации ^ и эквивалентное напряжение ое:
оес
V
(Я* + Я.т-^у + &у)
Я&хс (К + ДА + Кх + 2Ду +1) +
1)
+ 2 Я2хЯу (Ях + Яу + 1%схЛСус + Яу (Я2 + + Яу + 2Д, + Щс
Принимая во внимание, что в полюсе оболочки
11/2
•(16)
& 2 НН(Н2+а2)
= 1 и
ъус (Н + а )2НН выражение (15) может быть представлено в виде
УС'
(17)
:С г* КС - 2НН
4 ее - С^ус ~
Н2 + а2 '
(18)
где
О =
3 {ЯЛ2 (Л 2 + ЯхЯу + Ях + 2Яу +1) +
ЯХЯ\!2(ЯХ+ЯУ +1)
+ 2ЯхЯу (Ях + ЯУ +1) + у (Ях + ЯхЯу + Д у + 2ЯХ +1)}
1/2
(19)
Покажем, что значение эквивалентного напряжения ае в точке с оценивается по выражению
1/2
°ес =
3 (ЯхЯу+Яу)с хс 2ЯхЯуСхсоус + (ЯхЯу + Ях) оус
Ях + ЯХЯУ + Яу
.(20)
Принимая во внимание, что в полюсе оболочки
Р хс / Р yc =1 и sxc =Xlsyc, (21)
выражение для определения эквивалентного напряжения (20) примет вид
sec = D1s yc, (22)
где
D1 =
3 Ry (Rx + 1)c2 - 2RxRyCi + Rx (Ry +1)112
2
Rx + RxRy + Ry
(23)
С1 - вычисляется по выражению (15).
Подставив в первое уравнение состояния материала входящие в него величины se ,Х£, определяемые по формулам (15), (22), с учетом (1), (2),
(12), (14), получим pndt —
„c \ m^n+1i n An
n ттП+1
Q (se0) (1 -wA) 2'^ a™(1 + c1r H dH
2 , 2<3n+1
(24)
BD (H* + a*)
Получим значением накопления повреждаемости ыАс. Для чего
подставим во второе уравнение состояния выражения (22) и (18) с учетом (2) и (14) и (15):
со
D1C1( H 2 + a 2) p
IA —-
c ho a4(1 + C1) A<cpc
H.
(25)
Данное уравнение можно использовать, если при нагружении p = const.
Подставив первое уравнение состояния во второе, получим другую форму уравнения для нахождения повреждаемости:
w Ac—
Se0(1 -wA ) m/n (Xc )(n+1)7 "
A_
Ac B -t^npcu
1/ n
(26)
Уравнение (26) хорошо использовать, если Xcec = Xeel = const. В этом случае интегрирование выражения (26) приводит к уравнению
W Ac —1 -
1
n - m (Xec1)(n+1)7nse0t
n
Ac в1!n
npc u
n /(n - m)
(27)
Время разрушения t* определяется из условия wac — 1:
A B1n.
■rinnc1J
t* —
AnpcB 1 n
s eo(n - m)(X cpJn+1)/n
(28)
Давление р, необходимое для реализации условий деформирования, оценивается по выражению
_ 2аес(1 -wcAc) mnHh0 a2(1 + Ci)
2
P(t)
D1( H 2 + a 2)3
Xeci
B
V У
Л/n
(29)
Зависимость ю^с = юА (£) определяется соотношением (27), а высота Н = Н (?) может быть найдена в этом случае из выражения
eCc _ JxCcidt _ XCci^,
а также формулы
eec _ J C&U _ Ci J
H 2 HdH
0 H2 + a2 '
т.е.
Xec1t ^ a'
Ci t _
ln
H2 + a2
ln
a
_ C
c H 2 + a'
x
-2 , „2
(30)
(31)
(32)
(33)
eci
Максимально возможную высоту купола H* выразим по уравнению (33) при t _ t*.
Если в процессе деформирования p _ const, значит следует интегрировать выражение (25), которое позволяет найти зависимость wAc _ wA (H), потом находится предельная высота купола H* при
wcAc _ 1.
Задав уравнение H _ H(t), можно найти wAc _ wA (t) из выражений (25) или (26), а функцию p _ p(t) по формуле (24).
Обычно разрушение оболочки реализуется в точке ее фиксации при х _ a, y _ 0. Рассмотрим напряженное и деформированное состояния в
этой точке:
12
vxRy х~ ^y ) ^rR^y^rRyyjx
s ea _
3
2( Rx + RxRy + Ry)
y
(34)
Учитывая соотношение
Hs xa _ Ry s xa
°ya F + H 1 + Ry ' выражение (34) можно переписать в следующем виде:
27
t
где
А *=■
®еа = DlaOxa> 3 i?v(i?.Y+i?v+l)
1/2
(36) (37)
2(1 + ДДДх+ДгДу+Ду)
Эквивалентная скорость деформации \се может быть вычислена по формуле
^2(Rx + RXRV + Rv){Rx(RAx -Rytfy)2
Iе = Ъео
+
SRxRxi2{Rx+Ry+\)
43RxRf(Rx + Ry + l) Принимая во внимание, что ^суа = 0 и £fza - -£>сха, найдем
(38)
где
С\а ~
\Сеа = С\сЛ ха •>
(RX+RXRV+RV)(RV+1)
Лу(Дт+Яу+1)
1/2
(39)
(40)
Определим повреждаемость в рассматриваемой точке а учетом, что в этой точке реализуется плоское напряженное и деформированное состояния:
d со'
]Аа _ CloDlaaxcA
ха
dt
= C\aD\aP
Н(Н2+а2)
4,pahoa2
(41)
71 р а Л пр <
Так как <5еа\сеа = , то = 1.
Данное выражение оптимально интегрировать совместно с уравнением для купола оболочки, так как в этом случае будет заранее известны значения давления р и высоты купола Н как функции времени.
Радиус кривизны окружности рх и толщина заготовки ha определяются по выражениям (1) и (10) соответственно.
Если же необходимо в точках х = а, у = 0 осуществлять деформирование с постоянной скоростью деформации = - const, то для этого необходимо давление, равное
pit)
2ое0 О"«fAa)m/"h0a2H
D
\а
(.Н2+а2)2
ьеа\ В
(42)
Связь между величинами Н и / можно установить из соотношения
eea = X>ea1t = i C1aХxa dt,
(43)
т.е.
t =
C
la
x
с
eal
, 2 HdH C1a Л H2 - a2 I —~-^ =-ln-
J H 2 + a2 xeal
a
2
(44)
Повреждаемость wAa будет определяться из уравнения
(Л Г\mln (Х-С \(n + 1)/n С se0(1-wAa) 1 (xea1)
W Aa =
Ac B ^np a ^
1/ n
(45)
Интегрируя это уравнение с начальными условиями t = 0, w Aa = 0,
получим
»Aa =1
О. c \(n + 1)/n n - m (xea1)
se0 t
n
Ac B np a ^
1 n
n /(n - m)
(46)
Время разрушения t* определяется из условия wAa = 1, т.е.
Ac в1 nn
^ np a " "
se0(n - m)(Xca1)
c )(n+1)/n
(47)
Если в процессе деформации р = const, то накопление повреждаемости определяется из уравнения (41). Величина H * вычисляется по уравнению (41) при w Aa = 1.
Напряженное и деформированное состояния заготовки в точке x = 0, y = b анализируются аналогично рассмотренному выше подходу, учитывая, что
Db
Rx s yb p
s xb=T+R7; s yb=hr y;
seb = D1bsyb ;
12
(48)
(49)
3 Ry (Rx + Ry +1)
xxb = 0 ; X zb = Xvh ;
2(1 + Ry)(Rx + RxRy + Ry)
2 (Rx + RxRy + Ry)(Rx +1)
Xeb = C1bX vb ; C1b =
yb
zb •'yb ' 12
3 Rx (Rx + Ry +1) 29
(50)
1
t
Полученные нами уравнения для оценки процесса деформирования квадратной листовой заготовки в изотермических условиях, зафиксированной по контуру, разрешают нам установить влияние парметров нагру-жения, геометрических характеристик исходной заготовки, механических характеристик материала заготовки на напряжения и деформации, силовые параметры деформирования и повреждаемость при данном процессе [1, 4].
Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания №2014/227 на выполнение научно-исследовательских работ Министерства образования и науки Российской Федерации на 2014-2020 годы и грантов РФФИ № № 16-48-710016 и 16-08-00020.
Список литературы
1. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.Н. Ларин [и др.] / под ред. С.С. Яковлева. М.: Машиностроение. 2009. 352 с.
2. Ларин С.Н. Изотермическая свободная пневмоформовка элементов ячеистых панелей квадратного поперечного сечения из анизотропного материала // Известия Тульского государственного университета. Механика деформированного твердого тела и обработка металлов давлением. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 152-162.
3. Ларин С.Н. Пневмоформовка ячеистых панелей из анизотропного материала // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 51-61.
4. Яковлев С.С., Ларин С.Н., Трегубов В.И. Изотермическая пневмоформовка элементов ячеистых многослойных листовых конструкций из анизотропных высокопрочных материалов в режиме ползучести / под ред. С.С. Яковлева. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 173 с.
5. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.
6. Оценка предельных возможностей формоизменения при стесненном деформировании анизотропной листовой заготовки в квадратную матрицу / С.Н. Ларин [и др.] // Известия Тульского государственного университета. Актуальные вопросы механики. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С. 177-183.
Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., тр/-Ы1а@,гатЫег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Платонов Валерий Иванович, канд. техн. наук, доц., тр—и1а@,гатЫег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Бессмертная Юлия Вячеславовна, канд. техн. наук, доц., тр/-Ы1а@,гатЫег.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MA THEMATICAL MODEL ISOTHERMAL FREE DEFORMA TION OF SLAB ANISOTROPIC MATERIAL IN A SQUARE MATRIX MODE CREEP
S.N. Larin, V.I. Platonov, Y. V. Bessmertnaya
The results of mathematical modeling of isothermal deformation free slab of anisotropic material in a square matrix in creep mode. These relations in the future will allow to analyze the influence of the loading of the law, the geometric dimensions of the workpiece, the anisotropy of the mechanical properties of the original material on the stress and strain state of the power modes and limits of the test process pnevmoformovki isothermal mode transient creep associated with the accumulation of micro.
Key words: pnevmoformovka, matrix, sheet blank, free deformation.
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Platonov Valeriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Bessmertnaya Yuliya Vyaceslavovna, candidate of technical science, docent, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.983
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕНСИВНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ВЫТЯЖКЕ С УТОНЕНИЕМ
С.С. Яковлев (мл.), В. А. Коротков
Описано моделирование процесса интенсивной пластической деформации при вытяжке с утонением стенки при использовании программы QForm 7. Выявлены особенности течения металл при вытяжке с утонением через матрицу с периодически изменяющимся профилем рабочего пояска. Сделан вывод о возможности многократного использования матрицы с периодически изменяющимся профилем для получения дополнительных сдвиговых деформаций.
Ключевые слова: интенсивная пластическая деформация, моделирование, матрица с периодически изменяющимся профилем, напряжения, деформации.
В настоящее время известно достаточно много способов пластического структурообразования металлов методами интенсивной пластической деформации [1, 2]. В основном эти методы используются при кручении, всесторонней ковки, равноканальном угловом прессовании и т.д. Сущность упомянутых способов заключается в многократной интенсивной пластической деформации сдвига обрабатываемых материалов с получением мелкозернистой структуры. В холодной штамповке интенсивная
