CC BY
30
УДК 655.344
С. Н. ЛИТУНОВ А. В. ТИТОВ
Омский государственный технический университет
К ВОПРОСУ О МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕЧЕНИЯ КРАСКИ В ПИТАЮЩЕЙ ГРУППЕ КРАСОЧНЫХ АППАРАТОВ ОФСЕТНЫХ МАШИН
Строится модель течения краски в питающей группе красочного аппарата офсетной машины, основанная на модели течения невязкой жидкости. Модель построена с использованием теории конформных отображений и позволяет проводить визуальный анализ течения, а также качественную оценку распределения давления в зоне течения краски в зависимости от параметров работы машины.
Ключевые слова: офсетная печать, короткий красочный аппарат, идеальная жидкость, функция тока, потенциал скоростей
Введение. Современное полиграфическое производство характеризуется высокой конкуренцией не только среди полиграфических предприятий, но и между способами печати. Это относится, прежде всего, к некоторому противостоянию между офсетным и электрографическим способами печати в области небольших тиражей. Для повышения конкурентоспособности офсетной техники разработчики применили красочный аппарат, п который входитв качестве дукторного — анилоксовый цилиндр и всего один раскатной вал. Такой красочный аппарат позволяет сократигь время выхода на режимы печати и значительно сократить технологические отходы. Однако этот красочный аппарат имеет недостаток, который заключается в отсутствии зональной регулировки подачи краски. Несмотря на заявления изготовителей печатных машин о том, что в данном случае зональная регулировка краски не нужна, анализ оттисков, полученных на машине с указанным красочным аппаратом, показывает, что это справедливо только при печатании сюжетов, имеющих насыщенность выше среднего. На светлых участках изображения, где площадь печатающих элементов мала, наблюдается избыток краски, который искажает градационные и цветовые характеристики. Для решения этой проблемы было предложено анилоксовый вал изготовить С упругой покрышкой, на поверхности которой расположены углубления необходимого размера и расположения. В качестве упругого материала возможно использовать фотополимер или резину, на поверхности которых ячейки могут быть получены фотомеханическим способом или методом лазерного гравирования соответственно. Особенность работы питающей группы в данном случае заключается в том, что давление, возникающее при движении краски, деформирует не только ракель, но и саму упругую оболочку. Это приводит к нелинейности размеров зазора между ракелем и упругой покрышкой и изменению толщины красочного слоя в зависимости от скорости вращения дуктора. Для преодоления этого препятствия можно рекомендовать изменение усилия
прижима ме таллического ракеля к упругой оболочке в зависимости от скорости печати, для чего хорошо подходят стандартные устройства регулирования зональной подачи краски с автоматическим приводом. Однако для использования таких устройств необходимо создать математическую модель, которая позволила бы определять усилие прижима в зависимости от параметров машины и краски и режимов печатания. Первым шагом в разработке такой модели является моделирование течения краски в красочном ящике.
Постановка задачи. Для расчета гидродинамического давления, возникающего при движении краски в питающей группе красочного аппарата использовалась модель движения идеальной (невязкой) жидкости. Для построения модели сделаем ряддопу-щений, обоснованных в работе 111:
— краска является несжимаемой жидкостью;
— течение жидкости является стационарным и рассматривается в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра;
— цилиндр и ракель являются абсолютно жесткими;
— количество краски остается постоянным;
— зазор между цилиндром и ракелем постоянный;
— течение краски является потенциальным.
Для описания движения идеальной жидкости используют уравнение Эйлера, которое после преобразований может быть приведено к более простому виду, получившему название интеграла Бернулли [2]:
где и — потенциал массовых сил, V = >/и* + V1 , А — некоторая постоянная величина. Рассматриваемое течение с учетом сделанных допущений является плоским, установившимся, потенциальным движением идеальной, однородной, несжимаемой жидкости. Для этого случая величина А становится постоянной в любой точке жидкой массы.
В случае рассмотрения плоского случая движения испязкой жидкости, условие потенциальиости приводит к тому, что движение жидкости характеризуется двумя функциями (3]:ф — потенциалом скорости иТ- функцией тока, которые связаны со скоростью следующими зависимостями:
у = й<р + Лр сіх сіу
с/ф ^ СІЧ' СІХ сіу
сир
ау
Дф _ , сир _ сі^ |2)
СІХ
Уравнение (2) позволяет применить для описания теорию функции комплексной переменной. Согласно этой теории, поток характеризуется комплексным потенциалом ы(г) = ф + ЛР, производная которого представляет собой комплексную скорость (4). Таким образом, задача по моделированию по тока на начальном этапе сводится к отысканию такого комплексного потенциала, картина линий тока которого соответствует поставленной задаче.
Решепие. Одним из распространенных способов моделирования является моделирование течения в бесконечном потоке жидкости. Для моделирования обтекания цилиндра воспользуемся свойством суперпозиции потоков, который позволяет алгебраическим сложением из простых течений получить сложное. Для этого рассмотрим поток, состоящий из суммы поступательного потока и диполя, имеющих комплексные потенциалом <о1(г) = V* • г-е-” и <й2(г) - К. •
Я2
соответственно, где 7. — комплексная кон-г
станта, а —угол, под которым натекает поток, Я — некая константа, Уг — скорость поступательного потока на бесконечности. При сложении комплексных потенциалов диполя и сплошного потока образуется картина линий тока, которая трактуется как обтекание бесконечным поступательным потоком кругового цилиндра. Линия тока в виде окружности радиуса /? представляет собой замкнутую линию, и ее можно трактовать как непроницаемую границу. Течение жидкости внутри цилиндра для данной задачи не имеет физического смысла и рассматриваться не будет.
Вихреобразование в идеальной жидкости невозможно ввиду отсутствия внутреннего трения, однако если поместить в течение вихрь, то полученное суммарное течение хорошо согласуется с практикой. Для моделирования вихря воспользуемся выражением, представляющим собой комплексный потенциал и функцию тока вихревой нити (далее вихрь) с интенсивностью С и центром в точке гх:
<ол(г) = С1(1п(г-г1),
%(х,у) = С, • !п х - х, )2 + (у - у,/2.
Введение в поток вихря вне окружности радиуса К искажает границы цилиндра. Для восстановления формы окружности необходимо ввести в поток систему компенсирующих вихрей. Один из них находится в центре цилиндра с направлением вращения, совпадающим с направлением вращения индуцирующего вихря. Второй вихрь расположен в точке, отраженной от центра прямого вихря относительно цилиндра и направлением вращении, противоположным направлению вращения прямого вихря. Положительное значение циркуляции соответствует вращению вихря против часовой стрелки. Далее будем
Рис. I. Обтекание цилиндра сплошным потоком с прямым и отраженными вихрями:
1 - линии тока сплошного потока;
2 - центр диполя и отраженного в центре вихря;
3 - центр прямого вихря;
4 - центр отраженного относительно окружности вихря: 5 - линия тока в виде окружности; Д=2; С,=1; У_=1
называть вихрь, индуцированный вращением цилиндра прямым, а систему компенсирующих вихрей отраженными вихрями. Комплексный потенциал и функция тока системы отраженных вихрей имеет вид
^ ____
(оА(г) = -С1 і - /л |--я,
%іх.у) = -Сгі1п
-X,
+ у«-
Я2у х2 + у2
ттщ; г, — сопряженная относительно х, точка комплексной плоскости, Я — радиус цилиндра. На рис. 1 показано обтекание цилиндра поступательным потоком в присутствии вихря и системы отраженных вихрей. Бесконечный поступательный поток 1 набегает слева направо со скоростью в бесконечности Уф, линия тока 5 имеет форму окружности радиуса К. Дойдя до окружности, поток плавно огибает её и уходит в бесконечность. В точке 3 располагается центр вихревой нити, под действием циркуляции которой соседние слои затягиваются по направлению вращения. Отрицательное значение циркуляции соответствует вращению жидкос ти против часовой стрелки (показано стрелкой). Для восстановления искажения окружности, возникающей вследствие введения в поток вихревой нити, в точку 4 помещен отраженный относительно окружности вихрь, а в точку 2 вихрь, центр которого совмещен с центром окружности.
Ракельный нож представляет собой тонкую пластинку. Для моделировании обтекания ракельного ножа воспользуемся обратным преобразованием Жуковского:
г = Цг + №-си), 2 '
(3)
где с = л/п2 -Ь2 . Данное преобразование конформно отображает окружность на эллипс с осями а и Ь. Если положить одну из полуосей эллипса раной нулю, то он выродится в линию длиной 2а. Для осуществления преобразования необходимо решить уравнение (3) с комплексными потенциалами слагаемых, входящих в суммарный поток. В результате преобразования получены выражения для поступательного потока,
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК № 1 (.7) 2010 ______________________________________________________________________________ИЦАПЛЬСЮІ ДІЛО ПОЛИГРАФИЯ
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК № 1 ПТ) 2010
%
Рис. 2.Обтекание пластинки поступательным потоком и присутствии вихря: I - вихревая нить; 2 - пластинка; г,(*1; 2)
Рис.З. Обтекание пластинки поступательным потоком в присутствии вихря и цилиндра с циркуляцией:
I - цилиндр; 2 - вихрь; 3 - пластинка; Я=5; С,=1
С07
диполя, прямот вихря и системы отраженных вихреи соответственно:
«, Л(zWz•■,-cг)■v>•e-*■ =v..".(z-VF^).
-с3 )-*,), ,(2)=с,7п^1(г - л/г1 -С2)- ,
СО
(0
Выделив из полученных выражений мнимую часть, получим функциютокаотображенноготечеиия:
V I/ + р СО50) +
^,(Х,у)=и I-------*---!---------
+ соя а - (у - у, + Р ■ ©)
]■
гдеР = \[(х' -у2-с2)+ (2хуУ , 0 = агс1д —г^т—?•
х -у -с
В виду того, что полученные выражения од!югиппы, функции тока остальных потоков не будут приведены. На рис. 2 показано обтекание пластинки длиной 2а —0 поступательным потоком, направленным под углом а = 30* к горизонтальной оси в присутствие вихря интенсивностью С, = 0,8. Стрелками показано напрапление движения жидкости. Поток, набегающий слева направо, доходит до левой кромки пластинки, огибает ее с двух сторон и срывается с другого конца. Циркуляция вихря 1 имеет положительный знак и соответствует вращению против часовой сгролки. Вследствие влияния на поток циркуляционного потока, создаваемого вихрем, линии тока расположенные возле центра вращения изгибаются, что соответствует вовлеканию в процесс вращения близлежащих слоев жидкости. Отмстим, что внутри литши, моделирующей пластинку, находятся отраженные вихри, компенсирующие искажение, возникающее от действия внешнего вихря 1.
Для моделирования кругового цилиндра, имеющею радиус который моделирует дукторный ци-
линдр, помес тим диполь в точку 7.^ комплексной плоскости. Угол между касательной к круговому цилиндру, проведенной в точке касания цилиндра и ракеля, обозначим р. Между окружностью и пластинкой зададим расстояние, равное с1.
Введение в поток еще одного диполя вызывает появление линии тока в виде окружности радиуса что сопряжено с необходимостью введения в поток дополнительной системы вихрей, отраженных относительно этой окружности. Комплексный потенциал диполя с центром в точке 7,2, моделирующий окружность радиуса /?2, имеет вид [5]:
г +
Комплексный потенциал отраженного в центре вихря:
а>,
Комплексный потенциал отраженного относительно окружности вихря аналогичен предыдущему и отличается лишь положением центра на комплексной плоскости, который определяется координатой 7.г.
Для моделирования вращения цилиндра с центром в точке гг поместим в центр окружности вихрь с интенсивностью С2 и отрицательной интенсивностью. При этом для сохранения профиля пластинки требуется введение в поток системы отраженных относительно вихря в центре окружности вихрей. После выполнения указанных операций суммарный поток включает в себя следующие элементарные потоки:
— поступательный поток, направленный подуглом к оси ОХ;
— диполь в начале координат;
— диполь в точке г./,
— прямой вихрь с центром в точке г, с положительной циркуляцией;
— система отраженных от пластинки и от цилиндра вихрей, вызванная внесением п поток вихря с цен тром н точке г
— вихрь в центре окружности;
— система отраженных от пластинки вихрей, вызванная внесением в поток вихря в точке гг
На рис. 3 показано суммарное течение, полученное при сложении вышеуказанных потоков. Данная картина представляет собой обтекание цилиндра поступательным потоком, набегающим слева направо со скоростью на бесконечности . В потоке распо-
Рис. 4. Эволюция линий тока прн различных параметрах течения:
1 - профиль цилиндра; 2 - пластинка; 3 - центр вихревой нити; 4 - линия тока, ограничивающая количество краски
Рис. 5. Распределение давления в плоскости ракеля:
I - максимум давления, соответствующий краю ракеля; 2 - максимум давления, соответствующий вихрю; 3 - падение давления в зазоре; 4 - давление на линии цнлиндри
ложены пластинка, параллельная оси Ох с центром в начале координат, цилиндр радиуса К с центром в точке 22 и пара вихрей, один из которых совмещен с центром цилиндра и имеет отрицательное направление вращения, и вихрь в точке г2с положительным направлением вращения. Поток, дойдя до кругового цилиндра, плавно огибает его, и под действием циркуляции цилиндра часть жидкости затягивается в зазор между цилиндром и пластинкой. Поддействием циркуляции вихря 2 поток изгибается, но. пройдя зону воздействия, восстанавливает свою 1раекторию.
В реальном красочном ящике краска занимает ограниченный объем, при этом ее ограничивают цилиндр, ракель и граница с воздушной средой, так называемая свободная поверхность. Для ее моделирования поместим центр вихревой нити в точку, где предположительно находится центр циркуляционного потока при ограниченном количестве краски. Направим поступательный поток по биссектрисе угла атаки ракеля к цилиндру в направлении зазора. Увеличенный фрагмент течения при различных параметрах показано на рис. 4, где показано обтекание цилиндра 1 и пластинки 2, угол атаки которой к ци-
линдру, составляет 45*. На рис. 4А центр вихревой нити 3 был помещен в точку своего предполагаемого нахождения при большом количестве краски в красочном ящике. При значении циркуляции вихревой нити в, = 3,7 на картине появилась замкнутая линия тока 4. Так как скорость вдоль линии тока направлена по касательной к ней, то отсутствует расход жидкости через линию тока. Таким образом, можно принять линию тока 4 как границу свободной поверхности краски. Замкнутые линии тока внутри рассматриваемой области свидетельствуют о циркуляции краски, что хорошо согласуется с практическими наблюдениями. На рис. 4Б угол атаки ракеля к цилиндру остается без изменений, а вихрь расположен в точке г.х (— 3,5; 1). Такое расположение вихря соответствует малому количеству краски в красочном ящике. На рис. 4В — Г показаны картины течения при угле атаки ракеля к поверхности цилиндра, равном 20е. На рис. 4В линия тока 4 моделирует свободную поверхность краски при её малом количестве в красочном ящике. Такая линия тока была получена в случае расположения вихревой нити в точке 7.2{— 4; 0,4) и значении циркуляции С, = 1,7.11а рис. 4Г показаны линии
ИЗДАТЕЛЬСКОЕ Д£ЛО ПОЛИГРАФИЯ
тока при большом количестве краски при параметрах течения 7.г{ — 2,5; 0,8) и С, = 3,7.
На рис. 5А показано распределение гидродинамического даплепия, рассчитанного по полученным значениям скорости, при угле атаки, равном 45*. Давление растет по направлению к цилиндру и в точке 1 соответствующей краю ракеля достигает своего максимального значения. Вточке 2 расположен центр вихревой нити с интенсивностью равной половине циркуляции цилиндра. Кривая 3 соответствует падению давления в зазоре между ракелем и цилиндром 4. На рис. 5Б интенсивность вихря увеличена в 2 раза, что привело к увеличению давления в 2,5 раза. Такое распределение давления может не соответствовать реальному, однако позволяет провести качественный анализ зависимости давления от параметров течения.
Направление дальнейших следований. Полученные зависимости позволяют строить линии тока и проводить качественную оценку течения. Дальнейшие исследования будут проводиться в направлении определения деформации ракельной пластинки под действием давления, возникающего в зазоре между круговым цилиндром и тонкой пластинкой. После э того можно будет присгу иать к определению деформации упругой покрышки дукторпого цилиндра.
Выводы
1. С помощью конформных отображений удалось получить выражение, с помощью которого можно получить линии тока изучаемого течения.
2. Картины линий тока показали, что существует возможность подобрать режимы течения, при которых в пространстве между круговым цилиндром и пластинкой сущестнуют замкнутые линии тока, моделирующие свободную поверхность жидкости.
3. Распределение давления в зоне течения выявило качественное совпадение расчетного давления и реального.
4. Для получения давления, соответствующего давлению в реальном течении, необходимо с помощью натурного эксперимента отыскать коэффициенты, входящие в выражения, описывающие течение краски.
5. Дальнейшие исследования необходимо проводить в направлении моделирования деформации ракельной пластинки и упругой покрышки дуктор-ного цилиндра.
Библиографический список
1. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и тенло обмен / Д. Андерсон. Дж. Таннехнлл. Р. Плетчер — М. : Мир, 1900 - Т.1. - 384 с.
2. Емцеь, Б.Т., Техническая гидромеханика / Б.Т. Емцев. — М.: Машиностроение, 1978. — 463 С.
3. Александров. В.Л. Техническая гидромеханики / В.Л. Александров. - М.:А:ОГИЗ. 1946. - 432с.
4. Милн-Томсон. А.М. Теоретическая гидродинамика / Л.М. Милн-Томсои. — М.: Изд-во Мир, 1964. — 178 с.
5. Литунов. С.11. Методы расчета печатных аппаратов трафаретных машин : монография / С.Н. Литунов. — Омск : ОмГТУ, 2007. - 232 с.
ЛИТУНОВ Сергей Николаевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Оборудование и технологии полиграфического производства». Адрес для переписки: e-mail: [email protected] ТИТОВ Андрей Владимирович, ассистент кафедры «Оборудование и технологии полиграфического производства».
Статья поступили в редакцию 27.11.2009 г.
@ С. Н. Литунов, А. В. Титов
Книжная полка
Могинов, Р. Г. Проектирование полиграфического производства [Текст]: учеб. для вузов но специальности 261202.65 «Технология полиграфического производства» / Р. Г. Могинов; Моск. гос. ун-т печати. — М.: Изд-во МГУП, 2008. — 371, [1] с.: рис., табл. - Библиогр.: с. 367-368. — ISBN 978-5-8122-0935-3.
В учебнике изложены основы проектирования полиграфических предприятий с учетом новейших достижений отечественной и зарубежной техники и технологии полиграфического производства. Рассмотрены современные подходы к решению задач проектирования.
Особое внимание уделяется этапам производс твенного процесса, в результате которых получается готовая продукция, взаимосвязи количественных и качественных изменений объекта производства, взаимодействию основной и вспомогательных систем, пос троению материальных, энергетических и информационных потоков и критериальной оценке принимаемых решений.
