CC BY
32
О.М. Булгаков,
доктор технических наук, доцент
В.В. Лупандин,
Воронежский государст венный педагогический университет
С.А. Петров
К ВОПРОСУ О ИНДУКТИВНОМ ЭКВИВАЛЕНТЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА C ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
TO THE QUESTION ON THE INDUCTIVE EQUIVALENT FOR RECTANGULAR CROSS-SECTION CONDUCTOR
Решена задача нахождения радиуса индуктивного эквивалента прямолинейного проводника с прямоугольным поперечным сечением. Рассмотрен случай наведения потока самоиндукции в прямоугольном участке контура примыкающему к проводнику в приближении равномерного распределения тока по сечению проводника.
The problem of a finding of an inductive equivalent radius for a rectilinear conductor with rectangular cross-section is solved. The case of a self-induction stream in a rectangular site of a contour adjoining a conductor in approach of uniform current distribution on conductor section is considered.
Для проводников сложной конфигурации или сложным образом ориентированных относительно контура, в котором вычисляется магнитный поток, в работе [1] было введено понятие индуктивного эквивалента проводника (ИЭП). ИЭП — прямолинейный проводник, расположенный в одной плоскости с контуром, в котором вычисляется поток, создаваемый током, протекающим в рассматриваемом проводнике, имеющем такой же геометрический индуктивный фактор (ГИФ) [2] по отношению к данному контуру, что и исходный проводник. ГИФ представляет собой отношение величины магнитного потока, наведенного в участке площади некоторого замкнутого контура к току, протекающему по отрезку того же или другого замкнутого контура. Понятие ИЭП призвано упростить расчеты магнитных потоков и ГИФ в контурах за счет унификации вычислительных процедур, основанных на минимальном количестве алгебраических операторов.
Рассмотрим прямоугольный контур шириной И и длиной і, расположенный в створе проводника такой же длины с прямоугольным поперечным сечением шириной w и высотой ё в плоскости, перпендикулярной плоскости данного сечения так, что плоскость контура делит сечение проводника на две одинаковые половины высотой ё/2 (рис.1).
Рис. 1. К нахождению ИЭП прямоугольного поперечного сечения при низкочастотном приближении
Для случая низких частот, когда ток равномерно распределен по сечению проводника (рис.1), в [3] были получены выражения для потока самоиндукции в контуре и ГИФ проводника по отношению к контуру:
Ф,
п
п
I
в(к + м)- в(к) - в(м) - <9(о)
где
в( X) =
то
7Рмй
Хс1
-12 + X2 + й2 /4-^Х2 + й2 / 4)-1 ■ 1п
С1+ Л¡12 + X2 + й2 /4 V
4х2 +а2 / 4
+
))
+
X (X2 ,,2 й/2 +4ї2 + X2 + й2 /4 1 Х\ І й/2 + л/X2 + й2 /41
-------31 1п ---------------------------------------------, --1п ---------------------
I 3 ) І УІ12 + X2 і 6 ^ х У
2
+ — 1п 48
V
й\ СX + ^12 + X2 + й2 /41 '2
+
4
1 й 1п(X + л/12 + X2 + й2 /4)+ X21
1 С й
2 ¿X ' +
А
+ ат^
- атеі%
С
й
С
2(1 + X +л/12 + X2
11 С
- 2 ат^
) V
11 +й/2 + У12 + X2 + й2 /41 X
С1+У12 + X2
X
+1
))
й
2 X
— агсіЕ\— | - 2arctg
21 + X + V12 + X2
11
й
412 ІX + й/2 + ^12 + X2 + й2 /41
ат^
3
1
X + 412 + X
(1)
(2)
2
2
1
Будем искать ИЭП в виде прямолинейного проводника круглого сечения длиной
I, радиуса Я, расположенного по отношению к контуру в соответствии с рис. 2.
Рис. 2. Индуктивный эквивалент проводника прямоугольного поперечного сечения ГИФ предполагаемого ИЭП выражается формулой
(/ +У12 + Я2 )(к + Я) _ к
фэ
2р
РФ _1‘
{ Ц +4Ц2 + (к + Я )2 ^ • Я
I
(3)
ром
Расчетное выражение (3) гораздо проще выражения (1).
Задача нахождения ИЭП сводится к вычислению радиуса эквивалента Я, при кото-
(4)
Рэ (I, к,Я) = ¥п(I,к,Ж,а)
где Я, в свою очередь, зависит от четырех переменных:
КрВДдаЬ). (5)
Для упрощения вычислений вместо формулы (3) воспользуемся приближенным выражением (6), полученным для случая 1>>Я:
к
Ркп =
тЦ
2р
I1 + у + 1п-
Ц 1 + -
Я
1 + Л 1 +
_ к _ 1
кЦ
Я
(6)
Погрешность формулы (6) относительно (3) не превышает 0,6% [6].
Из условия равенства ГИФ исходного проводника БП и его индуктивного эквивалента БЭ получаем трансцендентное уравнение
к =------, (7)
Я(а, ц ,ж, к) =
Ц+ 7 Ц2 +к2
21
• ехр
2р • Епп (а, Ц ,Ж, к)
к
к
1 + -т +1 + -
Ц
1
где ГП(ё,1^,Ь) вычисляется по формуле (1).
На рис. 3 приведены рассчитанные по формуле (7) зависимости радиуса ИЭП прямоугольного поперечного сечения шириной W=0,4мм, толщиной ё=0,2мм, от ширины контура И.
На рис. 4 приведены рассчитанные по формуле (7) зависимости радиуса ИЭП прямоугольного сечения длиной Ц=2мм от толщины проводника ё. Ширина контура И=0,25мм.
Из рис. 4 видно, что при малых ё радиус эквивалента Я довольно сильно зависит от W/d. Соответственно при моделировании индукционных взаимодействий токов, протекающих в системах соединений сложной конфигурации, при малых толщинах проводящих слоев определяющим параметром является ширина проводника W.
0,2 Я
2
0,15
0,1
0 2 4 6 8 10 И, мм
Рис.3. Радиусы ИЭП прямоугольного сечения: 1 — Ц=10мм; 2 — Ц=5мм; 3 — Ц=2,5мм; 4 — Ц=1мм
0 1 2 3 4 5 6 ё, мм
Рис.4. Радиусы ИЭП прямоугольного сечения: 1 — W=1 мм;
2 — W=0,5мм; 3 — W=0,25мм; 4 — W=0,1мм
Анализ графиков, приведенных на рис.3, свидетельствует о значительном влиянии на радиус ИЭП длины проводника, в особенности для тех случаев, когда 0,2 Ц<И<Ц.
ЛИТЕРАТУРА
1. Данилин В.Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ / В.Н. Данилин, А.И. Кушниренко, Г.В. Петров. — М.: Радио и связь, 1985. — 192 с.
2. Антенны и устройства СВЧ / под ред. Д.И. Воскресенского. — М.: Радио и связь, 1981. — 432 с.
3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей: справочная книга / П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. — Л.: Энергоатомиздат, 1986. — 488 с.
4. Булгаков О.М. К расчету индуктивности контуров, ограниченных проводниками прямоугольного сечения / О.М. Булгаков, Б.К. Петров // Вестник Воронежского института МВД России.— 2005.— №2(21). — С. 17—21.
5. Твердотельная электроника и микроэлектроника: межвуз. сб. науч. тр. /
ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.— Вып. 6. — 253 с.
6. Булгаков О.М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ и СВЧ транзисторах / О.М. Булгаков, Б.К. Петров. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. — 253 с.
