CC BY
53
Вестник Воронежского института МВД России №1 / 2015
НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
О.М. Булгаков, М. Ю. Пакляченко
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОЧИХ ТОКОВ В КОНСТРУКЦИИ МОЩНОГО ВЧ (СВЧ) ТРАНЗИСТОРА
SYSTEM OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS FOR FINDING THE OPERATING CURRENTS DISTRIBUTION IN THE POWER HIGH-FREQUENCY AND MICROWAVE TRANSISTOR
Предложена простая в программной реализации методика формирования матрицы коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений для нахождения распределения рабочих токов и мощностей по отдельным структурным элементам мощных ВЧ и СВЧ транзисторов. Показано, как учёт особенностей конструкций транзисторов может способствовать упрощению записи и решения таких систем уравнений.
A simple software implementation methodic of forming the coefficient matrix of combined linear algebraic equations for the operating currents and capacities distribution of power high-frequency and microwave transistors individual structural elements is proposed. The considerations of transistors construction can optimize the recording and solving such systems of equations is shown.
Одной из проблем создания высоконадежных мощных ВЧ и СВЧ транзисторов и усилительных каскадов на их основе является обеспечение равномерного распределения тепловой мощности, выделяющейся в отдельных транзисторных структурах (ТС) [ 1].
Необходимым условием решения данной проблемы является создание достоверных методик расчета распределения рабочих токов по транзисторным ячейкам (ТЯ) [2], обеспечивающих разработку технических решений, направленных на повышение однородности рабочих токов отдельных ТЯ [3] или формирование такого распределения по ТЯ входного тока транзистора, которое бы привело к повышению однородности максимумов температур ТС, определяющих предельное значение рассеиваемой тепловой мощности Pрас, а значит — выходной мощности Рвых транзистора или усилительного каскада.
Будем считать транзисторный кристалл состоящим из отдельных ТС, т.е. элементов конструкции максимально возможного размера, которые можно представить моделью дискретного транзистора. В свою очередь, ТЯ — элемент конструкции транзистора, включающий в себя ТС и проводники, соединяющие металлизацию активных областей с электродами транзистора.
238
Научные сообщения
Поскольку все ТЯ соединены параллельно по входу, комплексные амплитуды первых гармоник (КАПГ) входных напряжений в ТЯ равны между собой:
U„,. = и.
вх к">
i, к = {1,..., N},
(1)
где N
— количество ТЯ. В свою очередь,
U вх i U тс i Uи i ,
(2)
где Umc г— КАПГ падения напряжения на входном сопротивлении ТС £вх i, Uи (—
КАПГ за счет наведенной ЭДС индукции во входной цепи ТЯ, или входном контуре, образованном проводниками, соединяющими металлизацию активных областей ТС с входным электродом и электродом «нулевого» потенциала транзистора («эмиттербаза», «затвор-исток» и др.):
U • е]а = -s • eJat =
— (Ф, • еа ) = dt
(3)
Здесь su г и Ф — КАПГ ЭДС самоиндукции и магнитного потока, наводимых во входной цепи i-й ТЯ.
Представим ф в виде
ф = ФСИ i + ФВИвх i + ФВИвых i,
(4)
где Фси i, Фви вх i и Фви вых i — КАПГ соответственно потока самоиндукции, потоков взаимоиндукции от входных контуров ТЯ и потоков взаимоиндукции от выходных контуров ТЯ во входном контуре i-й ТЯ:
(5)
ФСИ i Fii * 1вх i ,
ФВИ вх i 11 Fk i вх к ,
к=1 к
N *
Ф*ВИ выхi 1 1 Fni вых n *
n=1
(6)
(7)
Здесь I вхк и Imixn — КАПГ токов, протекающих соответственно во входном и выходном
контурах к-й и n-й ТЯ, Fki и Fn i* — геометрические индуктивные факторы (ГИФ) [2] соответственно входного контура к-й ТЯ и выходного контура n-й ТЯ по отношению к входному контуру i-й ТЯ. ГИФ является обобщением понятий индуктивности и коэффициента взаимной индукции: при равенстве индексов в величине Fk i она имеет смысл индуктивности контура, во всех остальных случаях — коэффициента взаимной индукции.
С учетом того, что КАПГ входного и выходного токов транзистора связаны между собой частотным коэффициентом передачи [1]
Кых =1 вх • h2i(a) =1 вх • (а(а) + jb(а)), (8)
очевидно, что
1 выхi = 1 вхi ■(а(а) + jb(а)) i =1N * (9)
Перепишем равенство (2) с учетом выражений (3)—(7), (9):
239
Вестник Воронежского института МВД России №1 / 2015
или
г = i вх г ■ Z вх г + j®
Fn ■ i вхг +Z Fki ■i вх k + + jb (®))Ё Fni * ■1
k=1
k
пг вх n
U вх г = 1 вх г ■ (Re{^ вх г } + j Im{Z вх г })+ j®
N
-®b(®)Z F п г * ■1 вх п •
N
N
Z ^г ■1 вх k + Ч®^ Fm ■1 вх п
k=1 п=1
(10)
(10а)
Учтем, что
N
Z i = i .
вх г вх
(11)
где
Отсюда:
N
1 вх = 1 вх
г=1
=■
/
\L
(12)
(12а)
Таким образом, нахождение распределения по ТЯ входного тока iвх, а через него — выходного тока i вых, входной и выходной мощности Рвх и Рвых, сводится к нахождению коэффициентов .
Запишем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), составленную из уравнений вида (10а):
ивх г = 1 вх г ■ (Re{^ вх г } + j Im{Z вх г } + j®' (fk г ' +a(®) ■ Fгг ‘ )- ® ■ Ь(®) ■ Fгг ‘ ) +
вх
N
+ Z 1 вх k ■ Ь®(Кг + a(®) ■ Fke * )- ® ■ b(®) ■ Fke *
г, k = 1, N
(13)
k=1 k
В зависимости от конструкции транзистора количество уравнений вида (13) в СЛАУ может быть как равным количеству ТЯ N, так и кратным этому количеству. Показатель кратности определяется количеством входных контуров, т.е траекторией растекания входного тока по элементам конструкции входного электрода и электрода общего вывода транзистора, включая контактную металлизацию активных областей ТС и обкладки конденсаторов LC-звеньев входной согласующей цепи. Так, для мощных ВЧ и СВЧ транзисторов без внутреннего входного согласующего LC-звена (КТ 909, КТ 922, КТ 934 и др. [ 4]) за счет присоединения проводника общего вывода к балке образуется два контура растекания входного тока [2], т.е число уравнений (13) в СЛАУ оказывается равным 2N,по два на каждую ТЯ.
п=1
п=1
г =1
вх г
вх г
240
Научные сообщения
Для ВЧ и СВЧ транзисторов с внутренним входным согласующим LC-звеном (КТ 930, КТ 970, КТ 962, КТ 976, КТ 984 и др. [4]) контактная площадка металлизации общего вывода ТС соединена отдельными проводниками с балкой и нижней обкладкой конденсатора входного LC-звена, что приводит к увеличению количества уравнений (13) в соответствующей СЛАУ до 4N [2]. Некоторые допущения, например о низкой плотности тока в нижней обкладке указанного выше конденсатора и контактирующей с ней шиной металлизации, позволяют уменьшить количество таких уравнений до 3N [2,3], однако в целом задача составления и решения СЛАУ для нахождения распределения I ^ и I т1Х по ТЯ является крайне трудоемкой, особенно — в части учета потоков взаимоиндукции и нахождения соответствующих ГИФ в системах соединений, содержащих несколько десятков проволочных проводников. Тем не менее, ввиду регулярности конструкции мощных ВЧ и СВЧ транзисторов и наличия осевой симметрии в значительной их части, процедура записи уравнений вида (13) формализуема, трудоемкость ее алгоритмизации и разработки программ определяется лишь количеством известных (рассматриваемых) типов конструкций транзисторов и количеством элементов в них.
Упрощенное решение СЛАУ может быть достигнуто из следующих соображений:
1. Потоки взаимоиндукции входных и выходных контуров от разных ТЯ взаимно перекрываются и имеют разные знаки, что дает возможность пренебречь некоторыми из них совокупно, что ведет в суммах уравнений вида (13) значительного количества нулевых слагаемых.
2. Наличие в конструкциях мощных ВЧ и СВЧ транзисторов экранирующих поверхностей (участков металлизации кристаллодержателя, соединенных с электродами нулевого потенциала, металлического основания корпуса) приводит к ослаблению потоков взаимоиндукции от удаленных до рассматриваемого контура на расстояния, большие пяти его ширин, элементов настолько, что можно ими пренебречь без сколь-либо заметного ухудшения точности решения рассматриваемой задачи.
3. При наличии осевой симметрии в конструкциях мощных ВЧ и СВЧ транзисторов очевидно, что
1вх d-к = 1 вх d+к ’ (14)
где d = \N / 2~|; |~х~| — функция округления числа х в большую сторону.
В этом случае количество уравнений (13) в СЛАУ может быть уменьшено вдвое: i = 1, d (с учетом коэффициента кратности, определяемого типом конструкции транзистора).
Решение СЛАУ вида (13) может быть найдено известными методами [5,6].
С учетом комплексности уравнений и относительно большого порядка СЛАУ (N>20) наиболее простым с точки зрения алгоритмизации и программной реализации оказывается метод простых итераций и его модификации [7, 8]. При использовании итерационных алгоритмов для решения СЛАУ вида (13) наибольшую трудоемкость в программной реализации задачи нахождения распределения рабочих токов и мощностей по отдельным структурным элементам мощных ВЧ и СВЧ транзисторов будет составлять нахождение линейных коэффициентов матрицы СЛАУ, определяемых геометрией внутрикорпусных соединений транзисторов.
241
Вестник Воронежского института МВД России №1 / 2015
ЛИТЕРАТУРА
1. Проектирование и технология производства мощных СВЧ-транзисторов / В.И. Никишин [и др.]. — М.: Радио и связь, 1989. — 144 с.
2. Булгаков О.М., Петров Б.К. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ и СВЧ транзисторах. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. — 253 с.
3. Булгаков О.М. Некоторые приложения декомпозиционных моделей мощных ВЧ и СВЧ транзисторов на основе изоморфно-коллективного подхода. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2006. — 236 с.
4. Петухов В.М. Биполярные транзисторы средней и большой мощности сверхвысокочастотные и их зарубежные аналоги. Справочник. Т.4. — М.: КУбК-а, 1997. — 544 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и ин-жинеров) — М.: Наука, 1973. — 832 с.
6. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Philadelphia. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. — 528 p.
7. Булгаков О.М., Пакляченко М.Ю. Итерационный способ и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — №4. — С. 236—241.
8. Булгаков О.М., Пакляченко М.Ю. Способ ускорения сходимости структурноориентированного алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений // Вестник Воронежского института МВД России. — 2014. — №2. — С. 190—195.
REFERENCES
1. Proektirovanie i tehnologiya proizvodstva moschnyih SVCh-tranzistorov / V.I. Ni-kishin [i dr.]. — M.: Radio i svyaz, 1989. — 144 s.
2. Bulgakov O.M., Petrov B.K. Kompozitsionnyie modeli induktsionnyih vzai-modeystviy v moschnyih VCh i SVCh tranzistorah. — Voronezh: Voronezhskiy gosudar-stvennyiy universitet, 2005. — 253 s.
3. Bulgakov O.M. Nekotoryie prilozheniya dekompozitsionnyih modeley moschnyih VCh i SVCh tranzistorov na osnove izomorfno-kollektivnogo podhoda. — Voronezh: Voronezhskiy gosudarstvennyiy universitet, 2006. — 236 s.
4. Petuhov V.M. Bipolyarnyie tranzistoryi sredney i bolshoy moschnosti sverhvyisokochastotnyie i ih zarubezhnyie analogi. Spravochnik. T.4 / V.M. Petuhov. — M.: KUbK-a, 1997. — 544 s.
5. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike (dlya nauchnyih rabotnikov i inzhin-erov) — M.: Nauka, 1973. — 832 s.
6. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Philadelphia. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003. — 528 p.
7. Bulgakov O.M., Paklyachenko M.Yu. Iteratsionnyiy sposob i algoritm resheniya sistem lineynyih algebraicheskih uravneniy // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2013. — #4. — S. 236—241.
242
Научные сообщения
8. Bulgakov O.M., Paklyachenko M.Yu. Sposob uskoreniya shodimosti strukturno-orientirovannogo algoritma resheniya sistemyi lineynyih algebraicheskih uravneniy // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2014. — #2. — S. 190—195.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Булгаков Олег Митрофанович. Заместитель начальника по учебной работе. Доктор технических наук, профессор.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: [email protected]
Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473)2-735-290.
Пакляченко Марина Юрьевна. Адъюнкт кафедры информационной безопасности.
Воронежский институт МВД Рогсии.
E-mail: [email protected]
Россия, 394065 г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. 83204403845.
Bulgakov Oleg Mitrofanovich. The deputy chief on study. Doctor of technical sciences, professor. Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: [email protected]
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473)2-735-290.
Paklyachenko Marina Yurievna. Post-graduate cadet of the Information Security chair.
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: [email protected]
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. 89204403845.
Ключевые слова: ВЧ и СВЧ транзистор; ток; напряжение; система линейных алгебраических уравнений; комплексная амплитуда первой гармоники.
Key words: high-frequency and microwave transistor; current; voltage; combined linear algebraic equations; complex amplitude of the first harmonic.
УДК 621.382.3
243
