К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве L2(Bn) Текст научной статьи по специальности «Математика»

К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве (Вп)

А.Г. Данекянц

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам с однородными степени (-п) ядрами (см., например, [1-4], [7-8]). Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и обратимости, описаны банаховы алгебры, порожденные этими операторами, найдены критерии применимости проекционного метода, интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами ([2], [3]). В данной статье рассматриваются

операторы с радикальными осциллирующими коэффициентами вида |х|гд.

Подчеркнем, что операторы с однородными ядрами и радикальными (по крайней мере в окрестности точки х=0) коэффициентами находят применение в некоторых задачах математической физики.

В работе используются следующие обозначения:;

п

п — х е Яп : |х| <1}0п_1 — {х е Яп: |х| — 1}; |0п_1| ——п—ч" -площадь сферы оп_1.

Вп — {х е Яп : Ы <1}оп_1 — {х е Яп : |х| — 1}; |0п_1 — П . -площадь сферы 0п_1;

Г

п

ч2у

I пд гд 1п| х\

|х| — е 1 1 .

В пространстве (В) рассмотрим оператор (1)

(Л<рХх) — Хф(х) + а1 (х) | к (х, уф(у+ |х|гд а2 (х) | к2 (х, у)ф(у^у,

Вп Вп

х е Вп, где д е Я, д ^ 0, а е С(Ви), у —1,2, а функция к (х, у), у —1,2 удовлетворяет следующим условиям:

1) однородность степени (-п), то есть к (а(х), а(у)) — а пку (х, у), У а >0;

2) инвариантность относительно группы вращений Б0( п), то есть

kj (w(x), w(y)) = kj (x, y), Vw e SO(n);

n

3) суммируемость, то есть kj = J kj(el • y) |y| 2 dy < w, el = (l,0,...,)

Rn

Рассмотрим в L2 (Bn) интегральный оператор (2) (K<p\x) = J k (x, y )p(y )dy, x e Bn, ядро которого удовлетворяет условию (1).

Bn

Оператору A сопоставим оператор Л0, который определим формулой

Л°= XI + al (0) Kl + \xf a2 (x) K2, (3)

где Kj - оператор вида (2) с ядром kj (x, y), j = l,2. Здесь и ниже мы

отожествляем функции |x|^ и aj (x) с операторами умножения на эти

функции. Рассмотрим разность Л - Л0.

Имеем T = Л - Л0 = (ai (x) - ai (0))Ki + (a2 (x) - a2 (0))K2. Так как lim (a (x) - a (0)) = 0, то оператор (a .■ (x) - a .■ (0))K .■ является компактным в

x ^0 J J J J J

L (Bn) Следовательно, T-компактный оператор. Поскольку

Л = T + Л0, то

оператор А нетёров тогда и только тогда, когда нетёров оператор А0, причем гп^АА = 1пйА.

Приступим к исследованию оператора А. В пространстве Ь2 (Вп) рассмотрим уравнение, порожденное этим оператором:

Хф(х) + ах (0) | к(х, уф(у)ф + \х\г3 а2 (0) |к2 (х,у)фу^у = /(х). (4)

Вп Вп

Поскольку функции кДх, у) удовлетворяют условию (2), то

существуют такие функции (г, р, t), что кДх, у)= /у(х|2 ,| у|2, х'- у').

Учитывая это, и переходя в последнем соотношении к сферическим координатам х = га, у = рб, получим

1 1 (п ХФ(га)+ а1 (0)| | р, а • 0

о V! г

г

■л 1 1

+ ггдa2 (0)I I ^

о $п_1 г

' р л р, а • 0

п _1

Ф( р0 )ЛрЛ0 Ф(р0 )ЛрЛ0 — F (га),

п_1

ф(га)— ф(га )г 2 ; F(та) — f (та)г 2

п _1

Эу (р,t)— (1,р2,^)р 2 , у — 1,2 (6) Функция Эу (р, t) удовлетворяет следующему условию суммируемости

0_1

1 п _3 1 / м — о -

I I (р, t)р 2 (1 _ t2 ) п (1рЖ < да, у —1,2

(7)

Умножая обе части уравнения (5) на сферические гармоники Утл (а),

интегрируя по единой сфере, и применяя формулу Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений (8)

11

V

о Г

где г е(0,+да), т е Z+, л —1,2,...,Лп(т), а dn(т)- размерность пространства сферических гармоник порядка т.

11

Ьфтл (г) + а1 (0)|-Э1т - фтл (P)dP + г'да2 (0)ЬЭ2т ~ Фтл МФ — ?тл М:

V г У

V

0 г

V г У

тл'

тл'

Фтл (г )— I Ф(га Утл (а)dа ; Fm¡l (г )— | F(га У^ (а)Ла

тл

тл '

- тл

уп_1

уп_1

п _1

2п 2 1

п—3

ут

Г

гп _1УГу

2

I Эу (р, 1)Рт (t)(1_ t2) 2 Л (9), при этом Рт ^)-

V 2 У

многочлены Лежандра.

В пространстве £2 (0,1) рассмотрим оператор Ат, формирующий левую часть уравнения (8)

г

п

(AmW )(r) + ai (0) J-D

V

0 r

im

V r У

p)dp + r'S a2 (0)J-D2m 0r

V

¥(p)dp •

V r У

Лемма 1. Пусть X ^ 0. Тогда существует число m0 е Z+ такое, что оператор Am обратим для всех ш > ш0.

Доказательство. В

°перат°р (Kjmy)(r) = aj (0)J-Djm

11

Ь2 (0,1) рассмотрим

у(р)ф, где ш0 е Z+, у = 1,2, г е (0,1). По

пространстве

p

V r У

K

■m

<

aj (0) J Djm(p)p 2dp

теореме Харди-Литтлвуда справедлива оценка (10).

Из равенства (9) и свойств многочленов Лежандра следует, чтоВуш(р) —> 0 при ш — да для почти всех р е(0,да). Тогда, используя

мажоратную теорему Лебега с учетом оценки (7), получаем, что интеграл в

неравенстве (10) стремится к нулю при m ^да .Следовательно, lim

m ^да

K

jm

= 0

Поэтому существует число ш0 е Z + такое, что

Klm + rlS K2m

< X для всех

• с

т > т0. Значит, оператор Аш = XI + К1ш + г1 К2ш обратим для всех т > т0 Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть ^ ^ 0 и тд - число, указанное в лемме 1. Оператор А вида (1) нётеров в пространстве Ь2(Вп) тогда и только тогда, когда нётеровы

в пространстве (0,1) все операторы Ат,т = 0,1,2,...,то,

причем ¡МА = X dn (т )МАт (11) т=0

Литература:

1. Авсянкин О.Г. ОС - алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига [Текст] // Докл. РАН. 2008. Т.419. №6. С.727-728

2. Авсянкин О.Г. О С -алгебре, порожденной многомерными

1

интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида |х|ш [Текст] // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008.№5. С. 10-14.

3. Авсянкин О.Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радикальными коэффициентами [Текст] // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43. №9. С. 1193-1196.

4. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами [Текст] //Докл. РАН. 1999. Т.368. С. 727-729

5. Павлов И.В., Скориков А.В. Lp со смешанной нормой на бесконечномерном торе [Текст] //Изв. вузов. Матем. 1986. №2. С 69-72.

6. Павлов И.В. О крайних лучах и интегральном представлении в конусе супермартингалов [Текст] //ТВП. 25:3(1980). С. 602-605

7. Karapetians N., Samko S. Equations with involute operators// Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2001.427 p.

8. Avsyankin O.G., Karapetians N.K. Multidimensional integral operators with homogenous kernels [Текст] // J. Natur. Geometry. 16(1999).1-18p.

9. Михайлов Л.Г., Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного немодельного сингулярного уравнения в частных производных [Текст] // Докл. РАН. 2010. Т.431. №1, С. 20-21.

10. Лаптев А.Г., Бородин Е.Н. Математическая модель процесса адсорбации при очистке сточных вод ТЭС от нефтепродуктов. [Электронный ресурс] //Инженерный вестник Дона. 2010. №4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/261 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

11. Кадомцев М.И., Ляпин А.А., Тимофеев С.И. К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт». [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. №1. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/719 (доступ свободный) -Загл. с экрана. - Яз. рус.