CC BY
40
Данекянц Анжелика Г енриковна
Ростовский Государственный Строительный Университет Кандидат физико-математических наук, доцент Danekiants Anzhelika Genrikovna Rostov State University of Civil Engineering
The senior lecturer E-Mail: [email protected]
05.00.00- Технические науки
Интегральные операторы с однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами в L2(Bn)
Integral operators with homogeneous kernels and oscillating factors in L2(Bn)
Аннотация: Статья посвящена многомерным интегральным операторам с
однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами специального вида. Изучаются операторы, представляющие собой сумму трех слагаемых: единичный оператор,
канонический интегральный оператор с однородным ядром, оператор с осциллирующим коэффициентом и однородным ядром. Для данных операторов понятие символа, в терминах которого получен критерий нетеровости и формула вычисления индекса. Решение поставленной задачи основано на редукции многомерного интегрального уравнения к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений.
Abstract: Article is devoted multidimensional integrated operators with homogeneous kernels and oscillation in factors of a special kind. The operators representing the sum of three composed are studied: the individual operator, the initial integrated operator with a homogeneous kernel, the operator with oscillating in factor and a homogeneous kernel. For the given operators concept of a symbol, of which terms the criterion neterovosti and the formula of calculation of an index is received. The task in view decision is based on a reduction of the multidimensional integrated equation to infinite diagonal system of the one-dimensional equations.
Ключевые слова: Интегральные операторы с однородными ядрами; интегральные операторы с осциллирующими коэффициентами; критерий нетеровости; многомерные интегральные уравнения.
Keywords: Integrated operators with homogeneous kernels; integrated operators with oscillating factors; the multidimensional integrated equations.
***
В пространстве L2(Bn) рассмотрим оператор
(Af X*)=V(x)+ Jkj(x,y)f (y)dy + |x|/S Jk2(x,y)f(y)dy, (1)
Bn Bn
где 8e R, 8 Ф 0,aj e C, j = 1,2, а функция kj(x,y),j = 1,2, удовлетворяет следующим условиям:
1) однородность степени (-n), то есть
kj(ax,ay) = а nкj(x,y), Уа > 0;
2) инвариантность относительно группы вращений 80(п), то есть kj (®(х ), ®(у )) = kj (х, у ), V® є Б0( п);
3) суммируемость, то есть
п
^ = І кі (в1,у )| у| 2dy <ю,в1 = (¡,0,0,...,0).
V'
Приступим к исследованию оператора А. Для этого в пространстве Ь2 (Вп) рассмотрим уравнение, порожденное этим оператором:
X/(х)+ Ікі(х,уУ(уУу + |х|гб Ік2(х,у)/(у^у = g(х).
Вп Вп
Поскольку функции к і (х,у) удовлетворяют условию 2), то существуют такие
функции І і (г,р,Ґ), что кі (х,у )= 1 і ( |х|2 ,у|2 , х' • у' ]. Учитывая это, и переходя в последнем
ХР(га)+} І -Бі
ъ-1
0^ г
(Р,а^0Л
соотношении к сферическим координатам X = га, у = р0, получим уравнение (2):
1 ' Р,ст-0 F(р0)^р^0 + г'5! | -Б2
Vг У ОБ ,г Vг
0Бп-1
п-1 п-1 -
где Р(га)= /(га)г 2 ; G(rа) = g(га)г 2 ;Б](р^)= I]\1,р2 ^)р 2 , ] = 1,2.
Умножая обе части уравнения (2) на сферические гармоники Ут^(а), интегрируя по
единой сфере, и применяя формулу Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений
Р (р0)dрd0 = О(го),
п-1
1 -
ХРтц(г)+ І ~Б1т 0Г
V
/511
г І Б2т ,Г
V
Ртц(р)<Ф + г 11Б2т _ Ртд(р)<Ф ^тд(г)’
(3)
где г є (0,+го), т є ц = 1,2,...^п(т), а dn(m) - размерность пространства
сферических гармоник порядка т.
Ртц(г)= І р(гъУти.(^®
5п-1
І <
5п-1
&ти.(г )= І G(г^Ymu.(p)d^
п-1
2пГ 1 , , 7 —
Djm =Т-------Л ІВІ(р,?Ут(і)(1 - * ) 2 Л, (4)
п -1
Г
V
-1
2
при этом Рт ()- многочлены Лежандра.
В пространстве (0,1) рассмотрим оператор Ат, формирующий левую часть
уравнения (3)
1
(АтУХг)+ 11~Б1т ^ ЫрУр + г?511~Б2т ^ ЫрУр .
У
0' VгУ 0‘
Лемма 1. Пусть X Ф 0. Тогда существует число т0 є Z+ такое, что оператор Ат обратим для всех т > т0.
Лемма 2. Пусть X Ф 0 и т0 - число, указанное в лемме 1. Оператор А вида (1) нётеров в пространстве Ь2(Вп) тогда и только тогда, когда нётеровы в пространстве L2(0,1) все операторы Ат, т = 0,1,2,...,тд, причем
7^11
У
г
V г У
ГО / ч
і^А = X dn (m)indAm (5)
т=0
Доказательство проводится по схеме, изложенной в [1], с. 79-82.
Замечание. Отметим, что в формуле І^Ат = 0 для всех т > т0.
Чтобы получить критерий нётеровости оператора Ат, перейдем к интегральным операторам с разностными ядрами. С этой целью определим изоморфизм Ш2 :Ь2 {p,-)^■ Ь,2 (К+) формулой
(Ж2фХ*) = е 2ф(е-')
Нетрудно проверить (см. также[1;с.52]), что оператор
г-1
Вт = ^2Ат^2 (6)
задается в Ь,2 (Я+ ) формулой
уі5ї
0 0
(Вт^Х*)=Х^(*)+ ІНм(і - 5)^(5^ + е1 * Ік2т(і - 5У(5^
і
где hjm = Djm (е Iе 2 є ^1(^).
Операторы Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами рассматривались в работе [5]. Следуя ей, назовем символом оператора Вт функцию
От (#) = X + ^1т (#), # є Я, которая после преобразований принимает вид
п -р
ат(^)=Х+ Ік1(е1 ■ у)рт(е1 ■ У)у|~2 +і^, #є Я (7)
Яп
Согласно результатам работы [5], оператор Вт нётеров тогда и только тогда, когда ат (#) ф 0, V# є Я, при этом і^Вт = тсЪт (#).
Основным результатом статьи является следующее утверждение.
Теорема 1. Оператор А вида (1) нётеров в пространстве Ь2(Вп) тогда и только тогда, когда для любого т є Z+ выполняется условие
ат(#)ф 0, У#є Я (8)
В этом случае индекс оператора А определяется формулой
indA = X dn (т s)^nd(5m (# ).
т=0
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1) Пусть ХФ 0. Условие (8) является необходимым и достаточным для нётеровости всех операторов Вт, т є Z+ . В силу равенства (6) оператор Вт нётеров тогда и только тогда, когда нётеров оператор Ат, причем их индексы равны. Применяя лемму 2,
получаем, что условие (8) равносильно нётеровости оператора А. Тогда, используя формулу (5), имеем
і^А = X dn (т ')і^Ат = X dn (m)indBm = X dn (m)indоm (#) т=0 т=0 т=0
2) Пусть X = 0. Предположим, что оператор А нётеров, тогда найдется такое число 5 > 0, что все операторы из 5 - окрестности оператора А нётеровы. Подберем такие
числа т1 є Z+ и # є Я1 ,что |от^ (#0 ) < 5 . Тогда оператор А - (#0 ) нётеров. С другой
стороны, функция ат1 (^)-а^ (#0) обращается в нуль при # = 4 , и по доказанному выше оператор А -о^ (#0) не является нётеровым. Получили противоречие. То, что оператор А не является нётеровым, согласуется с условием (8), так как в этом случае от (го) = 0, Ує ^ .
ЛИТЕРАТУРА
1. Авсянкин О.Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига// Докл. РАН. 2008. Т.419. №6. С.727-728
2. Авсянкин О.Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида |x|ia// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008.№5. С. 10-14.
3. Авсянкин О.Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радикальными коэффициентами// Дифференц. уравнения. 2007. Т.43. №9. С. 1193-1196.
4. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами //Докл. РАН. 1999. Т.368. С. 727-729
5. Антоневич А.Б. Об операторах типа свертки с осциллирующими коэффициентами //Весщ АН БССР. СЕРЫЯ физ.-мат.наук. 1976. №2. С.42-46
6. Павлов И.В., Скориков А.В. Lp со смешанной нормой на бесконечномерном торе //Изв. вузов. Матем. 1986. №2. С 69-72.
7. Павлов И.В., Симонян А.Р. Теория меры и интегралы Лебега. Краткий курс лекций // Ростов-на-Дону. Рост.гос.строит.ун-т. С 24
8. Павлов И.В. О крайних лучах и интегральном представлении в конусе супермартингалов //ТВП. 25:3(1980). С. 602-605
9. Karapetians N., Samko S. Equations with involute operators// Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2001.427 p.
10. Avsyankin O.G., Karapetians N.K. Multidimensional integral operators with homogenous kernels// J. Natur. Geometry. 16(1999). 1-18 p.
Рецензент: Авсянкин Олег Геннадиевич, заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений ЮФУ (Южный Федеральный Университет), доктор физикоматематических наук, доцент.
