CC BY
28
Т о м V
197 4
№ 3
УДК 533.6.011.55
К ТЕОРИИ КРИВОЛИНЕЙНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ГАЗЕ НЕСУЩЕГО ТОНКОГО ТЕЛА
Строится поле скоростей и давлений газа при криволинейном и нестационарном движении в нем проницаемой поверхности, по которой распределены источники массы.
В работе [1] изложен метод расчета полей скоростей и давлений, возникающих в газе при криволинейном и нестационарном движении бесконечно тонкой несущей поверхности с заданным распределением нагрузки. Метод сводит наиболее трудоемкую часть процедуры получения возмущенных скоростей от вихрей в газе к применению обычной формулы Био — Савара для скоростей элемента вихря в несжимаемой жидкости, но с поправкой на запаздывание в возникновении скорости.
Ниже аналогичным образом рассматривается нестационарное и криволинейное движение в газе проницаемой поверхности» по которой распределены источники массы. Результаты могут быть использованы совместно с [1] для расчета обтекания несущих тонких тел [2] при нестационарном криволинейном движении.
1. Рассмотрим безграничный покоящийся газ, который с момента времени £ = 0 возмущен появлением внешних источников
массы с объемным расходом (2. Функцию (3 (г, £) считаем непрерывной по всем аргументам, равной нулю во всем пространстве при ^<0, а при *>0—отличной от нуля лишь в некоторой конечной области.
Возмущенные скорости V и давления р газа в линейном приближении описываются следующей системой уравнений:
и начальными условиями 1/|<=о = 0, /?|<=0 = 0, где р0 — плотность
невозмущенного потока, а — скорость звука.
В. Э. Баскин
ю
Первое уравнение (1.1) написано в предположении, что в местах нахождения источников массы к газу приложены и внешние силы, обратные реактивным силам втекающей массы [3].
Введем потенциал скоростей
<Р = —С1-2) О
Используя (1.2) сведем систему уравнений к волновому уравнению при нулевых начальных условиях
' 0. (1.4)
1=0
Решение уравнения (1.3) при условиях (1.4) дается формулой Кирхгофа:
?(^о, А>) = — 4^г *ъ—тг) йк\ 1 = \г0 — г\. (1.5)
Интеграл берется по части пространства, в которой подынтегральная функция отлична от нуля. Скорости и давление газа определяются формулами
К=дга<1?, р = — р0-^г. (1-6)
Хотя формула (1.5) написана для непрерывных функций ($ (г, (), она не меняет своего вида при предельном переходе к функциям
С2 (г, ^, содержащим интегрируемые разрывы. Кроме того, возможен переход к источникам, распределенным не по объему, а по п9зерхности.
.? й. *<>) Я с *<> - 4-) ■
Здесь ^5 — элемент указанной поверхности, а С} — плотность поверхностного распределения источников.
2. Пусть в безграничном покоящемся газе задана неподвижная проницаемая для газа поверхность на которой определена подвижная область. Часть поверхности, попадающую в момент времени t в эту область, обозначим через (*) и будем располагать на ней источники с поверхностной интенсивностью (2 (г, {). Покроем поверхность УР в области (£) слоем точек, образующих некоторую прилегающую к ней поверхность, скользящую (с деформациями) по поверхности И?-. Будем далее называть эту скользящую поверхность поверхностью 1^о (0- Часть границы поверхности Н70 (£), точки которой имеют при своем движении отличную от нуля нормальную к границе составляющую скорости, направленную из ((), обозначим а внутрь НТ'о (*)— через
(*). Линия /-! (Ь) может быть названа передней, а линия Ь2(() — задней кромкой поверхности (<). Поверхность может ограничиваться и кривыми, не имеющими нормальной к ним составляющей скорости (боковыми кромками).
В дальнейшем для удобства считаем линии и в начальный момент совпадающими, допуская, однако, их движение с бесконечными скоростями (например, когда при £ = 0 происходит одновременное появление всей несущей поверхности).
Пусть И?1 (^) и — области на поверхности V?, описанные
кривыми Ьх и 12 к моменту
времени г (фиг. 1), а т! (г) и хг (г) — и I*2 проходят над точкой г
моменты времени, когда кривые поверхности №.
Представим, что точки поверхности ИР в момент прохождения над ними линий Ьх и испускают сферически расходящиеся волны, распространяющиеся со скоростью звука, произвольную точку пространства г0 и момент времени £0. Часть
Зафиксируем
Фиг. 1
Фиг. 2
поверхности УР, от которой успели дойти до точки г0 к моменту tS) звуковые волны, порождаемые линией Ь1{1= 1, 2), обозначим через и?,-. Будем называть области и^* и Шч запаздывающими слышимыми образами областей и а область ИРо, дополняющую до ИР* — слышимым образом поверхности \У0 ((). Линию I*, отделяющую №* от остальной части ИР, можно назвать слышимым образом кромки Ьх.
Условие нахождения точки г в области ИР* будет
ЧМЯ, Я 0<0, (2.1)
где
й—Я—а(4>—мг))- (2-2)
При достижении в (2.1) равенства точка г лежит на линии I,-.
Здесь исключен особый случай фокусирования звуковых волн,
когда при некоторых функциях х1 (г) равенство в (2.1) может иметь место для точек, составляющих не линию, а область.
Потенциал скоростей течения газа от источников, распределенных по поверхности (<) с плотностью (2 (г, {), согласно (1.5') будет
¥ (Я. *о) = -$$-£г(2 (Я *0 - 4-) ' (2-3)
*
щ
Для получения скоростей и давления газа требуется вычислить производные от правой части (2.3) по координатам точки г и по времени, учитывая, что размеры области U^o также зависят от этих параметров.
3. С целью определения производных от f рассмотрим дифференциал 8<р потенциала (2.3), вычисленный в предположении,
что точка г0 смещается в направлении произвольного вектора v на малое расстояние 8Л, а время увеличивается на малую величину 8*. Области W*i (1= 1, 2) при этом получат приращение 81^*, так что
*=мЯ-££(-тМ;.'.-4)-
* .
- fji $(?.«. Ч-)(«-£■£)--![-§-« {'■ - -г)+1[ -Ш <?('• <• —f) • <з1>
т* ml
Здесь Q обозначает производную от Q по времени при г == const, а д!дч0 — оператор дифференцирования в направлении вектора > по координатам точки гй>
Пусть L?—смещенное при варьировании положение линии L*\
а г + 8г и г —радиусы-векторы произвольных бесконечно близких точек этих линий (фиг. 2).
По определению линий L* и L? имеем равенства
(3.2)
= 0. J
(г0, Л t0) = 0, )
®'i (ro4-v^, г + 8г, /0-{-8£)
Разность выражений (3.2) в пределе при 8г->-0, 8/-5-0 дает следующее условие, налагаемое на 8г.
7bhVoWi+b7vWi+d-^i.bt^O. (3.3)
Здесь Vo и V — операторы Гамильтона по переменным г0 и г.
Поскольку Vo ^i—e, V1®"; = * + a Grad xi (е = (г — г0)/|г — г0]), условие (3.3) можно записать в виде
02 + jT) 8r— (e7)bh — abt = 0, (3.4)
г . ' ' г
где обозначено р. = a Grad v
В частном случае bh=bt — 0 равенство (3.4) дает следующее
условие, налагаемое на вектор dL элемента кривой L*:
dL(e + v) = 0. (3.5)
Введем семейство переменных; векторов т, приложенных в точках кривых Lh касающихся поверхности W, но не касающихся
этих кривых. Полагая, что вектор 8г направлен вдоль соответствующего вектора т, получим из (3.4)
(е 7) Ьк + аЫ
Ьг = .. .- т, (3.6)
т (е + н-)
причем согласно (3.5) имеем т (е + [А)-^Г 0.
Площадь йБ' параллелограмма, построенного на векторах 8г и йЬ (положительная, если 8г направлен во вне области ИР*, а область ИР* при взгляде вдоль нормали N к поверхности ИР останется слева от йЦ будет
— \NbrdL].
Воспользовавшись (3.6), получим
аз, = _ « Л1\ + а8^]. (3.7)
т (е + (а)
При замене кривой Ь* на ломаную из элементов (И соответствующие площади сІБ' образуют область 8' ИР*, отличающуюся от ЗИР* на величину второго порядка малости относительно оА и 8г. Поэтому замена в последних двух интегралах (3.1) областей 8 ИР? на В' ИР* не влияет на 8?. Произведя такую замену, получим
-ЯІИ(м.-4)(«-^)+
Фп
г 0
(Мт ЛЦ^М+М) ф /- _ _£\ (3 8)
- Ш /П(е + ^) ' а '
10
Последний интеграл берется по кривой 1о, состоящей из проходимых в прямом направлении кривой ^ и в обратном направлении кривой Область ИРо при взгляде на нее со стороны конца нормали N обходится при этом по часовой стрелке.
Коэффициенты при 8А и 8£ в выражении (3.8) суть производные от <р по положению точки г0 в направлении вектора V и по времени. Вычисляя с помощью этих производных согласно (1.6)
скорости V и давление р газа, получим окончательно
?(ГоЛ)-^га<10 ±\; (з.9)
* J ^ яг Го=со,ы ^ 4 ъ1т (е+р) V а 1
'^0=СОП81 £0
Р Й. ■<.) - Р»11 *7 в ('• ‘о—-г) - *5 У!~} «('• ‘•-т} (3-10>
* \ Ш т (е 4- (х) V /
Через С2* обозначена величина
в._з(;,^_4.) + 4-$(м0_±). (3.11)
При вычислении оператора grad0 в первом слагаемом в правой
части (3.9) размеры области ИРо и переменная г0, входящая в (2*, не варьируются. Поэтому указанное слагаемое может быть истолковано как скорость несжимаемой жидкости в точке г0, обусловленная источниками интенсивности <3*, распределенными по области
*
ИРо. Скорость газа в точке г0 в момент (0 выражается согласно (3.9) через скорость от некоторого поверхностного распределения источников в несжимаемой жидкости и дополнительного слагаемого, вычисляемого уже интегрированием не по поверхности, а по линии, что намного проще.
Давление газа согласно (3.10) представляется в виде потенциала поверхностных и линейных источников в несжимаемой жидкости, плотность и расположение которых также зависят от
точки г0, где определяется давление, и момента времени /0. Формулы (3.9) и (3.10) в линейной постановке решают задачу определения полей скоростей и давлений газа, обусловленных произвольными нестационарными источниками, расположенными на криволинейно движущейся и деформирующейся поверхности.
4. Пример 1. В безграничном покоящемся газе с момента времени t = 0 появляются источники, распределенные по плоскости 2 = 0 с постоянной поверхностной интенсивностью (3 = <7. Определим скорость и давление газа в момент t0 в точке оси Ог с координатой г0.
В данном случае можно считать, что линия Ьи двигаясь из бесконечности, обегает в момент времени ^ = 0 ВСЮ ПЛОСКОСТЬ 2=0 с бесконечно большой скоростью, а линия £2 остается на бесконечности. Область слышимости на плоскости г = 0 определится неравенством
¥ = / — а£0 < 0 и будет представлять собой круг радиуса = Vа2 — го с центром в начале координат (фиг. 3). Поскольку <3 = 0, согласно (3.11) имеем С}* = д. Фиг. з
В соответствии с (3.9) скорость газа состоит из суммы двух слагаемых:
первое (V7) представляет собой скорость несжимаемой жидкости, вызываемую источниками интенсивности <7, покрывающими круг ИРо. Суммируя скорости от таких источников, получим для отличной от нуля составляющей в направлении оси Ог
= ПРН го<^- (4.1)
Для нахождения второго слагаемого VI по (3.9) выберем векторы т единичными и идущими радиально, а N направим по оси Ог.
Обход окружности L* при интегрировании в (3.9) производится по часовой стрелке при взгляде со стороны оси Ог. Поскольку н- = = aGradT = 0, те = sin а и [NmdL] = — r\df\, получаем
д г0 2 at0 '
Таким образом, искомая скорость газа Уг=д/2 при 0<г0<а£. Этот результат известен и его нетрудно получить из рассмотрения соответствующей одномерной задачи.
Пример 2. По плоскости г —0 с постоянной скоростью V движется из бесконечности полоса конечной ширины Ь, на которой находятся источники с постоянной поверхностной интенсивностью <?. Требуется определить скорость и давление газа в некоторой точке плоскости г, находящейся на полосе. Расположим оси таким образом, чтобы к моменту времени t0 передний край полосы совпадал с осью Оу, а положительная часть оси Ох прошла через точку (?. Функции и т2, определяющие моменты прохождения
передней и задней кромок полосы над точкой С} с координатой х > 0, будут равны
_ _^ х 4 х — Ь
УЦи-г) *1 — 10 у > Г0 у •
Области Wl и W2 можно определить не! Лу___________). равенствами
ггг
yJ Т 0, l-a{xv-b). <0. (4.2)
Фиг. 4
В частности, при выполнении равенств (4.2) кривые L*1 и Z.2 являются коническими сечениями с фокусом в точке Q, эксцентриситетом p. = a/V и директрисами л; = 0 и х — Ь. Отметим, что {*—величина, обратная числу М = V/a.
Рассмотрим случай сверхзвуковой скорости. При этом ^<1, кривая L* представляет собой эллИпс, a Z.2 отсутствует. Область Wo является внутренностью эллипса (фиг. 4). Скорость Vz от источников, покрывающих эллипс, в точке z =-f 0 на эллипсе будет qj2. Поскольку вертикальная составляющая скорости от второго интеграла (3.9) равна нулю, для вертикальной составляющей полной скорости получим
Vz = ql2 при z = -f0.
Определим теперь составляющую скорости в направлении оси Ох. Скорость Vх от покрывающих внутренность эллипса источников будет равна следующему интегралу, . ,
, ■ 1 • • • 2п ЛТ '
\/ — JKL Г Sin!!<P<fo (Л с!\
Vx~ 4к J 1—fx cos <р *
о
Составляющая скорости V"x, определяемая вторым интегралом (3.9), будет
2*
v'x.----f . (4.4)
4г. J 1—COS 9. ' '
Складывая (4.4) и (4.3), получим
V = ~ V ■ при г = + О,
, * 2 у М2—і р 1
что совпадает с известным результатом Аккерета.
ЛИТЕРАТУРА .
1. Баскин В. Э. К теории нестационарного криволинейного движения несущей поверхности в газе. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1970.
2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Т а б а ч-ников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., .Наука*, 1971.
3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., ,Наука', 1970.
Рукопись поступила 28/Х 1973
2—Ученые записки ЦАГИ № 3
