CC BY
49
Рис. 2. Конечно-элементная модель сетчатой спицы
Рис. 3. Спицы зонтичной антенны
Библиографические ссылки 2. Totaro G., Gurdal Z., Optimal design of composite
1. Vasiliev V., Barynin V., Rasin A. Anisogrid Lattice lattice shell structures for aerospace applications, 13
Structures - Survey of Development and Application, (2009) 157-164. Composite Structures, 54 (2001) 361-370. 3. ANSYS user's guide.
© Бакаенко В. Д., 2013
УДК 539.3
В. В. Болтов, А. В. Быков Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
Рассмотрены интегральные формулировки для плоской задачи теории упругости в перемещениях и напряжениях с учетом изменения температуры. Для решения задач вариационно-разностным методом предлагается единый алгоритм формирования коэффициентов системы уравнений и правых частей с использованием второй и первой вариаций функционалов для обеих формулировок.Ключевые слова: плоская задача теории упругости, функционалы Лагранжа и Кастилиано, изменение температуры, вариационно-разностный метод.
Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки
Интегральные формулировки для краевых задач обладают определенным преимуществом относительно формулировок дифференциальных. Так в теории пластин порядок производных функций перемещений или функций напряжений вдвое меньше при интегральных формулировках. Физические постоянные материала находятся под интегралом, являясь функциями, что упрощает учет переменной жесткости конструкции. Имеются некоторые преимущества при учете граничных условий.
Рассмотрим интегральные (вариационные) формулировки в перемещениях и напряжениях для плоской задачи теории упругости. Запишем дифференциальные уравнения равновесия [1] Зах дт„
- + —— + X = дх ду
дт ху да у
+—у- + У = 0, дх ду
в символической форме [2]
' да х дт у
- +
дх ду
■ + X
1 (дт,,, да у 1 5м +
—^- +—- + У
дх ду
5у
йхйх = 0,
(2)
имеющее место для всех значений вариаций перемещений 5м и 5у в области пластинки. Интегрирование внутреннего произведения в (2) понижает порядок производных функций напряжений [3], и с учетом линейных геометрических зависимостей, связывающие компоненты тензора деформаций с компонентами вектора перемещений, дает вариационное уравнение
- Ц (а х 5е х + т ху 5у ху + а у 5е у ) йхйх + Ц [X 5м + У 5у]]х ёу +
а у=ь
5
у=Ь
| (ах5м+тху)
у=о
I ((^+тух5м ))
х=0
х=0
= 0.
у=0
(3)
* * * *
Здесь ах , тху, ау , тух - заданные на контуре напряжения. Внесем в (3) закон Гука [1]:
Е
а у =
1 -Ц2
Е
1 -Ц
•[ех + Ц8у - (1 + ц)о.т] , ■[еу + цех - (1 + ц)аТ] ,
Е
тху хху ■
(4)
2(1 + ц) ,х"
что позволит уравнение (3) представить в виде 5ЭЛ = 0 , где
Е
<Я
Эл (м, V) = -- 2 л 2(1 -ц2)
(дм 12 (дv1 „ дм дv 1 -ц(дм дv1
— I +1 — 1 + 2ц--+ —-|—+—| -
у дх) ^ ду) дх ду 2 ^ ду дх)
(Хм + Уv))dxdy-
5
у=ь
+ | (м + т„у
у=0
~ху
))
х — и
к
х=0
+ I + тухм
х=0 '
)ёх
у=ъ (5)
у=0
- функционал Лагранжа.
Преобразуем функционал (5) в функционал Касти-лиано, который с учетом температурного члена имеет вид
ЭК (ах, ах, тху ) = ^Е Л[ах2 - 2Цах ах +(
+ ау +
2(1 + ц) т2у + ЕаТ(ах + ау)] ёхёх . (6)
Внесение в (6) функции Эри [1], дает
(1) Эк (Ф( х, у)) = ^е ||
+ 2(1 + Ц)
(д 2фУ
дх2
„ д2фд2ф - 2ц Т ; +
ду2 дх2
ду2
ч дхду
+ ЕаТ
+ 3у
дх2 ду2
ёхёу
. (7)
Принципы минимума полной потенциальной энергии и дополнительной энергии можно найти в [1] -[4]. Для решения краевой задачи в перемещениях, при формировании коэффициентов системы уравнений используем вторую вариацию функционала Лагранжа
52 (51Эл ) = --—2"
(1 -Ц ) 5
И
, дм „ дм 52— 51— +
дх дх
дм ^ дv „ дм ^ дv
+ 5^+ Ц 52 ^ + 52 Т" 1 +
дх ду дх ду
дv дv —51 —
ду ду
1 -ц(5 дм |5 дv дм 1 5 дv 2
ду дх) ^ ду
+ 52^ II + 51^ | +
дх
1 -ц( , дм ~ д |(~ дм „ д + —| 52 — + 52— || 51— + 51 —
2 ^ ду дх ду дх
ёхёх . (8)
Первая вариация функционала позволяет вычислять правые части системы уравнений с учетом изменения температуры
Е
5Эл =-
- [[(1 + ц)аТI 5— + 5— Iйхйх I -у ^ ох ду)
(1 -Ц2) у
+[[ (X 5м + У 5v)dxdy-
5
у=Ъ
+ I ((5м +тху 5v))
у=0
х — и
I (ау^+тух5м ))
у=ъ
.(9)
у=0
К уравнениям (8) и (9) добавляются главные граничные условия.
При решении краевой задачи в напряжениях, при формировании коэффициентов системы уравнений выгодно с позиции организации вычислений использовать вторую вариацию функционала Кастилиано
-(1+ Ц) аТ
^дх ду
ёхёх +
52 (51ЭК ) = ЕII
5 5 .
2 йх2 йх2
5
5
( ~¡2 Л
. Оф . О ^ О ф
1 дх2 2 дх2
2 ~ 2
дУ2
ду2
, д2ф „ д2ф + st—-|-S1—-г +
2 ду2 1 дУ2
+2(1 + S2 Sr д2ф
dxdx.
, , (10)
дxдy 1 дхду 1
Правые части системы уравнений формируются коэффициентами известных на контуре функций 5ф и температурными нагрузками, вычисляемые из первой вариации функционала
SЭк =
E я
„ д 2ф д 2ф E aT (S—2 + S—2.)
dxdx. (12)
дх2 дy2
Функции ф и 8ф на контуре предполагается вычислять с помощью «рамной аналогии» [1; 4]. Дейст-
вующие на пластинку внешние нагрузки должны быть уравновешенными.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
2. Якоби К. Лекции по динамике / пер. с нем. М.-Л. : Гл. ред. общетехнич. лит., 1936. 271 с.
3. Ланцош К. Вариационные принципы механики : пер. с англ. М. : Мир, 1965. 408 с.
4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.
© Болгов В. В., Быков А. В., 2013
УДК 539.3
М. А. Большаков, П. Е. Ерошенко Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО ЗАКОНА ГУКА, СОСТАВЛЕННОГО НА ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДКАХ, В ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ПЛОЩАДОК ПРОИЗВОЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Три уравнения закона Гука для изотропного материала, записанные для главных площадок преобразуются в шесть уравнений в произвольной системе координат.
В книге по сопротивлению материалов [1] для изотропного материала составляются три уравнения обобщенного закона Гука для растяжения и сжатия на главных площадках. Затем рассматривается состояние чистого сдвига, выражая зависимость между касательным напряжением и относительным сдвигом равенством
У = т/О, (1)
где О - постоянная, зависящая от свойств материала. Эту постоянную определяют из геометрических построений, мысленно сдвигая вырезанный из пластинки элемент конечных размеров в виде квадрата. Вычисляя удлинение и укорочение диагоналей искаженного элемента, учитывая равновесие элемента при чистом сдвиге и соотношения закона Гука при растяжении, определяют искомую константу изотропного материала
О = Е/[2(1 + ц)], (2)
называемую модулем упругости второго рода или модулем сдвига. На наш взгляд эти геометрические выкладки в определенной степени сложны, имеют приближенный характер, потому как рассматриваются малые углы, что предопределяет замену синуса и тангенса углов самими углами. Однако, выражение (2) - точное выражение.
Методы сопротивления материалов должны обеспечивать прочность, жесткость и устойчивость конструируемых деталей и конструкций. Формы представления учебного материала, базируются на физических
экспериментах и моделях деформирования, которые должны быть надежными и опираться на нормативы и опыт. Видимо, поэтому, в сопротивлении материалов и существуют определенные традиции. К примеру, данная методика выписывания формулы (1) и вывода формулы (2) в соответствие с [1] дошла до наших дней. Назовем книги: [2]-[9], рекомендуемые в учебном процессе.
Преобразуем три уравнения закона Гука записанные на главных площадках в систему шести уравнений для произвольной системы координат. В книге [10, с. 77] находим способ преобразования тензора при повороте системы координат
T' T' T'
T' T 21 T' 22 T' 23 —
л T' 32 T' 33 _
й11 й12 й13 ~Tn T12 T13" й11 й21 й31
й21 й22 й23 T21 T22 T23 й12 й22 й32
й31 й32 й33 _ T31 T32 T33 _ _й13 й23 й33
(3)
где тензоры T^ и T' - объекты (деформации или напряжения) в исходной и повернутой системах координат. Тензор йу - объект, связывающий исходную
систему координат и повернутую системы координат; повороте осей вокруг оси z на угол a, коэффициенты приобретают значения:
a,, = = cos a = c, = sin a = s ,
21
41" "22
= - sin a = - s ,
^33
= 1,
12
— Ü23 — — й'
32
— 0.
