CC BY
10УДК 539.3
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЛАСТИНЫ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ФУНКЦИЯХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАГРУЗКИ
Р. А. Сабиров1, И. Я. Петухова2
1 Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 Е-шаП: [email protected]
Разработан вариационно-разностный метод расчета напряженного состояния пластинок в условиях плоской задачи теории упругости в функциях напряжений. Для решения температурной задачи применяется метод устранения деформаций С. Тимошенко. Получен функционал в функциях напряжений. Для формирования коэффициентов системы разрешающих уравнений и правой части применяются первая и вторая вариации функционала. Дискретизация континуальной задачи - конечно-разностная. Уравнения неразрывности обеспечиваются при достаточно редких конечно-разностных сетках, экономится время счета и ресурсы оперативной памяти. Составлена программа расчета на основе пакета Maple; приведен пример расчета свободной пластинки при неравномерном нагреве.
Ключевые слова: плоская задача теории упругости, функционал Кастилиано, вариационно-разностный метод, функция напряжений.
VARIATIONAL-DIFFERENCE METHOD OF CALCULATION OF A PLATE UNDER CONDITIONS OF PLANE STRESS STATE IN THE FUNCTION OF STRESSES FOR TEMPERATURE LOADS
R. А. Sabirov1, I. Ya. Petukhova2
1 Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation 2Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]
A variational-difference method for calculating the stress state ofplates under the conditions of the plane problem of elasticity theory in stress functions is developed. For the solution of a temperature problem the method of elimination of S. Tymoshenko's deformations is applied. The functional in the stress functions is obtained. The first and second variations of the functional are used to form the coefficients of the system of resolving equations and its right-hand side. The discretization of the continuum problem is finite - difference. The equations of continuity are provided at a sufficiently rare finite-difference grids, time saving accounts and non-memory resources. The program of calculation on the basis of the Maple package is made; the example of calculation of a free plate at uneven heating is given.
Keywords: flat task of the theory of elasticity, Kastiliano's functionality, variation and differential method, function of tension.
Введение. Одной из причин появления напряжений в теле является неравномерное его нагревание. Температура, как в земных условиях, так и в космическом пространстве изменяется ежесекундно.
Для решения задачи воспользуемся «методом устранения деформаций» [1; 2]. В этом методе для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле Т (х, у, 2) исходной температурной задачи. Известно, что модуль упругости стали при нагревании уменьшается [2], а модули упругости сплавов при нагревании как уменьшаются, так и увеличиваются [3].
Постановка задачи. Рассмотрена вариационная формулировка задачи [4-5]; получен функционал Кастилиано с учетом изменения температуры:
я -
Ч. 2E
ЭК (СТх > СТ у > Т xv ) =
стx2 - сту +сту2 + 2(1 + ц)т2у +
dxdx.
(1)
+ 2 ЕаТ (стх +ст у) Здесь: Е = Е(х,у) - модуль упругости; ц=ц(х, у) -коэффициент Пуассона; а=а(х,у) - коэффициент линейного температурного расширения материала; Т = Т (х, у) - температурное поле.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
б
Эпюры нормальных и касательных напряжений в пластинке:
а - ; б - сту; в - Xxy
а
в
Краевая задача формулируется так: из всех возможных напряженных состояний действительное напряженное состояние сообщает функционалу (1) максимальное значение [5].
Введем в функционал (1) функцию напряжений ф(х, у) [2], что дает
Эк (ф) =
=я -
•V 2E
дх2
+ 2(1 +
Sjp д2ф
дх
д2ф
дх2 ду2
дхду
ду
+ 2EaT
д2ф д2ф дх2 ду2
dxdy.
(2)
Для формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части предлагается прием использования первой и второй вариаций функционала (2).
Вариационно-разностная формулировка. Континуальную область в (2) заменим дискретной. Выберем на области пластинки прямоугольную равномерную
сетку ={(х = Их, yj = j\), i = 0,1,...,m, j = 0,1,...,n} на отрезках [0,1х ] и [0, ly ]. Здесь х = х1 и у = yj -
узлы сетки; Xх = I /m и Xу = I, /n - шаг сетки, а 1х
х х у у х
и 1у - размеры пластинки по направлениям осей координат х и у . Введем сетку с узлами ^ :
={(х? =Хх/2 +iXx, Уj = Ху/2 + ]'Ху), i = 0,1,...,m -1, j = 0,1,...,n -1}.
Для задания функции ф на контуре пластинки,
используем «рамную аналогию» [5; 6].
Расчет. Для расчета пластинки на температурные нагрузки составлена программа расчета на основе пакета Maple. Приведем пример тестового расчета пластинки на изменение температуры по закону T (х, у) = T (2 у / 1у )2 - такое распределение температуры рассматривается для балок в [1; 2; 7]. Пластинка квадратная в плане размерами 1х = 0,2 м и 1у = 0,2 м. Конечно-разностную сетку примем с шагом 40 х 40 .
Модуль Юнга E = 2 -10 Па; коэффициент Пуассона 0,5. Эпюры нормальных и касательных напряжений покажем на рисунке. Характер распределения напряжений стх согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в стержне, температурной задачи рассмотренной в [7].
Выводы:
1) применение подхода к решению краевой задачи с использованием первой и второй вариаций функционала Кастилиано с конечно-разностной аппроксимацией позволили создать универсальный алгоритм расчета напряженного состояния пластинок на температурные воздействия;
2) расчеты напряженного состояния пластинки были выполнены на различных сетках; исследования сходимости показали достаточно хорошую сходимость решений, обеспечивающих неразрывность деформаций.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П. Теория упругости. Л. ; М. : ОНТИ. 1937. 451 с.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
3. Механические свойства материалов с эффектом памяти при сложном температурно-силовом воздействии и ортогональном нагружении : монография / под ред. И. Н. Андронова. Ухта : УГТУ, 2010. 191 с.
4. Ланцош К. Вариационные принципы механики : пер. с англ. М. : Мир, 1965. 408 с.
5. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.
6. Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир. 1975. 872 с.
7. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.
References
1. Timoshenko S. P. Teorija uprugosti (Theory of elasticity). Leningrad-Moscow, ONTI, 1937. 451 р.
2. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti (Theory of elasticity). Moscow, Nauka, 1975. 576 р.
3. Mehanicheskie svojstva materialov s jeffektom pam-jati pri slozhnom temperaturno-silovom vozdejstvii i or-togonal'nom nagruzhenii (Mechanical properties of materials with effect of memory at difficult temperature and power influence and orthogonal loading). Monograph, ed. IN Andronov. Uhta, UGTU, 2010. 191 р.
4. Lancosh K. Variacionnye principy mehaniki (Variation principles of mechanics). Moscow, Mir, 1965. 408 р.
5. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti (Variational methods in elasticity and plasticity). Moscow, Mir, 1987. 542 р.
6. Novackij V. Teorija uprugosti (Elasticity theory). Moscow, Mir. 1975. 872 р.
7. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov (Resistance of materials). Moscow, Nauka, 1986. 560 р.
© Сабиров Р. А., Петухова И. Я., 2018
