К РАСЧёТУ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ МАСС С КОНТАКТНЫМИ РАЗРЫВАМИ В КАНАЛАХ СЛОЖНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.226

К РАСЧЁТУ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКИХ МАСС С КОНТАКТНЫМИ РАЗРЫВАМИ В КАНАЛАХ СЛОЖНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ

© 2008 г. А.И. Озерский

Ростовский-на-Дону государственный Rostov-on-Don State

университет путей сообщения Transport University

На основе подхода Лагранжа (для одномерного случая) получены основные уравнения, которые являются обобщениями уравнения Д. Бернулли на случай движения несжимаемых жидких масс с контактными разрывами в каналах сложных геометрических форм. Даны рекомендации для учёта особенностей расчёта ударного повышения давления при заполнении сжимаемой жидкостью каналов с местными гидравлическими сопротивлениями, а также - для учёта явлений перераспределения расходов жидкости между основным и ответвлённым каналами на режимах их заполнения.

Ключевые слова: гидромеханика, жидкие среды, контактные разрывы, каналы сложных геометрических форм.

The problem of calculating the main parameters of liquid masses movement with contact breaks in the channels of complex gtometric shapes has been considered. On the basis of Lagrange approach (for one-dimensional case) we have obtained the main equations which are the generalizations of D. Bernulli equation in case of moving incompressible liquid masses with contact breaks in the channels of cjmplex geometric shapes. There are recommendations for taking into consideration singularities for calculating accelerating pressure increase when filling channels having local hydraulic resistances with compressing liquid and also for taking into cjnsideration the phenomena of liquid consumption redistribution between the main and branched channels during their filling.

Keywords: hydromechanics, fluid ambiences, contact breakups, channels of the complex geometric forms.

При теоретическом и экспериментальном исследовании динамических характеристик гидравлических систем различных теплоэнергетических установок, гидроприводов дорожно-строительных и транспортных машин, гидроманипуляторов, промышленных роботов и т.п., встречаются задачи, связанные с анализом и расчётом динамики движения жидких сред с контактными разрывами в каналах гидравлических магистралей, элементов и агрегатов указанных систем [1-7].

Под контактными разрывами здесь понимают такие поверхности в жидкости, через которые отсутствует поток массы вещества и на которых терпят разрыв основные параметры среды: плотность, температура, вязкость, концентрация какого-либо вещества, растворённого в жидкости и т.п. [1, 6].

К рассматриваемым явлениям можно отнести, например, движения жидких сред с подвижной границей раздела двух сред, в частности - жидкости и твёрдого тела, жидкости и газа. Такие явления имеют место при движении жидких сред в каналах с подвижными поршнями (например, в объёмном гидроприводе), при опорожнении или заполнении рабочей жидкостью каналов магистралей, а также элементов или агрегатов гидравлических систем теплоэнергетических установок. Они возникают при снарядном режиме движения в указанных каналах жидких сред, разделённых газовыми или паровыми пузырями (пробками) и т.п. Особый интерес вызывают случаи, когда в рабочих жидкостях выделяются растворённые в них газы, например атмосферный воздух [5].

Одной из основных задач динамики рассматриваемых процессов является определение законов движения именно подвижных границ разрывов. После этого расчёт остальных параметров потока для несжимаемых жидких масс существенных трудностей не вызывает [1].

Так как при исследовании процессов движения жидких сред с контактными разрывами рассматриваются подвижные объёмы, состоящие из одних и тех же частиц жидкости, то здесь удобно применять подход Лагранжа как наиболее целесообразный при анализе подобных процессов.

Основная задача заключаются здесь в том, чтобы получить простые соотношения, описывающие закономерности перемещения подвижных границ контактных разрывов в каналах сложных геометрических форм.

В связи с этой задачей рассмотрим одномерное неустановившееся движение некоторого объёма вязкой сжимаемой жидкости с контактными разрывами в канале, площадь поперечного сечения которого ст^) является заданной функцией криволинейной координаты s, отсчитываемой вдоль оси канала (рис. 1).

Гидротурбина (гидромотор)

Рис. 1. К выводу уравнений одномерного движения жидких сред с контактными разрывами в произвольном канале

s

Особенность рассматриваемых движений состоит в том, что здесь перемещающийся объём жидкости ограничен двумя подвижными поверхностями (поверхностями контактных разрывов). Положение этих поверхностей в каналах сложных геометрических форм определяется криволинейными координатами «!(/) = 5(^1, () и s2(t) = 5(Е2, (), изменяющимися во времени при перемещении жидкости вдоль оси канала, которое осуществляется под действием массовых и поверхностных сил. Здесь Е и Ед -переменные Лагранжа, которые определяют положение рассматриваемых поверхностей в начальный момент времени. Будем считать, что рассматриваемый подвижный объём V(t), состоит из одних и тех же частиц жидкости, а давления р1 = р(5Ь () и р2 = р(52, 0 на поверхностях контактных разрывов являются известными функциями эйлеровых координат и 52, а также времени t (что часто бывает на практике). Мы будем использовать здесь подход Лагранжа как наиболее целесообразный при решении задач с краевыми условиями, заданными на подвижных границах [1, 6, 7].

Для вывода основных уравнений движения жидких сред с контактными разрывами в каналах сложных геометрических форм запишем общие интегральные соотношения в виде закона сохранения массы, закона изменения количества движения, закона сохранения и превращения энергии и закона об изменении момента количества движения для подвижного деформируемого объёма V(t), состоящего из одних и тех же частиц жидкости и ограниченного подвижной поверхностью о(0[7]:

d J pdV = J ^dV + J pu„dc = E Mi

dt

v (t)

v(t)

dt

(1)

a(t)

(i, j )

dd

— J pUdV = J - (pu)dV + J (pu)u „dCT= (2)

dt V(t) V(t) dt a(t)

= J fpdV + J p„da+E Kг,j,

V (t) a(t) (i, j)

d г Д 2 чет, r d

— J p(- u 2 + u)dV = J —

Л j ' v "I 7 j Я/

dt V (t) 2

V (t)

dt

А 2 ч

p(— u + u) 2

dV +

Г 1 2

+ J p(— u + u)u ndст =

a(t)

= J pf UdV + J pu „dст+ J pdivudV + ß + E N,,;, (3)

V (t) CT(t) V(t) i, j

d _ _ d__ __ — J (r xpu)dV = J — (r xpu)dV + J (r xpu)u „dст =

dt V(t) V(t)dt a(t)

Здесь: и - вектор абсолютной скорости движения жидкости в данной точке, м/с; р - плотность жидкости, кг/м3; f и р = рп + р т - соответственно векторы напряжённостей массовых и поверхностных сил, действующих на элементы массы и поверхности, ограничивающей подвижный жидкий объём, м/с2 , Н/м2 ; и -удельная внутренняя (тепловая) энергия жидкости, Дж/кг; () - мощность тепловой энергии, подведенной к рассматриваемому подвижному объёму жидкости извне, Вт; Е М ^, кг/с, Е N ^, Вт - суммы мощно-

о,1) (¡,1)

стей дополнительных источников и стоков массы и энергии, соответственно, расположенных внутри рассматриваемого подвижного объёма жидкости;

Е ] ,кг • м/с, ^ ^^ 1 ,Н • м - суммы дополнитель-

(¡, 1) ' (¡, 1)

ных источников и стоков количества движения и моментов количества движения жидкости, находящихся внутри рассматриваемого подвижного объёма жидкости; г - радиус-вектор, проведенный в данную точку жидкости из точки О - центра вращения жидкого объёма V(t) (см. рис. 1), м.

Заметим, что здесь область интегрирования подвижна и зависит от времени t, с.

Интегральные соотношения (1) - (4) могут быть использованы при выводе уравнений, описывающих процессы движения сжимаемых жидких сред с контактными разрывами в каналах магистралей, элементов и агрегатов гидравлических систем теплоэнергетических установок [4].

Если рассматривать только такие процессы, в которых для описания механического движения жидкости не требуется определять её термодинамические параметры, то вместо закона сохранения полной энергии жидкости можно использовать теорему живых сил в виде [7]:

d г 1 2 лтл г d

— i p—u2 dV = J —

л j г T j я*

dt

V(t)

V(t)

dt

12

p 2 u

12

dV + J p — u u ndст =

a(t) 2

= | pf иdV + | ри ^ст+ | рdivиdV + Е N¡1.

V(t) ст(t) V(t) ]

В одномерном случае для перемещающегося в канале деформируемого жидкого объёма, ограниченного подвижными поверхностями контактных разрывов o1(t) и o2(t) (см. рис. 1), приведенные выше соотношения примут вид:

52 9р(5 t)

ст(s)ds +р(52,/)и(52,2) -

51 9

-p(^i,t)u(sj,t)CT(sj) = EMi j ;

^ i

S2 dp(s, t)

J F ' CT(s)ds + p(s2,t)u(s2,t)CT(s2)-

dt

2,1 )u(s2 ,')a(s2)"l

= J (r xpf)dV + J (r xPn)da+ E L1}. (4)

V(t)

a(t)

(i, j)

— p(s 1, t )u(sj, t)CT(sj) = E Mt

s 2(t) d _ _

J — [p(s, t) u>(s, t)] CT(s)ds + p(s 2, t) u>(s 2, t) u>(s 2, -)ct(s 2) -

Si(i)

dt

-p(Sl, t)u(Si, t)u(Si, t)CT(Si ) =

S 2 (t) _ _

= J p(s,t)f (s,t)a(s)ds + J pndст +

Si(i) a(i)

S 2 (t)_ _

+ л J рT5(s)ds + £ j,

S1(i) (г, j)

(6)

S 2(t) д

J -

J dt

Si(i) dt

1 2

2 p(s, t)o 2 (s, t)

1 3

a(s)dsp(s2,t)u (s2,-)ct(s2)-

13

-2p(Si,t)u (Si,t)CT(Sj) =

S 2 (t) _ _

= J p(s, t) f (s, t )u(s, t )a(s)ds + Sii(t)

+P(si, t )ü(si, t )a(Si) - p(s 2, t )u(s 2, t )ct(s 2

)+

s2(t) dn(s t)

+ J p(s,t)—(-^a(s)ds + X Nh] -ZZ,

si(t)

ds

(7)

(г, j)

si(-) d

J — [r (s, t )p(s, t )u(s, t)]a(s)ds +

Si(t)

+ [ Г (s 2, t )p(s 2 , t)u(s 2 , t )]a(s 2) --[r (si, t) xp(si, t)o(si, t )]a(si) =

S2(0 _ _

= J [r xp(s, t) f (s, t)]a(s)ds +

Si(t)

+ J (r x p )dct + X Luj.

a(t) (г, j)

(8)

s 2 (t)

ds

Z = ^ ^0 3(- )p J 2()S()

2 Si(t) CT (s)5(s)

-signu

(9)

Здесь и (s, Г) - средняя абсолютная скорость частиц жидкости в сечении s в момент времени ^ (), p(s2, t) - средние давления на подвижных поверхностях контактных разрывов в точках s1(t) и s2(t) соответственно, Па ; Е -скорость диссипации механической энергии жидкости в рассматриваемом объёме (потери механической энергии жидкости из-за трения), Вт, равная

Отметим, что соотношение (9) будет справедливым для всех течений, удовлетворяющих условию X =X (Re, Дш/5). Здесь Re - критерий Рейнольдса, Дш -высота бугорков шероховатости канала, м.

Заметим, что форма записи законов сохранения в указанном выше виде (6) - (9) является общей и не зависит от того, рассматриваем ли мы перемещающийся в канале жидкий объём, состоящий из одних и тех же частиц (подход Лагранжа), в этом случае

dsi . ds 2

o(Sj,t) =—-, u(s2,t) = —-, или же мы следим за dt dt

состоянием параметров в объёме, ограниченном некоторыми неподвижными (фиксированными) контрольными поверхностями, определяемыми координатами Sj = const = l1 и s2 = const = 12, (подход Эйлера), в этом случае o(Sj,t) = o(lj,t) иu(s2,t) = u(l2,t)(канал полностью заполнен).

Эта форма записи справедлива также и в том случае, когда мы следим за параметрами подвижного объёма жидкости, ограниченного с одной стороны, например, неподвижной поверхностью с координатой Sj = const = lj (u(sj,t) = Uj (lj,t)), а с другой стороны -подвижной поверхностью с координатой s 2(t), ds

(u(s 2, t) = —2). Этот случай соответствует заполне-dt

нию канала.

Эта же форма записи справедлива также и в том случае, когда мы следим за параметрами движущегося в канале объёма жидкости, ограниченного с

одной стороны, например, подвижной поверхностью

dsj

с координатой sx (t), (u(Sj,t) =-), а с другой -

dt

неподвижной поверхностью с координатами s2 = const = 12 (u(s2,t) = и2(l2,t)). Это - случай опорожнения канала.

Следует отметить также, что в том случае, когда мы рассматриваем перемещающийся в канале объём жидкости, ограниченный подвижными границами контактных разрывов с координатами sj(t) и s2(t), выражения для законов сохранения, записанные в виде (5) - (8), могут быть получены путём формального дифференцирования по времени величин массы M(t) жидкости, её количества движения K (t), кинетической энергии E(t) и момента количества движения L (t), представленных, соответственно, в виде:

Sj(t)

M(t) = J p(s, t)a(s)ds;

Sj(t) _ Sj(t)

K(t) = J p(s, t)u(s,t)a(s)ds;

Sj(t)

i

Si(t)

Е(-) = - J p(s,t)u2(s,t)CT(s)ds;

Здесь X - коэффициент путевых потерь энергии в формуле Дарси-Вейсбаха; 8^) - диаметр канала, м.

2

Si(t)

Si(t)

L(t) = J [r(s,t)p(s,t)u(s,t)]a(s)ds.

Si(t)

Выражения (5) - (8) упрощаются в случае несжимаемой жидкости.

В этом случае закон сохранения и превращения энергии для вязкого несжимаемого жидкого объёма с контактными разрывами, перемещающегося в канале, может быть записан в форме:

Здесь - в общем случае зависящий от времени коэффициент к-го местного гидравлического сопротивления, расположенного в некоторой точке магистрали [1], N = £ N¡1 .

(¡, 1)

При Ф 0 , получим

1 S2f(t) 5u 2(s, t) f _

-p J -T-^(s)ds +

2 Sj(t ) 5t

dQ S 2((t) ds 1

P— J -+ -p

dt Sl(t) a(s) 2

1

1

a 2(s 2) CT 2 (Si )

Q 2(t ) =

+"2p [u 2(s2, t)a(s)u(s2, t) - u 2(s^ t)a(Si )u(s1; t)] :

S2 (t) j- _ _

= p J |_cos(ü," X)FX (t) + cos(u, " Y)Fy (t) +

= ^(S1, t ) - p(s 2, t ) + gp[ Z (s^ ) - Z (s 2) ]-

S 2 (t)

X J -

S1 (t) a 2 (s)a(s) (k) a ^

d_, Y с к

-2/ ч +,„ч Y _ 2

2 N signQQ 2(t) + Q . (10)

+ cos(u, Z)FZ (t) I u(s, t)a(s)ds +

+ P(s 1,t)u(s!,t)a(s!) - p(s 2, t)u(s2,t ) a (s2 )+

S2f(t) ds

'vi,j -TX J —

(i, j )

1

+ Y n, , --x f

,j 2 s 1(t) a 2(s)5(s)

Q (t)signu.

S2(t) 5u 2(s, t),w S2(t) 5

I -a(s)ds = I —

J 5t J 5t

Sj(t) VI Sj(t)

= dQ 2(t )S 2f(t )

= J a(s).

Q 2(t )

a(s)

ds =

dt

Sj(t)

Полагая (для определённости) в уравнении (10) ds

Q = —2 a(s 2) и учитывая, что

dt

d

d

ds

d a

-a(s 2 ) = ~a[ s 2(t)] = a'(s 2^, a'(s 2 ) =— / S=S 2:

dt 4 2 dt а также, что

dt

ds

Для этого случая можно получить соотношения: dQ _

dQ = d_ dt dt

ds 2 / 4

—Г a(s 2) dt

d 2 s 2 a(s 2) + a'(s 2 )( % )2,

dt

2

dt

получим:

При условии, что массовые силы проявляются только в виде сил тяжести Земли, имеем:

fx _ fi _ 0 fz _ ",

S 2 (t ) ds 1 2

Pa(s2) J 7T"s2 ^Pa (s2) '

Sj(t) a(s) 2

1

1

+2

a'(s 2) S2(t) ds

a2(s2) a2(sj) a2(s2) s^t) a(s)

s2

= P(s1, t ) - p(s 2, t ) + pg [Z (s!) - Z (s 2 )] -

52К1Г - а - 1 | I ^(о, Z)FZ 1о(5,1)ст(s)ds=

51(0

= g [Z(51) - Z(52)]б(/).

Здесь [ Z (51) - Z (5 2)] - разность высот расположения

центров поверхностей подвижных контактных разрывов над произвольной горизонтальной плоскостью (см. рис. 1).

С учётом приведенных выше соотношений получим:

1 dQ2 S2(0 ds 1

J -+ -p

2 dt Sj(t) a(s) 2

1

1

a 2 (s 2 ) a 2(sj)_

Q (t) =

= [p(s1, t) - p(s 2, t)]Q(t) + gp[Z (s1 ) - Z (s 2)]Q(t) -

- ^ a 2 (s 2)

S 2 (t ) ds с,

x J + Y%

S1(t) a (s)5(s) (к) a к

dsl

• 2 . N

s 2 signs 2 + Q ■

(11)

Если принять, что Q(t) _—1 ct(s1) , то уравнение

dt

(10) примет вид:

, Л52f(t) ds .. 1 2, , Pct(si) J —-S1 + "PCT (si)x

51(i) ct(s) 2

1 1 „ a'(s, ) S2,(t) ds

---2-+ 2 2 J -

(s2) a2(sj) a2(sj) s,(t) a(s)

si =

= P(s1, t) - p(s 2, t ) +pg [Z (s1) - Z (s 2)]-

S 2 (t) ds с

x J -T—+ Y%

Sj(t) a (s)a(s) (к) a к_

signQQ 3(t) + N .

- | pa 2(s1)

S 2(t) ds C

Sj(t) a (s)5(s) (к) a 2

N

.i12sign.i1 + Q .(12)

x

X

2

CT

1

p

2

Из уравнения (5) для закона сохранения массы подвижного объёма несжимаемой жидкости, в случае отсутствия источников и стоков массы внутри движущегося объёма жидкости, имеем

dsi ds 2

—1 CT(si) =—2CT(s2). dt dt

(13)

d2 s

ds

dt

1 ct(Si) + a'(si)^-f)2 =

dt

a(s) + a'(s 2)(^ )2. dt2 dt

(14)

ф(Sl) = ф£ i) + ф(s 2) - 2). (15)

Здесь

ф(У) = |ст(.у)4у, У = 51,11, s2, § 2 . (16)

Соотношения (15), (16) определяют связь между координатами и 52 в виде: я^^^я^х), или

S2 = S2(Sl) = S2(X).

(17)

рст( x) F1( x)x + 2 p

1--CT, (X) . + 2f1(x)ct'(x)

ct 2 I s

[ s1( x)]

x 2 =

= ^[s1 (x), t ] - p(x, t) + gp{Z[s1 (x)] - Z (x)} -

Ik

- 2 pct 2( x)

XF 2 (x) +

x 2 + N,

здесь

Tt N x ds

N = 77, F1(x) = J ^"7,

Ö S1(x) ct(s)

F2( x) = J —^-.

S1(x) CT (s)S(s)

(18)

Если в уравнении (12) перейти к независимой переменной х(()=5х((), используя соотношение (17), устанавливающее связь 52=52(5!)=52(х), то получим уравнение относительно координаты х задней поверхности разрыва:

рст( x) K 1( x) x +— р

CT 2( x)

CT I s

[s2 (x)]

-1 + 2K 1( x)ct'( x)

x2

= P(x, t) - p [s2 (x), t] + pg {Z(x) - Z[s2 (x)]} -

В этом случае ускорения перемещающихся границ жидкого объёма связаны соотношениями:

- 2 PCT 2( x)

XK 2 (x) + £%

k ct ,

x 2signx + N, (19)

S 2(x) ds здесь K 1(x) = J

ds

Соотношения (13) и (14) позволяют перейти в уравнении (11) к одной переменной, например х(^)=52(0. Здесь координата разрыва обозначена малой буквой х, в отличие от обозначения оси X, которая на рис. 1 отмечена большой буквой.

В самом деле, из (13) следует, что ст^^! = =ст (я2^52, отсюда, после интегрирования левой части этого равенства в пределах от ^ до и правой - в пределах от до я2, получим

5 2 (х)

К 2(х) = I" -СТ(*)' X СТ 2(5)8(5)

В том случае, когда одно из сечений 51 или 52 является неподвижным (например, при истечении жидкости через концевое сечение 52 = I магистрали в атмосферу), в качестве искомой переменной следует принять х = я^), т.е. - координату заднего разрыва, при этом в уравнении (18) следует положить я2(х) = I.

рст( x)K 1 (x, i) x +1

CT 2( x) CT 2(i)

-1 + 2ct'( x)K 1( x, i)

x2

= p(x, t) - p(i, t) + pg [Z (x) - Z (i) ]-

- 2 pct 2( x)

XK 2 (x, i) + £%

x 2 signx + N, (20)

ds

Теперь уравнение (11) можно записать для одной переменной, например х(() = я2((), т.е.- относительно координаты х передней поверхности разрыва:

^ ds ^

здесь К1 (х,£) = |—, К2(х,£) = Г- 2 .

X ст(5) х ст 2( х)8(5)

В этом общем виде уравнение (20) может быть использовано для определения закона р(1, 0 изменения во времени давления в произвольной точке I магистрали, заполняющейся рабочей жидкостью. Для этого необходимо в выражение для р(1, (), определяемого из формулы (20), подставить значения х(/), х(/), х(/), найденные в результате решения общего, например (18) или (19), уравнения.

Таким образом, расчёт параметров, характеризующих динамику движения жидких сред с контактными разрывами в каналах сложных геометрических форм, может быть сведён к решению задачи Коши для некоторого обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, относительно координаты х(/) одного из разрывов и разрешённого

относительно старшей производной.

Известно, например, что во время заполнения жидкостью гидравлических магистралей при подходе фронта жидкости к местному гидравлическому сопротивлению сложной геометрической формы, в котором происходит сужение потока, а также при работе запорных или регулирующих органов, в жидкости возникают ударные повышения давления, которые существенно влияют на динамику указанных процессов. В этом случае возникают проблемы, связанные с определением величины этих ударных повышений давления. Это обусловлено тем, что величина скачкообразного уменьшения скорости жидкости вследствие удара при заполнении канала с данным местным гидравлическим сопротивлением неизвестна. Это обстоя-

тельство не позволяет непосредственно для этого случая использовать формулу Н.Е. Жуковского для неполного гидроудара. Здесь можно рекомендовать исследования, в которых учитывается влияние на гидроудар явления сжатия струи при движении жидкости через данное местное гидравлическое сопротивление [3], а также - эффективный способ определения коэффициента сжатия струи газонасыщенной или не насыщенной газом жидкости в каналах гидравлических сопротивлений сложных геометрических форм [8].

Для анализа ударных процессов движения насыщенных газом жидких масс можно рекомендовать работу [5], в которой получены уравнения, отражающие особенности динамики изменения объёма пузырька в ограниченном пространстве газожидкостной среды.

При исследовании, например, различных режимов работы гидравлических систем, имеющих в своем составе несколько гидравлических двигателей, связанных единой системой питания с помощью разветвленной системы трубопроводов, довольно часто приходится исследовать влияние изменения режима работы одного двигателя на характеристики остальных. В этой связи исследования, зачастую, сводятся к расчёту динамики движения жидких масс рабочих жидкостей с контактными разрывами в разветвлённых каналах.

Легко показать, что расчёт параметров, определяющих динамику движения жидких масс с контактными разрывами в разветвлённых каналах с числом перемещающихся поверхностей контактных разрывов, равным п+1, например, при заполнении её топливом (рис. 2), сводится к решению задачи Коши для систем п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно координат х1 подвижных разрывов вида

xi = f (xi,xi,t), i = 1,....n .

(21)

В самом деле, уравнение, описывающее движение объёма жидкости в 1-й магистрали от точки 0 разветвления до точки х1, имеет вид:

2ст(хг (хг)х г + [1 + 2Fll (хг )ст'(хг )]х 2 = = Ро(0 -р(хг,х) + 2^о -z(х1)] -

, J

xct 2F2l (x,.) + ст 2

(k) CT kr.

x2 signxi + 2 N,

(22)

анализа динамики гидросистем проектируемых энергетических установок, мало изучены, хотя установившиеся течения жидкостей в заполненных разветвлённых магистралях исследованы достаточно полно. Так, плоские течения идеальной невесомой несжимаемой жидкости в разветвляющейся магистрали рассмотрены Милн-Томсоном [9 ], а также И.К. Коноваловым и В.Н. Талиевым [10]. Экспериментальные исследования ламинарного стационарного течения жидкости в ответвлении применительно к кровеносным сосудам выполнены Родкевичем и Русселом [11]. Неустановившиеся пульсирующие движения жидкости при малых числах Рейнольдса в разветвлённых гидравлических магистралях исследованы в работе [12].

X2(t)

1 = 1,...п + 1.

Здесь ст0,Р0(/),z0 - параметры, относящиеся к точке «0» разветвления.

Исключая из системы (22) п + 1 уравнений неизвестное давление Р0() и используя уравнение неразрывности, легко свести данную систему уравнений к системе п уравнений вида (21).

В связи этим следует отметить также, что вопросы динамики заполнения жидкостью ответвлений от основных магистралей, несмотря на их важность для

Xn(t)

Рис. 2. К расчёту движения жидких масс с контактными разрывами в разветвлённых каналах

Основные проблемы, которые возникают при расчёте динамики затекания жидкости в ответвления от основных магистралей на режимах их заполнения, состоят в том, что распределение расходов жидкости между основным и ответвлённым каналами на этих режимах заранее неизвестно.

Здесь полезными для практического использования являются работы, в которых анализируются особенности перераспределения расходов жидкости между основным и ответвлённым каналами на этих режимах, а также - методы определения коэффициента сжатия струи в каналах с ответвлениями от основных магистралей [2, 3, 8].

Заметим, что полученные здесь уравнения являются обобщениями уравнения Д. Бернулли [13] на случай движения жидких сред с контактными разрывами в каналах сложных геометрических форм.

Следует отметить, что представление уравнений движения жидких сред с контактными разрывами в виде х = /(х, х, ^ , подобном виду уравнения движения материальной точки, является весьма удобным, так как даёт возможность непосредственного определения из этого уравнения координаты х(/) перемещающегося контактного разрыва. Такое представление позволяет применять для решения рассматриваемых задач эффективные аналитические и численные методы.

Выводы

На основе подхода Лагранжа в одномерной постановке рассмотрена задача расчёта динамики движения несжимаемых жидких сред с контактными разрывами в каналах сложных геометрических форм. Получены основные уравнения движения. Показано, что в общем случае расчёт параметров движения сво-

дится к решению задачи Коши для некоторого обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, относительно координаты одного из разрывов и разрешённого относительно старшей производной. Показано, что расчёт параметров, определяющих динамику движения несжимаемых жидких сред с контактными разрывами в разветвлённых каналах, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно координат разрывов.

Даны рекомендации для учёта особенностей расчёта ударного повышения давления при заполнении сжимаемой жидкостью каналов с местными гидравлическими сопротивлениями, а также - для учёта явлений перераспределения расходов жидкости между основным и ответвлённым каналами на режимах их заполнения.

Литература

1. Озерский А.И., Полухин Д.А., Сизонов В.С. Исследование одномерных движений жидких масс с контактными разрывами в магистралях, содержащих насосы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. № 2. С. 143-150.

2. Озерский А.И., Полухин Д.А., Сапрыкин В.И., Сизонов В.С. Затекание жидкости в ответвление от основной магистрали // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. № 5. С. 166-169.

Поступила в редакцию

3. Озерский А.И., Полухин Д.А., Сапрыкин В.И., Сизонов В.С. Об ударном повышении давления в жидкости при заполнении ею трубопроводов с местными сопротивлениями // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 1. C. 163-166.

4. Озерский А.И., Сизонов В.С., Сапрыкин В.И. и др. К расчёту движения газонасыщенных жидких масс в канале пористого фильтроэлемента переменной площади сечения с учётом трения и перегрузок // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. № 3. С. 98-102.

5. Бабенков Ю.И., Озерский А.И., Сапрыкин В.И. К модели расчёта динамики газового пузырька в газожидкостной среде // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008. № 2. С. 18-20.

6. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М., 1975.

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2 М., 1973.

8. Озерский А.И., Сапрыкин В.И., Сизонов В.С. и др. Способ определения коэффициента сжатия струи в гидравлических сопротивлениях: А.с. № 1442725 от 08. 08. 1988.

9. Милн-Томсон М.Л. Теоретическая гидродинамика. М., 1969.

10. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М., 1979.

11. Родкевич, Руссел. Гидромеханические процессы в разветвляющихся сосудах артериальной системы // Тр. Американского общества инженеров-механиков. 1973. № 1. С. 179.

12. O'Brien, Ehrlich L.W., Friedman M.H. Unsteady flow in a branch // Appl Phys. I. Fluid Mech. 1976. Vol. 75. Pt 2, P. 315.

13. Бернулли Д. Гидравлика или записки о силах и движениях жидкости. М., 1969. С. 550.

3 июля 2008 г.

Озерский Анатолий Иванович - канд. техн. наук, доцент кафедры безопасности жизнедеятельности Ростов-ского-на-Дону государственного университета путей сообщения. Тел.: (863)2-72-63-11.