CC BY
135. Программа вычислений и расчеты. Составлена программа расчета на основе пакета Maple. Приведем пример тестового расчета пластинки на изменение температуры по закону T (х, y) = Tmax(1 - 2y / ly). Такое распределение температуры рассматривается для балок в [1-3]. Эпюры напряжений для конечно-разностной сетки 40 х 40 приведены на рисунке. Значения напряжений, приведенных на эпюрах, следует умножить на постоянную a Tmax .
6. Характер распределения напряжений стх согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в балках, рассмотренных в [1-3]; исследования сходимости решений в напряжениях от сгущения сетки показали достаточность редкой сетки, что позволяет внедрить метод решения рассмотренной задачи в учебный курс теории упругости.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П. Теория упругости. ОНТИ. М. ; Л., 1937. 451 с.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
3. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.
4. Механические свойства материалов с эффектом памяти при сложном температурно-силовом воздействии и ортогональном нагружении : монография / под ред. И. Н. Андронова. Ухта: УГТУ, 2010. 191 с.
References
1. Timoshenko S. P. Teorija uprugosti. ONTI. L.-M., 1937. 451 s.
2. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti. M. : Nauka, 1975. 576 s.
3. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov. M. : Nauka, 1986. 560 s.
4. Mehanicheskie svojstva materialov s jeffektom pamjati pri slozhnom temperaturno-silovom vozdejstvii i ortogonal'nom nagruzhenii: monografja/pod red. I. N. Andronova. Uhta : UGTU, 2010. 191 s.
© Сабиров Р. А., 2013
УДК 539.3
К РАСЧЕТУ устойчивости изотропной пластины, нагруженной
В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ СИЛАМИ ИНЕРЦИИ
Р. А. Сабиров, А. В. Быков
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-mail: [email protected]
Рассматривается подход к расчету напряженно-деформированного состояния и поиску собственных значений пластинки, загруженной силами, действующими в плоскости базисной поверхности.
Ключевые слова: расчет пластин, устойчивость, вариационно-разностный метод.
CALCULATING STABILITY OF THE ISOTROPIC PLATE LOADED IN THE PLANE INERTIA FORCES
R. A. Sabirov, A. V. Bykov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: [email protected]
Approach to calculate the intense deformed condition and to search for the values of a plate loaded by forces operating in the plane of a basic surface is considered.
Keywords: calculation of plates, stability, variation and differential method.
Дифференциальная формулировка задачи о выпучивании изотропной пластинки описывается уравнением равновесия Сен-Венана [1; 2]
D
ах4
+2
л г д2 w лг
= ^ ^ + Ny
д4 w дх2 dy2
д2 w
4
д w
"5/
2S 5 2 w
—2—+ 2SXy-
dy2 dxdy
+qz
(1)
функция прогиба; дг - нормальная плоскости пластинки нагрузка. Мембранные усилия Ых, Ыу , £
выражаются через перемещения нейтрального слоя пластинки и = и(х, у), V = v(х, у):
Nx =
Eh
Здесь D - цилиндрическая жесткость, w = w(х, y) -
Ny =
1V
Eh
1V
du dv
— + ц—
дх dy
dv du
— + ц—
dy дх
Проектирование и производство летательных аппаратов, космические исследования и проекты
8 = ху 2(1 + ц) VдУ
ди ду — +—
дх
(2) 82 Эл =52(51Эл ) = -
д ( ди + ду| +1 - ц дх ^дх ду) 1 + ц
д
( -а
д2 и
я2 А
д и
дх1 ду2
ди + ду | + 1 - ц ду V дх ду ) 1 + ц
\ ( я2
д2 у д2 у л дх2 ду2
2(1 -Ц)|
ЕН '
2(1 — ц) ^ ЕН '
(3)
(4)
2(1 -ц2)'
+1ду
„ ди ду 1 -ц( ди ду +2ц--+ —-I — + —
дх ду 2 V ду дх
йхйх +
у=ь
(Хи + Уу)йхйу + | (
у=0
СТ.и +ТХуу1
йу
I (( + Т*хи)
х=0
х=0
у=Ь
у=0
(6)
и добавим главные граничные условия: и = и
В (6) стх
"ху ■
Ъу , Т ух
- заданные напряжения. Вы-
у=Ь
51Эл =||(Х51и + У8у)йхйу + | (стх§1и + г*ху81у)(}у
у=0
I ((81у +т*х81и)
х=0
у=Ь
у=0
(7)
Е
Л
(1 -ц2)"
д82и 551и + 552у 551у + дх дх ду ду
где Е - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; Н - толщина пластинки. В качестве уравнений для вычисления мембранных усилий известны уравнения, полученные в [3]:
Ш
( д82и 551у + 551и 552у V дх ду дх ду
+1 -ц \ д82и + д82у |Г 551и + 551у
ду
дх
ду дх
+1 -ц \ д82и + д82у |Г 551и + 551у
ду
дх
ду дх
йхйх, (8)
Здесь дх (х, у) = НХ, ду (х, у) = НУ , д2 = 0 . Объемные силы X = рgnx, У = рgny зависят от плотности материала р, ускорения g и коэффициентов перегрузки пх , пу .
Уравнения (3) и (4) не содержат функции прогиба, поэтому задача распадается на две. В первой задаче по формулам (3) и (4) вычисляем перемещения и усилия по формуле (2). Во второй задаче уравнение (1) в дискретной форме, с известными усилиями представляет собой обобщенную проблему собственных значений:
[ А]{й} = 5 [ В ]{й•}, (5)
где матрица [А] - порождается левой частью уравнения (1), правая часть уравнения (1) дает матрицу [В~]; {й} - собственный вектор; 5 - собственное число.
Формулировка уравнений (3), (4) может давать матрицу [В] особенную. Поэтому заменим дифференциальную формулировку первой задачи формулировкой интегральной
^ , ч Е гг (диV (дул2
Эл (и,у) -^Ц
как для вычисления правой части системы уравнений
и 8ъ ^ я -Л ^ дЭл(и,§1«) 8 . ,,
Ьi = б1Эл(и,81и) = ^—^—-—81иг ; / = 1,2,...,р ;
г=1
ди,
я\иг =
(9)
1, при г = I, [0, при г ф I,
так и для формирования коэффициентов этой системы уравнений
■А д (-Д дЭл(и,8-.it,82и)
ау =
к=1 дик V г=1
ди
8\и г
82ик =
(10)
82ик =
1, при к = I,
81иг =
[0, при к ф I, 1, при г = у, [0, при г ф у,' I = 1,2,...,р ; ] = 1,2,...,р Здесь и = (и1,и2,...,ир) - вектор перемещений для р переменных и вариации вектора перемещений: 81и = (81и1,81и2,..., 51ир),
я2и = (82и1, 82i2,■■■, 82ир ) .
Для реализации задачи методом конечных разностей наложим на область пластинки прямоугольную равномерную сетку
= {(х = 'йх, у у = уйу ^' = 0,1..., т у = 0,1,..., п}
на отрезках [0, гх ] и [0, гу ]. Здесь х = х^ и у = у у -узлы сетки; йх = ,х / т и йу = гу / п - шаг сетки, а ,х и гу - размеры пластинки по направлениям осей координат х и у . Эту сетку с узлами /, у назовем основной сеткой. Введем дополнительную сетку с узлами [(х^ = йх /2 + 1йх, у у = йу /2 + уйу), 1
ражение (6) содержит производные функций перемещений меньшего порядка по сравнению (3), (4); матрица [ В~] всегда симметричная. Используем первую и вторую вариации функционала (6)
^ 1 I = 0,1,..., т -1, у = 0,1,..., п -1 Континуальную область в (7) и (8) заменим дискрет-
т-1 п-1
ной Л( }йхйу = )йхйу, а дифференциальные
5 4=1 П=1
операторы заменим конечно-разностными аналогами.
Приведем тестовый пример расчета пластинки, назначив X = 1, У = 0. Размеры ,х = 0,8 м; гу = 0,6 м.
Материал пластинки имеет характеристики
Е = 1010 Па
и ц = 0,45 . Внутренние мембранные усилия покажем на рис. 1, а деформированный вид на рис. 2.
2
х
у
х=0
б
Рис. 1. Эпюры внутренних усилий: а - продольные Nx ; б - продольные Ny ; в - сдвиговые Sxy
/ 1
/
\
\ \ \ \
О 10 20 30 40 :j ЙО 70
б
Рис. 2. Деформированный вид базисной поверхности: а - перемещения и ; б - выпучивание пластинки, то есть первая равновесная форма
а
в
а
Рассмотренный подход к расчету «продольно-поперечного изгиба» пластин может быть использован для подбора и анализа геометрических и жестко-стных параметров панелей при заданном ускорении или торможении, применяемых в технике.
Библиографические ссылки
1. Théorie de l'Élasticité des Corps Solides. Paris, 1883.
2. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. Л. ; М. : ОГИЗ, 1946. 532 с.
3. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
References
1. Théorie de l'Élasticité des Corps Solides. Paris, 1883.
2. Tymoshenko S. P. Stability of elastic systems. State publishing house of technical and theoretical literature. M.-L., 1946. 532 p.
3. Timoshenko S., Goodier J. N. Theory of elasticity. M. : Science, 1975. 576 p.
© Сабиров Р. А., Быков А. В. 2013
УДК 629.783:656.073.7
СПОСОБЫ УМЕНЬШЕНИЯ МАССЫ КОНСТРУКЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
И. В. Филимонов, А. К. Шатров
ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева» Россия, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52
Созданные на базе негерметичного исполнения космические аппараты отличаются долговечностью, простотой конструкции, модульностью, большим сроком активного существования, а также меньшей массой по сравнению с герметичным исполнением. В статье описаны способы уменьшения массы конструкции за счет применения адгезивных и композиционных материалов.
Ключевые слова: конструкция КА, масса КА, негерметичное исполнение.
