CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Т о м IX
197 8
№ 5
УДК 532.525.011.55.011.6
К РАСЧЕТУ ТЕМПЕРАТУРЫ ЗАМОРАЖИВАНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ ГАЗА В СОПЛАХ
В. Н. Комаров, О. Ю. Полянский
Приведены результаты параметрических расчетов температуры замораживания колебательных степеней свободы азота в плоских соплах. Обсуждается возможность пересчета данных о температуре замораживания колебаний, полученных для течений заданного газа при заданных временах релаксации в соплах заданной формы на иные газы, иные времена релаксации и сопла иной формы.
1. Рассмотрим неравновесные течения газов с возбужденными колебательными степенями свободы при отсутствии диссоциации. Ограничимся моделями, для которых уравнение кинетики колебаний имеет вид
Лек___ еКр ек
41 т ’
а время релаксации т имеет структуру
В
т = Л- ехр АТ 1/3 . Р
Здесь ек — энергия колебания, равная
/?0
е«=—і [е*р-тк-Ч’
(2)
(3)
* — время; Т и Тк — температура активных и колебательных степеней свободы соответственно; р — давление; екр — колебательная энергия в равновесном состоянии; в — характеристическая температура колебаний; А и В — константы, зависящие от химической природы газа, универсальная газовая постоянная; |а — молекулярный вес.
Известно, что такие течения в соплах геометрически подобных форм будут подобны, т. е. все безразмерные газодинамические переменные (Т/Т0, р1р0 и др.) являются функциями безразмерных координат х/1, уЦ, г)1 и параметров подобия,
если будут одинаковы безразмерные параметры где
)=у~, Ы = АТо'1\
Ь N и р [1],
СУ
Ро1
-1/3
у*Ь
ср!су— отношение теплоемкостей активных степеней свободы, индекс .0* относится к параметрам торможения в форкамере; / — характерный линейный размер (для осесимметричных течений в качестве / обычно берется радиус критического сечения г*,, а для плоских — высота критического сечения Л). Очевидно, если рассматривать течения одного и того же газа, например азота, при фиксированной температуре Т„, то единственным параметром подобия будет р или произведение роЛ поскольку для этих условий 0, х. N,446 одинаковы.
В рамках квазиодномерного приближения класс подобных течений в соплах, может быть еще более расширен за счёт расширений класса форм сопл, допускающих подобие. При этом характерный линейный размер / будет включать-в себя наряду с г* (или А) также параметры, характеризующие угол раскрытия сопла. Так, например, для сопл с контуром
г = г,
или
(5)
(6)
параметр / имеет вид ■ .
..(7)
здесь х—координата вдоль сопла; ф — угол асимптотического конуса для осесимметричного сопла или клина — для плоского сопла. . • .> ,
2. Во многих случаях необходимо знать температуру замораживания колебаний Ткр Данные о Гк/ для течений азота в осесимметричных соплах с контуром (5) приведены в работах [2 — 4]. На фиг. 1 приведены результаты параметрических расчетов температуры замораживания для течения азота в плоских
Фиг. 2
соплах с контуром (5) (этот контур — гипербола с асимптотой r = xtg^\|). Здесь вместо р традиционно (см. [2 —4]) используется параметр К
К= „ . (8)
2 т0/? Го/ех “ 2/2 '
Времена релаксации рассчитывались по формуле Финни [3]
\і/з п 1
ТВ Г/ е \1
(9>
[р — в Па, с =1,8 Пас (эти результаты на фиг. 1 нанесены сплошными линиями)} и по формуле Милликена — Уайта [5], рекомендованной в обзоре [6] (штриховая линия на фиг. 1):
*р=105.ехр [а(2—1/3 — 0,01561/4)- 18,42] Па.с. (10)
Для азота а ==200, 1> = 14.
Эти данные получены в результате интегрирования уравнений газовой динамики и кинетики, описывающих квазиодномерное течение азота. Методика интегрирования изложена в [7]. На фиг. 2 приведены типичные распределения температур Т и Тк вдоль сопла, т рассчитывалось по формуле (9).
9 — Ученые записки № 5
121
3. Наряду с формулами (9) и (10) для расчета времени колебательной релаксации азота при течении в соплах нашли применение формула Блэкмена [8]
хр= 1,Ы0-6 Г_1/2ехр^-^-^ Па-с (11)
■и формула Сибэчера [9]
т р = 3-10—7 ехр (181 Г-1'3) Па-с. (12)
В таблице приведены времена колебательной релаксации т азота (в секундах) при давлении р=105 Па, вычисленные по приведенным выше формулам (9)-(12)
т, к Автор, формула 1000 1500 2000 3000 4000
Милликен—Уайт (10) 6-10“2 3,8-10~3 6,4-10—4 6,7-10—5 1,7 • 10—5
Блэкмен (11) 1,7-10—3 2,4-10—4 1,1-10—4 2,7- Ю~5 1,2-Ю-5
Финни (9) 7-10~4 2-10—4 7 -10— 5 2,4-10—5 1,2-10“5
Сибэчер (12) 2,2-Ю-4 2,5-10—5 5,5-10—6 9-10~7 2,7-10—7
Даже если не принимать в расчет данные Сибэчера [9], которые подвергаются сомнению [10], то все равно расхождение в значениях г, особо при относительно небольших температурах, достаточно велико*. Поэтому значения температуры замораживания, рассчитанные при использовании различных данных для т, могут заметно отличаться. (Типично: двукратное изменение z приводит к 15%-ному изменению Тк/).
Если времена релаксации ^ и т2 имеют структуру (2) и отличаются только предэкспоненциальным множителем В, то, имея в распоряжении графики зависимости Тк fl Т0 —f(K), полученные для и заданного Т0, можно точно, в рамках теории подобия, определить Тк1То для того же Т0 и другой зависимости т = = т2. Для этого нужно вычислить значение параметра К, соответствующее т2, и использовать зависимость TKflTQ{K), полученную для В правомерности этого легко убедиться из анализа параметров подобия (4). Если же выражения для т, и т2 отличаются коэффициентом А, то в рамках теории подобия аналогичный простой пересчет невозможен. Однако для оценки температуры замораживания Тк f при т = т2 можно поступить следующим образом (полагаем, что зависимость Тк/1То(К) при т = известна):
а) оценивается область температур Т, где должно происходить замораживание колебаний (ориентировочно можно принять Т = 0,8 Тк f, итерации позволяют найти эту область достаточно точно);
б) в этой области т2 аппроксимируется формулой вида
т2 = В2 exp j4i Т~1/3 (вообще В2 Ф &2)-
Дальнейшая процедура такая же как для предыдущего случая (А2 = А^).
Апробирование такой методики на конкретных примерах показало ее удовлетворительную точность. Так, точность определения TKflTo по этой методике для сопла с контуром (5) и т [5] в диапазоне 3100 при Го = 3000 К с использованием зависимости TKflT0(K), полученной при т [3] (см. фиг. 1), находится в пределах 10%.
4. В некоторых случаях, имея в распоряжении зависимость TKfjTQ(K, То),
полученную для сопл с одним распределением площадей FjF* = Fi(х), можно приближенно вычислить TKflT0 для сопл с иным распределением площадей. Например, можно вычислить TKf для течений в плоских соплах пересчетом зависимостей TKflT0=f(K, Т0), полученных для осесимметричных сопл с таким же контуром г = г (х).
* По расчетам С. А. Лосева и др. [И, 12] влияние ангармоничности колебаний не может привести к столь большим изменениям т.
Предлагаемый ниже приближенный способ пересчета основан на методе мгновенного замораживания при использовании критерия замораживания Финни [13], согласно которому температура замораживания находится из соотношения
deKp (Т) екр (Т)
Лё х(Т, р) ‘
Это соотношение можно представить в виде [3, 4]
?(7\ Т0) = К,
где
р г(Т) 1 dEKp I rf(F/F.)\-i d(FIFJ и 9 Ро г (Т0) Екр dt ^ dT ) 2 die V2 R Т0 ’
г = рх, х = jc//, К определяется формулой (8). Очевидно, что если известна зависимость ?=_^i(7b, Т1Т0), полученная для течения в сопле с отношением площадей FjF* = Fi(x), то функцию <р = <р2 для FjF# = F2 (х) можно вычислить по формуле
Ъ (То. TIТ0) = fl (Т0, TIТ0) С (Го, 7’/7’0), (13)
где
do
d F^dx
Например, для сопл с контуром (5) в осесимметричном случае /■'=JFi=l-f-■+ х2, а в плоском F = F2 = Y1 + х2, I = ф и
(1S)
где q = FJF — приведенный расход. Аналогично для формы сопла (6) С==1Л?/2.
Величина С вычисляется из соотношений для равновесного течения газа с возбужденными колебательными степенями свободы; ее можно также вычислить приближенно из соотношений для совершенного газа с -j = const. Так, для 7 = 4F 1,35 формула (15) дает
Т\Та . . .0,850 0,747 0.700 0,638 0,600 0,540 0,500 0,400 0,300 q . . . .1,00 0,900 0,814 0,684 0,605 0,480 0,400 0,234 0,110
С......... 0,707 0,655 0,610 0,540 0,493 0,420 0,375 0,270 0,175
Заметим, что погрешность в Тк f, обусловленная приближенным вычислением С, как показали расчеты, невелика (около 1%) и значительно меньше общей погрешности метода мгновенного замораживания. Как показали расчеты суммарная погрешность в определении TKfjT0 по предложенной методике, формулы (13) — (15), для сопла с контуром (5) в диапазоне З^К<Ю0, 2000■< Т0■<4000 К (пересчет данных [2] для осесимметричных сопл на плоские) близка к 5И.
В соответствии со сказанным, пересчет зависимости Тк ft 70=/(К, То) осуществляется по формуле
Ка (То. Тк/1Тц) = Ki (То, TKfIT0)r(TKfl70, Т0),
где К = Кг (Т0, TKflТо) — известная зависимость, полученная для F/F* = У7! (*), а К — К2(То, TKflT0) искомая зависимость для F0IF* = F^x).
ЛИТЕРАТУРА
1. А г а ф о н о в В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение*, 1972.
2. Саяпин Г. Н. Неравновесвые течения кислорода и азота в соплах с учетом возбуждения колебательных степеней свободы. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 6, 1977.
3. Phinney R. Nondimensional solutions of flows with vibration relaxation. .AIAA J.\ vol. 2, N 2, 1964.
4. Чирихин А. В. Метод расчета температуры замораживания течения азота в гиперзвуковом сопле. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 6, 1971.
5. М i 11 i k a n R. С., White D. R. Systematics of vibrational relaxation. ,J. Chem. Phys.“, vol. 39, N 12, 1963.
6. T а у 1 о r R. L., Bit term an S. Syrvey of vibrational relaxation data for processes important in the C02—N2. „Laser system Reviews of Modern Physics', vol. 41, N 1, 1969.
7. Бударина М. Ф., Комаров В. H., Саяпин Г. Н. Расчет неравновесных течений воздуха в соплах. Труды ЦАГИ, вып. 1701, 1975.
8. Блэкмен В. Колебательная релаксация в кислороде и азоте. Сб. статей „Газодинамика и тепловой обмен при наличии химических реакций*. М., Изд. иностр. лит., 1962.
9. Sebacher D. I. A correlation of N2 vibrational-translational relaxation times. „А1АА J.“, N 4, 1967.
10. MacDonald J. R. Interpretation of sodium line-reversal measurements in rapid expansions of nitrogen. „J. Chem. Phys.“, vol. 57, N 2, 1972.
11. Лосев С. А. Кинетика релаксационных процессов в ударных волнах и охлаждающихся потоках газов. „Физика горения и взрыва", 1973, № 6.
12. Британ А. Б., Лосев С. А., Макаров В. Н., Павлов В. А., Шаталов О. П. Дезактивация колебаний молекул углекислого газа в охлаждающем потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1976, № 2.
13. Phinney R. Criterion for vibrational freezing in nozzle expansion. „AIAA J.“, vol. 7, N 2, 1963.
Рукопись поступила lOjX 1977
