CC BY
34
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том V 1974
№ 2
УДК 629.735.33.013
К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ
В. И. Гришин
Приводятся коэффициенты матрицы жесткости плоского анизотропного треугольного элемента с линейным изменением перемещений внутри его и описание программы расчета напряженного состояния анизотропных пластин методом конечного элемента.
Дано сравнение результатов расчета с известным точным решением задачи о растяжении пластины с круговым отверстием при различных аппроксимирующих сетках, произведены расчеты концентрации напряжений в растягиваемом образце с двумя поперечными надрезами.
Полагаем, что исходная пластина (фиг. 1) может быть представлена в виде системы из элементов с известным законом распределения напряжений либо
перемещений внутри каждого элемента.
Запишем перемещения узлов пластины в виде вектора
илг/
каждая составляющая которого 8;
где узла I в
Фиг. 1
и,-, VI — соответственно перемещения направлении осей Ох и Оу.
Для определения неизвестных перемещений узлов сетки 5 воспользуемся условиями минимума полной потенциальной энергии Э системы в состоянии статического равновесия
дЭ 1дЬ = 0;
(О
здесь Э = V—1Г; V— энергия деформации системы, V/ — потенциальная энергия внешних сил К, приложенных в узлах системы. Полную потенциальную энергию системы подсчитываем как сумму энергии деформации каждого элемента V,- и потенциальной энергии внешних сил Я, т. е.
ЛГ, ■_______
Э = ^1'у-Ят8,
/=1
где ЛГ—число узлов сетки, — число элементов сетки. 180
Тогда уравнение (1) принимает вид
д 5/ " д 5і
Здесь і=1,2............/=1, 2, . . ., Л^; /?г =
Вычислим изменение потенциальной энергии типового элемента. Уравнение (3) может быть_истолковано как условие равновесия узла г под действием внешней нагрузки /?/, и первый член выражения (3) есть не что иное, как сумма реакций, возникающих в окружающих узел элементах.
Рассмотрим равновесие плоского треугольного элемента постоянной толщины к узлам которого 1, 2, 3 приложены силы, составляющие вектор узловых сил /?эл = (Я*!, ЯХ2> Яхз> #у1. Яу2. Яуз)Г- Перемещения узлов элемента характеризуются вектором 8ЭЛ = (И1> «а. из> ®1> ®з)Г- Полагая, что перемещения и и
V внутри элемента зависят линейно от координат х, у, получим [1]:
Для перемещения V получим выражение, аналогичное (4), заменяя их, м2, н3 соответственно на щ, г/2> Щ- Деформации элемента определяются известными соотношениями. Запишем их в матричной форме
Применяя обобщенный закон Гука[3] для плоского напряженного состояния, найдем напряжения в элементе, выраженные через перемещения узлов
и = — [(*2 Уз — ХзУ* + Ун х + лг32 у) щ + (х3 у1 -х 1у3+ уп х 4- х13 у) и2 + + (*іУ2 —*2Уі + Уі2* + *2іУ)Из], і где .Р— площадь треугольного элемента,
(4)
/=■= — (*12 У23 — -«23Лг). У12 = Уі — Уз и т. д.
(5)
(6)
Здесь
1 — Iхх у '-'•ух
Ех Еу аху
COS4 ot sin4 a 1 sin4 a COS4 a
+ ' ' '
Ei
Oxy~Ga + gi -P*y
+ et р Су *1 + Е2 +е’
с Л*і2 1 \ Еу
, —£*Ui ~ 4 Рух — H-jry £х
sin 2 а; ч]2 = ^ COS2 a sin2 a '
£2 Et \
f sin* a cos2 a _ __
%= \—еГ-~ЕГЛ'^)sin 2 a; ъяя{—ЕГ-—ВГ-'ь)Лп2а'>
1 / 1 2Ц12\ 1 / 1 2[л13\
e “ T (or, - -ИГ) sm 2 a; 1)3 = T - ir) C0S 2 a;
1 + , 1 + H-21 1 \ . . n
g~\ Ег + £2 , G)sin 2 ■
Потенциальная энергия /-го элемента равна
vj = ~Y I tJaj'dVj'=‘~Y4^^bjBlli
VJ
(7)
где V =7-Р, К9Л = ^Ет \VEdjV, а производные потенциальной энергии по ком-
V '
понентам вектора узловых перемещений выражаются матричным соотношением
дУу _
= АГэл ®эл>
где К — матрица жесткости элемента, К — <'.Р(*І;-), і— 1, 2,.. ., 6,/=1, 2,..., 6, коэффициенты которой Ки — К л согласно (7) имеют следующий вид:
*11 = ^1,— 2 СъХъУъ + Се *23 >
*12 = с3 У23 — (с2 4" Сб) *23 У23 *ЬС5 *23 •
*13 = С1 У23 Узі — С3 (*31 Лз + *23 Узі) + С6 *23 *81»
*14 = (с5 *23 ~ с2 Угз) *зі + (Сд У 28 ~ сб*гз)_Уи>
*15 = С1 .У12.У23 — с13 (*12 У 23 + *23 У12) 4“ с6 *12 *23>
*16 = (с5 *23 — с2 Угз) *12 4- (С3 У23 — С6 х2з)Уп>
*23 — с4 *23 ~ 2 с5 лт23 у2з + сб _Угз >
*23 = (С3 У23 — С2 *23) Узі (С5 *23 — с6 У2з) *3і!
*24 — с4 *23 *31 — СЬ (*23 У31 + *31 У2і) + с6 У23 У31>
*25 ~ (С3 Уп — С2 *2з) У12 + (С6 *23 — Св Лз) *12!
*26 = С4 *12 *23 — сб (*12 У23 + *23З'їг) 4~ С6 У12 У23>
*33 = СіЗ,31 — ^ С3ЛГ31 Уы + «в *31 *34 == С5 *31 — (С2 4" еб) *31 Узі + СЗУ\\ )
*35 == сіУпУві — с3 (*12 Узі + *31 Уїз) ~Ь Сб *13 *31»
*36 — (С5 *31 — С2.УзО *12 + (с3 Уз1 — с6 Х31)уи;
К и = С4 *31 — 2 съ х31 у31 + съу\х;
*45 = (с5 *12 — С2 У12) *81 + (С3 У\2 — с6 *12) УЗЬ *46 = с4 *13 *31 — с5 (*12 У31 + *31 У12) + с6 У12 У31»
*55 — С1У12 — 2 с3 Хщ _у12 + с6 ;
*56 = с5 *12 — (С2 + Св) *12 У12 + с3 У12 >
*66 = С4 *12 — 2 С5 Х12^12 + С8^12 •
Так как потенциальная энергия подобного элемента является квадратичной функцией перемещений его узлов (7), следовательно, уравнение (3) представляет собой систему линейных уравнений
Л6~=Я, (8)
матрицу которой А назовем матрицей жесткости конструкции. Так как в одну строку системы (8) входят лишь коэффициенты реакции на единичные смещения от непосредственно окружающих узел элементов, матрица А будет слабо запол-некной, что в дальнейшем учитывается при программировании.
50
40
30
20
10
О
Вычислительная программа была составлена на алгоритмическом языке Алгол. Программа позволяет получать напряженно-деформированное состояние в пластинах переменной толщины. Поверхность пластины при этом разбивается семейством пересекающихся линий на N точек, являющихся узлами сетки, в которых задаются условия о нагружении и закреплении пластины (смешанные либо кинематические граничные условия). Подобная универсальность программы обеспечивает применимость ее к решению задач о напряженном состоянии в пластинах с одним или двумя концентраторами напряжений в форме круговых и овальных отверстий, выточек, подрезов и т. д. Время счета программы в оперативном запоминающем устройстве ЭЦВМ БЭСМ-6 и допустимое значение числа делений по сторонам аппроксимирующей сетки К X £ приводятся на фиг. 2.
Для иллюстрации точности метода, его возможностей и возможностей программы расчета приводятся решения двух задач. Первая задача (фиг. 3) — о растяжении квадратной пластины с отверстием - имеет точное решение [2]. В расчете ширина пластины ограничивается 12 радиусами отверстия. Материал
расчетные точки
Число возможных параметров сетни для машины БЗСМ-6
К 1 Узлоб Перемещений л=2л
4 150 ООО 1200
в Ы 384- 760
12 23 276 552
18 15 2Ы Ш
Фиг. 2
----изотропная
----анизотропная
Фиг. 4
пластины — трехслойный фанерный лист, проклеенный бакелитовой пленкой со следующими характеристиками при а = 0:
Ех = 1,2 X 106, е2 = 0)б X Ю5, о = о,07 X 105,
р-12 ~ 0,072, р-21 — 0,036.
^ За_скалярную характеристику разбиения на элементы принимался параметр Н — где — площадь наименьшего четырехугольного элемента, образо-
ванного двумя треугольными.
Вторая задача имеет важное практическое значение для определения предела прочности при сдвиге новых [3], в частности, композиционных материалов путем растяжения образца с разрезами (фиг. 4).
По кромкам образца задаются кинематические граничные условия:
и = 1, = 0 при х — а; |
н = — I, 1/^ = 0 при х = —а. )
Интенсивность касательных напряжений будет характеризоваться величиной коэффициента концентрации
Фиг. 6
здесь ттах — наибольшее напряжение в образце, -с0 = р/2 К— среднее напряжение в сечении между разрезами, р — сила, необходимая для выполнения граничных условий (9) натурного образца.
На фиг. 5 даны линии равных значений коэффициента концентрации К, в типовом образце.
Значение Кх для практически приемлемого диапазона изменения параметров ЦЬ и Е2/Е1 при а = 0 приводятся на фиг. 6;
[*12 :
2(1+ Н-2і) ’
На фиг. 6 видно, что уменьшение расстояния между разрезами и увеличение анизотропии материала Е-^Е^ приводит к уменьшению коэффициента /Ст , т. е. к выравниванию напряжения в этом сечении (см. фиг. 4), а следовательно, к большей точности получаемых экспериментальных данных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гришин В. И. О концентрации напряжений в растянутой пластине с отверстием, подкрепленной центральным поясом. .Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.
2. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М. —Л., ГИТТЛ, 1950.
3. Методы статических испытаний армированных пластиков. Справочное пособие под ред. Ю. М. Тарнопольского, Рига, „Зинатне“, 1972.
Рукопись поступила 2) VI 1973 г.
