К прогнозу изменения долгосрочной задолженности в модели денежного потока для собственного капитала Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Оптимизация кредитной линии

к прогнозу изменения долгосрочной задолженности в модели денежного потока для собственного капитала

А.Г. ПЕРЕВОЗЧИКОВ, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН, начальник управления оценки ЗАО «Профессиональный центр оценки и экспертиз»,

Москва

рассматривается задача прогнозирования изменения долгосрочной задолженности в модели денежного потока для собственного капитала в рамках доходного подхода для оценки бизнеса [1, 2]. Проблема состоит в том, что обычно выбирается именно модель денежного потока на собственный, а не на инвестированный капитал в связи с тем, что ее текущая стоимость непосредственно дает искомую стоимость собственного капитала. При этом подразумевается, что для получения стоимости собственного капитала через текущую стоимость денежного потока на инвестируемый капитал последнюю следует уменьшить на величину заемных средств. Однако при этом часто забывается, что выбор модели денежного потока для собственного капитала предусматривает прогнозирование изменения долгосрочной задолженности в будущем. Последнее корректно сделать значительно труднее, чем вычесть из инвестируемого капитала стоимость заемных средств. Поэтому, например, рекомендуется, по возможности, использовать модель денежного потока для инвестируемого капитала [1].

каким же образом на практике решается задача прогнозирования изменения долгосрочной задолженности в модели денежного потока для собственного капитала? Предполагается обычно, что предприятие вернет за разумное время имеющуюся задолженность по кредитам и займам, а дальше сможет обходиться без заимствования на денежном и финансовом рынке, как будто современный бизнес возможно вести без использования заемного капитала. Описанная практика свидетельствует о неумении корректно решить задачу прогнозирования изменения долгосрочной задолженности. Последнее связано с принципиальной многовариантностью

финансирования предприятия в будущем за счет использования заемного капитала вытекающей из нее проблемой выбора единственного прогноза изменения долгосрочной задолженности.

Одно из направлений в решении задачи выбора состоит в том, что прогнозируется не изменение долгосрочной задолженности, а текущая стоимость платежей в счет погашения будущей задолженности [3, 4, 5]. При этом текущая стоимость платежей интерпретируется как поправка к результату применения метода дисконтирования денежных потоков без учета внешнего заимствования, такая же, как, например, корректировка на наличие непрофильных активов и дефицит оборотного капитала [1, 2].

Основная идея предлагаемого направления состоит в том, что на самом деле нас интересует не будущее изменение долгосрочной задолженности, а текущее значение стоимости платежей в счет погашения будущей задолженности [3, 4].

Модель денежного потока на собственный и инвестированный капитал. Вначале рассмотрим бездолговой денежный поток на инвестируемый капитал. Бездолговой денежный поток не учитывает суммы выплат процентов по кредиту и увеличение или уменьшение задолженности. данный вид потока рассматривается для определения эффективности вложения капитала в целом. Полученные суммарные величины сопоставляются с полными инвестициями в бизнес, независимо от происхождения последних. Финансовые расчеты с использованием бездолгового денежного потока представляют особый интерес для инвесторов. Бездолговой денежный поток для инвестированного капитала равняется [1, 2].:

финансы и кредит

7

Чистая прибыль + Балансовые начисления (амортизация) — Прирост чистого оборотного капитала, капитальные вложения

Величина бездолгового денежного потока будет обозначаться через qt (, = 1,2,...,п),где п — длительность прогнозного периода, выраженная в годах.

Денежный поток для собственного капитала учитывает дополнительно суммы выплат процентов по кредиту и увеличение или уменьшение задолженности. Если ввести величины годовых платежей в счет погашения долга р,(7 = 1,2,...,п), которые включают проценты и уменьшение основного долга (со знаком плюс) или увеличение основного долга (со знаком минус), то денежный поток на собственный капитал можно записать единообразно в виде qt -р,(, = 1,2,...,п).

Заметим, что величины платежей в счет погашения долга р, могут быть отрицательны. Это означает новый заем величины (-р() > 0 .

Ставки дисконта на собственный и заемный капитал. Обозначим через ¿, g подходящие ставки дисконта на собственный и заемный капитал. Ставка дисконта на собственный капитал представляет собой ставку дохода на вложенный капитал, достижения которой ожидает инвестор при принятии решения о приобретении будущих доходов (например, будущего денежного потока) с учетом риска их получения.

При расчете ставки дисконта обычно используется модифицированная модель оценки капитальных активов (САРМ). Применение модифицированной модели оценки капитальных активов для расчета собственного капитала можно представить в виде следующего равенства [1]:

i = Rf + вЩ -Щ) + + + 53, где — безрисковая ставка;

в — коэффициент бета компании;

Ят — доходность рынка;

— премия за страновой риск;

52 — премия за малую капитализацию;

53 — премия за специфический риск оцениваемой компании.

Если объединить все корректировки к обычной модели САРМ в одну, введя суммарную поправку:

d = + 52 + 53, то основную формулу модифицированной модели САРМ можно записать в виде:

i = +в(Щт - ) + d . (1)

Пусть w — доля заемного капитала в инвестированном капитале компании, определенном по рыночной стоимости, характеризующая структуру капитала. Тогда справедлива формула для коэффициент бета компании с учетом финансового рычага [1]:

р = р *1 + (1 - с)

w

1 - w

(2)

где в * — коэффициент бета компании без учета финансового рычага, определяемая по отраслевым данным;

с — эффективная ставка налога на прибыль.

Ставка дисконта на заемный капитал g определяется обычно средней ставкой по кредитам предприятиям и организациям на дату оценки по данным Банка России.

Кроме ставки на собственный и заемный капитал рассматривается средневзвешенная ставка 7, характеризующая доходность инвестированного капитала (ШЛСС). Средневзвешенная стоимость капитала учитывает в себе все риски, связанные с финансированием деятельности предприятия, как из собственных источников финансирования, так и за счет заемных средств. Стоимость финансирования деятельности предприятия за счет собственного капитала (стоимость собственного капитала) отражает все риски, присущие инвестициям в виде акционерного капитала, в то время как стоимость финансирования за счет заемных средств выражается в процентной ставке, по которой предприятию предоставляют кредитные ресурсы.

Средневзвешенная стоимость капитала рассчитывается по формуле [1]:

7 = (1 - с^ + ¿(1 - w).

При расчете средневзвешенной стоимости капитала доли заемных и собственных средств в структуре капитала рассчитываются на основе рыночных данных по отрасли.

Дисконтирование денежных потоков на собственный и инвестируемый капитал. Обозначим через Х),1, (, = 0,1,2,...,п) текущую стоимость собственного (соответственно — инвестируемого) капитала на конец ,-го года. Тогда справедливы обычные формулы дисконтирования:

Хо =1

qt - р,

+

X

(3)

,=1 (1+i ) (1+i) Постпрогнозная стоимость собственного ка питала и остаток долга получаются по формуле:

х„ = (1 - ^ У.

(4)

Для постпрогнозной стоимости инвестируемого капитала используется формула Гордона [2]:

9я(1 + У)

У = -

(5)

] - V

где V — постпрогнозный темп изменения денежного потока на инвестированный капитал, который считается постоянным в силу предположения о стационарности постпрогнозного периода. Обычно он определяется по долгосрочным прогнозам темпа роста мировой экономики или по прогнозу долгосрочной инфляции [1].

Предположим вначале, что заимствование средств осуществляется в форме кредита, а затем рассмотрим более общий случай кредитной линии, которая практически охватывает все возможные способы заимствования. Последнее вызвано тем, что кредитная линия, по сути, представляет собой набор различных кредитов, различающихся по срокам действия и способам погашения [4]. Конкретный способ погашения займа в форме кредита можно отождествить с вектором р=(р, р2,..,р) с неотрицательными координатами, удовлетворяющим условию [3]:

Р,

2, =1

(1 + Е)'

(6)

где Z0 — величина задолженности на дату оценки.

Предполагается, что выполнено условие рентабельности использования заемного капитала:

I > Е. (7)

Задача оптимизации неотрицательных наборов р, удовлетворяющих условию (6), эквивалентная задаче:

п Р

Д( р) = §о+Ту ^ (8)

при тех же ограничениях на р.

Предложены алгоритмы решения этой задачи, в том числе с дополнительными ограничениями по доходу и бухгалтерской реализуемости кредитов [3]. В частности, показано, что всегда справедлива оценка:

1 + Е 1 +1

1 + Е

2о <Д(р)< —^о. (9)

1 +1 у '

Заметим, что (8) эквивалентно максимизации текущей стоимости собственного капитала (3) по р и дает одно из возможных решений проблемы выбора единственного прогноза изменения долгосрочной задолженности из бесчисленного множества допустимых способов погашения кре-

дита. Для нас важна описанная кредитная модель заимствования именно потому, что она дает ключ к пониманию того, как должно выглядеть решение проблемы выбора единственного прогноза изменения долгосрочной задолженности в общем случае. Предлагаемая схема выглядит следующим образом. На множестве допустимых вводится критерий, за который принимается текущая стоимость платежей Д(р) в счет погашения будущей задолженности, определенная равенством (8). После чего ставится задача минимизации этого критерия, соответствующая максимуму текущей стоимости собственного капитала предприятия.

Основная идея предложенной схемы состоит в том, что на самом деле нас интересует не будущее изменение долгосрочной задолженности, а текущее значение стоимости платежей в счет погашения будущей задолженности. При этом минимальная текущая стоимость платежей интерпретируется как поправка к результату применения метода дисконтирования денежных потоков без учета внешнего заимствования, такая же, как, например, корректировка на наличие непрофильных активов и дефицит оборотного капитала [1, 2]. В любом случае текущая стоимость платежей Д(р) в счет погашения будущей задолженности находится в диапазоне (9).

Постановка задачи сглаживания денежного потока. В случае предоставления кредитной линии на сумму 2 инвестором условие неотрицательности компонент вектора р не учитывается. Таким образом, допускаются отрицательные платежи, то есть новые кредиты. Условие (6) дополняется условием [4]:

0 < St < 2 (, = 1,2,...,я), (10)

где

рк

\к+1

, (, = 1,2,...,я) -

к=/ (1 + Е )к остаток долга на начало года ,.

Условие (10) означает, что остаток долга в любой момент дискретного времени есть величина неотрицательная, т.е. предприниматель не кредитует инвестора, и величина долга не превышает объема кредитной линии 2.

Отождествим кредитную линию с набором (-2, р). Кредитные линии можно складывать покомпонентно как векторы.

Утверждение 1 [4]. Любую кредитную линию можно представить в виде суммы кредитов с интервалами действия, которые могут пересекаться только на концах.

,=1

п

Критерий в задаче оптимизации кредитной линии имеет вид [4]:

f (Z0,p)=z0

pt

t ->max7 p.

It 70'P

(11)

,-1(1+1)

Используя результаты [3] и утверждение 1, можно показать, что тривиальным решением задачи (6), (10), (11) является кредит

(-г№ рм-г,о,..,о,щ+ц)г]

типа сложный процент. При этом максимальное значение критерия равно (сравнить с (9)):

Г=Д1-(+)п/(1+0п ].

Дополнительным ограничением, делающим задачу нетривиальной, может быть, например, условие [4]:

qt — р==с=сот, (,=1,2,..,п), (12)

означающее, что денежный поток на собственный капитал предприятия после выплаты процентов по кредитной линии есть величина постоянная в твердой валюте. Экономический смысл имеют, конечно, только такие решения, когда с>0. Задачу (6), (10—12) будем называть задачей сглаживания потока доходов.

Решение задачи сглаживания денежного потока. Следуя [4], ведем обозначения:

g

1 - (1+g)~ g

'"1 - (1 + g)

-n+t —1

-(Y*t -7);

-Y*,.

Обозначим:

Y * = !«

qk

t k (i+g)k-t+:

(13)

по аналогии с Yt, ,=1,2,..,п.

Утверждение 2 [4]. Для существования решения с* задачи (6), (10—12) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство с1 < с2 .

Если выполняется условие существования решения с* задачи, то оно находится по формуле с *=с1.

Вместо (13) можно использовать рекуррентное уравнение:

Y * =

q'+1 +Y *+1,t = 0,1.....л-1, (14)

1 + g

которое легко решается в XZ-программе.

Исследование параметре в зада чи сгзаж и вания. Заметим, что

c1 = q(Z), c2 = const, Cj(0) > c2.

Обозначим

Y* = maxY*, t = 1,2,...,n.

Тогда, c1(Y*) = 0. В силу непрерывности и монотонности функции сотсюда вытекает существование и единственность такого

е [0,У*] , что 0(2*) = о2.

Утверждение 3 [4]. Задача (6), (10—12) имеет экономически значимое решение тогда и только тогда, когда Z* < Z < Y *.

Метод прямой капитализации нормализованного денежного потока. До сих пор переменная Z0 считалась свободной, если фиксировать ее на уровне остатка задолженности на дату оценки, как в простейшей задаче оптимизации кредитов, то все утверждения останутся справедливыми, кроме утверждения 2, в котором следует положить с*=с2 (15).

Тогда из (3), (12),(15) следует, что справедливо представление:

х = С1 - (1+* )-n + X

X 0 = С2-+ "

(16)

I (1+i)п

для любых Z, удовлетворяющих неравенству: Z* < Z < Y * , (17)

т.е. достаточно большого объема кредитной линии Z.

Предположим, что условие (17) выполнено. В силу (12) с*=с2 можно интерпретировать как нормализованный денежный поток на собственный капитал. Пусть вместо (4),(5) справедлива оценка: Хя = (1 + ])пХ0, (18)

где 7 — прогнозируемый среднегодовой темп изменения стоимости собственного капитала.

Тогда справедлива формула метода прямой капитализации нормализованного денежного потока:

X = С2 х = Г

k • (19) Здесь k — ставка капитализации, определяемая по формуле:

1-

k = i-

1+и 1 + i

1 - (1 + i )-

(20)

Числовой пример. В таблице приведены расчеты, иллюстрирующие метод прямой капитализации. Исходные данные были выбраны следующим образом:

п = 6, i = 16,3%, 7 = 3%, V = 2,3%, с = 24%,

g = 9,2%, w = 0,3.

Полученное значение верхней границы допустимого интервала (17) оказалось равным Y* = 15 240. Нижняя граница интервала Z « Z* = 1 725 была найдена подбором исходя из

n

n

расчет стоимости собственного капитала по формуле метода прямой капитализации нормализованного денежного потока

наименование 1 2 3 4 5 6 значение Примечание

1. Денежный поток, qt, тыс. дол. 2 428 2 927 3 389 3 816 4 160 4 402 — -

2. Расчет У*, тыс. дол. 15 240 14 213 12 594 10 363 7 501 4 031 15 240 По формуле для У*

3. Расчет с, 3 418 3 673 3 904 4 109 4 276 4 402 3 418 По формуле для с2

4. Расчет с. 3 031 3 227 3 370 3 425 3 292 2 518 3 425 По формуле для с1(2)

5. Ставка капитализации, к — — — — — — 0,14 По формуле для к

6. Стоимость собственного капитала — — — — — — 23 836 Стр.2/стр.5

по методу прямой капитализации

равенства с1(2 *) = с2 = 3 418. Последняя величина представляет нормализованную величину денежного потока на собственный капитал при всех объемах заимствования 2 из интервала 2* < 2 < У *. Только в пределах этого интервала справедливы формулы (19),(20) метода прямой капитализации.

Ставка капитализации к = 0,14 была определена по формуле (20). В результате стоимость собственного капитала Х, полученная по формуле прямой капитализации нормализованного денежного потока на собственный капитал, оказалась равна 23 836 тыс. дол.

В заключение отметим, что предложенная схема оптимизация кредитной линии не только позволяет сгладить нежелательные «пики» денежного потока на собственный капитал, но и определенным образом нормализовать этот поток, что позволило использовать метод прямой капитализации для определения стоимости собственного капитала.

Не успели оформить

подписку на 2006 год?

Оформить подписку на журналы Издательского дома «Финансы и Кредит» можно с любого номера в редакции или в одном из агентств альтернативной подписки.

Полный список агентств альтернативной подписки можно посмотреть на сайте : www.financepress.ru.

Тел./факс: (495) 621-69-49, Http://www.financepress.ru

(495) 621-91 -90 E-mail: [email protected]

ЛИТЕРАТУРА

1. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». - Deloitte&Touche. - Декабрь 2003 - март 2005.

2. Оценка бизнеса: учеб./ Под ред. А.Г. Грязновой, М.А. Федотовой. — М.: Финансы и статистика. — 2002.

3. Перевозчиков А.Г., Лапушинская Г.КТретьякова И.В. Оптимизация кредитов в инвестиционном менеджменте /применение функционального анализа в теории приближений. — Тверь: Изд. ТГУ. — 1999.

4. Лапушинская Г.К.., Иванов А.М., Перевозчиков А.Г. Оптимизация кредитных линий в инвестиционном менеджменте / применение функционального анализа в теории приближений. — Тверь: Изд. ТГУ. — 2000.

5. Иванов А.М., Лапушинская Г.К, Перевозчиков А.Г. Предварительная экспертиза прямых инвестиций в промышленность России// Проблемы теории и практики управления. — 2000, №2.