К учету заемного капитала в модели денежного потока для собственного капитала Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

9 (33) - 2010

Оценка бизнеса

К УЧЕТУ ЗАЕМНОГО КАПИТАЛА В МОДЕЛИ ДЕНЕЖНОГО ПОТОКА ДЛЯ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА

А. Г. ПЕРЕВОЗЧИКОВ,

доктор физико-математических наук, академик РАЕН, профессор кафедры финансов и менеджмента

E-mail: pere50@mail. ru Тверской институт экологии и права

Рассматривается задача моделирования денежного потока (ДП) для собственного капитала в рамках доходного подхода для оценки бизнеса. Трудность практического применения модели ДП на собственный капитал связана с отсутствием удовлетворительных моделей прогнозирования задолженности в прогнозный период. Использование модели дисконтирования ДП на инвестированный капитал не позволяет оптимизировать финансирование ДП на собственный капитал. В работе показано, как смоделировать ДП на собственный капитал с учетом оптимизации остатков фактической задолженности.

Ключевые слова: оценка, бизнес, доходный подход, метод дисконтирования доходов, стоимость, собственный, заемный капитал, средневзвешенная стоимость, инвестированный капитал, прогнозирование, структура.

В предлагаемой статье рассматривается задача моделирования денежного потока для собственного капитала в рамках доходного подхода в интересах оценки бизнеса. Из работ [2, 3] известно, что денежный поток Qt на собственный капитал X получается из денежного потока д1 на инвестированный капитал Yt путем учета дополнительно суммы выплат процентов по кредиту и изменения задолженности Zt. Трудность практического применения модели ДП на собственный капитал связана с отсутствием удовлетворительных моделей прогнозирования задолженности Zt в прогнозный период t= 1, 2, п. В документах [2] было рекомендовано задавать долю заемного капитала wt=Zt /Yt на каждый год прогнозного периода с равномерным

изменением от начального уровня w0 до целевого м>п, определенного из анализа отрасли. В статье [5] изучались проблемы учета структуры капитала в двух основных моделях ДП для собственного и инвестированного капитала с учетом рекомендации методологии и руководства [2]. Было показано, что указанный способ учета структуры капитала позволяет однозначно определить ДП для собственного и инвестированного капитала, а также подходящую ставку дисконта (в общем случае переменную) по модифицированной модели САРМ [6].

Использование модели дисконтирования ДП на инвестированный капитал не позволяет оптимизировать финансирование ДП на собственный капитал. Поэтому возможны случаи, когда подсчитанная таким образом стоимость собственного капитала оказывается отрицательной, тогда как при оптимизации задолженности Zt в прогнозный период t= 1, 2, п она может стать положительной [1].

В связи с этим в данной работе показано, как смоделировать ДП на собственный капитал с учетом оптимизации остатков фактической задолженности Zt с учетом того, что объем кредитной линии S= St , предоставленной заемщиком, может зависеть от времени t , например расти вместе с инвестированным капиталом в определенной пропорции. Математически решение указанной проблемы сводится к рекуррентной процедуре, где фактический остаток задолженности Zt пе-ресчитывается по результатам оптимизации остатков задолженности на предыдущем шаге для

t = п — 1, ..., 0 с учетом планируемой задолженности Zn на конец последнего прогнозного года. Рассматривается числовой пример.

1. Основные модели денежного потока. Необходимость выбора денежного потока, на основе которого будет определена стоимость бизнеса, связана с разной степенью риска, присущего финансовым и операционным потокам. В зависимости от цели оценки в качестве предмета рассмотрения могут использоваться различные денежные потоки. Существуют два основных вида денежных потоков [2]:

• денежный поток для инвестированного капитала, или бездолговой денежный поток;

• денежный поток для собственного капитала.

Бездолговой денежный поток не учитывает

суммы выплат процентов по кредиту и увеличение или уменьшение задолженности. Данный вид потока рассматривается для определения эффективности вложения капитала в целом. Полученные суммарные величины сопоставляются с полными инвестициями в бизнес независимо от происхождения последних.

Финансовые расчеты с использованием бездолгового денежного потока представляют особый интерес для инвесторов. Бездолговой денежный поток для инвестированного капитала равняется чистой прибыли до налогообложения и уплаты процентов, скорректированной на ставку налога на прибыль, плюс неденежные начисления (амортизация), минус прирост чистого оборотного капитала, минус капитальные вложения.

В данной работе за основу берется бездолговой денежный поток для инвестированного капитала согласно рекомендациям статьи [3]. Эти советы связаны вот с чем. Как показали специальные исследования, метод дисконтирования денежного потока для бездолгового денежного потока является более устойчивым относительно ошибок определения параметров потока, чем для денежного потока для собственного капитала. Поэтому дальше за основу берется бездолговой денежный поток, величина которого будет обозначаться через qt, I = 1, 2, ..., п, где п — длительность прогнозного периода, выраженная в годах.

Денежный поток для собственного капитала учитывает дополнительно суммы выплат процентов по кредиту и увеличение или уменьшение задолженности. Обозначим через Zt остаток долга на конец 1-го года, через А^ = Zt — Zt _1 — изменение задолженности, через g — среднюю стоимость заемного капитала и через с — ставку налога на прибыль. Ставка дисконта на заемный капитал g определяется

обычно средней ставкой по кредитам предприятиям и организациям на дату оценки по данным Банка России на соответствующие сроки. Если ввести величины годовых платежей в счет погашения долга:

Р1 = 21-1 • g • (1 - с) - = 1, 2,... ,п,

(1)

которые включают проценты и уменьшение основного долга (со знаком плюс) или увеличение основного долга (со знаком минус), то денежный поток на собственный капитал можно записать единообразно в виде qt —р1 = 1, 2, ..., п.

Заметим, что величины платежей в счет погашения долга Р1 могут быть отрицательными. Это означает новый заем величины (—р1)> 0.

2. Ставки дисконта на собственный и инвестированный капитал. Следует обозначить как i подходящую ставку дисконта на собственный капитал. Она представляет собой ставку дохода на вложенный капитал, достижение которой ожидает инвестор при принятии решения о приобретении будущих доходов (например, будущего денежного потока) с учетом риска их получения.

При расчете ставки дисконта обычно используется модифицированная модель оценки капитальных активов (САРМ). Ее применение для расчета собственного капитала можно представить в виде следующего равенства [3]

7 = яг +в(Ят - Яг) + Sl + 5 2 + 5 3, где Rf— безрисковая ставка;

в — коэффициент бета компании;

Rm — доходность рынка;

51 — премия за страновой риск;

52 — премия за малую капитализацию;

53 — премия за специфический риск оцениваемой компании.

Если объединить все корректировки к обычной модели САРМ в одну, введя суммарную поправку ( = 51 + 52 + 53, то основную формулу модифицированной модели САРМ можно записать в виде 7 = +р-(Ят - Яг) + (.

Пусть w — доля заемного капитала в инвестированном капитале компании, определенном по рыночной стоимости, характеризующая структуру капитала. Если структура будет меняться, то ^ = = 1,2,... ,п, является функцией дискретного времени.

Кроме ставки на собственный и заемный капитал рассматривается средневзвешенная ставка У, характеризующая доходность инвестированного капитала (ЦАСС). Средневзвешенная стоимость капитала учитывает в себе все риски, связанные с финансированием деятельности предприятия, как из собственных источников финансирования, так

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения

оценка бизнеса

9 (33) - 2010

и за счет заемных средств. Стоимость финансирования деятельности предприятия за счет собственного капитала (стоимость собствеиного капитала) отражает все р и ски, п рисущие ин вести циям в виде акционерного капитала, в то время как стоимость финансирования за счет заемных средств выражается в процентной ставке, по которой предприятию предоставляют кредитные ресурсы.

Средневзвешенная стоимость капитала рассчитывается по формуле [3] у = у = (1 — + +/ (1 — ^ ).

При расчете средневзвешенной стоимости капитала доли заемных и собственных средств в структуре капитала рассчитываются на основе рыночных данных по отрасли. В результате получается целевая структура капитала, которая принимается за w = wn +1. За начальное значение = w0 принимается фактическая структура капитала, определенная по рыночной стоимости инвестированного и заемного капитала. Промежуточные значения w = wt интерполируются по крайним в простейшем случае линейным образом [3].

3. Дисконтирование денежных потоков на собственный и инвестируемый капитал. Обозначим через Х,,¥, = X, + = о,1, 2,...,п, стоимость собственного и инвестируемого капитала на конец ¿-го года. Постпрогнозная стоимость собственного капитала получается по формуле [5]

Хп к(1 с wn)Yn. (2)

Для постпрогнозной стоимости инвестируемого капитала используется формула Гордона [2]: Чп(1 + vn+1 )

¥„ к-

(3)

] п+1 Уп

7х"

Преобразуем формулу (1) следующим образом:

р, к ^-1 g(1 с с)с + ^ = Ztсl(1 + g')с t к о, 1,...,п, (5)

где обозначено для краткости: g' к g( 1 - с) .

Введенная величина представляет собой среднюю стоимость заемного капитала, скорректированную на ставку налога на прибыль.

4. Уравнение для текущей стоимости собственного капитала. Выпишем сначала рекуррентное уравнение для собственного капитала, следуя формуле [5]

Х (с, к

Ч, с Р{ + Х, 1 + г

г к п,...,1.

Конечное условие здесь определяется из уравнения (2). Платежи р1 определяются по формуле (5), где Zt находятся по формуле (4) по варианту, предложенному в методологии [2] (далее — первый вариант).

Другой вариант состоит в оптимизации платежей р1 по схеме, предложенной в работе [1], если считать, что задолженность Zt представляет собой фактическую задолженность по кредитной линии объема St , ^ = 0, 1, ..., п — 1 на конец ¿-го года. В этом случае фактический остаток задолженности определяется по рекуррентному уравнению [1] (далее — второй вариант):

г,-! к тт Б-

. ^ + Ч, 1 + g'

, к п, ... ,1.

(6)

где }п+х , уп+1 — соответственно постпрогнозные средневзвешенная стоимость инвестированного капитала и темп изменения денежного потока на инвестированный капитал, которые считаются постоянными в силу предположения о стационарности постпрогнозного периода. Обычно постпрогнозный темп уп+1 определяется по долгосрочным прогнозам темпа роста мировой экономики на уровне долгосрочной инфляции [3].

Для определения платежей р1 в формуле (1) надо определить остаток долга на конец 1-го года по формуле [5]

г, к wt ■ ¥,,, к о, 1,... ,п, (4)

где текущая стоимость инвестированного капитала Y определяется по рекуррентной формуле [5]

¥, к Ч+1 + ¥+1 ,, к о, 1,...,п -1,

1 +Л+1

с конечным условием (3).

Остаток долга должен находиться в пределах: 0 < к о, 1,... ,п; (7)

г, <Б^гко,1,...,п. (8)

Связь между платежами и остатками долга имеет вид (5)

Р, к г-х (1 + g') - г,,, к 1,2,... ,п.

(9)

В отличие от исследования [1] здесь допускается переменный объем кредитной линии St , t = 0, 1, ..., п, и ненулевые начальные и конечные значения остатков, необходимых для расчета платежей по формуле (9):

г к го г к г °

- ^ п - ^ п '

(10)

где 2- - фактический остаток долга на конец минус первого года, а к wn ■ ¥п — планируемый остаток по кредитной линии на конец прогнозного периода, полученный по формуле (4).

Рассмотрим задачу оптимизации кредитной линии по критерию максимума текущей стоимости собственного капитала [1]:

х к!

, ко

Ч, - Р,

(1 + г)

^ тах

(11)

9

Можно показать, что критерий (11) эквивалентен критерию [1]:

1

^ тах.

(12)

Ч0 - Ро - -Н.

(14)

(1 + §'- 2< < Чг,? = 1,2,...,п.

(15)

г-ж *

2* + ч, 1

2,-п =-— = п,... ,1.

Под ч0 = -С < 0 в работе [1] понимаются начальные вложения капитала, складывающиеся из собственных средств фирмы ч0 - р0 < 0 и стартового кредита р0 = -У < 0 в счет открытой кредитной линии. Предполагается, что выполнено условие, которое называется условием консолидированных затрат [1]:

Ч, - р, - 0;? = 1,2,...,п. (13)

При выполнении этого условия величины q, р 1 могут иметь произвольные знаки. В этом случае дополнительные вложения в проект делаются не за счет фирмы, а за счет новых кредитов.

При 1 = 0 должно выполняться ослабленное условие [1]:

Величина Н интерпретируется как величина собственных средств.

Согласно формуле (9) для платежей по кредитной линии условие консолидированных затрат (13) будет иметь вид:

В статье [1] изучалась задача максимизации (12) с ограничениями (7), (8), (10), (14), (15).

План, построенный по формуле (6), позволяет поддерживать остаток долга на максимальном уровне. Аналогично тому, как это было сделано в [1], доказывается, что если план (6), (10) удовлетворяет условиям (7) и (14), то он оптимален (оптимальность), а если не удовлетворяет, то не существует допустимых планов рассматриваемой задачи. При этом все составляющие любого другого допустимого плана Z' не превосходят соответствующих составляющих плана Z (доминирование): 2'< 2г,г = 0,...,п -1.

Из свойств доминирования, в частности, следует, что для любого допустимого плана справедливо неравенство:

Ч0 - Р0 = Ч0 + 20 - (1 + §')2'-1 =

= Ч0 + 20 - (1 + §')2- < Ч0 + 20 - (1 + §')2-.

Величина ч0 + 20 - (1 + §')2- с обратным знаком называется показателем минимальных затрат.

Аналогично, если положить 5 = 5, = +<» в формуле (6), то получим уравнение для оптимальных остатков 2* в безлимитной кредитной:

-г-1 , , 1 + §

Введем обозначение:

5* = тах(2*,г = 0,1,... ,п -1) . (16)

Тогда для безлимитности кредитной линии достаточно, чтобы 5 = 5, - 5*. Величину естественно назвать показателем минимального безлимитного объема кредитной линии.

Замечание. Если остатки задолженности определяются по формуле (4) (первый вариант) и удовлетворяют ограничениям (7), (8), то они являются допустимыми в задаче без условия (13) консолидированных затрат и его ослабленного варианта (14). Решение этой задачи тривиально: 2, = = 0,1,..., п -1.

Понятно, что максимальное значение критерия

(11) или эквивалентного ему критерия (12) будет больше соответствующих максимальных значений в задаче с условиями (13), (14), поскольку дополнительные условия суживают множество допустимых решений. Как будет видно из числового примера, эта разница может быть существенной и явится платой за выполнение дополнительных условий консолидированных затрат (13), (14) в обобщенном смысле. Более того, если остатки задолженности определяются по формуле (4) (первый вариант) и удовлетворяют ограничениям (7), (8), но являются недопустимыми в задаче с обобщенными условиями (13), (14), то значение критериев (11), (12) в некоторых случаях может оказаться и больше максимальных значений этих критериев в задаче с обобщенными условиями (13), (14) консолидированных затрат.

Если снять ограничения (7), то отрицательные значения остатков можно интерпретировать как величины остатков на депозитном счете с обратным знаком. Допуская возможность размещения временно свободных средств на депозитном счете, получим, следуя работе [1], задачу максимизации

(12) с ограничениями (8), (10), (14), (15). В такой постановке допустимыми могут быть, например проекты, у которых qn < 0.

Депозитная ставка г, вообще говоря, меньше кредитной:

г< Я- (17)

Формула (9), устанавливающая связь между платежами и остатками долга, теперь будет иметь вид:

Г(1 + §'Д,-1- р,,2,-1 - 0;

2( =

(1 + г'Д,-1 - Р,,2,-1 <

В связи с этим введем обозначение:

§ ',2, - 0;

К =

г',2, < 0 ,

где г = г (1 - с) — скорректированная на ставку налога на прибыль средняя депозитная ставка, действующая на рынке.

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА

проблемы и решения

г=0

Оценка бизнеса

9 (33) - 2010

Можно показать, что критерий (11) эквивалентен в этом случае критерию [1]:

^ (i - g )s+- (i - r )s-

h (i+o1

-»max,

где St+ =тах (0; St), S- =тах (0; — St). Эти величины представляют собой по сути обязательства и требования. При выборе оптимального плана следует считать, что обязательства в любой момент времени равны нулю. В противном случае в силу условия (17) фирма имела бы убытки и такой план был бы не оптимальным. При таком предположении величина Бо означает либо остаток долга, если она положительна, либо накопленную сумму на депозите, если она отрицательна.

Вместо формулы (6) используется рекуррентное уравнение [1]:

Z-1 =

mm

St_

Zt + qt ' 1 + g

;Zt + qt > 0;

Zt + qt.

1 + r'

;Zt + qt <0,

(18)

где , к п,... ,1.

Аналогично тому, как это было сделано в статье [1], доказывается, что если план, выраженный формулами (18) и (10), удовлетворяет условию (14), то он оптимален (оптимальность), а если не удовлетворяет, то не существует допустимых планов изучаемой задачи. При этом все составляющие любого другого допустимого плана S' не превосходят соответствующих составляющих плана S (доминирование).

В этом случае показателем минимальных затрат называется величина Чо + г о - (1 + к о )г - с обратным знаком. Для непустоты множества допустимых планов в задаче с обобщенными условиями (13), (14) консолидированных затрат, таким образом, необходимо и достаточно выполнение неравенства:

- н < Чо + г о - (1 + к о )г -V

7*

, по

безлимитной кредитной линии будет иметь вид:

Z* -лt-1 -

ГТ*

Z* + qt

1 + g

*

Zt + qt

1 + r

Z* + qt > 0;

Z* + qt < 0

(19)

Величину S* показателя минимального безлимитного объема кредитной линии можно определить по формуле (16).

5. Числовой пример. В таблице приведены расчеты, иллюстрирующие изучаемую методику.

Исходные данные были выбраны из следующих условий:

n = 4, Yn = 680млн руб., С = 100 млн руб., с = 20%, i = 30%, g = 14%, r = 8%, w0 = 0,05, wn+1 = 0,20, Z- = 5 млн руб. Z0 = w Y = 116, S, = 2wY,, t = 0, 1, ..., n.

П П П ' t t t 111

В восьмой строке получены безлимитные остатки по формуле (19). Величина S * = 160 млн руб. показателя минимального безлимитного объема кредитной линии определена в девятой строке по формуле (16). В десятой строке получена величина показателя минимальных затрат q0 + Z0 - (1 + к0 )Z- - 55 млн руб. с обратным знаком для безлимитных остатков. Максимальное значение показателя (11) для безлимитных остатков составило 252млн руб. (строка 13).

Поскольку объемы по кредитной линии St все оказались меньше минимального безлимитного объема S* = 160 млн руб., то в задаче оптимизации остатков максимальное значение критерия (11) составило меньшую величину — 228млн руб. (строка 19). Величина критерия для остатков, определенных по формуле (4) (строка 20), без оптимизации составила большую величину — 344 млн руб. (строка 23). Это связано с тем, что эти остатки не удовлетворяют консолидированному условию (13) (строка 22). Даже нулевое решение, соответствующее отсутствию финансирования внутри прогнозного периода (строка 24), и то дало большее значение критерия (11), чем с оптимизацией, по тем же причинам, что и решение (4).

Любопытно, что полученное значение 291 млн руб. (строка 27) критерия для нулевого решения оказалось больше максимального значения показателя (11) для безлимитных остатков в 252млн руб. (строка 13). Это связано с тем, что безлимитные остатки выбирались с учетом условия (13) консолидированных затрат, а нулевое — без учета этого условия и ему не удовлетворяет (строка 26). Это та самая плата за выполнение условия (13) консолидированных затрат, о котором было предупреждение в специальном замечании.

Заключение. По сравнению со статьей [5] в настоящей работе допускается переменный объем по кредитной линии и ненулевые остатки на концах. Кроме того, в данной статье предложена методика расчета минимального объема кредитной линии на прогнозный период, чтобы он не лимитировал оптимизацию в задаче с условием консолидированных затрат. По аналогии с минимальными затратами собственных средств в нулевой период из работы [5].

7х"

11

Расчет остатков по вариантам

1 Наименование -1 0 1 2 3 4 5

2 Ч 0,02 0,05 0,08 0,11 0,14 0,17 0,2

3 —100 255 295 —275 —250

4 0,29 0,28 0,28 0,27 0,27

5 Y 239 409 270 50 339 680

6 10 41 43 11 95 231

7 г*1+д, 60 178 —82 —401 —134

8 Л 5 160 —77 —377 —126 116

9 5* 160

10 г*0 +г*_х 55

11 р*1 (безлимитное) —155 255 295 —275 —250

12 — р*1 (безлимитное) 55 0 0 0 0

13 X*1 (безлимитное) 252 198 257 334 434 564

14 г, + (с оптимизацией) —59 149 —106 —401 —134

15 (с оптимизацией) 5 41 —106 —401 —126 116

16 г + ?0 — (1 + ^0) г— 1 —70

17 р1 (с оптимизацией) —36 152 288 —301 —250

18 0 1 — Р, (с оптимизацией) —64 103 7 26 0

19 Х1 (с оптимизаций) 228 293 277 354 434 564

20 (без оптимизации) 5 20 22 6 47 116

21 Р1 (без оптимизации) —30 2 37 —83 —126

22 0-1 — Р1 (без оптимизации) —70 253 258 —192 —124

23 Х1 (без оптимизации) 344 414 285 112 338 564

24 (нулевые) 5 0 0 0 0 116

25 Р, (нулевые) 5 0 0 0 —116

26 0 ! — р, (нулевые) —105 255 295 —275 —134

27 Х1 (нулевые) 291 396 260 43 331 564

Таким образом, теперь получены новые результаты в развитие труда [5]. Они имеют практическое значение и могут быть использованы оценщиками для оптимизации финансирования в задаче дисконтирования денежного потока на собственный капитал с переменным объемом кредитной линии, связанным, например, с ростом инвестированного капитала в определенной пропорции.

Список литературы

1. Беляков А. В. Об оптимизации использования заемных средств в ходе осуществления инвестиционного проекта. Финансы и кредит. 1999. № 7.

2. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО

«ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche. Декабрь 2003 — март 2005.

3. Оценка бизнеса: учебник / под ред. А. Г. Гряз-новой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика. 2002.

4. Перевозчиков А. Г. Стохастическая модель переменного роста для оценки стоимости некоти-руемых активов // Финансы и кредит. 2004. № 27.

5. Перевозчиков А. Г. Учет структуры капитала в моделях денежного потока для собственного и инвестированного капитала // Аудит и финансовый анализ. 2006. № 1.

6. Перевозчиков А. Г., Смирнов С. А. Смешанная модель DDM и САРМ для оценки стоимости неко-тируемых активов // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40. № 3.

г

ВНИМАНИЕ! На сайте Электронной библиотеки <^ПЬ> собран архив электронных версий журналов Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» с 2006 года и регулярно пополняется свежими номерами. Подробности на сайте библиотеки:

www.dilib.ru