К определению понятия состояния для процессов и событий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ И СОБЫТИЙ

© 2013 А. М. Фрумкин

ст. науч. сотрудник каф. математического анализа и прикладной математики, канд. техн. наук e-mail: [email protected]

Курский государственный университет

Предлагается рассматривать завершающий фрагмент процесса в качестве определения его состояния. Исследуется связь данного определения с традиционным понятием состояния автономной системы. Предлагаются определение состояния события и определение согласования семейства событий с полупотоком. Исследуются полугрупповые свойства состояний процессов и событий, а также процессов, порожденных ситуационной схемой, в которой полупотоки и события согласованы.

Ключевые слова: процесс, состояние процесса, семейство процессов, свойство начального тождества, полугрупповое свойство, полупоток, событие, состояние события, согласованная ситуационная схема.

1. Введение

Модель физической системы с сосредоточенными переменными определяет некоторый класс процессов, которые могут происходить в системе. Под состоянием системы понимаются данные, описывающие итоги ее развития в прошлом и позволяющие определить класс процессов, которые могут происходить в будущем. Часто набор значений определенных переменных, описывающих систему, является также в каждый момент времени ее состоянием в описанном выше смысле, и тогда говорят о модели системы в пространстве состояний [Арнольд 1975; Немыцкий 2004]. Понятие состояния в описанном смысле применяется как для моделей систем с непрерывным временем, так и моделей с «дискретным» временем [Юдович 2009], а также чисто дискретных «конечно-автоматных» моделей [Гилл 1966].

Можно несколько изменить подход к определению понятия состояния. Если считать моделью системы класс процессов, то ее состоянием в заданный момент времени можно непосредственно считать процесс, который может происходить в будущем, начиная с рассматриваемого момента времени (или соответствующий класс процессов). Тогда состояния в рассматриваемом ранее смысле можно считать изображениями состояний. Описанный подход усложняет рассуждения с понятием состояния, но позволяет с единых позиций определять состояния для одиночного процесса, события в смысле [Фрумкин 2013], автономной и неавтономной динамической системы, а также исследовать взаимосвязи между ними. Статья посвящена первым шагам в этом направлении, причем рассматриваются только процессы в автономных системах в непрерывном времени. В статье существенно используются терминология, понятия и обозначения, введенные в статье [Фрумкин 2013]. В частности, функции рассматриваются как двуместные отношения [Мальцев 1970; Фор 1966].

2. Состояния процесса и автономной системы.

Согласно определению, данному в нашей статье «К определению понятия события при описании процессов в системах управления» [Фрумкин 2013], процесс протекает в метрическом пространстве и обладает определенными свойствами

непрерывности. Такой подход определялся стремлением выделить модели процессов, которые могут реально наблюдаться в физических системах. В то же время основные понятия, сформулированные в той же работе (склейка процессов, событие, автономная ситуационная схема), не связаны с понятиями метрики и непрерывности. В данной статье будем рассматривать процессы в широком смысле.

Определение 1. Фрагментом процесса в множестве (пространстве) X (или, для краткости, - фрагментом) длительности т>0 назовем функцию х:[0,т)^Х. Полным процессом в множестве X назовем функцию х:[0,го)^-Х. Далее будут сохранены обозначения, принятые в вышеупомянутой статье для множества фрагментов, длительности фрагмента и множества полных процессов (см.: [Фрумкин 2013]). Под процессом будем понимать фрагмент или полный процесс.

Определение 2. Пусть х:[0,го)^Х - процесс в X. Состоянием процесса х в момент времени 1е[0,го) назовем 1;-суффикс процесса [Фрумкин 2013], то есть процесс:

а(х,1;)={(тгг):те[0,го)лг=х(^+т)}. Множество состояний процесса хер(Х) обозначим РБ(х)={уер(Х): 31е[0,го): у=а(х,1;)}. Далее сужение функции х:[0,^)^Х на промежуток [0,1) будем упрощенно обозначать как х[0,1).

Утверждение 1. Для любого процесса х:[0,го)^Х в пространстве Х и т>0 имеет место равенство: х=х[0,Т)Ла(х,т).

3 Обозначим: у=х[0,Т)Ла(х,т). Если 1е[0,т), то у(1;)=х(1), если 1>т то у(1;)=а(х,т)(1-т)=х(т+1-т)=х(1). ►

Определение 3. Пусть М - некоторое множество. Будем говорить, что семейство процессов §:Мх[0,го)^М обладает свойством начального тождества (или НТ-свойством), если УхеМ §(х,0)=х, и обладает полугрупповым свойством, если УхеМ У11>0, 12>0 в(х,11+12)=в(в(х,11),12).

В статье [Фрумкин 2013] при определении ситуационной схемы использовалось широко известное понятие фазового потока [Арнольд 1975]. Так как полные процессы определены на промежутке [0,го), для определения ситуационной схемы удобнее использовать менее распространенное понятие полупотока [Корнфельд 1980].

Определение 4. Полупотоком в множестве (фазовом пространстве) V назовем функцию g:Vх[0,ro)^•V, обладающую НТ-свойством и полугрупповым свойством.

Утверждение 2. Состояние процесса в заданном пространстве Х (как функция хер(Х) и 1е[0,го), отображающая в р(Х)) обладает НТ-свойством и полугрупповым свойством.

3 Ухер(Х) а(х,0)=х по определению. Далее, будем обозначать аргумент процесса (в отличие от аргументов функции а) в квадратных скобках. Имеем Ут>0 а(а(х,11),12)[т]=а(х,11)[12+т]=х[11+12+т]=а(х,11+12)[т] ► .

Для того чтобы установить взаимосвязь понятия состояния в смысле определения 2 с общепринятым понятием состояния автономной динамической системы [Арнольд 1975; Немыцкий 2004], дадим такое определение.

Определение 5. Будем говорить, что элементы множества Б изображают состояния процесса хер(Х), если найдется инъективное отображение у: Р8(х)^Б. Описанное отображение далее будем называть изображающей функцией. Элементы Б назовем изображениями состояний процесса х или И-состояниями, Б0=у(х) - начальным И-состоянием.

Утверждение 3. Для того чтобы элементы множества Б изображали состояния процесса хер(Х), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция обладающая для любых 11, 1;2е[0,го) свойством:

0(Х,11)=0(Х,12) О дО^дОз).

3 Необходимость. Пусть у - изображающая функция. Определим д(^=у(а(хД)). Если а(х,11)=а(х,12), то, очевидно, д(^)=д(Ь). Обратно, пусть д(^)=д(й). Если при этом а(х,^)^а(хД2), то, в силу инъективности функции у, имеем: д(^)^д(^) ■ , то есть из дО^дОа) следует, что а(хД0=а(хД2).

Достаточность. По функции д определим отношение у={(и,в): 31е[0,^): и=а(хД)лБ=д^)}. Пусть (и,81)еул(и,82)еу, то есть существуют такие ^ и что и=а(хД1)лБ1=д(^) и и=а(х,12)лБ2=д(12). Тогда а(х,^)=а(хД2) ^ д(^)=д02) ^ 81=б2, то есть у является функцией. Пусть и1^и2л(и1,81)еул(и1,82)еу, то есть существуют такие ^ и что и1=а(х,11)лБ1=д(11) и и2=а(х,12)лБ2=д(12). Если при этом б1=б2, то д(^)=д(^) ^ 0(х,11)=0(х,12) ^ и1=и2 ■. Следовательно, то есть у является инъективной

функцией. 4

Множество Б отличается от множества РБ(х) тем, что «внутреннее устройство» его элементов (чисел, векторов) не рассматривается и в этом смысле оно «проще», чем множество РБ(х).

Определение 6. Если у - изображающая функция состояний процесса хер(Х), то будем говорить, что семейство процессов:

8:(д,1)еу(Р8(х))х[0,^)^8(д,1)=у(а(у-1(д),1))еу(Р8(х)) описывает эволюцию изображений состояний данного процесса.

Утверждение 4. Функция б обладает НТ-свойством и полугрупповым свойством, то есть является полупотоком в у(РБ(х)).

3 Так как для любого процесса х а(х,0)=х, то Б(д,0)=у(а(у-1(д),0))=у(у-1(д))=д.

Далее, = у(с(у-1(я),^2)) = у^Ку-1^)^)^)) = у(а(у-1°у°а(у-1(я),11),12)) =

= у(а(у-1°8(^1)Д2)) = в(8(^1Ш ► .

Определение 7. Будем говорить, что семейство процессов §:Бш(§)еХх[0,^)^Х воспроизводит состояния процессов, если для каждой пары (гД)еОш^) имеет место равенство

Утверждение 5. Семейство процессов, обладающее полугрупповым свойством, воспроизводит состояния процессов.

3 Пусть g обладает полугрупповым свойством и (гД)еОш^). Тогда Ут>0 G(g(z,•),t)(т)=g(z,t+т)=g(g(z,t),т)=g(g(z,t),•)(т), то есть а^-Х^^гДО. ►

В частности, семейство процессов б, описывающих эволюцию изображений состояний заданного процесса, воспроизводит состояния.

Утверждение 6. Полупоток воспроизводит состояния процессов, а элементы фазового пространства изображают состояния отдельных процессов.

3 Полупоток воспроизводит состояния, потому что он обладает полугрупповым свойством. Пусть V - фазовое пространство, g - полупоток, хе V. Рассмотрим функцию и(-)^(х,-)[0)„). Поставим каждому tе[0,ro) в соответствие д(t)=g(x,t). Если ^иД^^и,^), то g(g(x,tl),•)=g(g(x,t2),•), в частности g(g(x,tl),0)=g(g(x,t2),0) ^ g(x,tl)=g(x,t2) ^ д(t1)=д(t2). Обратно из д(^)=дО;2) следует, что g(x,t1)=g(x,t2), то есть а(и,^)=а(иД2). 4

л ^

Пример 1. Семейство процессов g:(x,t)еRх[0,ro)^•x•e (^еЯ - параметр) определяется фазовым потоком дифференциального уравнения у'=А,у. Поэтому семейство воспроизводит состояния процессов и состояния процессов изображаются вещественными числами.

Утверждение 7. Если семейство процессов g:Xх[0,ro)^•X обладает полугрупповым свойством и образом функции Г=((х,у)еХхХ: y=g(x,0)} является все пространство Х, то семейство обладает НТ-свойством.

3 Пусть xeX. Найдем y: f(y)=g(y,0)=x. Тогда g(y,0)=g(y,0+0)=g(g(y,0),0). Отсюда x=g(x,0). ►

Полупоток обладает НТ-свойством по определению. Если отказаться от свойства, описанного в условии утверждения 7, то можно построить семейство процессов, обладающее полугрупповым свойством, но не обладающее НТ-свойством.

Утверждение 8. Пусть VœU (то есть U\W0), g:Vx[0,œ)^V - полупоток и функция 9:U^V, причем VvgV ф(у)=у. Тогда семейство процессов h:(x,t)eUx[0,œ)^g(9(x),t) не обладает НТ-свойством, но обладает полугрупповым свойством.

3 VxeUYV ф^)gV ^ x^(x) ^ h(x,0)=g(ф(x),0)=ф(x)^x. Следовательно, h не обладает НТ-свойством. С другой стороны, VxgU Vx,te[0,œ) h(x,T+t)=g^(x),T+t)=g(g^(x),i),t)=g(h(x,T),t). Но, так как h(x,x)eV, то h(x,i^(h(x,i)) ^ h(x,т+t)=g(ф(h(x,т)),t)=h(h(x,т),t). ►

Изучим, как описываются состояния периодических процессов. Периодические функции обычно определяют на подмножествах вещественной оси, симметричных относительно нуля [Конюшков 1984]. Исследуя процессы, мы будем исходить из следующего определения.

Определение 8. Процесс xep(X) называется периодическим, если найдется а>0 (период): Vte[0,œ) x(t+a)=x(t). Период а называется минимальным, если меньшего периода для данного периодического процесса не существует.

Если процессы обладают свойством периодичности, для анализа их состояний могут быть использованы следующие утверждения.

Утверждение 9. Пусть xep(X) - периодическая функция и а - ее минимальный период. Тогда для того, чтобы для некоторого т>0 выполнялось равенство: x=a(x,x), необходимо и достаточно, чтобы существовало neNe: T=n-a.

3 Необходимость. Обозначим n = ent(—), 9 = т - n - а . По определению целой

а

части числа имеет место неравенство: 0<9<а. Пусть 9>0. Из x=a(x,T) следует, что Vt>0 a(x,T)(t)=x(t) ^ x(T+t)=x(t) ^x(n-a+9+t)=x(t)^x(9+t)=x(t). Следовательно, 9 есть период функции x и поэтому 9>а И. Следовательно, 9=0 и T=n-a.

Достаточность очевидна. 4

Утверждение 10. Пусть xep(X) - периодическая функция и а - ее минимальный период. Тогда для любого т>0 функция a(x,T) - периодическая, и а - ее минимальный период.

3 Для любого t>0 a(x,T)(t+a) = x(T+t+a)=x(T+t)=a(x,T)(t). Далее, пусть для некоторого 0<9<а и для любого t>0 имеет место равенство a(x,T)(t+9)=a(x,T)(t). Тогда

для любого t>T x(t+9)=x(t-T+T+9)=a(x,T)(t-T+9)=a(x,T)(t-T)=x(t). Обозначим

т

n = ent(-) +1. Очевидно, n-a>T, поэтому Vt>0 t+n•a>т и

а

x(t+9)=x(t+n•a+9)=x(t+n•a)=x(t). Следовательно, 9<а - период функции x И. ►

Утверждение 11. Пусть xep(X) - периодическая функция и a - ее минимальный период. Тогда для того, чтобы для некоторых т1,т2>0 выполнялось равенство: a(x,T1)=a(x,T2), необходимо и достаточно, чтобы существовало neNe: |T2-T1|=n-a.

3 Необходимость. Пусть, для определенности, т2>т1. Согласно утверждению 10, y(t)= a(x,T1)(t) - периодическая функция и a - ее минимальный период. Применив утверждение 9 к функции a(x,T2)=a(y,T2-T1), получаем необходимость условия: |т2-т1| = т2-т1 = n-a. Достаточность очевидна. 4

Утверждение 12. Пусть хер(Х) - периодическая функция и а - ее минимальный период. Тогда состояния процесса х изображаются элементами промежутка [0,а).

3 Рассмотрим функцию ц:г е [0,да) ^ ц(1) = г - а • епг(—) е [0,а). Пусть ц^^цОз).

а

Тогда 1 - г^ = а •

епг(^-) - епг(—) а а

= а • п, где п =

епг(—) - епг(—) а а

ЕКе, то есть, согласно

утверждению 11, а(х,г1)=а(х,г2). Обратно, если а(х,г1)=а(х,г2), то, согласно утверждению 11, |г2-г1|=п^а. Тогда, по свойству целой части [Шилов 1969], ц(г1)=ц(г2). Следовательно, согласно утверждению 11, ц(г1)=ц(г2) о а(х,г1)=а(х,г2) и, согласно утверждению 3, элементы [0,а) изображают состояния процесса. 4

Пример 2. Из утверждения 12 следует, что состояния процесса, описывающего синусоидальные колебания: А(ш,а,Р,-): ге[0,да)^а^тшг+Р^со8шг, изображаются

2П

элементами промежутка [0, —). Будем считать, что частота ш фиксирована. Между

ш

значениями процесса в различные моменты времени и элементами [0, — ) нет взаимно

ш

однозначного соответствия. Поэтому сконструировать семейство процессов, задающих процессы А(Ш,а,Р,-) при различных а и Р, так, чтобы это семейство воспроизводило состояния процессов, не удается. Мы можем добавить к процессу А(ш,а,Р,-) его производную Г(ш,а,Р,-). Оба процесса однозначно определены парой своих начальных значений, которые связаны с параметрами а и Р: А(ш,а,Р,0)=Р и Р(ш,а,Р,0)=ша. Если мы

рассмотрим пару семейств процессов х(и,—,г)= — •Бтшг+и^совшг и у(и,—,г)= -

ш

и^ш^в1пшг+у^со8шг и объединим их одним отображением g:((u,v),t)^(x(u,v,t), у(и,у,г)), то,

согласно теории дифференциальных уравнений, получим фазовый поток, порожденный

системой: х'=у, у'= -ш2х, то есть семейство, воспроизводящее состояния своих

процессов. В следующем примере подобная по цели конструкция строится для

разрывного процесса.

Пример 3. В статье [Фрумкин 2013] рассматривался процесс в Я,

моделирующий прямоугольные колебания. Он зависел от двух положительных

параметров (а0 и а1) и аналитически определялся формулой

Г0, если ф(а 0 +а1,г) <а 0 г

и(г) = 0 0, где ф(а,^):г е[0,да) ^ г-а^ епг(-).

[1, если ф(а0 + а^,г) >а0 а

Так как процесс периодический, его состояния изображаются элементами

промежутка [0,а0+а1). Рассмотрим семейство I из двух промежутков: 10=[0,а0), 11=[0,а1)

с множеством индексов Б={0,1}. Множество взаимно-однозначно отображается на

множество [0,а0+а1), поэтому его элементы также изображают состояния процесса и.

Можно определить семейство процессов, зависящее от пары (б,т) е так, что каждый

элемент семейства будет задавать некоторое состояние процесса и(г):

Г а (и, т )(г), если 8 = 0 х(з,т,г) = <{ (1)

[а(и, а 0 + т)(г), если 8 = 1

Можно показать, что состояния процессов в полученном семействе изображаются элементами Однако семейство х(б,т,-) не воспроизводит состояния своих

процессов, потому что Уг>0 х(8,т,г)еБ^Б®1. Определим процесс v(t), который воспроизводит моменты времени внутри промежутков, в которых процесс и сохраняет постоянные значения:

уф _ | ф(а0 +а1'г), если ф(а0 + аь1;) <а0

[ф(а0 +а1,1) -а0, если ф(а0 + а1,1;) > а0 Далее, добавим к процессу х(б,т,0 еще одно семейство процессов:

/ .ч [ а(у, т)№> если б = 0

у(вт,1) = 1 ( + ^ г (2)

[а (у, а 0 + тдг), если б = 1

Утверждение 13. Семейство процессов g : (б,тД) е 8®1х[0,го) ^ (x(s,т,t), y(s,т,t)) обладает НТ-свойством и полугрупповым свойством.

3 Обозначим а=а0+а1. Сначала покажем выполнение НТ-свойства. Если б=0, то х(0,т,0)=а(и,т)(0)=и(т) и у(0,т,0)=а(у,т)(0)=у(т). Но т<а0, поэтому и(т)=0 и у(т)=т. Если б=1, то х(1,т,0)=а(и,т+а0)(0)=и(т+а0) и у(1,т,0)=а(у,т+а0)(0)=у(т+а0). Но т<а1^ а0<т+а0<а0+а1=а, поэтому и(т+а0)=1 и у(т+а0)=(т+а0)-а0=т.

Для доказательства полугруппового свойства необходимо показать, что У(Б,т)е8®1 V9,tе[0,да) имеют место равенства:

х(в,т,е+О=х(х(в,т,0),у(в,т,е)Д (3)

y(s,т,0+t)=y(x(s,т,0),y(s,т,0),t). ( )

Пусть 8=0. Тогда, согласно (1) и (2), х(в,т,е+о=х(0,т,е+о=а(и,т)(е+о=и(т+е+о и у(Б,т,е+о=у(0,т,е+о=а(у,т)(е+о = у(т+е+t). Далее, х(в,т,е)=х(0,т,е)=а(и,т)(0)=и(т+е) и у(Б,т,0)=у(0,т,0)= а(у,т)(е) = у(т+0). Возможны два случая: п=ф(а,т+0)<а0 и п=ф(а,т+0)>а0. В первом случае и(т+0)=0 и у(т+0)=п, поэтому

х^Б^еХу^т^Х^х^пД^а^пХ^и^+О и

у(х(в,т,0),у(в,т,е),О=у(0,п,О=а(у,п)(О=у(п+О. Во втором случае и(т+0)=1 и у(т+0)=п-а0. Отсюда:

x(x(s,т,е),y(s,т,е),t)=x(1,n-ao,t)=a(u,(n-ao)+ao)(t)=u(n+t) и у(х(в,т,0),у(в,т,0)Д)=у(1,'п-а0,О=а(у,(п-а0)+а0ХО=у(п+О. В обоих случаях выражения для правых частей равенств (3) одинаковы. Вспомним, что

П = 0 + т — а• епцТ + 0), то есть п + * = 0 + т +1 — а^еп1;(Т + 0). Величины т+е+t и п+1 а а

различаются на величину а • еп1;(т + 0). Так как функции и и у периодичны с периодом

а

а, то и(т+9+)=и(л+0 и у(т+0+1)=у(п+1).

Пусть 8=1. Тогда, согласно (1)и (2),

x(s,т,е+t)=x(1,т,е+t)=a(u,т+ao)(е+t)=u(т+ao+е+t), y(s,т,е+t)=y(l,т,е+t)=а(у,т+ao)(е+t)=у(т+ao+е+t).

Далее,

х(в,т,0)=х(1,т,е)=а(и,т+а0)(0)=и(т+а0+е) и у(в,т,0)=у(1,т,е)=а(у,т+а0)(0)=у(т+а0+е). Возможны два случая: п=ф(а,т+а0+0)<а0 и п=ф(а,т+а0+0)>а0. В первом случае и(т+а0+0)=0 и у(т+а0+0)=п, поэтому

х^^еХу^т^Х^х^п^а^пХО^п+О и

у^^еХу^т^Х^у^п^а^пХ^У^Х

Во втором случае и(т+а0+0)=1 и у(т+а0+0)=п-а0, поэтому

x(x(s,т,е),y(s,т,е),t)=x(1,n-ao,t)=а(u,(n-ao)+ao)(t)=u(n+t) и y(x(s,т,е),y(s,т,е),t)=y(1,n-ao,t)=а(у,(n-ao)+ao)(t)=у(n+t).

В обоих случаях выражения для правых частей равенств (3) одинаковы. Величины

т+а0+0+! и п+1 в обоих случаях различаются величиной а • еп1;(т + а0 +0), поэтому

а

имеют место равенства: и(т+а0+0+^=и(п+О и у^+а^е+^у^+О. 4

3. Состояние события Определение 9. Пусть е - событие в пространстве Х в смысле [Фрумкин 2013]. Состоянием события е, порожденным фрагментом иер0(Х), назовем событие:

Е(е,и)={ (хД)ер(Х)хЯ: илхеБш(е) л [ ( е(илх)<Т(и)л!=0 ) V ( е(илх)>Т(и)л1=е(илх)-Т(и) ) ]}. Событие в смысле [Фрумкин 2013] определяет функцию, отображающую из множества р(Х) (то есть из множества полных процессов) в [0,го). Если для иер0(Х) найдется уер(Х): е(илу)<Т(и), то, по определению события, для любого wеp(X) е(ил-^=е(илу). Другими словами, отношение

eo={(u,t): иер0(Х) л 3 уер(Х): e(uлу)=t<T(u)} есть функция. Таким образом, можно сразу вместо e рассматривать функцию eoe0 и говорить о том, что событие происходит во фрагменте, а не только в полном процессе. В данной терминологии можно сказать, что если событие е происходит во фрагменте и, то состояние события, порожденное фрагментом и, есть мгновенное событие, а если событие е не происходит во фрагменте и, то состояние события, порожденное фрагментом и, задается формулой: Е(е,и)(х)=е(илх)-Т(и).

Пример 4. Рассмотрим событие «переменная увеличилась до заданного значения б»: е(Б)={(иД): иер(Я) л 3т>0: и(т)>Б л 1=ш^т>0: и(т)>Б}}.

Утверждение 14. Если событие е(Б) не происходит во фрагменте и, то состояние события, порожденное фрагментом и, совпадает с самим событием: Е(е(в),и)=е(в).

3 В доказательстве событие е(Б) будем обозначать просто буквой е. Пусть событие е не происходит во фрагменте и и уер(Я). Если илуеБш(е), то найдется !>0: илу^)>Б. Так как е не происходит во фрагменте и, то !>Т(и). Следовательно, илу(^=у^-Т(и))>Б ^ уеБш(е). Обратно, пусть уеБш(е). Тогда найдется ^0: у(1)>б ^ илу^+Т(и))>Б ^ илуеБш(е). Таким образом, илуеБш(е)оуеБш(е).

Пусть илуеБш(е) и уеБш(е). Обозначим т=e(uлу)=inf{t>0: uлу(t)>s}, е=e(у)=inf{t>0: у(0>б}.

Пусть 0+Т(и)<т О 0<т-Т(и). Найдем 0<^<т-Т(и): у(£)>б. Тогда илу(^+Т(и))=у(^)>Б ^ ^+Т(и)>т ^ ^>т-Т(и) ■.

Пусть 0+Т(и)>т. Найдем т<^<0+Т(и): илу(^)>Б. Так как е(Б) не происходит во фрагменте и, то ^>Т(и) ^ илу(^)=у(^-Т(и))>Б. Отсюда ^-Т(и)>0^>0+Т(и) ■. Итак, 0+Т(и)=т^ е(у)+Т(и)=е(илу)^е(у)=е(илу)-Т(и)=Е(е,и)(у). ► Пример 5. Рассмотрим событие «истекло время т после начала процесса»:

e(т)={(u,t): иер(Х) л 1=т}. Утверждение 15. Если и - фрагмент и Т(и)<т, то Е(е(т),и)=е(т-Т(и)). Если Т(и)>т, то Е(е(т),и) есть событие начала процесса: Е(е(т),и)={(уД): уер(Я) л !=0}.

3 Если Т(и)<т, то Vvеp(R) е(т)(илу)=т ^ Е(е(т),и)(у)=т-Т(и) ^ Е(е(т),и)(у)=е(т-Т(и))(у). Вторая часть утверждения непосредственно следует из определений состояния и события е(т). 4

Утверждение 16. Для любых иер0(Х), уер0(Х) имеет место равенство:

Бш(Е(Е(е,и),у))=Бш(Е(е,илу)). 3 Бш(Е(Е(е,и),у))={гер(Х): улгеБш(Е(е,и))}={гер(Х): ил(улг)еБш(е)}=

^ер(Х): (uлv)лzеDm(e)}=Dm(E(e,uлv)) ► .

Утверждение 17. Состояние события обладает полугрупповым свойством:

У ие р0(Х), vеpo(X) E(E(e,u),v)=E(e,uлv). (4)

3 Рассмотрим произвольные иер0(Х) и vеp0(X). Обозначим: D0=Dm(E(e,u)) и D1= Dm(E(E(e,u),v)) = Dm(E(e,uлv)) (согласно утверждению 16). Возможны следующие случаи:

1) Do=0; 2) Do^0, но Dl=0; 3) Do^0 и Dl*0.

В случае 1) из Do=0 следует, что D1=Dm(E(e,uлv) =0. Поэтому в случаях 1) и 2) имеем D1=0. Но если область определения функции пустое множество, то и функция (мыслимая как отношение) есть пустое множество. Таким образом, в случаях 1) и 2) выполняется равенство E(E(e,u),v)=E(e,uлv)=0.

Рассмотрим третий случай. Здесь, в свою очередь, возможны следующие взаимоисключающие варианты:

a) ЗzеD0: e(uлz)<T(u);

b) УzеD0 e(uлz)>T(u) л ЗzеD1: e(uлvлz)<T(u)+T(v);

c) УzеD0 e(uлz)>T(u) л УzеD1 e(uлvлz)>T(u)+T(v).

Рассмотрим случай а). Пусть z0еD0 л e(uлz0)<T(u). Тогда, по определению события, УzеD0, e(uлz)=e(uлz0)<T(u), в частности УxеD1, e(uл(vлx))= e(uлz0)<T(u) ^ E(e,u)(vлx)=0<T(v)^E(E(e,u),v)(x)=0. С другой стороны, e((uлv)лx) = e(uл(vлx))=e(uлz0)<T(u)<T(u)+T(v)=T(uлv) ^ E(e,uлv)(x)=0. Таким образом, УxеD1 E(E(e,u),v)(x)=E(e,uлv)(x), откуда следует (4).

Случай Ь). Пусть z0еD1 л e(uлvлz0)<T(u)+T(v)=T(uлv). Тогда, по определению события, УzеD1, e(uлvлz)=e(uлvлz0)<T(uлv), то есть E(e,uлv)(z)=0. С другой стороны, так как T(u)<e(uлvлz)<T(u)+T(v), то E(e,u)(vлz)=e(uлvлz)-T(u)<T(v). Следовательно, E(E(e,u),v)(z)=0 и E(E(e,u),v)(z)=E(e,uлv)(z).

Случай с). УzеD1, e(uлvлz)>T(uлv)^E(e,uлv)(z)=e(uлvлz)-T(uлv)=e(uлvлz)-T(u)-T(v). С другой стороны, если e(uлvлz)>T(u)+T(v)>T(u), то E(e,u)(vлz)=e(uлvлz)-^и)^^), то есть E(E(e,u),v)(z)=E(e,u)(vлz)-T(v)=e(uлvлz)-T(u)-T(v). Следовательно, E(E(e,u),v)(z)=E(e,uлv)(z).

Мы видим, что во всех случаях равенство E(E(e,u),v)(z)=E(e,uлv)(z) выполняется для любого zеD1. 4

4. Согласование событий и полупотоков в ситуационной схеме

Определение 10. Пусть g - полупоток в пространстве V и е: Dm(e)eVхp(V)^[0,да) - семейство событий в V с областью индексов V. Будем говорить, что семейство е согласовано с полупотоком g, если для любого хе V и любого ге[0,да) верно следующее утверждение. Если событие е(х,-) не происходит во фрагменте g(x,•)[0,t), то имеет место равенство:

Е(е(х,-)^(х,-)[0Д))=е^(х,1:),-).

Иными словами, состояние события, определяемое фрагментом эволюции, есть событие, определяемое значением фазовой переменной в конце фрагмента.

Под ситуационной схемой в данной статье будем понимать ситуационную схему в смысле определения 16 из статьи [Фрумкин 2013] с тем отличием, что каждой ситуации поставлен в соответствие полупоток (а не поток).

Определение 11. Ситуационную схему [Фрумкин 2013] назовем

согласованной, если для любой ситуации Бе Б семейство е8 и полупоток gs согласованы.

Утверждение 18 (лемма). Пусть ситуационная схема согласована и

правильна в целом. Пусть (р^,т,9) - эволюционный кортеж, порожденный парой

(ро^о)е80У, (и,х) - процесс, порожденный (po,wo). Пусть 0<п<^ - произвольный момент времени и и=у(9,п) (так как схема правильная, то функция V для последовательностей 9 и $ определена на всей оси). Далее, пусть -

эволюционный кортеж, порожденный парой д0=и(п) и 20=х(п). Тогда для любого шеК верны утверждения:

1) п+шеБш(9)ошеБш(3);

2) если п+шеБш(9)лшеБш($), то имеют место равенства: qш=pn+ш, zш=wn+ш, $ш=9п+ш-Л.

3 При доказательстве данного и следующего утверждений ситуация и фазовая переменная как аргументы функций § и е будут обозначаться в скобках, то есть индексы для обозначения ситуаций использоваться не будут. Если значения одного или двух из трех аргументов функции е (или §) зафиксированы, то позиции оставшихся варьируемых аргументов в обозначении функции обычно обозначаются точкой. Значение функции е(а,Ь,х) (аеБ, ЬеУ(а), хер(У(а)) ) обозначается также как е(а,Ь)(х). Если п^(9,п), то можно записать равенства: q0=u(n)=pn, z0=x(n)=g(pn,wn,n-9n). Пусть n+1еDш(9)og(pn,wn,•)еDш(e(pn,wn,•)). По утверждению 1,

П^П>0[0,п-9п) лc(g(pn,wn,•),п 9 П) . По полугрупповому свойству функции g(pn,•,•) имеет место равенство: c(g(pn,wn,•), П-9 П^^П^П^Ш П-9 n),•) = g(q0,z0,•), то есть g(pn,wn,•) = g(Pn,wn,•)[o, п-9 п) л .

Поэтому g(qo,zo,•) еDm(E(e(Pn,wn,•),g(Pn,wn,•)[0,п-9п))). По условию согласования имеем:

^^П^П^^О^^^О^,п-9п)) = ФП^ФП^П.П - 9ПХО = '

то есть g(qo,zo,•) е^^0^0,0) О 1еDш(S). Пусть, наоборот, 1еDш($)og(qo,zo,•) е Dm(e(qo,zo,•)). По условию согласования имеем:

п 9ПХО

g(p

П^П'0[0,п-9 п)) (5)

Следовательно, g(qo,zo,•) еDm(E(e(pn,Wn,•),g(Pn,Wn,•)[0,п-9п})), то есть

g(Pn,wn,•)[0,п-9п) леDm(e(Pn,wn,•)). Отсюда, в силу полугруппового свойства функции g(pn,•,•) и утверждения 1, g(pn,wn,•)еDm(e(pn,wn,•)) О n+1еDm(9). Высказывание "п+1 еDш(9)o1 еDш($)" доказано.

Пусть п+1 еDш(9)л1 еDш($). По условию согласования имеем: e(qo,zo)(g(qo,zo,•)) = Е^ф

g(p

П,^^П'•)[0,п-9п))(g(q0,z0 '•)) . Далее' E(e(Pп,wп,•),g(Pп,wп,•)[0, п-9 п))(§^0^0,0) = Щ^п^тО^п^тОр,'^ n;y)(g(Pп,g(Pп,wп, П-9п ХО^

В силу уже доказанного равенства

g(Pп,wп,•)[0,n-9n; лg(Pп,g(Pп,wп,П-9п^^^П^П^ имеем:

e(Pп ^п^Фп^п^Р,п-9п) л^^^Фп^ш П-9п ),•)) =e(pn,Wn, g(pn,Wn,•))=Tn, причем тn>T(g(pп,wп,•)[o,п-9п)) = П-9п. В противном случае выполнялось бы неравенство

П^тп+9п=9п+1 И. Отсюда, по определению состояния события, Щ^п^шО^Фп^шО^п^ n))(g(Pп,g(Pп,Wп, П - 9п ),^)) =

е(р g(P п^п>0[0,п-0п) л^рп, g(P П^П'п 9п ),•)) - Т( g(p

=Тп-(л-0п)Тп+Эп-Л=бп+1-Л. Поэтому ^0=-&1=е(д0^0)^(я0^0,-))=0п+1-П.

Далее, ql=Ь(qo,g(qo,zbДo)) и Zl=i(qo,g(qo,zo£o)).

Но qo=Pn и g(qo,zo,^o)=g(Pn,g(wn,л-0n),Tn+Эn-л)=g(Pn,Wn,Tn).

Поэтому ql=b(pn,g(Pn,Wn,Tn))=Pn+1 и Zl=i(pn,g(pn,Wn,Tn))=Wn+l.

Таким образом, лемма доказана для m=1.

Пусть заключение леммы верно для ш>1.

Тогда g(qm,Zm,•)=g(Pn+m,Wn+m,•) и e(qm,Zm,•)=e(Pn+m,Wn+m,•), то есть

n+m+1еDm(9) о g(pn+m,Wn+m,•)еDm(e(pn+m,Wn+m,•)) о g(qm,Zm,•)еDm(e(qm,Zm,•)) о ш+1еDш(-).

Если n+m+1 еDш(9)лш+1 еDш(-), то имеют место равенства:

^m=e(qm,Zm,g(qm,Zm,•))=e(Pn+m,Wn+m,g(Pn+m,Wn+m,•))=Tn+m ^

—ш+1 =—Ш+^Ш^^+Ш-Л )+тП+Ш=9П+Ш+1-Л; qm+1=Ь(qm,g(qm,Zm,^m))=Ь(Pn+m,g(Pn+m,Wn+m,T

п+ш)) pn+m+1;

^+1= i(q Ш, m n+m,g(pn+m,wn+m,тn+m)) zn+m+1.

Таким образом, заключение утверждения верно для ш+1, то есть доказательство по индукции завершено. 4

Утверждение 19. Пусть ситуационная схема согласована и правильна в целом. Тогда семейство процессов, порождаемых схемой, обладает полугрупповым свойством.

3 Пусть ф^,т,9) - эволюционный кортеж, порожденный парой ф0^0), (и,х) -процесс, порожденный ф0^0), 0<л<да - произвольный момент времени, -

эволюционный кортеж, порожденный парой q0=u(л) и z0=x(л), (у,у) - процесс, порожденный ^0^0).

Необходимо показать, что Уг>0 v(t)=u(л+t) л у(г)=х(л+г). (6)

Пусть п=у(9,л). Из утверждения 18 следует, что эволюционные последовательности, порожденные парами ф0^0) и соответственно, либо обе

бесконечны, либо обе конечны, причем во втором случае последовательность, порожденная ф0^0), имеет на п элементов больше.

Пусть обе последовательности бесконечны. Если при этом 0=—ь то Л<Л+:<-&1+Л=9п+1 ^ 9п<Л+:<^1+Л=9п+1. Отсюда: v(t)=qo=Pn=u(л+t)

и y(t)=g(qo,zo,t)=g(pn,g(pn,Wn,л-9n),t)=g(pn,Wn,л+t-9n)=x(л+t). Если -ш^-ш+Ь то 9n+m=-&m+Л<Л+t<-m+1+Л=9n+m+^ Отсюда: v(t)=qm=Pn+m=u(Л+t)

и y(t)=g(qm,Zm,t-дm)=g(Pn+m,Wn+m,t-(9n+m-Л))=g(Pn+m,Wn+m,Л+t-9n+m)=x(Л+t).

Пусть эволюционные последовательности конечны и 9 имеет длину п+к. Случаи, когда 0<t<-&k, уже были рассмотрены для бесконечной последовательности. Если то л+^9^ и имеют место фактически уже рассмотренные равенства: v(t)=qk=Pn+k=u(л+t), y(t)=g(qk,Zk,t--k)=g(Pn+k,Wn+k,t-(9n+k-л))=g(Pn+k,Wn+k,Л+t-9n+k)=x(л+t).

Таким образом, равенства (6) имеют место для любого t при конечной или бесконечной эволюционной последовательности. 4

Пример 6. Рассмотрим упрощенную [Фрумкин 2013] ситуационную схему в которой множество ситуаций не рассматривается (ситуация одна), V=R, g:(x,t)еRхR^•x, е=ет - событие «истекло время т после начала процесса» (пример 5), i -тождественная функция.

Полу поток g в даннной схеме не согласован с событием е, потому что Ухе Я У0<Кт E(eт,g(x,•)[0,t))=eт-t, но ет не зависит от элемента фазового пространства как от параметра, то есть е^^ет^х/)^)^.^. С другой стороны, эволюционный процесс, порождаемый начальным значением х, определяется формулой h(x,t)=g(x,t)=x и семейство ЦхД) обладает полугрупповым свойством. Таким образом, для

односитуационной схемы условие согласования из утверждения 19 не является необходимым для верности заключения этого утверждения.

Пример 7. Рассмотрим ситуационную схему ^У^^ЬД), в которой 8={0,1}, У(0)=У(1)=Я, УвеБ Vz,tеR &:(^)=г+, eo={(u,t): иер^^=тДт>0: и(т)>ао}}, el={(u,t): иер^^=тДт>0: и(т)>а1}}, V(s,z)еSxR Ь(s,z)=not(s) л i(s,z)=0. Утверждение 20. Пусть ^,$)еБ®1, где 10=[0,а0), 11=[0,а1), (s,z,т,9) -эволюционный кортеж, порожденный парой Для любого п>1 имеют место

формулы

9п = П Г2(П)(а0 +а1) + Г2(п) •аq -$ , Sn=r2(n+q) и Zn=0, (7)

где г2(-) - остаток от деления целого числа на 2.

3 Пусть q=0, то есть s0=0, z0=$. Для п=1 имеем 91 =90 + eo(go(zo,•)) = eo(go($,•)) = а0 - $ , Sl=not(so)=1, Zl=0 и формулы (7) верны.

Пусть они верны для некоторого п>1. Если п=2ш - четно, то sn=0, zn=0 и п+1 нечетно. Событие e0 в процессе g0(zn,•)=g0(0,•) происходит: e0(g0(0,•))=а0, поэтому

9п+1 =9п + eo(go(zп,•)) = ш(а0 +а1) -$+а0 = (п —1 (а0 +а1) + а0 -$ . Кроме того,

Sn+l=nOt(Sn)=1=r2(n+1) и Zn+l=0.

Если п=2ш+1 - нечетно, то sn=1, zn=0 и п+1 четно. Тогда e1(g1(0,•))=a1, поэтому 9П+1 =9п + el(gl(zп,•)) = (ш(а0 +а1) + а0 -$) + а1 = (а0 + а:) -$ ,

Sn+l=not(Sn)=0=r2(n+1), ^п+1=0.

Как для четного, так и для нечетного п формулы (7) при переходе от п к п+1 сохраняют силу.

Пусть q=1, то есть s0=1, z0=$. Для п=1 имеем 91 = 90 + el(gl(zo)) = Ч(gl($>•)) = а1 - $ , s1=not(s0)=0, z1=0 и формулы (7) верны. Пусть они верны для некоторого п>1. Если п=2ш - четно, то sn=1, zn=0 и п+1 нечетно. Тогда el(gl(0,•))=al,

9п+1 =9п + el(gl(zП,•)) = ш(а0 +а1) -$ + а^ = (п +2^—1 (а0 +а1) + а1 -$ . Кроме того,

Sn+l=ПOt(Sn)=0=r2(п+1+q) и Zn+l=0.

Если п=2ш+1 - нечетно, то sn=0, zn=0 и п+1 четно. Событие e0 в процессе §о(0,-) происходит: e0(g0(0,•))=a0, поэтому

9П+1 = 9п + eo(go(zп,•)) = (ш(аО +а:) + аО - $) + а: = (аО +а:) - $ ,

Sn+l=ПOt(Sn)=1=r2(п+1+q), Zn+l=0.

Снова как для четного, так и для нечетного п формулы (7) при переходе от п к п+1 сохраняют силу. 4

Утверждение 21. Пусть ^,$)еБ®1, где 10=[0,а0), 11=[0,а1). Тогда эволюционный процесс (^Ь), порожденный парой есть пара процессов х^,$,-) и

определенных формулами (1) и (2).

3 Обозначим а=а0+а1 и через ^^,1,9) - эволюционный кортеж, порожденный

парой

Пусть q=0, ^0 и v(9,t)=п, то есть 9п«9п+1.

Если п=0, то 0<1<а0—& и, по определению компонентов эволюционного процесса, Бо=0 ^ ОД=0 и Ь(1)=§0(&,1—60)=1+&. С другой стороны, ф(аД+&)=1+&<а0, поэтому х(дД1)=х(0,-Э,1)=а(и,-Э)(1)=и(1+-э)=0

и у(д,&,1)=у(0,&,1)=а(у,&)(1)=у(1+&)=ф(а,1+&)=1+&. Таким образом, Г(1;)=х(д,-&,1), И(1;)=у(д,-&,1;).

Если п>1, возможны два варианта: п=2т (теК) и п=2т+1 (пеКе). Если п=2т, то, по утверждению 20 и по определению компонентов эволюционного процесса, Бп=0^ ОД=0 и Ь(1;)=§0(0,1-9п)=1-9п. С другой стороны, по

1 + &

Утверждение 20, 9п=ш-а—9п+1=т-а+а0—поэтому еп1(-) = ш и 0<ф(аД+&)<а0.

а

Отсюда следует, что х(д,-&,1)=х(0,-&,1;)=а(и,-&)(1)=и(1+$)=0,

у(д,&,1)=у(0,&,1)=а(у,&)(1)=у(1+&)=ф(а,1+&)=1+&-т-а=1-9п. Таким образом, Г(1;)=х(д,-&,1;) и Ь(1;)=у(д,-&,1;).

Если п=2т+1, то, по утверждению 20 и по определению компонентов эволюционного процесса, 8п=1^ Г(1)=1 и Ь(1;)=§1(0,1-9п)=1-9п.

1 + &

С другой стороны, 9п=ш-а+а0—9п+1=(т+1)-а-&, поэтому еп1;(-) = т и

а

а0<ф(аД+$)<а. Отсюда следует, что х(д,-&,1;)=х(0,-&,1;)=а(и,-&)(1;)=и(1+$)=1, у(д,&,1)=у(0,&,1)=а(у,&)(1)=у(1+&)=ф(а,1+&)-а0=1+&-т-а-а0=1-9п, Таким образом, снова Г(1;)=х(д,-&,1;) и Ь(1;)=у(д,-&,1;). Пусть q=1, 1>0 и у(9Д)=п, то есть 9п<1<9п+ь

Если п=0, то 0<1<а1—& и, по определению компонентов эволюционного процесса, Б0=1^ Д1)=1 и Ь(1)=ё1(&,1-90)=1+&.

С другой стороны, а0<1+а0+&<а, поэтому ф(аД+а0+$)=1+а0+$>а0, Следовательно, х(д,-&,1;)=х(1,-&,1;)=а(и,а0+&)(1;)=и(1+а0+&)=1

и у(д,&,1)=у(1,&,1)=а(у,а0+&)(1)=у(1+а0+&)=ф(а,1+а0+&)-а0=1+&. Таким образом, Г(1;)=х(д,-&,1), Ь(1;)=у(д,-&,1;).

Если п>1, возможны два варианта: п=2т (теК) и п=2т+1 (пеКе). Если п=2т, то, по утверждению 20 и по определению компонентов эволюционного процесса, Бп=1 ^ Г(1)=1 и Ь(1)=§1(0,1-9п)=1-9п.

г^ А п А I п а0 ^ + а0 +& ,

С другой стороны, 9п=ш-а—9п+1=т-а+а1—поэтому т + —---< т +1

аа

^ = т и а0<ф(аД+&+а0)<а. Отсюда следует, что

а

х(д,-ЭД)=х(1,-Э,1)=а(и,а0+3)(1)=и(1+а0+3)=1 и у(д,&,1)=у(1,&,1)=а(у,а0+&)(1)=у(1+а0+&)=ф(а,1+а0+&)-а0=1+&-т-а=1-9п. Таким образом, Г(1;)=х(д,-&,1;) и Ь(1;)=у(д,-&,1;).

Если п=2т+1, то, по утверждению 20 и по определению компонентов эволюционного процесса, Бп=0^ Р(1)=0 и Ь(1;)=§0(0,1-9п)=1-9п.

С другой стороны, 9п=т-а+а1—9п+1=(т+1)-а-&, поэтому

ш +1 < 1 + а0 + &<ш +1 + ^ епК1 + а0 +&) = ш +1 и 0<ф(а,1+а0+&)<а0. а а а

Отсюда следует, что х(д,-&,1;)=х(1,-&,1;)=а(и,а0+$)(1;)=и(1+а0+$)=0 и

у(д,&,1)=у(1,&,1)=а(у,а0+&)(1)=у(1+а0+&)=ф(а,1+а0+&)=1+а0+&-(ш+1)-а ^-а^З-ш-а^-

9п. Таким образом, снова Г(1;)=х(д,-&,1;) и Ь(1;)=у(д,-&,1;). 4

Семейство процессов, определяемое ситуационной схемой из примера 7, не

обладает НТ-свойством. Например, для начальной пары (0,2а0)^1®8 событие выхода

из ситуации 0 происходит мгновенно и начальным значением соответствующего

эволюционного процесса является пара (1,0). В то же время события eo, ei в примере 7, согласованы с полупотоками g0=g1, потому что их состояния не зависят от фазовой переменной (утверждение 14). Поэтому, согласно утверждению 19, семейство эволюционных процессов, определяемых ситуационной схемой, обладает полугрупповым свойством. С этой точки зрения утверждение 13 можно также рассматривать как следствие утверждения 19.

Библиографический список

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

240 с.

Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1966. 272 с.

Конюшков А. А. Период функции // Математическая энциклопедия. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. 266 с.

Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 384 с.

Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004. 552 с.

Фрумкин А.М. К определению понятия события при описании процессов в системах управления // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013. №1. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/029-01.pdf (дата обращения: 29.04.2013).

Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. М.: Наука, 1969. 528 с.

Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. М.: Мир, 1966,

272 с.

Юдович В. И. Математические модели естествознания. М.: Вузовская книга, 2009. 288 с.