CC BY
44
УДК 519.71
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ СОБЫТИЯ ПРИ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ В
СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ © 2013 А. М. Фрумкин
с.н.с. каф. математического анализа и прикладной математики, канд. техн. наук e-mail: [email protected]
Курский государственный университет
Предлагается определение события как числовой функции процесса. Определяется модель автономной ситуационной схемы, позволяющая описывать кусочно-непрерывные процессы с использованием понятий события, фазового потока, склейки процессов. Приводятся несложные примеры определения процессов, иллюстрирующие применение введенных понятий.
Ключевые слова: процесс, конкатенация процессов, событие, ситуация, фазовый поток, автономная ситуационная схема, эволюционная последовательность, эволюционный кортеж, эволюционный процесс.
1. Введение
Термин «событие» широко применяется в публикациях, посвященных моделированию сложных систем, системам управления и компьютерным системам. Подробный обзор подходов к определению понятия события представлен, например, в статье Е.А. Бабкина [2010]. Если попытаться обобщить подходы, связанные теорией систем и теорией управления, то можно сказать, что понятие события является инструментом разделения процессов на фрагменты.
Значительное число публикаций, использующих понятие события, посвящено дискретным моделям систем [Бабкин 2006; Schruben 1983; Buss 1996; Music 2009]. Такие модели не изучают фрагменты физических процессов во времени, но они классифицируют фрагменты процессов, происходящих в системе, и исследуют закономерности смены одних фрагментов другими. Поэтому большинство дискретных моделей включает прежде всего классификацию событий, то есть определение множества событий. Механизм распознавания событий предполагается известным и для дискретной модели не является существенным, поэтому определение события, основанное на анализе изменения физической переменной, для дискретной модели не проводится.
В публикациях, касающихся моделей с непрерывным временем [Бабкин 2010; Колесов 2006; Потемкин 1999; Modélica 2012], существует ряд подходов к определению события. Многие авторы не дают явного определения события, но указывают его атрибуты. Авторы сходятся в том, что событие характеризуется моментом времени, в который начинает выполняться некоторый набор условий. С формальной точки зрения это означает, что момент наступления события - это точка скачка некоторой булевой переменной, иногда характеризующей истинность некоторого отношения между непрерывно меняющимися переменными [Потемкин 1999; Modélica 2012]. Более сложные построения [Бабкин 2010; Колесов 2006] формально могут быть сведены к исследованию скачков булевой функции. В данной статье дается точное формальное определение события как числовой функции процесса (функционала), обобщающее описанный подход, и показывается использование этого
понятия для формального определения процессов, а также моделей динамических систем.
Одна из задач статьи - показать удобство использования понятия «событие» в рассматриваемом смысле при изучении объектов средствами математического анализа. Поэтому применяются формальные методы рассуждений, характерные для введения в анализ. В частности, функции рассматриваются как двуместные отношения, обладающие свойством единственности образа для каждого аргумента [Мальцев 1970], и они часто определяются как множества пар объектов. При этом области определения и значений функции { обозначаются и 1ш(1) соответственно.
В статье используются стандартные обозначения N для множества натуральных (причем ^=N^{0}) и Я - для множества вещественных чисел. Начало и конец доказательства обозначается символами 3 и 4 соответственно. Возникновение противоречия в доказательстве от противного обозначается символом И.
2. Процессы
В широком смысле процессом в множестве X можно назвать функцию х:1^Х, где - некоторый числовой промежуток. Далее будет использоваться более узкое определение по следующим причинам.
Процесс в технической системе всегда наблюдается в ограниченном промежутке времени. При этом абстракция возможности неограниченного расширения промежутка вправо важна, а абстракция неограниченного расширения промежутка влево (то есть абстракция возможности получить всю информацию о прошлом рассматриваемой системы) не так важна и в статье использоваться не будет.
В рассуждениях с процессами возникают две вспомогательные функции, ставящие каждому процессу в соответствие левую и правую границу промежутка, на котором процесс определен. Для того чтобы использовать только одну функцию, будем считать, что левая граница промежутка - всегда ноль, и в качестве вспомогательной функции рассматривать длину промежутка.
Для того чтобы проще определить операцию «склейки» процессов, промежутки, на которых определены процессы, будем считать замкнутыми слева и открытыми справа.
Функции, служащие моделями реальных процессов, обычно непрерывны во всех точках, кроме, может быть, точек некоторого «пренебрежимого» множества. В статье таким множеством считается не более чем счетное множество.
Определение 1. Пусть (Х,р) - метрическое пространство [Шилов 1969]. Фрагментом процесса в пространстве X (или, для краткости, - фрагментом) назовем ограниченную функцию х:[0,1)^-Х, непрерывную во всех точках, кроме, может быть, не более чем счетного подмножества [0,1). Если множество точек разрыва фрагмента конечно, назовем его кусочно-непрерывным. Множество фрагментов обозначим р0(Х). Правую границу (длину) промежутка, в котором определен фрагмент “х”, обозначим Т(х).
В дальнейших рассуждениях вид метрики не играет важной роли, поэтому метрика не упоминается, но ее существование подразумевается.
Определение 2. Полным процессом в метрическом пространстве X назовем функцию х:[0,го)^Х, обладающую тем свойством, что для любого 1>0 сужение х|[0д) является фрагментом. Полный процесс назовем кусочно-непрерывным, если для любого 1>0 сужение х|[0д) кусочно-непрерывно. Множество полных процессов обозначим р(Х). Под процессом будем понимать фрагмент или полный процесс.
Далее сужение функции х(1) на промежуток [0,1) будем упрощенно обозначать как х[0д>
Определение 3. 1-префиксом процесса хер(Х) назовем фрагмент: тс(х,1;)=х[0д)={(т,2): те[0,1)л2=х(т)};
1-суффиксом процесса назовем полный процесс:
а(х,1)={(т^): те [0, го)л2=х(1+т)}.
Приведем два «классических» примера процесса в Я, моделирующего физический процесс в техническом объекте. Далее для всех примеров характерно определение не одного процесса, а семейства процессов, зависящих от числовых параметров (а, в, А, ш и.т.д.).
Пример 1. Процесс, описывающий экспоненциальное уменьшение переменной:
ДА,а,-): 1е[0,да)^-а-е-М
Пример 2. Процесс, описывающий синусоидальные колебания:
Г(ш,а,Р,-): 1е [0,да)^-а-8тш1+Р-ео8ш1.
С точки зрения дальнейшего изложения эти примеры различаются тем, что второй процесс периодичен и для его определения (для определения тригонометрических функций) может быть использована конструкция склейки процессов.
Определение 4. Конкатенацией (склейкой) фрагментов иер0(Х) и уер0(Х) назовем фрагмент:
илу={(т,х): (те[0,Т(и))лх=и(т) ) V (те[Т(и),Т(и)+Т(у))л х=у(т-Т(и)) )}. Конкатенацией фрагмента иер0(Х) и полного процесса уер(Х) назовем процесс: илу={(т,х): (те[0,Т(и))лх=и(т) ) V (те[Т(и),да)л х=у(т-Т(и)) )}.
Согласно определению 4, V иер0(Х) и уер0(Х) Т(илу)=Т(и)+Т(у).
Утв. 1. Конкатенация обладает свойством ассоциативности.
Если хер0(Х) и уер0(Х) и 2ер0(Х) или 2ер(Х), то (хлу)л2=хл(ул2).
3 Обозначим и=(хлу)л2, у=хл(ул2). Согласно определению,
Т(и)=Т(у)=Т(х)+Т(у)+Т^). Если 2ер(Х), здесь можно обозначить Т^)= да.
Пусть 0<1<Т(х). Тогда, по определению, у(1)=х(1). С другой стороны,
0<1<Т(х)+Т(у), поэтому и(1)=(хлу)(1)=х(1), то есть и(1)=у(1).
Пусть Т(х)<1<Т(х)+Т(у). Тогда, по определению, и(1)=(хлу)(1)=у(1-Т(х)). С другой стороны, так как 1>Т(х), то у(1)=(ул2)(1-Т(х)). Так как 1-Т(х)<Т(у), то (ул2)(1-Т(х))=у(1-Т(х)), то есть и(1)=у(1).
Пусть Т(х)+Т(у)<1<Т(х)+Т(у)+Т(2). Тогда, по определению, и(1)=2(1-Т(х)-Т(у)).
С другой стороны, так как 1>Т(х), то у(1)=(ул2)(1-Т(х)). Так как 1-Т(х)>Т(у), то (ул2)(1-Т(х))=2(1-Т(х)-Т(у)), то есть и(1)=у(1).
Таким образом, равенство имеет место при всех значениях 1. 4
Для определения конкатенаций конечной последовательности фрагментов (может быть, оканчивающейся полным процессом) и бесконечной последовательности фрагментов будем использовать вспомогательные индексные функции.
Утв. 2. Пусть пе^ 9: 0,п ^[0,да) - неубывающая последовательность и 90=0. Тогда отношение у(9)={(1,ш)е[0,да)х^: (1<9пл9ш<1<9ш+1^(1>9плш=п)} является
неубывающей функцией. Эту функцию назовем индексной функцией последовательности 9, а ее значение у(9)(1)=у(9,1) будем называть индексом 1 относительно последовательности 9.
3 В доказательстве будем использовать определение целых чисел как подмножества Я [Шилов 1969]. Сначала покажем, что
Vtе[0,да) 3! ше0,п : (1<9пл9ш<1<9ш+1^(1>9плш=п) (1)
Пусть 1е [0,да) Если 1>9п, то ш=п - единственно.
Пусть 0<t<9n. Обозначим Mt={ke0,n : 0k<t}, m=max(Mt). Так как meMt, то 9m<t. Если m+1eMt, то m<m+1, то есть m^max(Mt) И. Поэтому m+1 gMt^t<9m+i. Итак, 9m<t<9m+i. Пусть найдется peO^n : 9p<t<9p+1 и p^m. Если p<m, то p<m-1 ^ p+1<m ^ t<9p+1<9m^t<9m И. Если p>m, то p>m+1 ^ t>9p>9m+1 ^ t>9m+1H. Таким образом, m единственно и утверждение (1) доказано.
Покажем, что функция v(9,-) не убывает. Пусть t1<t2 и v(9,t1)>v(9,t2). Обозначим v(9,t1)=m, v(9,t2)=p. Имеем: m>p^m>p+1, а так как m<n, то p<n и имеют место неравенства 9p<t2<9p+1. Но t1>9m ^ t1> 9p+1>t2 ^ t1>t2 И. 4
Определение 5. Пусть neN, x:0,n^pO(X) - конечная последовательность фрагментов. Тогда последовательность Tm=T(xm) назовем последовательностью длин для последовательности x. Последовательность 9, задаваемую формулами 90=0 и m -1
Vme 1,n+1 9 m = ^ T(xk) , назовем временной последовательностью или
k=0
последовательностью меток времени для последовательности x.
Определение 6. Пусть x:0,n^pO(X) - последовательность фрагментов; 9 -соответствующая временная последовательность. Конкатенацией фрагментов назовем фрагмент y={(t,z): te[0,9n+1) л z=xv(0,t)(t-9v(0,t))}. Для конкатенации будем использовать n
обозначение у = л xk .
k=0
Пусть x:0,n^p0(X)^p(X), причем x:0,n-1^p0(X) и xnep(X). Пусть 9 -
временная последовательность для x:0,n-1^p0(X). Конкатенацией последовательности
x назовем процесс y={(t,z): te[0,ro) л z=xv(0,t)(t-9v(0,t))}. Для конкатенации будем
n
использовать то же обозначение: у = л xk.
k=0
Утв. 3. Пусть 9:Ne^R - бесконечная неубывающая неограниченная
последовательность чисел, 90=0, L = lim 9 n (L - число или бесконечность [Шилов
1969]). Тогда отношение v(9)={(t,m)e[0,L)xNe: 9m<t<9m+1} является неубывающей функцией. Для этой функции сохраним терминологию, применяемую к функции из Утв. 2.
3 Доказательство строится по аналогии с доказательством Утв. 2. Сначала покажем, что
Vte[0,L) 3! me Ne: 9m<t<9m+1 (2)
Пусть 0<t<L. По определению L найдется neN: t<9n. Поэтому множество Mt={keNe : 9k<t} ограниченно и, следовательно, конечно. Обозначим m=max(Mt). Так как meMt, то 9m<t. Если m+1eMt, то m<m+1, то есть m^max(Mt)H. Поэтому m+1 £ Mt^t<9m+1.
Итак, 9m<t<9m+1. Пусть найдется peNe : 9p<t<9p+1 и p^m. Если p<m, то p<m-1 ^ p+1<m ^ t<9p+1<9m^t<9m И. Если p>m, то p>m+1 ^ t>9p>9m+1 ^ t>9m+1H.
Таким образом, m единственно и утверждение (2) доказано.
Покажем, что функция v(9,-) не убывает. Пусть t1<t2 и v(9,t1)>v(9,t2). Обозначим v(9,t1)=m, v(9,t2)=p. Имеем: m>p^m>p+1. Так как имеют место неравенства 9p<t2<9p+1 и t1>9m, то t1> 9p+1>t2 ^ t1>t2 И. 4
Определение 7. Конкатенацией бесконечной последовательности фрагментов x:Ne^p0(X) временной последовательностью 9 назовем процесс:
х
л xk = e[0,») X X: z = xv(0,t)(t-0v(0,t))}-
k=0
Определение 8. Пусть uep0(X) фрагмент, v:neNe —u - последовательность одинаковых фрагментов. Продолжение фрагмента u по периодичности - это процесс
Л vn.
n = 0
Утв. 4. Пусть xep(X) - продолжение фрагмента u по периодичности. Тогда
V t e[0,да) x(t) = u^t - T(u) • en^T^ ,
где entQ - функция целой части числа [Шилов 1969].
3 Временная последовательность в данном случае имеет вид 0n=n-T(u). Пусть
te[0,x) и m=v(0,t). Тогда 0m<t<0m+1 о m-T(u)<t<(m+1)-T(u) о m< —— <m +1 о
T(u)
m = ent(T(tu)) [Шилов 1969]. Отсюда vv(0,t)(t-0v(0,t)) = u^t-T(u)• ent(Tu-)] . 4
Пример 3. Определим на основе определения 8 и Утв. 4 процесс, описывающий «прямоугольные» однополярные колебания единичной амплитуды с выдержками времени для ноля и единицы, равными а0 и а1 соответственно. Определим элементарные фрагменты: u0={(t,z): te[0,a0^z=0} и u1={(t,z): te[0,a^z=1} и их склейку: u=u^ub Искомый процесс x(a0,a1,^) - это продолжение фрагмента u по
периодичности. Если обозначить ф(а,-): t e [0,да) — t - а • ent(—), то, согласно Утв. 4,
а
Vte[0x) ( +) i0, если Ф(а0 +аЬ^ <а0 (3)
Vte[0,x) x(a 0, а1,0 = <! . ^
[1, если ф(а0 +a1,t) > а0
Пример 4. Аналогично, для описания «пилообразных» колебаний амплитуды A с выдержками времени возрастания и убывания, равными а0 и а1 соответственно,
2
сначала определяем элементарные фрагменты: u0={(t,z): 1е[0,а0)л z = A(1---------------1) }
а 0
2
(фрагмент убывания) и u1={(t,z): 1е[0,а1)л z = A(—t -1) } (фрагмент возрастания).
a1
Искомый процесс x(a0,a^A,-) - это продолжение фрагмента u=u0лu1 по периодичности. С использованием функции ф из примера 3 он описывается следующей формулой:
. . ф(а0 +a1 ,t)4
A(1 - 2----------—), если ф(а0 + a1,t) <а0
а 0 (4)
A(2 ф(а0 +a1,t)—- 1), если ф(а0 + a1,t) > а0 а1
Определение 9. Последовательность T:Ne—[0,х) назовем правильной, если она монотонна и неограниченна ( lim т n = да). Множество A<^[0,x) назовем правильным
n—— X
дискретным множеством (далее для краткости - просто правильным), если оно либо конечно, либо допускает правильную нумерацию, то есть существует правильная биекция T:NeoA.
Утв. 5. Для того чтобы множество A<^[0,x) было правильным, необходимо и достаточно, чтобы любой ограниченный промежуток fe[0,x) содержал конечное число элементов множества A.
x(a0,abA,-) : t e[0,да)
3 Необходимость. Пусть A - правильное множество. Если оно конечно, то и его пересечение с любым промежутком конечно. Пусть оно бесконечно, T:Neo-A - его правильная нумерация, I=[a,b]e[0,x), b<x. Тогда найдется neN: m>n ^ Tm>b. Следовательно, 1пД^т(1,п), то есть InA является подмножеством конечного
множества. Принадлежность промежутку I его границ не влияет на этот вывод.
Достаточность. Пусть любой ограниченный промежуток fe[0,x) содержит конечное число элементов множества A. Тогда любое подмножество D^A имеет минимальный элемент. Действительно, возьмем любое число a>0. Тогда конечное множество [0,a)nD^[0,a)nA имеет минимальный элемент, но он же является минимальным элементом D.
Пусть A - бесконечно. Определим рекуррентно последовательность Xn из подмножеств A и последовательность тп из элементов A формулами: X0=A, T0=min(A) и VneNe Xn+1=Xn\{Tn}, Tn+1=min(Xn+1).
Имеют место утверждения: a) последовательность т строго монотонно растет; b)
V neNe A=T(0,n)^Xn+1 л T(0,n)nXn+1 =0; c) V neNe V me0,n VzeXn+1 Tm<z.
3 Пусть для некоторого neNe т строго монотонно растет на 0д и выполнены утверждения b), c). Тогда, так как Tn+1eXn+1, то тп<тп+1. Далее, так как Tn+1=min(Xn+1), то VzeXn+2 Tn+1<z.^V me0,n+1 VzeXn+2 Tm<z^ T(0,n+1)nXn+2 =0. Далее
A=T(0^)^Xn+1=T(0^)^{Tn+1}^(Xn+1\{Tn+1})=T(0jn±1)^Xn+2.
Так как для n=0 все утверждения формально выполнены, то доказательство по индукции завершено. 4
В силу утверждения a), т - инъективное отображение Ne в A. Если бы последовательность т была ограничена, то в некотором промежутке скопилось бы бесконечное число элементов A И. Следовательно, lim тn = x.
n—X
Покажем, что т является нумерацией A, то есть Im^)=A. Пусть zeAYEm^), Mz= {neNe : ^<z} - конечное множество ( lim тn = x), m=max(Mz). Тогда ^<z и, в силу
n—x
равенства A=i(0,nKjXn.i и условия zgx(0,n), имеем: zeX^^z^m+ь С другой стороны, m±1 £Mz, поэтому тm±1>z И. Следовательно, Im^)=A и множество A - правильное. 4
Из Утв. 5 непосредственно следует следующее утверждение.
Утв. 6. Для того чтобы процесс x:[0,x)—X был кусочно-непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы множество его точек разрыва было правильным.
3. События и композиции событий
Определение 10. Событием в метрическом пространстве X назовем функционал e: Dm(e)ep(X) —[0,x), который обладает следующим свойством:
если e(u)=t, то V т> Vvep(X) e(u[0,x^v)=t.
Если e - событие, u - процесс и t=e(u), то будем говорить, что в процессе u событие e произошло в момент времени t. Если же u^Dm(e), то будем говорить, что в процессе u событие e не произошло. Характеристическое свойство события словесно выражается так: если событие произошло в некоторый момент t, то для как угодно малого s>0 это значение t определяется лишь фрагментом процесса в промежутке [0,t±s). Приведем несколько простых примеров событий.
Пример 5. Событие начала процесса (или мгновенное событие ):
e={(u,t): uep(X) л t=0}.
Пример 6. Пустое событие: e=0. Любой входной процесс не принадлежит его области определения, и, таким образом, пустое событие «никогда не происходит».
Пример 7. Событие «истекло время т после начала процесса»:
е(т)={(иД): иер(Х) л 1=т}.
Пример 8. Событие в Я «величина достигла заданного значения б»: е(Б)={(и,1): иер(Я) л 3т>0: и(т)=Б л 1=тГ{т>0: и(т)=Б}}.
п
Например, для функции и: 1е[0,х)^8т(1:) имеют место равенства: е(0,и)=0, е(1,и) = у.
Пример 9. Событие в Я «величина достигла заданного значения б после начала процесса»:
е(8)={(иД): иер(Я) л 3т>0: и(т)=Б л 1=тГ{т>0: и(т)=Б}}.
Например, для функции и: 1е[0,х)^8т(1:) имеем: е(0,и)=п.
Пример 10. Событие в Я «величина превысила заданное значение б»: е(в)={(и,1): иер(Я) л 3т>0: и(т)>Б л 1=тГ{т>0: и(т)>Б}}.
Например, функция и: 1е[0,х)^8т(1:) не принадлежит области определения события е(1,-).
Пример 11. Событие «величина увеличилась до заданного значения б»: е(в)={(и,1): иер(Х) л 3т>0: и(т)>Б л 1=тГ{т>0: и(т)>Б}}.
На множестве непрерывных функций события из примеров 8 и 11 совпадают. Но на множестве кусочно-непрерывных функций это разные события.
Пример 12. Событие «превышение величиной заданного значения б сохранилось заданное время т»:
е(Б,т)={(и,1): иер(Я) л {^>0: У9е[£,£+т] и(9)>в}^0 л 1=тГ{^>0: У9е[£,£+т] и(9)>Б}}. Пример 13. Событие в Я «величина начала расти»:
е={(и,1;): иер(Я) л 1=тГ{т>0: 39>т: У11,12е[т,9] 11<12^и(11)<и(12)}}.
Пример 14. Событие в Я «величина достигла строгого локального минимума»: е={(и,1;): иер(Я) л 1=шт{^>0: 35>0: Уте(£-5,£)и(£,£+8) и(т)>и(^)}}.
В данном определении требуется, чтобы множество {^>0: 35>0: Уте(^-5,^)^(^,^+5) и(т)>и(^)} имело минимальный элемент, то есть, например, в процессе, задаваемом 0, если 1 = 0
формулой и(Ч) =
зт( 1) если 1 > 0, рассматриваемое событие не происходит.
Пример 15. Событие в Я «величина достигла значения б, возрастая»: е(Б)={(и,1): иер(Я) л 1=тДт>0: и(т)=Б лУ^^е^т] 11<12^и(11)<и(12)}}. Например, для функции и(1;)= имеет место равенство е(1,и)=1, в то время как функция у(1:)=1;2-1 не принадлежит области определения события е(1,-).
В определениях событий из примеров 13-15 для компактности записи не оговаривалось условие о том, что множество, для которого рассматривается нижняя грань или минимум, не должно быть пустым. Выполнение характеристического свойства события в каждом примере практически следует из определения. Приведенные примеры показывают, что с помощью теоретико-множественной символики могут описываться достаточно сложные условия, выполнение которых определяет событие. Для построения более сложных описаний событий на основе простых можно рассматривать композиции событий, например, согласно следующим определениям.
Определение 11. Последовательная композиция (конкатенация) двух событий е1, е2: е1 ле2={(и,1): и е Бш(е1 )ла(и,е1(и)) е Бш(е2)л1=е 1(и)+е2(о(и,е1(и)))}. Определение 12. Дизъюнкция событий е1, е2:
е^е2={ (иД): (иеБш(е1)\Бш(е2)л1=е1(и)) V (иеБш(е2)\Бш(е1)л1=е2(и)) V (и е Бш(е1)пБш(е2)л1=шт{е1(и),е2(и)} ) }.
Определение 13. Конъюнкция событий е1, е2:
е1&е2={ (иД): иеБш(е1)пБш(е2)л1=шах{е1(и),е2(и)} }.
4. Автономные ситуационные схемы.
При математическом моделировании технических объектов (в частности, систем управления) часто возникает задача описать процесс, который распадается на фрагменты так, что в каждом фрагменте закон эволюции объекта выглядит по-своему. Процессы такого типа описаны в примерах 3 и 4, где цикл изменения переменной распадается на два фрагмента.
Моделью объекта является некоторое семейство процессов. Если при моделировании задача разделения процессов на фрагменты не возникает, моделью объекта с сосредоточенными переменными часто является дифференциальное уравнение в многомерном пространстве. Если в определенные моменты времени (в определенных точках пространства состояний) закон эволюции системы резко меняется, то для описания системы модель дифференциального уравнения усложняется, например, в форме дифференциального уравнения с разрывной правой частью [Ахмеров, Филиппов 1985] или в форме дифференциального включения [Борисович 2005]. Но, для того чтобы исследовать процессы в рамках таких моделей, иногда все равно полезно построить конструкцию, описывающую разделение каждого рассматриваемого процесса на фрагменты. Далее предлагается вариант такой конструкции с использованием понятия события, а также понятия фазового потока [Арнольд 1975]. Фазовый поток называют также автономной динамической системой [Немыцкий 2004], порожденной дифференциальным уравнением. Предварительно дадим два вспомогательных определения.
Определение 14. Пусть М есть семейство множеств с множеством индексов I, то есть М - это функция, которая каждому элементу 1 е1 ставит в соответствие некоторое множество. Декартовым произведением множества индексов и семейства назовем множество 1®М={(1,х): 1е1лхеМ(1)}.
Определение 15. Пусть М - множество и Г Бш(Г)еМ ^ М, то есть Г есть функция, отображающая из М в М, и, в общем случае, М\Бш(Г)^0. Эволюционной последовательностью функции £, порождаемой (или задаваемой) элементом хеМ, назовем последовательность 2={(п,и)е^хМ: и=Г(х)}.
Для элемента хеМ, упомянутого в определении 15, возможны два взаимоисключающих варианта:
a) существует пе№ х^Бш^). В этом случае эволюционная последовательность отображения Г, задаваемая х, конечна. Ее конечный номер: ш=шах{пе№ хеБш(Г)};
b) для каждого пе№ хеБш^). В этом случае эволюционная последовательность отображения £, задаваемая х, бесконечна.
Определение 16. Автономной ситуационной схемой (или, для краткости, просто ситуационной схемой) назовем набор (Б, V, §, е, Ь, 1), состоящий из следующих компонентов:
1) Б - конечное множество ситуаций. Элементы Б будут использоваться далее как дополнительные аргументы (индексы) функций и иногда обозначаться также в виде индексов;
2) V - семейство множеств с множеством индексов Б;
3) g - семейство фазовых потоков с областью индексов Б. Для каждого БеБ фазовый поток gs:V(s)хR^•V(s) в общем случае имеет собственное фазовое пространство V(s). Конкретная модель строится так, чтобы все множества V(s) являлись подмножествами некоторого универсума и з ^ V(s). Например, И=Яп
БеБ
Фазовые потоки понимаются в смысле [Арнольд 1975], то есть для различных БеБ и vеV(s) функции gs(v,•) определены на всей вещественной оси. Но для определения процессов в смысле определения 2 фактически будут использоваться функции
gs(v, 0[0,<ю);
4) е - семейство событий с множеством индексов Б. Для каждой пары (s,x)еS®V еБ(х): Бш(ея(х))ер^(Б)) ^ [0,х). Семейство “е” можно назвать семейством событий выхода из ситуаций ситуационной схемы. Если заданы семейства ‘^” и “е”, то для каждой ситуации БеБ можно определить множество состояний (в смысле определения фазового потока) выхода из ситуации:
Q(s)={yеV(s): 3 xеV(s): y=gв(x,es(x,gв(x,•)))};
5) Ь - функция переходов Ь : Б ® Q ^ Б;
6) 1 - функция инициализации: 1:Б®Q^ ^V(s) . Для каждой пары (s,x)еS®Q
БеБ
i(s,x)еV(Ь(s,x)).
Определение 17. Эволюционным отображением ситуационной схемы (S,V,g,e,Ь,i) назовем функцию Г S®V ^ S®V, определяемую формулой:
Г = {((Б1,х1),(Б2,х2)) е(Б® V)2: gs1 (хь0 е(хь0)
л б2 = (х1,еБ! (х1^ (хь0))) л х2 = ^1^ (х1,еБ! (х1^! (хь0))) }
Эволюционной последовательностью ситуационной схемы (Б^^,е,ЬД), задаваемой (или порождаемой) парой wеS®V, назовем эволюционную последовательность отображения Г, задаваемую этой парой. При этом первую компоненту последовательности назовем ситуационной, а вторую - фазовой.
Далее, если некоторая пара в множестве пар обозначается одной буквой, например 7=(х,у), то элементы пары будут обозначаться символами п0, п1: х=п0(7), у=л1(7). С другой стороны, краткая запись (x,y):[0,x)^•S®V будет обозначать, что рассматриваются две функции или, другими словами, существует функция z:[0,x)^S®V такая, что У1е[0,го) х=п0(7(1;))л у=п1(7(1)). Аналогичный смысл имеет запись (x,y):Ne^S®V.
Если 7=(б,х) - эволюционная последовательность ситуационной схемы,
задаваемая парой wеS®V, то последовательность тп = еБп (хп^п (хп,0) назовем
последовательностью длительностей (или Д-последовательностью), задаваемой парой w. Соответственно, временной последовательностью назовем последовательность 9,
п -1
определяемую формулами: 90=0 и для п>0 9п = ^тк . Набор (7,т,9) (или набор
к=0
(б,х,т,9)) назовем эволюционным кортежем, порожденным парой w.
Определение 18. Пару wеS®V назовем допустимой для ситуационной схемы (Б, V, g, е, Ь, 1) (а схему - корректной для пары w), если временная последовательность 9 данной схемы, порожденная w, либо конечна, либо обладает таким свойством: Упе^ 3 ш>п: 9ш>9п. Соответственно, подмножество S®V назовем допустимым для ситуационной схемы (а схему - корректной для этого подмножества), если каждый элемент подмножества допустим. Ситуационную схему назовем корректной для
ситуации qеS, если пара ^,х) допустима для любого xеV(q). Ситуационную схему, корректную для любой ситуации, назовем корректной в целом.
Например, если в процессе моделирования мы каждой паре wеS®V поставим в соответствие мгновенное событие (пример 5), то получим схему, некорректную для любой пары wеS®V.
Если пара wеS®V допустима для ситуационной схемы и ^,7) есть эволюционная последовательность, задаваемая w, то можно определить два процесса, порожденных ситуационной схемой и начальными условиями w, - изменения ситуаций в множестве Б и изменения фазовых переменных в множестве и V(s). Для краткости
БеБ
первый процесс можно назвать ситуационным, а второй - фазовым.
Ситуационный процесс определяется формулой s(t)=qv(e,t). Фазовый процесс х определяется следующими формулами:
если эволюционная последовательность конечна и имеет длину п+1, то
п -1
х = ( л п(^к ^кЛЧ^к,^ (%,•))) ) л ^п (7п,0 ;
к=0
если эволюционная последовательность бесконечна, то
х = л п(^к (7к>0>^к (7к>^к (7к>0)) . к=0
Об эволюционных последовательности, кортеже и процессе ситуационной схемы можно говорить, не акцентируя внимания на порождающей паре. В этом случае можно говорить, что процесс определяется кортежем.
Предложенная конструкция ситуационной схемы из шести компонентов является достаточно громоздкой. В частных случаях можно рассмотреть более простую конструкцию.
Например, может оказаться, что для описания смены фрагментов определяемых процессов достаточно использовать только функцию инициализации. В этом случае ситуацию можно считать единственной и не включать в модель множество ситуаций и функцию переходов. Соответственно, в модели участвует только одно множество “V”, один фазовый поток ‘^”, а функции “е” и “I” являются функциями только элементов V.
В другом типичном случае фазовая переменная при смене ситуаций не меняется и допустимо не рассматривать функцию “1”. Ситуационную схему, в которой некоторые компоненты не рассматриваются, будем называть упрощенной, а отсутствующие компоненты будем обозначать звездочками (*). Для упрощенной схемы соответственно упрощенно определяются эволюционное отображение, эволюционная последовательность, допустимость.
Иногда, строя ситуационную схему согласно определению 16, вместо функций Ь: Б ® Q ^ Б и 1:Б ® Q ^ у V(s) можно определить их продолжения на все множество
БеБ
S®V, то есть определить Ь: Б ® V ^ Б и 1:Б ® V ^ и V(s).
БеБ
Пример 16. Рассмотрим упрощенную схему (*^^,е,*Д) со следующими компонентами: V={0,1}; g:(x,t)еVхR ^ х; Уиер(У) е(0,и)=Т0ле(1,и)=Т1;
VxеV 1(х)=по1(х).
Утв. 7. Ситуационная схема из примера 16 корректна в целом. Процесс, порожденный начальным значением 0, есть процесс, описанный в примере 3.
Доказательство опустим, потому что оно близко чуть более сложному
доказательству следующего Утв. 8.
Пример 17. Рассмотрим упрощенную схему (S,V,g,e,b,*), со следующими
2A 2A
компонентами: S={0,1}; Vo=Vi=R; go(x,t) = x-1, gi(x,t) = x +---1;
a o ai
VxeR e0(x,-)={(u,t): uep(R) л 3t>0: u(t)= -A л t=inf{x>0: u(t)= -A}} л
e1(x,-)={(u,t): uep(R) л 3t>0: u(t)=A л t=inf{x>0: u(t)=A}}.
VseS VxeR b(s,x)=not(s).
События e0, e1 - это события из примера 8. Функция инициализации не определена (фазовая переменная сохраняется).
Утв. 8. Ситуационная схема из примера 17 корректна в целом. Фазовая
компонента процесса, порожденного (0,A), есть процесс, описанный в примере 4.
3 Сначала докажем корректность. 3 Пусть (s,z,T,9) - эволюционный кортеж, порожденный некоторой начальной парой. Пусть для некоторого neNe sn=0. Если zn>
Z + .A.
-A, то Tn = e0(zn,g0(zn,-)) = a0 " > 0, то есть 9n+1=9n+Tn>9n. Если Zn=-A, то
2A
Tn=e0(zn,g0(zn,-))=0, zn+1=-A и 9n+1=9n, но Tn+1=e1(zn+1,g1(zn+1,-))=a1>0, то есть 9n+2=9n+1+Tn+1>9n+1=9n. Если zn=<-A, то событие e0(zn,-) в процессе g0(zn,-) не происходит, то есть n - последний номер эволюционной последовательности. Случай sn=1 рассматривается аналогично. 4
Теперь рассмотрим конкретную начальную пару (0,A). Пусть (s,z,T,9) -соответствующий эволюционный кортеж и (q,x) - эволюционный процесс. Методом индукции докажем, что VneNe:
9^ = n—(nmod2) (a0 +a1) + (nmod2)-a0, sn=n mod 2 и zn=(-1)n-A.
3 Для n=0 формула верна. Пусть она верна для некоторого n>0. Если n=2m -четно, то sn=0, zn=A и n+1 нечетно. Событие e0(zn,-) в процессе g0(zn,-) происходит: e0(zn,g0(zn,-))=a0, поэтому
9 n+1 =9 n + e0(zn>g0(zn,-)) = m(a 0 +a1) + a 0 = (n +1 1 +a 0,
sn+1=not(sn)=1=(n+1)mod 2 и zn+1= -A=(-1)n+1-A.
Если n=2m+1 нечетно, то sn=1, zn=-A и n+1 четно. Событие e1(zn,-) в процессе g0(zn,-) происходит: e0(zn,g0(zn,-))=a1, поэтому
9 n+1 =9 n + e1(zn,g1(zn,-)) = (m(a 0 +a1) + a 0) + a1 = (a 0 +a 1),
sn+1=not(sn)=0=(n+1)mod 2, zn+1= A=(-1)n+1-A. 4
Далее, для произвольного te [0.x) обозначим m = ent(—).
a
Пусть <(a,t)<a0. Тогда m-a<t<m-a+a0. Но m-a=92m и m-a+a0=92m+1, то есть
92m—t<92m+1 ^v(9,t)=2m. Таким образом, v(9,t) = 2-ent(—) ^ 9v(9 t) = a-ent(—) ^
aa
<(a,t) = t -9V(9,t) ^ 0 — t -9V(9,t) <a0 . Кроме того, sv(9,t)=0 и zv(9,t)=A. Отсюда
x(t) = gsv(9,t) (zv(9,t) ,t — 9v(9,t)) = A(1 - 2 <Ka0a+0a1,t)).
Пусть <(a,t)>a0. Тогда m-a+a0—t<(m+1)-a Но m-a+a0=92m+1 и m-a=92(m+1), то есть
92m+1—t<92(m+1) ^ v(9,t)=2m+1. Таким образом, v(9,t) = 2 - ent(—) +1 ^
a
9у(0 1) =а'еп1(—) + а0 ^ 1-^(0 1) = 1-а'еп1(—)-а0 ^ 0< 1 -0v(0t) <«1- Кроме того,
8Ч9Д)=1 и ^(0,1) = -А- Отсюда Х(1) = §8 у (0,1) (^ = А(2 ф(а 0 +«1’1) а 0 - 1) -
Таким образом, формула (4) имеет место для любого 1є[0,х). 4 Пример 18. Тема следующей кинематической задачи заимствована из учебника Д-В- Сивухина [1974]. Шарик вертикально без сопротивления воздуха падает на горизонтальную плиту и отражается от нее так, что скорость отраженного шарика составляет долю а от скорости падающего шарика в момент касания плиты (0<а<1). Необходимо описать процесс движения шарика, пренебрегая временем взаимодействия с плитой-
При решении может использоваться упрощенная схема (*,У,§,е,*,і) со следующим элементами:
фазовое пространство: У=Я ;
2 12
фазовый поток: §:((х,у)Д) єЯ хЯ ^ (х+у4- д— ,у-д4), где д - ускорение
свободного падения;
событие не зависит от переменных начального состояния: е ={((х,у),1): (х,у)єр(Я2)лЗт>0: х(т)<0 л 1=тДт>0: х(т)<0}};
2
функция инициализации і:(х,у) є Я ^ (х,-а' у) -
Утв. 9. Ситуационная схема из примера 18 является корректной для множества 0={(х,у)єЯ : х>0}- Эволюционный кортеж (р,д,т,0), порожденный парой (ц,у)єО, включает бесконечные последовательности, для которых имеют место равенства:
V +л/ V + 2ДД ^ „ п I 2 п Му2
т 0 = ~
V + -\/V2 + 2ди _ Л п Г~2 п л/у2 + 2ци
11 , и для любого п>1 рп=0, дп = а 'д[V + 2ди , тп = 2а у
Д Д
0 п =
V- д/V2 + 2ди 2 1 -ап+1
ц ц 1 -а
Эволюционный процесс (х,у), порожденный парой (ц,у)еО, есть фрагмент длины
V -д/ V2 + 2ци д/у2 + 2ци
----5----------+ 2--. Компонента х(1:) вычисляется по формуле
ц (1 -а) -ц
х(г) = ау(0,1) -д/ у2 + 2ци - (г-0у(0,г))-уС* -0у(0д))2. (5)
3 Первый элемент пары §((рк,дк),-) будем обозначать £к(-), а второй - Пк(-). Пусть
I2
и>0. Уравнение ^о(0=0о и + у - г -Ц-^ = 0 имеет два корня, но при любом значении у
V + д V2 + 2ди гл х \ і
только корень І0 =----------------------------------------------------5- положителен- В промежутке [0,11) функция
Д
2 I 2
£, 0(1) = и + V' 1 -д — > 0- Следовательно, е(§((р0,д0),-))=І0, то есть т 0 = v + у v + 2ди
2 д
Отсюда р1=^000)=0, д1 = -ап0(10) = -а^- Д1і) = ад/V2 + 2ди -
I2
Уравнение ^1(г)=0о д! - г -Ц-^ = 0 имеет два корня, но только корень
41
^ = 2—>0. В промежутке (0,г1) функция ^1(г)>0. Следовательно, е(§((р1,д1),-))=11, то
(Л
qi Jv2 + 2uu
есть, ti = 2— = 2a----------. Если формулы имеют место для n>1, то, повторяя уже
(X (X
проведенные рассуждения, получаем: pn+1=0, qn+i =-ann(тn) = aqn = an+^v2 + 2^u ,
/2 + 2 u
тn+i = 2qn+1 = 2aп+^---------- . Таким образом, формулы верны для любого n>1.
(X (X
Формула для 9n следует из формулы для суммы геометрической прогрессии,
1- ^ v -д/ v2 + 2ди Vv2 + 2ди „
lim 9n =------------------ -+ 2---. Формула (5) следует из определения склейки
n^x Д (1 -a) -д,
фрагментов. 4
Ситуационная схема из примера 18 отличается от схем из примеров 16 и 17 тем, что определяемые этой схемой процессы являются фрагментами, в то время как процессы, определяемые схемами из примеров 16 и 17, - полные процессы. В связи с этим можно дать такие определения.
Определение 19. Пару weS®V назовем правильно допустимой для ситуационной схемы (S,V,g,e,b,i) (а схему - правильной для пары w), если временная последовательность данной схемы, порожденная w, - правильная в смысле определения 9.
Определение 20. Ситуационную схему назовем правильной для ситуации qeS, если для любого xeV(q) временная последовательность данной схемы, порожденная (q,x), - правильная. Ситуационную схему, правильную для любой ситуации, назовем правильной в целом.
Пример 19. Пусть объект управления описывается простейшим дифференциальным уравнением:
x'+a-x=u (x - регулируемая переменная, и - управление, а>0 - параметр), а интегральный регулятор описывается уравнением (в дифференциальной форме):
u ' = - b - x (b>0 - параметр), (6)
но только в промежутках времени, в которых значения управляющей (выходной) переменной регулятора находятся в заданном промежутке [-A,A]. Этот промежуток задает ограничения для значений выходной переменной, свойственные любому реальному регулятору.
Если управляющая переменная u достигает предельного значения A (это может произойти, если регулируемая переменная x достаточно долго была отрицательной), то это значение u фиксируется до тех пор, пока переменная x не пересечет ноль в положительном направлении, после чего u снова начинает меняться по закону (6) с начальным значением u0=A.
Аналогично, если управляющая переменная u достигает предельного значения -A (это может произойти, если регулируемая переменная x достаточно долго была положительной), то это значение u фиксируется до тех пор, пока переменная x не пересечет ноль в отрицательном направлении, после чего u снова начинает меняться по закону (6) с начальным значением u0= -A.
Формально процессы в системе опишем ситуационной схемой (8,У,§,е,РД). При исходном описании системы буквенные обозначения “а”, “Ь” выбраны для того, чтобы можно было воспользоваться результатами статьи [Фрумкин 2010], поэтому функция переходов обозначена буквой р.
Ситуации: 8={Н,Ь,1}, где Ь обозначает ситуацию предельно низкого (-А) значения управляющей переменной, Н - ситуацию предельно высокого (А) значения управляющей переменной, I - ситуацию интегрирования.
Фазовые пространства: УЬ ={(х,и)еЯ2: и=-А}, УН = {(х,и)ёЯ2: и=А}, У1 = Я2.
Фазовые потоки: - фазовый поток в УЬ, определяемый системой уравнений:
х'+а-х=и; и = -А;
§Н - фазовый поток в УН, определяемый системой уравнений:
х'+а-х=и; и=А;
§1 - фазовый поток в Я2, определяемый системой уравнений:
х'+а-х=и; и'= -Ь-х. (7)
События: еЬ={((х,и),1;)ер(УЬ)х[0,х) : 3т>0: х(т)<0л 1=тГ{т>0: х(т)<0}},
еН={((х,и)Д)ер(УН)х[0,го) : 3т>0: х(т)>0л г=1пГ{т>0: х(т)>0}}, е^е^еь где е0={((х,и),1)ер(Я2)х[0,х) : 3т>0: и(т)<-А л г=1пГ{т>0: и(т)<-А}}, е1={((х,и),1)ер(Я2)х[0,х) : 3т>0: и(т)>А л г=1пГ{т>0: и(т)>А}},
Все события определяются только ситуацией и не зависят от элементов соответствующего ситуации фазового пространства.
Функции переходов и инициализации формально определим на всем множестве Б0У:
Г Ь, если и < 0
У7еУь Р(М)=1; У7еУн Р(Н^)=1; У(х,у)еЯ р(1,х,и) = ^Н > 0;
I Н, если и > 0
У(в,(х,и))е8®У К^(х,и)) =
(х,-А), если и < -А (х, и), если - А < и < А .
(х,А), если и > А
Утв. 10. Пусть (8,(2,у),т,0) - эволюционный кортеж ситуационной схемы из примера 19, и для некоторого п>0 Бп=1, 7п=0 и Уп=А (или Уп = -А). Тогда (Бп,(2п,Уп)) есть последний элемент эволюционной последовательности (то есть ((7п,Уп),-) £Бш(е8 (-)) ) и
фазовый процесс, задаваемый кортежем, непрерывен в промежутке [0п,х).
3 Для определенности рассмотрим случай уп=А. Согласно определению потока ®, функция §1((7п,уп),-) есть решение задачи Коши для системы уравнений:
х'+а-х=и; и'= -Ь-х
с начальными условиями х(0)=0 и и(0)=А. Выразив х из второго уравнения (х = - —,
Ь
' и" )
х' =----) и подставив полученные выражения в первое уравнение, получим, что
Ь
функция и удовлетворяет уравнению и"+а-и'+Ь-и=0 с начальными условиями: и(0)=А, и'(0)=0. Формула, задающая решение этого уравнения, зависит от соотношений между а и Ь [Фрумкин 2010].
Если а2-4Ь>0, то и(г)=А-(———е-а 21--------—— е-а 11),
а1 - а 2 а1 - а 2
где a1 = 2 + J^- Ь, а2 = 2 ^a_ - b (а1>а2).
Если a2-4b=0, то u(t) = A • (1 + at)e-at, где а = a.
e-at
2 a
Если a-4b<0, то u(t)=A--------------(asinot+QCosQt), где a = —, ш=,
ш 2 i
b - *1
4
В случае a2-4b>0 u'(t) = A aia2 (e a:t -e a2t) . Согласно формулам, в силу
ai -a2
условия a1>a2, имеют место неравенства: Vt>0 u(t)>0 и Vt>0 u'(t)<0. Следовательно функция u убывает на [0,х) и Vt>0 0<u(t)<A.
В случае a2-4b=0 u'(t) = -Aa2te-at . Согласно формулам, имеют место неравенства: Vt>0 u(t)>0 и Vt>0 u'(t)<0. Следовательно, снова функция u убывает на [0,х) и Vt>0 0<u(t)<A.
e-at
В случае a -4b<0 u'(t)=A-(a +ш )sinшt. Экстремумы функции u расположены
ш
в точках, в которых sinot=0, то есть |cosQt|=1. Поэтому в точках экстремума t>0 имеет
место неравенство: |u(t)|=A e-at <A. Следовательно, и при всех t>0 имеет место неравенство |u(t)|=<A ^ -A<u(t)<A.
Таким образом, в случае любых соотношений между a и b Vt>0 u(t)e (-A,A). Фазовый процесс yep(R2), задаваемый кортежем, в промежутке [0n,x) задается формулой y(t)=gi((0,A),t-0n) и непрерывен вместе с фазовым потоком.
Случай vn=-A рассматривается аналогично. В любом случае событие eI=e0ve1, выражающееся в том, что значение функции u вышло из промежутка [-A,A], произойти не может. 4
Утв. 11. Пусть (s,(z,v),T,0) - эволюционный кортеж ситуационной схемы из примера 19 и для некоторого n>0 sn=H и zn<0 или sn.1=L и zn>0. Тогда sn+1=I, zn+1=0, vn+1e{-A,A} и (sn+1,(zn+1,vn+1)) есть последний элемент эволюционной последовательности. При этом если zn<0, то Tn>0, если zn=0, то Tn=0. Фазовый процесс, задаваемый кортежем, непрерывен в промежутке [0n,0n+1].
3 Пусть, для определенности, sn=H. Тогда (zn,vn)eVH^vn=A. Функция
A _ a t A
x(t) = п0(gH((zn,A),t)) = (zn--)e a^t +— монотонно возрастает. Так как zn<0, то
aa
A A A
zn------<--, то есть x(0)<0. Так как lim x(t) = — > 0, то существует и единственное
a a ta
t0>0: x(t0)=0, причем если zn=0, то t0=0 и если zn<0, то t0>0. При t<to x(t)<0 и при t>t0
x(t)>0. Следовательно, Tn=eH(gH((zn,A),0)=t0, sn+1=I, zn+1=x(t0)=0, vn+1=A. Отсюда
(sn+1,(zn+1,vn+1)) есть последний элемент эволюционной последовательности, согласно
Утв. 10.
Фазовый процесс yep(R2), задаваемый кортежем, в промежутке [0n,0n+1) задается формулой y(t)=gH((zn,A),t-0n), то есть непрерывен. При этом
lim y(t) = lim gH((zn,A),t-0n) =(0,A). Согласно функции инициализации,
t ^0 n+1 - 0 t ^0 n+1 - 0
также (zn+1,vn+1)=(0,A).
Случай sn-1=L и zn>0 рассматривается аналогично. Здесь vn+1 = -A. 4
Утв. 12. Пусть (Б,(7,у),Т,0) - эволюционный кортеж ситуационной схемы из примера 19 и для некоторого п>0 ^=1, упе[-Л,Л]. Если событие е1 не происходит в процессе §1((7п,уп),-), то фазовый процесс, задаваемый кортежем, непрерывен в промежутке [0п,х). Пусть событие е1 происходит. Тогда если 8п+1=И, то 7п+1<0, а если Бп+1=Ь, то 7п+1>0. При этом фазовый процесс, задаваемый кортежем, непрерывен в промежутке [0п,0п+1].
3 Непрерывность фазового процесса обосновывается так же, как в доказательствах предыдущих утверждений, поэтому рассмотрим случай, когда событие е1 происходит.
Обозначим для 1>0 х(1;)=л;0(§1((7п,Л),1;)), и(1)=п1(§1((7п,Л),1)). Пусть 8п+1=И. Тогда, в силу и(0)=упе[-Л,Л] и непрерывности функции и(1), и(тп)=Л. Если 7п+1=х(тп)>0, то и'(тп)= -Ьх(тп)<0. Следовательно, найдется 5>0: У1е(тп,тп+5) и(1;)<и(тп)=Л, что противоречит утверждению: Тп=е1(§1((7п,уп),-)). Если 7п+1=х(тп)=0, х'(тп)=Л>0, то есть найдется 5>0: У1е(тп,тп+5) х(1;)>х(тп)=0. Это значит, что У1е(тп,тп+5)
тп=е1(§1((7п,уп),-)). Следовательно, 7п+1<0. Случай Бп+1=Ь рассматривается аналогично. 4
Утв. 13. Ситуационная схема из примера 19, является правильной в целом. Любая ее эволюционная последовательность включает не более пяти элементов, а фазовый процесс, задаваемый этой последовательностью, является непрерывной функцией.
3 Пусть (б0,(70,у0)) е8®У - начальная пара последовательности. Обозначим число элементов последовательности через пе№^{х}, фазовый процесс - через (х,и). Возможны следующие варианты:
1) б0=Н. В этом случае у0=Л. Если 70<0, то, согласно Утв. 11, (б1,(71,у1)) является последним элементом последовательности, то есть п=2. Если 70>0, то т0=0 (событие выхода происходит мгновенно), Б1=1, 71=70>0, у1=у0=Л. Если событие е1 не происходит в процессе §1((71,у1),-), то п=2. Если оно происходит, то, согласно Утв. 12, либо б2=Н и 72<0, либо б2=Ь и 72>0. В любом случае, согласно Утв. 11, (83,(73,у3)) есть последний элемент эволюционной последовательности, то есть п=4;
2) б0=Ь. Этот вариант анализируется аналогично варианту б0=Н;
3) Б0=1. Пусть у0е[-Л,Л]. Если событие е1 не происходит в процессе §1((70,у0),-), то п=1. Если оно происходит, то, согласно Утв. 12, либо б1=Н и 71<0, либо б1=Ь и 71>0. В любом случае, согласно Утв. 11, (б2,(72,у2)) есть последний элемент эволюционной последовательности, то есть п=3. Пусть у0£[-Л,Л]. Тогда е1(§1((70,у0),-))=0, Б1е{Н,Ь}, 71=70, у1е{-Л,Л}. Эволюционная последовательность, порожденная парой (б1,(71,у1)), согласно п. 1, содержит не более четырех элементов, следовательно, общее число элементов в данном случае - не более пяти.
Таким образом, в любом варианте п<5.
Согласно анализу случаев 1)-3) для любого варианта эволюционного кортежа можно найти такое 0<т<2, что для каждого 0<к<т 0к=00=0 и пара (вт,(7т,ут)) удовлетворяет условиям одного из утверждений: Утв. 10,Утв. 11, Утв. 12. Если пара (Бк,(7к,ук)) удовлетворяет условиям одного из этих утверждений и к<п, то, согласно соответствующему утверждению, в промежутке [0к,0к+1] фазовый процесс непрерывен и следующая пара (Бк+1,(7к+1,ук+1)) снова удовлетворяет условиям одного из тех же утверждений, а если к=п, то фазовый процесс непрерывен в промежутке [0п,х). Таким образом, процесс непрерывен по принципу индукции. 4
что опять противоречит утверждению:
т
п
На основе рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы. Хотя модель ситуационной схемы является относительно громоздкой, процесс ее построения можно рассматривать как процесс исходного моделирования системы. Тогда исследование процессов, определяемых схемой и начальными условиями, является предметом математических рассуждений, включающих доказательства. Анализ корректности (правильности) модели ситуационной схемы является важной частью исследования системы с применением этой модели.
Библиографический список
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.
240 с.
Ахмеров Р. Р., Садовский Б. Н. Очерки по ОДУ. URL:
http://www.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode/index.html (дата обращения: 6.02.2013)
Бабкин Е. А. О синтезе событийных моделей дискретных систем // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2006. № 1. URL: http://www.scientific-notes.ru/pdf/s15.pdf (дата обращения: 21.09.2012).
Бабкин Е. А. О понятии события в дискретно-событийном моделировании // Информационные системы. Теория и практика. Курск: Курск. гос. ун-т, 2010. С. 46-50.
Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в
теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: УРСС, 2005. 216 с.
Колесов Ю. Б., Сениченков Ю. Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы: учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 224 с.
Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.
Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2004. 552 с.
Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов МАТЛАБ 5.х. Т. 2. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 304 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1974. 520 с. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
Фрумкин А. М. О двух функциях, связанных с простейшей линейной системой второго порядка // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2010. № 4. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/017-01.pdf (дата обращения: 15.12.2012).
Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. М.: Наука, 1969. 528 с.
Buss A. H. Modeling with event graphs // Proceedings of the 1996 Winter Simulation Conference. URL: http://www.informs-sim.org/wsc96papers/020.pdf (дата обращения:
9.11.2011).
Modelica® - a unified object-oriented language for physical systems modeling. Language specification. Version 3.2, revision 1. February 29, 2012. URL:
https://www.modelica.org/documents/ModelicaSpec32Revision1.pdf (дата обращения:
9.10.2012).
Music G., Matko D. Discrete Event Control Theory Applied to PLC Programming. -URL: http://med.ee.nd.edu/MED9/Papers/Discrete_event/med01-106.pdf (дата обращения:
6.02.2013).
Schruben L.W. Simulation Modeling with Event Graphs // Communications of the ACM. 1983. Vol. 26. Num. 11. P. 957-963.
