К анализу среднего числа пользователей, ожидающих начала обслуживания, в модели сети LTE с временным выделением полосы частот Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Гудкова И.А.1, Острикова Д.Ю.2

1 Российский университет дружбы народов, г. Москва,

к.ф.-м.н, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей,

[email protected]

2 Российский университет дружбы народов, г. Москва, ассистент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей,

[email protected]

К анализу среднего числа пользователей, ожидающих начала обслуживания, в модели сети LTE с временным выделением полосы частот10

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

LTE, LSA, СМО с ненадежными приборами, рекуррентный алгоритм, недоступность услуги.

АННОТАЦИЯ

В современных сетях мобильной связи наблюдается значительный рост объема передаваемых данных. В связи с этим возникает потребность в использовании дополнительных частотных полос для передачи информации. Для решения данной проблемы в сетях LTE применяется технология LSA (Licensed Shared Access), которая позволяет оператору расширить используемый спектр частотных полос на части базовых станций при помощи аренды дополнительной полосы. Однако, поскольку выделенная оператору дополнительная полоса частот может в любое время быть возвращена владельцу, возникают задержки в предоставлении услуг пользователям. В данной статье авторами построена модель соты сети LTE c временным выделением полосы частот, а также получена формула для расчета основной характеристики системы - среднего числа пользователей, которым недоступна услуга, т.е. среднего числа пользователей, ожидающих начала обслуживания, и среднего числа пользователей, обслуживание которых было прервано.

Введение

В условиях быстрого роста объема передаваемого трафика по сетям мобильной связи современные методы организации сетей передачи данных становятся неэффективными и недостаточными для удовлетворения потребностей пользователей [1]. При этом дальнейшее расширение полосы частот для передачи данных не имеет смысла,

10 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 1307-00953 а.

поскольку при увеличении частоты уменьшается дистанция возможной передачи, а также возрастает потребление энергии, что является нежелательным.

В современных сотовых сетях LTE имеется возможность управления, как временными, так и частотными ресурсами, что позволяет гибко перераспределять ресурсы между пользователями [2,3,4]. Данная особенность позволяет использовать технологию LSA (Licensed Shared Access) для увеличения скорости передачи данных в сети или увеличения емкости базовой станции соты. Данная технология заключается в том, что оператор арендует дополнительную частотную полосу у государства или другого регулятора (например, другого оператора) на определенное время. При этом данная частотная полоса не является надежной, поскольку может в любое время быть возвращена владельцу. Вследствие этого возникают задержки в предоставлении услуг пользователям, которые обслуживались на дополнительной полосе частот [5].

В данной статье авторами построена модель соты сети LTE c временным выделением полосы частот в виде многолинейной системы с ненадежными приборами [6], а также получена формула для расчета среднего числа пользователей, ожидающих начала обслуживания.

Время недоступности услуги пользователю

Рассматривается сота сети LTE с пиковой пропускной способностью, заданной в единицах канального ресурса (ЕКР) [бит/с], поддерживающая предоставление услуги с требованием в 1 ЕКР, например, телефонии. Распределение ЕКР осуществляет БС соты, которая использует только дополнительную полосу частот для обслуживания абонентов. При этом, базовая полоса частот не используется. Дополнительная полоса может быть изъята из использования только во время обслуживания запросов пользователей, вызывая тем самым задержки в предоставлении услуги. Для хранения запросов пользователей имеется буфер. При изъятии дополнительной полосы ни одна ЕКР не может быть выделена для обслуживания запросов пользователей, поэтому предоставление услуги приостанавливается вплоть до момента восстановления БС. После того, как дополнительная полоса вновь станет доступна, приоритет будут иметь те пользователи, обслуживание которых было прервано. При поступлении запроса БС резервирует свободную ЕКР для его обслуживания. Если же все ЕКР заняты, то запрос помещается в буфер. В случае если в буфере нет свободных мест, запрос блокируется. Услуга будет предоставлена пользователю без прерывания, если за это время не произойдет изъятие владельцем дополнительной полосы. Если же за время предоставления услуги полоса будет изъята, то возникнет задержка до момента ее доступности, далее услуга будет предоставляться с того момента, на котором была прервана [7].

Таким образом, с точки зрения пользователя важным является время недоступности услуги, которое складывается из времени ожидания начала

обслуживания, в случае, если в момент поступления запроса пользователя на услугу все ЕКР заняты, либо недоступны из-за изъятия дополнительной полосы, и задержки в предоставлении услуги из-за ненадежности дополнительной полосы.

На рис. 1. представлен пример процесса предоставления услуги пользователю. Запрос пользователя на услугу поступает в момент, когда БС не имеет свободных ЕКР для его обслуживания, поэтому запрос помещается в буфер и находится в нем до момента освобождения ресурсов соты. После появления свободной ЕКР пользователю начинает предоставляться услуга, однако за время ее предоставления дополнительная полоса дважды становится недоступной, поэтому возникнет задержка в предоставлении услуги.

Поступление запроса на предоставление услуги

Начало обслуживания I

Время обслуживания

Время ожидания начала обслуживания

+ Задержка в

предоставлении услуги

Завершение обслуживания

Время недоступности услуги

Рис.1. Процесс предоставления услуги пользователю

Математическая модель

Рассматривается сота сети СГЕ с пиковой пропускной способностью С ЕКР. Дополнительная полоса частот становится недоступна с интенсивностью а. Информация о текущем состоянии обслуживания пользователей хранится в буфере емкости г . Дополнительная полоса становится доступной для обслуживания пользователей с интенсивностью Я . Входящий поток запросов пользователей на предоставление услуги является пуассоновским с интенсивностью в. Время предоставления услуги распределено по экспоненциальному закону со средним 1/д . Таким образом, данную систему можно описать в виде многолинейной СМО с ненадежными приборами [6].

Пусть п - число пользователей, которым недоступна услуга -пользователи, ожидающие начала предоставления услуги, и пользователи, ожидающие продолжения предоставления услуги в случае, когда дополнительная полоса недоступна, а m - число пользователей, которым предоставляется услуга. Тогда функционирование системы можно описать марковским случайным процессом (СП) над пространством состояний

X = |" п,т ":" 0,т т - О,...,С; ■ п,С п -!,...,г-С, ■ п,0 п - 1,...,г| ,|Х| = + 1 (1)

Описывающий функционирование системы СП необратим, что проверяется, например, по критерию Колмогорова [8]. Распределение вероятностей р (п,т), (п,т )е X находится решением соответствующей системы уравнений равновесия (СУР) численными методами. Тем не менее, для снижения сложности вычислений может быть предложен рекуррентный алгоритм для расчета стационарного распределения вероятностей, который будет представлен в следующем разделе.

Рекуррентный алгоритм для расчета стационарного распределения вероятностей

Ненормированные вероятности q (п,т) состояний модели вычисляются по формуле:

п,т |

где коэффициенты Апт и рекуррентным соотношениям:

О 4о = Зю = 1>

41 = о. Ал = ->

Яа

(2)

Вп

рассчитываются по следующим

40 = 1> =0;

2) 4,=

Я + а п -1 -+-

пр1

п

4 ¿3-1 4^-3 4з-1£ > п - ■ ■■ ^ >

пу. пу.

А) л-1 А) л-З Аг-1,р > - ..., С ,

П{А Пр.

А - а

^ „ (Л + а ^ 4) А^ = -

™ Г,!.

Л

а: Л -Я~ +-Вгп

р+Л 1С р+л со

В1+ср = —— Д

Я + о' Л Л

Су ^ С>

/

Д

^ =

■Лг+Ср

р Аг-1+Ср> ■■■,Г С 1,

^ Л-

+ 1

5) Л-

а я

/

■ с,с

д

'г-с,с

4, "

ГЛ + а . Л

+1 ~ а-с-2,с ~ 4--ц) >

-+1

у

л Д

а; ^

_ а д

Необходимо отметить, что коэффициенты Апт и рассчитываются строго в указанном выше порядке, причем в пунктах 2) и 4) для фиксированного п нужно рассчитать все четыре коэффициента, а потом переходить к следующему п . Исходя из этого, на рис. 2 показана последовательность получения ненормированных вероятностей q(п,m).

2С+1 2С+3

2 г-5 2г-3 2г-\ {г-^.о)

2 С+2 2С+4

Рис. 2. Последовательность получения ненормированных вероятностей q(п,т) Основные ВВХ системы

Основными вероятностными характеристиками системы являются: вероятность блокировки запроса пользователей на предоставление услуги

B=р (г -С,0)+р ( г, 0); (3)

вероятность того, что дополнительная полоса недоступна

г

Е = ^ р 'П, 0 ■; (4)

п-1

• среднее число пользователей, которым недоступна услуга

г-с г

N = V пр\п,С) + V пр\п,0).

н-1 «л (5)

Последняя характеристика состоит из среднего числа N1 пользователей, ожидающих начала обслуживания, и среднего числа N „ пользователей, обслуживание которых было прервано по причине ненадежности дополнительной полосы

4-1 4-1 (6)

где - вероятность того, что к пользователей ожидают начала предоставления услуги, ^к - вероятность того, что обслуживание к пользователей было прервано.

Однако, формулы для расчета двух последних характеристик N1 и Nп не могут быть получены в явном виде из формулы (5), поскольку для каждого состояния (п,т) невозможно определить, какое количество из п пользователей, которым недоступна услуга, составляют пользователи, ожидающие начала обслуживания, и пользователи, обслуживание которых было прервано.

Найти характеристики N1 и N„ позволяет вероятностный подход, основанный на свойствах случайной величины, являющейся минимумом других независимых экспоненциально распределенных случайных величин [9].

Распределение числа пользователей, ожидающих начала обслуживания

Для нахождения среднего числа N1 пользователей, ожидающих начала обслуживания, необходимо получить распределение вероятностей qI того, что к пользователей ожидают начала предоставления услуги, которое рассчитывается по формуле полной вероятности

(7)

где Ак(п,т) - вероятность того, что к пользователей ожидают начала предоставления услуги в состоянии (п,т).

Введем вспомогательные параметры:

• Ра(п) - вероятность того, что СП перешел в состояние (п, 0) по

причине недоступности дополнительной полосы;

• Рх(п) - вероятность того, что СП перешел в состояние (п,0) по причине поступления запроса;

• Р] (п) - вероятность того, что СП перешел в состояние (п, 0) по причине недоступности дополнительной полосы, оказавшись в состоянии (0), и последующего поступления (п-у) запросов.

Вероятности Ра(п), Рх(п), Р(п), п =1,... ,г вычисляются по формулам

Р_ I п I = <

ар | 0 ,п |

ару 0,п 1+ Яру и-1,0 1

«=1,

ар I п- С,С |

ару п- С, С 1 + Яру п- 1,0 I'

п = С +1.....г.

7 7 у

(8)

(9)

Я,. I п 1= Ра I ] Рл У I I, ] = \п = \,...г

"■-^1 (10) Разобьем пространство состояний (1) на четыре подмножества

4

Х=[ Jxi.il

, как показано на рис. 3, где

X1.1 I = (I. 0, т I, т = о,...,С, 1.1,0 Г[, Х( 2 I = [ \п,С ), п = 1,...,г - с), Х[ 3 1= ¡1. п, 0 1, п = 2,...,С\,

XI 4 I = 11 л,0 I, п= С+1,...,г [ 5(1)

(<Ш) (Ш)

(Ш]

ШУ) .

гГЭ))'; {бхЬ ... фЗ) ...

т'"¿(¿оУ-^й"

4 (1. о)=I х{з)..........4,(п,о)-*.(«)

Л., {нг 0)= л, (и) Л-с-и (и. О) = До-] (и)

Рис. 3. Разбиение пространства состояний на подмножества

Тогда вероятности Ак(п,т), к = 1,... ,г-1, т,п,еX рассчитываются по формулам:

= ieXi.li,

,1 (п), к = О,...,« - 1, ,

м | еХ| 3 I,

(13)

* = + 1.....„-1, |.1,т1еХ!4|,

А: = 0,...,гс-С-1, £ = п.....г - 1,

Данные формулы отражают вид вероятностей

(п,m)

(14) для

конкретного состояния (п^) и разных значений k в соответствии с разбиением пространства состояний X на рис. 3. Для состояний каждого подмножества вероятность ^ (п,щ) имеет особый вид.

На рис. 4 показаны фрагменты диаграммы интенсивностей переходов, демонстрирующие формирование вероятностей -Ак(п,ш) для подмножеств Х(3) и Х(4). Пунктирными стрелками показаны переходы между состояниями модели, а сплошными стрелками маршруты формирования числа k пользователей, ожидающих начала обслуживания. Маршрут состоит из двух частей. Сплошные стрелки сверху вниз обозначают переход между состояниями в результате недоступности дополнительной полосы, а стрелки слева направо - в результате поступления новых запросов пользователей в период недоступности полосы. Числа рядом со стрелками обозначают, какое число k пользователей, ожидающих начала обслуживания, сформировалось в результате таких переходов.

лТ>

о

О )>-!

п-1

> к=п-1

(ОО^--*-----►-----

о

п-1

»(а) для доказательства формулы (13)

1-С

п-С+1

СЯ-схр

\\n-C

п- С

-+-к=п-С ->к=п-С

-+к=п-С+1 -ь-к=п-1

для доказательства формулы (14) Рис. 4. Фрагменты диаграммы интенсивностей переходов

(б)

Запишем формулы (11)-(14) в таком виде, чтобы была видна зависимость вероятностей Ак(п,т) от числа k .

1,

4 \ п,т ) = ^(н), О,

uXi 4 I,

(15)

о.

4), п = к + \,...,г,

1)иХ[2]иХ(3), к=г-С +1,. , j— 1, 4), п*к + \,...,г,

(16)

(17)

Xi 1 i = fi 0,m i, m = О,...,С, 11,0 i] ,Xi 2 i = fin, С i, n=\,...,r-C\, Xi 3 I = fin,0 I, и= 2,...,c), Xi 4 1= 11 n,0 I, и= С+1,...,г].

Тогда вероятности q[,k=0, ...,r-1 вычисляются по формулам

= ^ р\ 0,m i + р\ l.Oi + Ypin.Oj^i и ),

м-0

га-2

fc+C-1

gj = je? i fc, С j + V jDiw,0 i^ifî i+^ife+C.OiV^.iè + C), ¿ = l,...Ir-CI

n-i+l

i-C

n-i+1

Численный анализ

(18)

(19)

(20)

Пусть сота сети LTE имеет пиковую скоростью 100 Мбит/с, т.е. C =100 ЕКР, и объем буфера r=250 .

0.5

0.001

0.3

0.1

0.2

0.4

0

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

10 20 30 40 50 60 70 80

того, что дополнительная полоса недоступна, и вероятность того, что система пуста

На рис. 5 представлены среднее число N пользователей, которым недоступна услуга, вероятность F того, что дополнительная полоса недоступна, и вероятность р (0,0) того, что система пуста, в зависимости от суммарной интенсивности предложенной нагрузки от пользователей услуги при а=1мес-1 (полоса становится недоступна с частотой 1 раз в месяц), у8 = 1/30мес 1 (полоса недоступна в течение 30 минут), /.¿ = 1/10мес 1,

Из данного рисунка видно, что при значении р = 10 вероятность р(0,0) и вероятность р имеют критическую точку. При р<10 вероятность р (0,0) резко уменьшается, что влечет за собой резкое увеличении вероятности р , поскольку по условию построения модели дополнительная полоса не может стать недоступна, когда система пуста. При р>10 вероятность р (0,0) начинает стремиться к нулю, следовательно, на систему не влияют внешние факторы, поэтому вероятность р начинает принимать постоянные значения.

На рис. 6 изображен график среднего числа NI пользователей, ожидающих начала обслуживания, при ц=1 / 10мес-1, р=30 Эрл, в-1=(0,3000) мин, аГ^= 10 дней; 2 дня; 1 день.

р = Л/р.е (0,85) Эрл.

Рис. 6. Среднее число пользователей, ожидающих начала обслуживания

Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод о том, что чем чаще дополнительная полоса становится недоступна, и чем больше период ее недоступности, тем больше среднее число Nj , поскольку за более продолжительный период недоступности полосы больше запросов пользователей поступает в систему и помещается в буфер для ожидания обслуживания.

Заключение

Таким образом, в данной статье авторами построена модель соты сети LTE с временной дополнительной полосой частот для обслуживания пользователей в виде многолинейной СМО с ненадежными приборами, получена формула для расчета среднего числа пользователей, ожидающих начала обслуживания и проведен анализ основных характеристик системы - среднего числа пользователей, которым недоступна услуга, т.е. среднего числа пользователей, ожидающих начала обслуживания и среднего числа пользователей, обслуживание которых было прервано из-за ненадежности системы, вероятности того, что дополнительная полоса частот недоступна, и вероятности того, что система пуста.

Литература

1. UMTS Forum Report 44, Mobile traffic forecasts 2010-2020 report

2. Borodakiy V.Y., Buturlin I.A., Gudkova I.A., and Samouylov K.E. Modelling and analysing a dynamic resource allocation scheme for M2M traffic in LTE networks // Lecture Notes in Computer Science. -2013. - Vol. 8121. - P. 420-426.

3. Stasiak M., Glabowski M., Wisniewski A., and Zwierzykowski P. Modelling and dimensioning of mobile wireless networks: from GSM to LTE // John Wiley & Sons, 2010. - 340 p.

4. Бородакий В.Ю., Гудкова И.А., Острикова Д.Ю. Анализ предоставления услуг мультивещания в сетях LTE в виде системы с групповым обслуживанием // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. - 2013. - № 11. - С. 50-53.

5. Borodakiy V.Y., Samouylov K.E., Gudkova I.A., Ostrikova D.Y., Ponomarenko A.A., Turlikov A.M., and Andreev S.D. Modeling unreliable LSA operation in 3GPP LTE cellular networks // Proc. of the 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems ICUMT-2014 (October 6-8, 2014, St. Petersburg, Russia). - IEEE. - 2014. - P. 490-496.

6. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 244 c.

7. Monemian M., Khadivi P., and Palhang.M. Analytical model of failure in LTE networks // Proc. of the 9th Malaysia International Conference on Communications MICC-2009 (December 15-17, 2009, Kuala Lumpur, Malaysia). - IEEE. - 2009. - P. 821-825.

8. Башарин Г.П., Гайдамака Ю.В., Самуйлов К.Е. Математическая теория телетрафика и ее приложения к анализу мультисервисных сетей связи следующих поколений // Автоматика и вычислительная техника. - 2013. - № 2. - С. 11-21.

9. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 c.