CC BY
37
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_
ФИЗИКА
УДК 537.611, 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ИЗОСПИНОВАЯ ДИНАМИКА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Методами численного моделирования проведено исследование изоспиновой динамики взаимодействующих радиально-симметричных топологических вихрей (солитонов) белавин-поляковского типа в (2+1)-мерной О(3) нелинейной а-модели. Определены условия, приводящие к упругому взаимодействию, поэтапной аннигиляции и дальнодействию топологических вихрей.
Ключевые слова: топологический вихрь, изоспиновая динамика, нелинейная а-модель, численное моделирование.
В настоящей работе проведено исследование изоспиновой динамики взаимодействующих ра-диально-симметричных топологических вихрей (топологических солитонов, ТС) белавин-поляковского типа [1] в (2+1)-мерной анизотропной О(3) нелинейной а-модели (НСМ). Напомним, что лагранжиан исследуемой модели в комплексной параметризации имеет следующий вид [2,3]:
и *
-,,2 -и2 - 2 2
Ъ = 2-и-—, (1)
' * \2
(1 + z*z )2
где
s + isо в
z ( X, y) = x
(x, y ) = X + iy = = tg в , n = 0,1,2.
v iSf S 1 ± ь 2
В этом случае £а ($аяа = 1, а = 1,2,3) - параметры единичного изоспинового вектора
,,) ; 0(х,у,^) и (р(х,у,¿) - эйлеровы углы, связанные с £ стереографической проекцией
из полюсов двумерной сферы £2 на плоскость 2 (х, у) [2,3]. Таким образом, состояние исследуемой
модели (1) описывается точкой на единичной двумерной сфере £2 , эквивалентной эволюции конца изоспина на сфере блоха. Уравнение Лагранжа-Эйлера модели (1) имеет следующий вид [2,3]:
(1 + 2*2) --и2 - 22*-^2-и2 + 2 (1 - 2*2) = 0 , (2) и = 0,1,..., Б, Б = 2.
Мы проводим численное исследование изоспиновой динамики взаимодействующих ТС модели (2) с ненулевым индексом Хопфа ^ (топологический заряд) следующего вида:
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Шокиров Фарход Шамсидинович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АНРТ. E-mail: [email protected]; [email protected]
в = larctg ^Г j , ( = QtX-w, (3)
2 2 2 X У
r = X + y , cos % = —, sin X= .
r r
Исследованы модели лобовых двухсолитонных столкновений вихрей (3) с Q = 3, движущихся во встречном направлении при v(t0[0.0,0.3]. Наши численные модели разработаны на
основе методов конечных разностей [4], с применением стереографической проекции и учетом теоретико-групповых особенностей конструкции класса О(№) НСМ теории поля [2,3]. Движение исследуемых топологических вихрей было задано преобразованием Лоренца на основе свойства лоренц-инвариантности (2).
Динамика взаимодействия ТС вида (3) модели (2), исследованная нами ранее (см., например, [2,3]), обладает рядом свойств, в том числе:
- столкновение и отражение ТС (проявление частице-подобных свойств);
- поэтапная аннигиляция ТС по единицам Q (излучением энергии в виде линейных волн возмущений, распространяющихся со скоростью c);
- дальнодействие ТС;
- распад ТС на локализованные возмущения (сохраняющие сумму Q );
- взаимное притяжение и отталкивание ТС и т.д.
В настоящей работе определены конфигурации динамических изоспиновых полей, обусловливающие характер взаимодействия топологических вихрей.
Частицеподобные свойства топологических вихрей
На рис. 1a приведен процесс эволюции плотности энергии (DH) лобового столкновения ТС
вида (3) при t е [0.0,60.0], где начальная скорость движущихся вихрей равна vRL(t0)« 0.0995. В
этом случае происходит столкновение и отражение вихрей, то есть проявляются их частицеподобные свойства. ТС вида (3) модели (2), подробно исследованные в наших предыдущих работах [2,3], имеют радиально-симметричную кольцеобразную структуру. На рис.1Ь приведена схема, описывающая динамику проекций на двумерную плоскость изоспинов (Sp) взаимодействующих ТС. Вихреобразные структуры расположены вдоль кольцевой структуры, в центре которой, а также вне её (ближе к краям
ж
области моделирования) Sp отображают вакуумные полевые состояния: в = 0 и в = — соответственно. При эволюции ТС описанная группа вихрей, сохраняя связку в виде кольцевой формы, когерентно вращается (VR) в положительном направлении фазового параметра р (x, y, t) , а Sp вращаются (IR) в обратном направлении в расслоённом пространстве (FS) единичной сферы:
S2 = SU(2) / U(1) = SO(3) / SO(2).
Обратим внимание на неколлинеарность Sp взаимодействующих ТС в резонансной зоне
(рис.1с), а также заметим, что взаимодействующие Sp вращаются в противоположных направлениях:
Spot. Напомним, что увеличение скорости движения взаимодействующих ТС вида (3) приводит к их распаду на локализованные возмущения (см., например, [2,3]).
Рис.1. Лобовое столкновение топологических вихрей (3): а) эволюция DH и её контурный вид; Ь) динамика Бр при ^ = 0.0; с) динамика Бр в резонансной зоне.
Поэтапная аннигиляция
Наши исследования, проведённые в работах [2,3], показали, что при столкновении ТС (3) с ТС следующего вида:
в( r, R ) = 2arctg I
\Q,
R
(p = QtX-w,
(4)
2 2 2 X У
r = x + y , cos % = — , sin % = — ,
r r
(отличающиеся знаком косинуса углового параметра %) происходит процесс поэтапной аннигиляции ТС. На рис.2а приведен процесс лобового столкновения ТС (3) и (4), при котором ТС движутся во встречном направлении с равными скоростями (t0) « 0.0995 . Область моделирования расширена
в направлении излучаемых линейных волн (¿^-направления).
При взаимодействии вихрей (t « 21.0) происходит первый этап излучения энергии в виде линейных волн, распространяющихся в ij-направлениях. Аналогичный процесс повторяется при t « 25.0 и t « 28.0, при котором оба ТС полностью аннигилируют (t « 33.0). Излучение энергии
происходит поэтапно, при этом линейные волны излучений распространяются со скоростью света:
^ = С .
Рис.2. Лобовое столкновение топологических вихрей (3) и (4): а) эволюция БИ и её контурный вид; Ь) динамика Бр при ^ = 0.0; с) динамика Бр в резонансной зоне.
На рис.2Ь приведено описание динамики Бр взаимодействующих вихрей при ^ = 0.0. Обра-внимание на коллинеарность Бр (ТТ) взаимодействующих вихрей (рис.2с), а также заметим, что в резонансной зоне вращение Бр взаимодействующих вихрей (3) и (4) сонаправлено: (ТТ) .
тим
Поэтапная аннигиляция дальнодействующих топологических вихрей
Как было найдено в наших предыдущих работах [2,3], при численном моделировании столкновения ТС вида (3) и ТС следующего вида
\й
вьк (r,R) = 2arctg 1 — 1 , (Рш = ~Q,X -ат,
(5)
2 2 2 X У
r = x + y , cos x = — , sin % = — , r r
проявляются свойства дальнодействия ТС. В этом случае Sp взаимодействующих вихрей антипарал-лельны Sp(Т^) и вращаются в одинаковых направлениях Spot(ТТ) (рис.3). При налетающем виде
взаимодействия ТС (3) и (5) в работах [2,3] были получены модели их поэтапной аннигиляции при определённых скоростях движения налетающего вихря: V (¿0 ) > 0.23 . В данном случае в резонансной зоне скорость налетающего ТС приближается к нулю, при котором происходит «вынужденный» разворот Бр до состояния Бр (ТТ) , 8ры(ТТ) . Как было определено в предыдущем пункте, в этом случае происходит процесс поэтапной аннигиляции топологических вихрей.
Рис. 3. Численная модель динамики Бр налетающего столкновения дальнодействующих топологических вихрей (3) и (5) при ^ = 0.0.
Численный анализ результатов экспериментов показал, что условием поэтапного излучения энергии и аннигиляции взаимодействующих дальнодействующих ТС (2+1)-мерной О(3) НСМ является переход обеих ТС от состояния ^ П <$ХДТТ) в состояние (ТТ) П <$ХДТТ) .
Дальнодействие аннигилирующих вихрей
Результаты предыдущих экспериментов указывают, что при смещении траектории движения
л
аннигилирующих вихрей (3) и (4) на величину —, (т.е. при движений ТС вдоль ±у-направлений) в
резонансной зоне можно наблюдать взаимодействие 5? со свойствами Бр (Т4^ П^ДТТ) . Последнее, как было выявлено в предыдущем пункте, является условием дальнодействия ТС (рис.3).
На рис.4а приведен процесс эволюции Бр лобового столкновения аннигилирующих топологических вихрей вида (3) и (4), движущихся в ±у-направлениях при ^ = 0.0. Как и следовало ожидать, аннигилирующие топологические вихри вида (3) и (4), движущиеся вдоль ±у-направлений, при столкновении проявляют свойства дальнодействия (рис.4Ь).
д ' I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I 1 I | I I I
а) -в -4 -2 Y 0 2 4 6
t = О t = 20 Г = 35
Рис.4. Дальнодействие аннигилирующих топологических вихрей (3) и (4) при лобовом столкновении: а) динамика Sp при t = 0.0; b) эволюция DH при t е [0.0,90.0].
Таким образом, в настоящей работе выявлены точные условия, определяющие характер взаимодействия полей топологических вихрей (2+1)-мерной О(3) НСМ:
- изоспиновая конфигурация неколлинеарных Sp и Spot (Т^) обусловливает процесс столкновения и отражения ТС (рис.1);
- конфигурация ^(ТТ) П^ДТТ) обусловливает процесс поэтапной аннигиляции ТС (рис.2);
- конфигурация ,S?(TnI<) П^(ТТ) обусловливает дальнодействие ТС (рис.3, рис.4).
Поступило 20.07.2016 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белавин А.А., Поляков А.М. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. - ЖЭТФ, 1975, т. 22, вып. 10, с. 503-506.
2. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамические и топологические солитоны в нелинейных сигма-моделях. - Душанбе: Дониш, 2014, 387 с.
3. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика локализованных структур в нелинейных моделях теории поля. - М.: Нобель Пресс, 2015, 388 с.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989, 616 с.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ДИНАМИКАИ ИЗОСПИНИИ ОШУБ^ОИ ТОПОЛОГИ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Тавассути методхои тархрезии ададй динамикаи изоспинии раванди бархурди ошубхои (солитонхои) топологии навъи Белавин-Поляков дар О(3) о-модели гайрихаттии (2+1)-чена тадкик шуданд. Шартхои ба вучуд омадани равандхои бархурду инъикоси байнихамдигарй, аннигилятсияи зинавй ва дуртаъсиркунии ошубхои топологй муайян карда шуданд. Калима^ои калиди: ошуби топологи, динамикаи изоспинй, о-модели гайрихаттй, тархрезии ададй.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov ISOSPIN DYNAMICS OF TOPOLOGICAL VORTICES
S.U.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
By methods of numerical simulation the isospin dynamics of interacting radially-symmetric topological vortices (solitons) of the Belavin-Polyakov type in (2+1)-dimensional O(3) nonlinear o-model is studied. The conditions that lead to the elastic interaction, gradual annihilation and long-range interactions of topo-logical vortices are determined.
Key words: topological vortex, isospin dynamics, nonlinear o-model, numerical simulation.
