CC BY
27Математика к Математическое
моделирование
И Ир://та! hfnelpLtb.ru 1531М 2412-5911
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2018. № 02. С. 1-18
Б01: 10.24108/шаШш.0218.0000099
Представлена в редакцию: 26.03.2018
© НП «НЕИКОН»
УДК 519.6 + 530.1
Численное моделирование процессов взаимодействия и распада топологических вихрей в обращенном времени
Муминов Х.Х.1, Шокиров Ф.Ш.
1,*
ЕагЬо ¿10 47 5 gmail.com
Физико-технический институт им. С.У. Умарова Академии наук Республики Таджикистан, Душанбе, Таджикистан
Приведены результаты численного моделирования процессов взаимодействия и распада топологических вихрей (2+1)-мерной суперсимметричной О(3) нелинейной сигма-модели в обращенном времени. Численные расчеты проводятся в расслоенном пространстве на основе методов теории конечных разностных схем, использованием свойств стереографической проекции. Получены модели формирования исходного состояния системы двух взаимодействующих топологических вихрей при их начальном распаде на локализованные возмущения. Эксперименты проведены при различных значениях индекса Хопфа топологических вихрей. Подтверждено свойство Т-инвариантности исследуемой теоретико-полевой модели. Предложен комплексный программный модуль, реализующий специальный алгоритм численного расчёта эволюции взаимодействия пространственно-временных топологических структур в обращенном времени.
Ключевые слова: нелинейная сигма-модель, обращение времени, расслоенное пространство, сфера Блоха, Т-инвариантность, численное моделирование
Введение
Известно, что наиболее важной характеристикой физических законов является их симметрия (СЯТ-инвариантность, теорема Людерса-Паули), соответствующая определенному закону сохранения (теорема Нетер). При этом принципы симметрии физических законов, непосредственно связанные с фундаментальными свойствами пространства-времени, имеют, по-видимому, большее значение, чем законы сохранения [1]. Настоящая работа посвящена исследованию Т-инвариантности процессов взаимодействия локализованных полей - топологических солитонов-вихрей в рамках (2+1)-мерной суперсимметричной О(3) нелинейной сигма-модели (НСМ). Поскольку операция обращения времени Т (t' ^ —) переставляет начальное и конечное состояния системы, его действие не приводит к новым характеристикам исследуемых в настоящей работе квазичастиц - топологических вихрей. Математически данное свойство можно записать как равенство нулю
коммутатора операторов T и H :
T, H
= 0, где H — оператор Гамильтона [2]. Основ-
ной целью настоящей статьи является исследование свойств Т-симметрии (симметрии по отношению к обращению времени) О(3) НСМ на примере обращения во времени процессов взаимодействия и распада ее топологических (солитонных) решений. Разработан комплекс компьютерных программ на основе специальных алгоритмов моделирования процессов взаимодействия частицеподобных решений нелинейных уравнений теоретико-полевых моделей в обращенном времени (ОВ). Напомним, что плотность функции Ла-гранжа и гамильтониан исследуемой О(3) НСМ (см., например, [3-7]) в стандартной (изо-спиновой) параметризации можно записать в следующем виде:
L = g X
i=1
H=g XX
ds¿ f I2 r dsi
"дГ J Vдх
ds¿ г+ I2+ 'ds¿
"а". J + v дх + 1дУ
g (1 - S? ) ,
-g (1 - *32 ) .
(1) (2)
где g = 1/2 , k =3; Sj,s2,s3 — координаты единичного изовектора
S (sx, s2, s3) = (sin 0 cos ф, sin0 sin ф, cos 0) . (3)
В данном случае наложено ограничение S2 = 1 и длина изовектора (3) является постоянной величиной; 0( t) и ф( t) — углы Эйлера (рис. 1а). Таким образом, и-поле исследуемой модели (1) описывается движением точки на блоховской сфере S2, эквивалентной движению конца изовектора S (рис. 1а).
i=1
Первое слагаемое в (1) является известной функцией Лагранжа НСМ для изотропного случая [5,7]. Исследование настоящей работы проведены в рамках анизотропной О(3) НСМ, где анизотропия выбрана в направлении ^ -компоненты. Таким образом, состояния исследуемой модели (1) с нулевой энергией (вакуумные состояния) описываются изовек-тором 8 (0,0, ±1) . Симметрией модели является О(3) - симметрия динамики изотопического вектора (изовектора) в блоховской сфере £2.
В работе [8] в рамках О(3) НСМ были получены модели двухсолитонных взаимодействий топологических вихрей-солитонов (ТС, ТБ) следующего вида:
где Qt — топологический заряд (степень отображения, индекс Хопфа); х = cos — = sin —
R R
— угловой параметр; R — радиус локализации солитона. В указанной работе [8] были получены модели распада взаимодействующих ТС (2+1)-мерной О(3) НСМ на локализованные возмущения (ЛВ), выявлено свойство сохранения суммы топологического заряда и предложен численный метод определения топологического заряда ЛВ. В работе [9] исследована изоспиновая динамика решений (4) и определены условия проявления дально-действующих сил при взаимодействии ТС (4), а также их полной аннигиляция поэтапным излучением энергии.
Функция Лагранжа О(3) НСМ не зависит явно от времени и содержит только четные степени производных, поэтому применение T-операции (операции замены знака времени t' ^—t) не должно привести к изменению уравнения движения, то есть данные модели обладают свойством Т-инвариантности (лагранжиан и гамильтониан модели инвариантны относительно Т-операции) [10,11]. Следовательно, каждое физическое состояние, полученное в рамках О(3) НСМ в момент времени t при обращении времени (t' ^—t) переходит в Т-инвариантное состояние с обращенными направлениями скоростей. Известно, что течение времени t направлено на реализацию процессов, обладающих наибольшей вероятностью, но физические законы не запрещают осуществление также маловероятных процессов. Таким образом, свойство Т-инвариантности О(3) НСМ допускает существование последнего состояния, а также обращенного во времени движения.
В последние десятилетия было проведено множество экспериментов с использованием свойств Т-симметрии физических явлений и представлены различные методы их приложения (см., например, [12-21]). Примеры приложений методов ОВ в медицинской визуализации, эхо-импульсном контроле, разработки нанофотонных устройств, переключаемых узкополосных оптических изоляторов, а также в подводной акустике и в исследовании экстремальных волн предложены в работах [12-21]. В работе [12] сообщается о первых экспериментах, показывающих обратимость многократно рассеянных акустических волн. Обнаружено, что при моделировании процессов в ОВ волны сходятся к их источнику и восстанавливают исходную форму. В работе [13] метод ОВ применен для восстановления сильно локализованных возмущений (экстремальных волн) дисперсионных сред в рамках нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что сильно локализованные нелинейные волны могут быть экспериментально восстановлены методом ОВ и в других нелинейных дисперсионных средах управляемых нелинейным уравнением Шредингера, таких как оптика, плазма и конденсат Бозе-Эйнштейна. Метод воспроизведения нечувствительных к дисперсии интерферограммы Хонг-У-Манделы на основе свойств Т-симметрии
(4)
Qt =Х—1 (ф + ЮТ) ,
квантовой механики предложен в работе [15]. В работе [16] предложена квазидвумерной схема двухслойной системы фермионов погруженной в бозе-эйнштейновский конденсат для реализации Т-инвариантных топологических сверхтекучих сред. Результаты указанной работы показывают, что экспериментальную реализацию топологической сверхтекучей жидкости с Т-симметрией можно провести в холодной атомной системе. Важные с практической точки зрения результаты для разработки нелинейных изоляторов, метапо-верхностей и других нанофотонных устройств представлены в работе [17]. Работы [18, 19] посвящены исследованиям определенных величин (индикаторов аномалий), определяющих аномалию Т-инвариантных топологически упорядоченных состояний. Аномалия в данном случае имеет смысл невозможности реализации вышеуказанных состояний в строго двумерных системах. Интересные исследования в области разработки так называемых фотонных устройств для использования в квантовых материалах и процессорах проведены в работе [20]. Также следует отметить работу [21], где авторы описывают метод разработки высокочувствительных датчиков для регистрации процессов физики высоких энергии вне рамок Стандартной модели.
Приведенный выше обзор работ отображает лишь часть теоретических исследований и практических экспериментов, проводимых на основе Т-инвариантных свойств физических процессов. Например, не упомянуты в настоящей работе применения методов ОВ в моделировании сейсмологических и геофизических процессов, в неразрушающем контроле твердых материалов, в исследовании высокотемпературных сверхпроводников и т.д.
Эксперименты по ОВ обычно состоят из нескольких этапов. В нашем случае на первом этапе были построены модели взаимодействия ТС (4) О(3) НСМ для определенных значений скорости их движения, достаточных для распада ТС на ЛВ [8]. Далее топологическое поле, состоящее из отдельных ЛВ сохраняется в разных фиксированных положениях как функция от времени. На основе полученных данных проведено численное моделирование эволюции сохраненного состояния в ОВ: ^—. Получены результаты, описывающие полное восстановления топологических вихрей (4) в процессе объединения ЛВ и таким образом, подтверждено свойство Т-инвариантности О(3) НСМ. Разработанные алгоритмы, численные схемы и компьютерные коды объединены в единый пакет прикладных программ, позволяющие проведение исследований Т-инвариантных свойств (2+1)-мерных теоретико-полевых моделей класса О(3) НСМ.
Постановка задачи и более подробные сведения о методах исследования настоящей работы приведены в следующем пункте. В третьей части работы приведены результаты исследований и описаны свойства полученных Т-инвариантных моделей. В конце проведено обсуждение полученных результатов и подведены итоги.
1. Постановка задачи
В настоящей работе рассмотрена задача построения численных моделей, описывающих обратную по времени эволюцию процессов (двухсолитонного) лобового столкновения и распада ТС (4) на ЛВ. Использован подход приближения разностных схем [22] с
применением алгоритма и численной схемы, которые были предложены в работе [6] для численного расчета стационарного ТС (4) О(3) НСМ. Лагранжиан анизотропной О(3) НСМ использован как в изоспиновой параметризации (1), так и в эквивалентных эйлеровой
Ь — ■
1 ГГСЯУ Г д012 Г д01
2 [1 дг) \дх ) 1ду У
+ 0
^ ' дф У
дг
5фч дх
^дф^ 1дУ У
2 2 1
У
и комплексной параметризациях
Ь — -
2
дг дг дг дг дг дг
(5)
(6)
(1 + г2)2 {дг дг дх дх ду ду )
где 0 (О £ [ 0 , 2 7г], <(О £ [ 0 , 2 7г] ; т = х + /у, X = х — /у [7]. Соответствующие уравнения Лагранжа-Эйлера для (1), (5) и (6) принимают следующий вид:
д2 $ д2 д2 +Е ] Г 2 Г 1 2 2 1
дг2 дх2 ду2
V 1дгУ Vдx У VдУ У У
дЧ дЧ дЧ Гд^. V Гд$, V Гд$, V1 1 $2 Е
дг2 дх2 ду2
д2$3 д2 д2$3 "дг2" "дх2 "ду2
Vдг У
Чдх У
+Е
V дУ у
ГГ&.. 12 Гд*. 12 Гдл. 121
I — 0,
(7.1)
Vдг У
Vдx У
V дУ у
д2 г д2 г д2 г 1__ГГ дг V Г дг V Гдг^ 1
д г д г д г ( + г )1"дгГ "дх2 "ду2
- 2 г
(1 + г')
'д2 г д2г д2г ^ дг2 дх2 ду2
- 2 г
дг У 1дху (^ду У
2
дг 1 _ Г дг
дг) ^дх) 1ду У
$3 (1 - $з2) — 0;
г(1 - г2) — 0, г (1 - г2) — 0;
(7.2)
У
д20 д20 д20 ч дг2 дх2 ду2 У
+ Б1П
( 20)
1
2008 0
'дф!2 Г дф12 Г дф1
чдг ) ^дх ) 1ду у
Г
V дг,
+ б1П 0
дф дх
]2- Гдф!2"
) 1ду У
2
— 0,
^д 2ф д 2ф д2ф ч дг2 дх2 ду2 У
(7.3)
— 0;
где } = 1 ,2 , 3 ; т = х + /у, т = х — /у [7]. Разностные схемы для численного моделирования составлены для уравнений (7.2). Значения плотности энергии топологических полей определяются выражением (2) с учетом известных соотношений, описывающих стереографическую проекцию сферы Б2 на комплексную плоскость
г — х + \у — — егф 0
у 1 ±
Более подробное описание разработанной численной схемы действующей в расслоенном пространстве (рис. 1б) для общего случая приведено в [7]. Использована трёхслой-
2
ная разностная схема второго порядка точности О (г2 + к2) на пятиточечном шаблоне с весами явного типа [22]. Устойчивость разностной схемы удовлетворяет требованиям для
гиперболических систем уравнений: — < 1. Аппроксимация проведена на двумерной сетке
к
Ь(х,у): 2000 X 2000 расслоенного пространства (рис. 1б), где кх = к — шаг по координате, г — по времени. При этом на краях области численного расчета Ь (х, у) установлены специально разработанные граничные условия, которые поглощают линейные волны возмущений излучаемые одиночными или взаимодействующими ТС. Таким образом, осуществляется моделирование исследуемых процессов в бесконечном двумерном пространстве.
На рис. 2 приведены иллюстрации плотности энергии (а), изовекторной структуры (б) и проекции последней на плоскость (с) для ТС (4) О(3) НСМ, обладающих топологическими зарядами Qt = 1,...,4.
Рис. 2. Топологические вихри (4) О(3) НСМ при Qt = 1,... ,4: а — плотность энергии; б — изовекторная структура; в — проекция изовекторой структуры на плоскость.
При Q = 1 (скирмион [5]) плотность энергии (DH, Density of Hamiltonian) вихря (4) сосредоточена в центральной части области моделирования L [1001 х 1001]. При Q > 2
DH топологических вихрей (4) сосредоточена в кольцеобразной форме (рис. 2а), которая служит своеобразной доменной границей между противоположными направлениями поля ( ±s3). Увеличение значений Q приводит к сужению ширины данной доменной границы и увеличению плотности ее энергии. Из рис. 2б видно, что для каждого случая Q = 1,... ,4 в изовекторной структуре ТС (4) наблюдается вихревые структуры, количество которых равно значению Q. В центральной части ТС (а также в центрах вихревых структур) век-
торы изотопического спина S сонаправлены с положительным направлением оси Z : s3 ^ 1. Ближе к границе области моделирования расслоенного пространства (рис. 1б) изо-векторы направлены в противоположную сторону: s3 ^ -1. Переход между данными состояниями происходит прецессией изовектора S . Таким образом, ТС (4) являются топологическими возмущениями поля, соединяющие два вакуумных состояния: 0(7) = 0, к (рис. 1а).
Для численных экспериментов настоящей работы использованы ТС (4), обладающие значениями индекса Хопфа Q = 3,...,6. В данном случае для координат единичного изовектора Se (Sj,s2,s3) справедливы следующие выражения:
= (^3 cos X - ^3 sin т,-^з cos 1 - £з sin ), Sq=4 = (^4 cos x 3 £4 sin X, cos x - sin X, Xq ), Sg(=5 = X3 (^ cos X 3 sin X,^3 cos X-^5 sin X,X-) ,
sq=6=X6 (£6cos x 3 £6sin x, cos x - £6sin x,X q),
где
X3= 2(13r2q)-1, X-= 2-1 (1 -r2q), q = 3,.,6, £3 = x3 - 3xy2, £32 = y3 - 3x2y, £4 = x4 - 6x2y2 3 y4, ^2 = 4xV - 4xy3, £ 1 = x5 -10x3y2 3 5xy4, ^2 = У5 -10x2y3 3 5x4y, ^ = x6 -15x4y2 315x2y4 - y6, £2 = 6xy5 - 20x3y3 3 6x5y.
Выбор диапазона значений Q е [3,6] является оптимальным в нашем случае с точки зрения технической реализации модели лобовых столкновений. Так как ТС с Q = 1,2 обладают относительно большим (при r = 1) радиусом локализации (R ) и соответственно для проведения численных расчетов требуется достаточно широкая область моделирования (L ) расслоенного пространства (рис. 1б). В этом смысле ТС с Q > 6 существенно локализованы, но в данных ТС градиент DH изменяется скачкообразным образом, что приводит к частым ошибкам в численной схеме. Заметим, что эксперименты, проведенные для предыдущих работ [8, 9] показывают, что результаты, полученные для значений Q е [3,6], могут быть обобщены для всех возможных значений Q.
Как было показано в наших предыдущих исследованиях (см., например, [8, 9]) при моделировании двухсолитонных лобовых столкновений ТС (4), движущихся с относительно малыми скоростями наблюдается процессы их столкновения и взаимного отраже-
ния. Но, при увеличении скорости движения взаимодействующих вихрей происходит их распад на отдельные ЛВ, разлетающиеся в стороны от точки столкновения. При этом ЛВ также обладают топологическими зарядами: ^ (ЛВ) < ^ (ТС) . Общим свойством процессов распада ТС на ЛВ является сохранение суммы значений ^ [7-9]:
Е Qг (лв)=а (ТС, )+а (ТС2).
2. Модели распада топологических вихрей в обращенном времени
В этой части работы приведены результаты численных исследований лобовых столкновений ТС (4) О(3) НСМ в режиме ОВ (г - ). Эксперименты проведены по следующим конфигурациям системы взаимодействующих вихрей:
- а—з — а—з;
- а—4 — а—4;
- а—з — а—5;
- а—з — а—6.
В экспериментах настоящей работы часто используются ТС с ^ — з , так как в данном случае топологический вихрь обладает оптимальным соотношением пространственной локализации и устойчивости с точки зрения проведения численных расчетов.
2.1. а,—з ^ а,—з
На рис. 3а приведен один из примеров реализации численной модели лобового столкновения ТС (4), обладающих равными значениями ^ — з и движущихся во встречных направлениях со скоростью V (го)« ±0.287 . При меньших значениях V (го) энергия
взаимодействующих ТС не является достаточной для осуществления процессов их распада. На рис. 3 а описан процесс лобового столкновения и распада данных вихрей на ЛВ, которые также обладают топологическим зарядом: ^ — 1 (два ЛВ) и ^ — 2 (два ЛВ). На всех иллюстрациях данного типа отображены значения БЫ и ее контурной проекции на двумерную область моделирования Ь (2002 х 1001) . В данном случае ТС (4) являются абсолютно идентичными квазичастицами и обладают свойством киральности [7-9], поэтому процесс взаимодействия и разлет ЛВ происходит по симметричным траекториям.
На втором этапе экспериментов конечные состояния (в случае рис. 3а: г — з8.4 ±т ) полученной модели распада ТС были использованы в качестве начальных данных для проведения исследований в ОВ (г - ). На рис. 3б приведены иллюстрации, описывающие результаты численного моделирования процессов распада ТС (4), описанных на рис. 3 а в ОВ. Как видно из данных иллюстраций топологические возмущения поля в виде отдельных ЛВ движутся траекториями, описанными на рис. 3 а, но в обратном направлении.
При г' —14.4 ЛВ движутся в направлении центра области столкновения, где объединяются и формируют единое возмущение поля. Далее наблюдается разделение сформированного единого возмущения поля на два ТС (г' — 23.4 ), движущихся в ± х -направлениях (г' — 38.4 ). Изменения значений интегралов энергии (Еп) моделей, описанных на рис. 3а и 3б, а также отклонения значений энергии модели с ОВ
ДЕп — Еп (г ..., го ])- Еп [г е[го,..., 4 ]), (8)
приведены на рис. 3в. Данные иллюстрации показывают, что полученная в ОВ модель процессов столкновения и распада ТС (4) (рис. 3б) с достаточно высокой точностью является симметричной по отношению к исходной модели (рис. 3а). При этом в случае рис. 3б наблюдается незначительная потеря энергии системы относительно исходной модели (рис. 3а): Еп1о^ * 1.12% .
Рис. 3. Взаимодействие и распад топологических вихрей (4) при ^ (ТБ12) — 3 : а — исходная модель: г е[0,40]; б — модель, полученная при I' ; в — интеграл энергии системы для г, г' и АЕп .
2.2. а,—4 ^ а,—4
На рис. 4а приведена аналогичная предыдущему примеру модель лобового столкновения ТС (4), обладающих одинаковыми значениями ^ — 4 и скорости движения
V(го) « ±0.196. При столкновении наблюдается распад обеих ТС на 3 пары ЛВ: с ^ — 1 (4
ЛВ) и с Q = 2 (2 ЛВ). Аналогично предыдущему случаю было проведено моделирование данного процесса в ОВ: г0 = 54 (рис. 4б). В данном случае, также наблюдается объединение 6 отдельных ЛВ в единое возмущение поля с последующим формированием двух ТС, которые отделяясь, начинают движение в ± х -направлениях. На рис. 4в приведены значений интегралов энергии (Еп) моделей, описанных на рис. 4а и 4б, а также их разность АЕп (8). Данные иллюстрации показывают, что полученная в ОВ модель столкновения и распада ТС (4) (рис. 4б) также с достаточно высокой точностью является симметричной по отношению к исходной модели (рис. 4а). При этом потеря общей энергии системы на излучение равна Еп1аю « 0.91% . Аналогично предыдущему случаю, вследствие абсолютной идентичности взаимодействующих вихрей процесс столкновения и разлет ЛВ происходит по симметричным траекториям с центром симметрии в точке столкновения.
Рис. 4. Взаимодействие и распад топологических вихрей (4) при Q (Т$12) = 4 : а — исходная модель г е [0,54]; б — полученная модель при г' ; в — интеграл энергии системы для г, ? и АЕп .
2.3. <2( = 3 ^ & = 5
В данном случае проведены эксперименты по столкновению ТС (4) с Qt (Т^) = 3 и Q (Т£2) = 5, которые движутся с разными скоростями V (Ч) ~ +0.196 и \2 (го) « —0.0995. При столкновении оба ТС распадаются на 3 группы ЛВ (рис. 5а): с ^ = 1 (1 ЛВ), с ^ = 3
(2 ЛВ) и с ^ — 3 и ^ — 1 (1 группа ЛВ). При моделировании данного процесса в ОВ также получена исходная модель (рис. 5б). При этом потеря общей энергии на излучение, описанной на рис. 5а составляет Еп1о!!1! -1.05% . Так как взаимодействующие ТС в данном
эксперименте обладают разными значениями Qt и V (го), процессы их распада и разлет ЛВ не обладают пространственной симметрией.
Рис. 5. Взаимодействие и распад топологических вихрей (4) при Q (ТЗг) — 3 и Q (ТБ2) — 5: а — исходная модель: г е[0,48]; б — полученная модель при I' ; в — интеграл энергии для г, г' и АЕп .
2.4. а,—з ^ а,—6
В данном пункте приведены результаты последней серии экспериментов по столкновению ТС (4) с Qt (ТБ1) — 3 и Q (ТБ2) — 6, которые движутся со скоростями
V (г<))-+0.196 и v2 (го)--0.005. При столкновении оба ТС распадаются на 4 ЛВ (рис. 6а): с ^ — 1 (1 ЛВ), с ^ — 2 (1 ЛВ) и с ^ — 3 (2 ЛВ). При моделировании данного процесса в ОВ получена исходная модель (рис. 6б). Разность значений энергии модели рис. 6б от энергии исходной модели в конечном этапе эквивалентна Еп1о,,,, - 0.54% . В этой серии
экспериментов, аналогично предыдущему случаю процесс взаимодействия и распада ТС на ЛВ, а также разлет ЛВ происходить не по симметричным траекториям.
Рис. 6. Взаимодействие и распад топологических вихрей (4) при ^ (ТБ1) = 3 и ^ (Т$2) = 6 : а — исходная модель: г е [0,63.6]; б — полученная модель при г' ^ — г ; в — интеграл энергии для г, г' и АЕп .
3. Обсуждение полученных результатов
Исследования настоящей работы относятся к рассмотрению свойств Т-симметрии процессов взаимодействия и распада топологических вихрей (4).
Непосредственно НСМ впервые возникла как эффективная теория безмассовых возбуждений, а именно, в задаче, связанной с теорией трех псевдоскалярных пионов (п-мезонов), которые отождествлялись с псевдоскалярными полями. В важных приложениях НСМ описывают коллективные возбуждения - квазичастицы, возникающие при объединении фермионов (например, п-мезонов, состоящих из кварка и антикварка и окружённых глюонным облаком) и не входящие в число первичных полей исходной теории. Исследуемые в настоящей работе топологические вихри-солитоны являются квазичастицами и представляют собой пространственные распределения спинов (направления намагниченности), которые нельзя непрерывным преобразованием перевести в однородное (вакуумное) состояние, соответствующее основному состоянию поля (рис. 2б).
В случае моделей, полученных в настоящей работе, говорить о точной аналогии с практическими экспериментами нельзя, так как объекты приведенных исследований являются двумерными. Соответственно наши результаты могут в некоторой степени отличаться от результатов практических экспериментов [7]. Метод ОВ может быть применен к каждому явлению, описываемому уравнениями, которые содержат только производные второго порядка (или более общие производные четного порядка) по времени. Для каждо-
го решения z (r, t) существует второе решение вида z (r, —t), так как совпадают их вторые
производные. Другим ограничением для настоящего подхода является условие недиссипа-тивности среды. Для реализации данного условия необходимо восстановить излучение энергии, которое не было предусмотрено в настоящей работе. Тем не менее, как было показано во второй части работы, в полученных при ОВ моделях структура исходных моделей была восстановлена с достаточно высокой степенью точности. Следует отметить, что в экспериментах по взаимодействию топологически вихрей в обычном времени (t) численные модели вихрей излучают лишнюю энергию в виде линейных волн (до формирования точного решения), которые поглощаются специальными граничными условиями. Далее при моделировании данного процесса в ОВ (t' ^—t) происходит эволюция численной системы состоящей из топологических возмущений (в данном случае из отдельных ЛВ) максимально приближенных к их аналитическому виду. Таким образом, как было показано в предыдущей части настоящей работы свойство Т-симметрии исследуемых моделей соблюдается с достаточно высокой точностью: Enloss е(0.5,1.15) .
Заключение
В настоящей работе рассмотрены свойства Т-инвариантности суперсимметричной О(3) НСМ на примере процессов взаимодействия и распада ее солитонных решений — топологических вихрей. Исследование проведено методами численного моделирования на основе стандартных разностных уравнений, применением специально разработанного алгоритма и свойств стереографической проекции. Для эволюционных моделей лобовых столкновений и распадов топологических вихрей на локализованные возмущения применена операция обращения времени. Получены модели, описывающие процесс объединения локализованных возмущений и формирования исходного состояния взаимодействующих топологических вихрей. Таким образом, результаты настоящей работы подтверждают свойство Т-инвариантности исследуемой (2+1)-мерной О(3) НСМ и показывают ее точность в описании нелинейной динамики локализованных топологических возмущений. Разработан пакет компьютерных программ, позволяющий провести исследование эволюции взаимодействующих локализованных решений теоретико-полевых моделей в обращенном времени t' ^—t.
Полученные результаты показывают, что разработанный в настоящей работе метод исследования позволяет экспериментально восстановить исходное состояние поля, одиночных, так и взаимодействующих локализованных решений нелинейных сред управляемых НСМ.
Список литературы
1. Мэрион Дж.Б. Физика и физический мир: пер. с англ. / под ред. Е.М. Лейкина и С.Ю. Лукьянова М.: Мир, 1975. 623 с. [Marion J.B. Physics and the physical universe. N.Y.: Wiley, 1971. 694 p.].
2. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский; под ред. Л.П. Питаевского. 4-е изд. М.: Физматлит, 2002. 720 с.
3. Huang K. Quantum field theory: from operators to path integrals. N.Y.: Wiley, 1998. 426 p.
4. Peskin M.E., Schroeder D.V. An introduction to quantum field theory. Reading: Addison-Wesley Publ., 1995. 842 p.
5. Kudryavtsev A., Piette B., Zakrzewski W. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions // Nonlinearity. 1998. Vol. 11. No. 4. Pp. 783-795.
6. Муминов Х.Х. Многомерные динамические топологические солитоны в нелинейной анизотропной сигма-модели // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2002. Т. 45. № 10. С. 28-36.
7. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Математическое моделирование нелинейных динамических систем квантовой теории поля. Новосиб.: Изд-во СО РАН, 2017. 373 с.
8. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимодействие и распад двумерных топологических солитонов О(3) векторной нелинейной сигма-модели // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2011. Т. 54. № 2. С. 110-114.
9. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Изоспиновая динамика топологических вихрей // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2016. Т. 59. № 7-8. С. 320-326.
10. Гибсон У., Поллард Б. Принципы симметрии в физике элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979. 344 с. [Gibson W.M., Pollard B.R. Symmetry principles in elementary particle physics. Camb.: Camb. Univ. Press, 1976. 380 p.].
11. Швебер С.С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля: пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 842 с. [Schweber S.S. An introduction to relativistic quantum field theory. N.Y.: Harper & Row, 1961. 905 p.].
12. Derode A., Roux Ph., Fink M. Robust acoustic time reversal with high-order multiple scattering // Physical Review Letters. 1995. Vol. 75. No. 23. Pp. 4206-4210.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.4206
13. Chabchoub A., Fink M. Time-reversal generation of rogue waves // Physical Review Letters. 2014. Vol. 112. No. 12. Pp. 124101-124301. DOI: 10.1103/PhysRevLett.112.124101
14. Leutenegger T., Dual J. Detection of defects in cylindrical structures using a time reverse method and a finite-difference approach // Ultrasonics. 2002. Vol. 40. No. 1-8. Pp. 721-725. DOI: 10.1016/S0041 -624X(02)00200-7
15. Kazuhisa Ogawa, Shuhei Tamate, Toshihiro Nakanishi, Hirokazu Kobayashi, Masao Kitano. Classical realization of dispersion cancellation by time-reversal method // Physical Review A. 2015. Vol. 91. No. 1. P. 013846. DOI: 10.1103/PhysRevA.91.013846
16. Midtgaard J.M., Zhigang Wu, Bruun G.M. Time-reversal-invariant topological superfluids in Bose-Fermi mixtures // Physical Review A. 2017. Vol. 96. No. 3. P. 033605.
DOI: 10.1103/PhysRevA.96.033605
17. Sounas D.L., Alu A. Time-reversal symmetry bounds on the electromagnetic response of asymmetric structures // Physical Review Letters. 2017. Vol. 118. No. 15. P. 154302. DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.154302
18. Chenjie Wang, Levin M. Anomaly indicators for time-reversal symmetric topological orders // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 13. P. 136801.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.136801
19. Yuji Tachikawa, Kazuya Yonekura. Derivation of the time-reversal anomaly for (2 + 1)-dimensional topological phases // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 11.
P. 111603. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.111603
20. Ningyuan Jia, Schine N., Georgakopoulos A., Ryou A., Sommer A., Simon J. Photons and polaritons in a broken-time-reversal nonplanar resonator // Physical Review A. 2018. Vol. 97. No. 1. P. 013802. DOI: 10.1103/PhysRevA.97.013802
21. Kozyryev I., Hutzler N.R. Precision measurement of time-reversal symmetry violation with laser-cooled polyatomic molecules // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 13.
P. 133002. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.133002
22. Самарский А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 616 с. [Samarskij A.A. Theory of difference schemes. N.Y.: Marcel Dekker, 2001. 761 p.].
Mathematics i Mathematical Modelling
Fieri
rami.- journal.
h trp:/Arra|híne I pLtti.ru
ISSN 2412-591 i
Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 02, pp. 1-18.
DOI: 10.24108/mathm.0218.0000099
Received: 26.03.2018
© NP "NEICON"
Numerical Modeling of Interaction and Decay Processes of Topological Vortices in Reversed Time
Kh.Kh. Muminov1, F.Sh. Shokirov1'* Kfarhod047:>:3gma]l-cc.m
:S.U. Umarov Physical-Technical institute of Academy of Sciences of the
Republic of Tajikistan, Dushanbe, Tajikistan
Keywords: nonlinear sigma model, reversed time, stratified space, Bloch sphere, T-invariance, numerical modeling
The paper studies T-symmetry properties of the well-known nonlinear sigma model (NSM), a class of quantum field systems in which physical fields are regarded as the coordinates of a certain manifold. Considers a symmetry property of the (2+1)-dimensional anisotropic O(3) NSM (n-field) with respect to time reversal. From the geometric point of view, O(3) NSM describes the dynamics of a single three-component isovector n that takes on values in the Bloch sphere. The isovector n can be identified with a point on the surface of a two-dimensional sphere and, therefore, corresponds to the element of a rotation group O(3). The anisotropy is selected in the z-axis direction and thus, the zero-energy states (vacuum states) of the model under investigation are equivalent to the point (the end of the isovector n) at the poles of the Bloch sphere.
0(3) NSM has an exact solution in the form of topological solitons (vortices, quasi-particles) possessing a topological charge (the Hopf index). It was shown in [8] that, for certain rate values of their motion, the interacting topological solitons decay into localized perturbations. In this case, the property of preserving the total sum of the topological charge is revealed.
In the present work, numerical modeling of interaction and decay processes of topological solitons of O(3) NSM in reversed time are carried out. It is shown that when there is time reversal, a complete restoration process of the initial state of the field of topological solitons by combining individual localized perturbations is observed. Thus, the paper confirms the property of T-invariance of O(3) NSM. To construct numerical models, are used methods of the theory of finite difference schemes, based on a specially developed algorithm for applying the properties of the stereographic projection of the Bloch sphere onto the complex plane. The developed method allows accurate calculations of the energy density of interacting vortex fields at each point of the stratified space. The paper proposes a software complex that allows us to conduct numerical studies of interaction processes of localized solutions of non-linear field-theoretical models in class O(3) NSM in reversed time.
References
1. Marion J.B. Physics and the physical universe. N.Y.: Wiley, 1971. 694 p. (Russ. ed.: Marion J.B. Fizika i fizicheskij mir. Moscow: Mir Publ., 1975. 623 p.).
2. Kvantovaia elektrodinamika [Quantum electrodynamics] / V.B. Berestetskij, E.M. Lifshits, L P. Pitaevskij; ed. by L.P. Pitaevskij. 4th ed. Moscow: Fizmatlit Publ., 2002. 720 p. (in Russian).
3. Huang K. Quantum field theory: from operators to path integrals. N.Y.: Wiley, 1998. 426 p.
4. Peskin M.E., Schroeder D.V. An introduction to quantum field theory. Reading: Addison-Wesley Publ., 1995. 842 p.
5. Kudryavtsev A., Piette B., Zakrzewski W. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions. Nonlinearity, 1998, vol. 11, no. 4, pp. 783-795.
6. Muminov Kh.Kh. Multi-dimensional dynamical topological solitons in nonlinear anisotropic sigma-model. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan [Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan], 2002, vol. 45, no. 10, pp. 28-36 (in Russian).
7. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Matematicheskoe modelirovanie nelinejnykh dinamicheskikh sistem kvantovoj teorii polia [Mathematical modeling of nonlinear dynamical systems of quantum field theory]. Novosibirsk: Siberian Branch of the Russian Acad. of Sciences Publ., 2017. 373 p. (in Russian).
8. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Interaction and decay of two-dimensional topological solitons in O(3) non-linear vector sigma-model. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan [Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan], 2011, vol. 54, no. 2, pp. 110-114 (in Russian).
9. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Isospin dynamics of topological vortices. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan [Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan], 2016, vol. 59, no. 7-8, pp. 320-326 (in Russian).
10. Gibson W.M., Pollard B.R. Symmetry principles in elementary particle physics. Camb.: Camb. Univ. Press, 1976. 380 p. (Russ. ed.: Gibson W.M., Pollard B.R. Printsipy simmetrii vfizike elementarnykh chastits. Moscow: Atomizdat Publ., 1979. 344 p.).
11. Schweber S.S. An introduction to relativistic quantum field theory. N.Y.: Harper & Row, 1961. 905 p. (Russ. ed.: Schweber S.S. Vvedenie v reliativistskuyu kvantovuyu teoriyupolia. Moscow: Foreign Literature Publ., 1963. 842 p.).
12. Derode A., Roux Ph., Fink M. Robust acoustic time reversal with high-order multiple scattering. Physical Review Letters, 1995, vol. 75, no. 23, pp. 4206-4210.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.4206
13. Chabchoub A., Fink M. Time-reversal generation of rogue waves. Physical Review Letters, 2014, vol. 112, no. 12, pp. 124101- 124301. DOI: 10.1103/PhysRevLett.112.124101
14. Leutenegger T., Dual J. Detection of defects in cylindrical structures using a time reverse method and a finite-difference approach. Ultrasonics, 2002, vol. 40, no. 1-8, pp. 721-725. DOI: 10.1016/S0041 -624X(02)00200-7
15. Kazuhisa Ogawa, Shuhei Tamate, Toshihiro Nakanishi, Hirokazu Kobayashi, Masao Kitano. Classical realization of dispersion cancellation by time-reversal method. Physical Review A, 2015, vol. 91, no. 1, p. 013846. DOI: 10.1103/PhysRevA.91.013846
16. Midtgaard J.M., Zhigang Wu, Bruun G.M. Time-reversal-invariant topological superfluids in Bose-Fermi mixtures. Physical Review A, 2017, vol. 96, no. 3, p. 033605.
DOI: 10.1103/PhysRevA.96.033605
17. Sounas D.L., Alu A. Time-reversal symmetry bounds on the electromagnetic response of asymmetric structures. Physical Review Letters, 2017, vol. 118, no. 15, p. 154302. DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.154302
18. Chenjie Wang, Levin M. Anomaly indicators for time-reversal symmetric topological orders. Physical Review Letters, 2017, vol. 119, no. 13, p. 136801.
DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.136801
19. Yuji Tachikawa, Kazuya Yonekura. Derivation of the time-reversal anomaly for (2 + 1)-dimensional topological phases. Physical Review Letters, 2017, vol. 119, no. 11, p. 111603. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.111603
20. Ningyuan Jia, Schine N., Georgakopoulos A., Ryou A., Sommer A., Simon J. Photons and polaritons in a broken-time-reversal nonplanar resonator. Physical Review A, 2018, vol. 97, no. 1, p. 013802. DOI: 10.1103/PhysRevA.97.013802
21. Kozyryev I., Hutzler N.R. Precision measurement of time-reversal symmetry violation with laser-cooled polyatomic molecules. Physical Review Letters, 2017, vol. 119, no. 13,
p. 133002. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.133002
22. Samarskij A.A. The theory of difference schemes. N.Y.: Marcel Dekker, 2001. 761 p. (Russ.
rd
ed.: Samarskij A.A. Teoriia raznostnykh skhem: a textbook. 3 ed. Moscow: Nauka Publ., 1989. 616 p.).
