CC BY
37
УДК 536.2 ББК З 312.3
В. И. Бочегов, А. С. Парахин
Измерение теплопроводности с учетом влияния атмосферы
В статье рассматривается метод, основанный на использовании фонового экрана. Данный метод позволяет учесть тепловые потоки, обусловленные теплопроводностью атмосферы, и в значительной степени снизить погрешности.
Ключевые слова: измерение теплопроводности, тепловые потоки, влияние атмосферы, фоновый экран.
V. I. Bochegov, A. S. Parakhin
Measuring heat conductivity taking into consideration the atmosphere influence
The article deals with the method based on the use of a chromakey background. This method allows taking into account thermal currents caused by thermal conductivity of atmosphere that helps to reduce errors greatly.
Key words: measurement of thermal conductivity, thermal currents, influence of the atmosphere, chromakey background.
При измерении теплопроводности значительную погрешность вносят различного рода неучтенные теплопотоки. Среди них особенно существенным является поток тепла с нагревательного элемента, создающего градиент температуры. Эти тепловые потоки можно устранить методом, описанным в работе [1; 2].
Вторым по величине паразитным потоком тепла является поток, направленный из атмосферы, окружающей исследуемый образец, на поверхность образца и обратно. Наличие такого потока приводит к искажению температурного поля внутри образца и к ошибке в определении коэффициента теплопроводности. Этот поток можно уменьшить, если использовать фоновый экран, охватывающий исследуемый образец. Однако устранить его полностью, как поток с нагревательного элемента, не удается. Единственной возможностью снизить погрешность, вызванную этим потоком, является хотя бы частичный учет этих теплопотерь.
Предположим, что основную роль в теплообмене между образцом и атмосферой играет теплопроводность остаточного воздуха в вакуумированной камере, где расположен образец. Считаем, что при достаточно низких температурах или высоком остаточном давлении воздуха в камере излучение играет малую роль. При давлении, когда длина свободного пробега молекул воздуха превышает размеры камеры, теплопроводность воздуха уменьшается пропорционально уменьшению давления. Так, если расстояние от поверхности образца до стенок фонового экрана 10 мм, то длиной свободного пробега молекул можно считать эту величину. Тогда теплопотери, обусловленные наличием атмосферы из двухатомных молекул, складываются из двух потоков: потока от образца к стенке экрана
q =1 nV5kT = — nVkT, (1)
1 6 2 1 12 1
и обратного потока
q2 = ^ nVkTi. (2)
Здесь q и q - плотности потока тела от образца и обратно соответственно, n,V - концентрация молекул воздуха в камере и их скорость, T и T - температуры образца в данной точке и температуры экрана, k - постоянная Больцмана. Результирующий поток будет равен разности отдельных потоков
q = nVk(T -T2) . (3)
Таким образом, коэффициент теплоотдачи стенок образца можно положить равным
а = — nVk . (4)
12
Из формулы средней длины свободного пробега молекул
Я = -=Д------- (5)
■•Jlmd2 n
можно оценить концентрацию молекул воздуха
п =
-ііжсі2 X
(6)
Для молекул воздуха диаметр примерно равен 3 • 10-10 м [3], а расстояние от поверхности образца до стенок экрана примерно равна 10-2 м, поэтому п « 2.5 • 1020 м-3. При температуре 80 К это соответствует давлению » 0.28 Па или 2.1 40-3 мм Hg, т.е. форвакууму.
Скорость движения молекул при данной температуре составляет примерно
V =
3ЯТ 3 • 8.31- 80
= 262 м/ с.
ц V 29-10-
Эти данные позволяют оценить коэффициент теплоотдачи (4)
а = — пV: « 0.4 Вт/(м2К)
12
(7)
(8)
Оценим влияние этой теплоотдачи на результаты измерения теплопроводности. Для этого необходимо решить уравнение теплового баланса
d2Т ар тч ^
dx
2 =^ (Т “ Тс),
X*
с граничными условиями
т (0) = т , т (і) = т . (10)
Здесь Т - температура образца в данной точке, Тс - температура экрана, % - коэффициент теплопроводности образца, і - его длина, 8, р - площадь и периметр поперечного сечения (рис. 1). На этом рисунке цифрами обозначены следующие детали: 1 - общий нагреватель установки, 2 - образец, 3 - градиентный нагреватель, 4 - фоновый нагреватель, 5 - фоновый экран.
Решение уравнения (9) ищем в вице
Т = сівгх + Ъв-гх + с
(11)
Подставив в уравнение (9) и используя граничные условия, найдем искомые коэффициенты
с = -
Ъ =
7 =
Т - Тс - (Т - Тс)е-7і
2,?Н(у1)
(Т - Тс )е7 - (Т - Тс)
2вк(уі)
(12)
(13)
(14)
с = Тс . (15)
Вычислив производную на верхнем конце образца, найдем тепло-
Рис. 1. Схема
вой поток, входящий в верхний торец образца.
ж = 7%5 (Т - Тс Ш71)- (Т -Тс)
5Й(7І)
(16)
Этот тепловой поток, благодаря наличию фоновой печи, компенсирующей теплопотери, равен мощности градиентной печи, которую легко померить, измеряя ток, протекающий через ее обмотку и падение напряжения на ней.
Предположим, что фоновый экран приведен в тепловой контакт с фоновой печью и имеет ее температуру, т.е.
Тс = Т . (17)
Тогда тепловой поток через образец на верхнем конце будет выражаться через разность температур на концах образца
вк(у1)
Ші ,?к(уі)
Откуда можно найти теплопроводность
7 =
■КТ -Т) У1
В классических измерениях в этой формуле полагают
(18)
(19)
1
7і
что приводит к относительной ошибке
_ і'к(уі)
!І'ІГІ) = 1, (20)
-1, (21)
у1
подставив значения параметров из (8) и (14) и считая I = 0.01 м, 5 = 4 • 10-6 м2, получим
а = ?Ш-1. 0.08. (22)
у1
Если температура экрана равна температуре общего нагревателя
Тс = Т0, (23)
то вместо (18) получим
Ж = У75 , (24)
5Й(у/) ' ( )
и теплопроводность определяется через гиперболический тангенс
7 = -^^' (25)
5(Т, - Т0) У1
а относительная погрешность, обусловленная теплопритоками, равна
а = ^-1. (26) у,
При тех же параметрах погрешность составляет 0.14. Это означает, что первый вариант эксперимента более предпочтителен при классических измерениях теплопроводности.
Чтобы учесть теплопритоки, выполним два измерения мощности нагревателя при двух разных давлениях воздуха в измерительной камере. Получим
д -Т, Жу,/)- щ- Т,). (17)
хКУх1)
(Т - Т, ^/) - (Т0 - Т, ) , (18)
$к(у21)
Благодаря тому, что средняя длина свободного пробега молекул превосходит размеры камеры, отношение давлений будет равно отношению коэффициентов теплоотдачи в этих двух экспериментах, обозначим это отношение е
е = р = ^ . (19)
р ^2
Как следует из (14)
. (20)
У2
Предположим, что фоновый экран приведен в тепловой контакт с общей печью и имеет ее температуру, т.е.
Т, = Т0. (21)
Тогда отношение тепловых потоков в двух экспериментах будет выглядеть следующим образом:
ч У^)
Ж = 48 . (22)
Ж -И(у11) 4 '
Это выражение представляет собой уравнение, из которого находим у, а с его помощью находим теплопроводность из (17) с учетом (21)
7=-^. (23)
У15(Т, - Т0)
Уравнение (22) представляет собой трансцендентное уравнение, поэтому решить его можно лишь численно, например, методом дихотомии.
Таким образом, использование фонового экрана позволяет учесть тепловые потоки, обусловленные теплопроводностью атмосферы, окружающей исследуемый: образец.
В данном методе исследования теплопроводности используется уравнение (9), которое записано с использованием некоторых предположений: 1. Предполагается, что температура внутри образца меняется лишь вдоль образца и не меняется в поперечном направлении. Это очевидно справедливо лишь тогда, когда плотности тепловых потоков между образцом и атмосферой гораздо меньше плотности потока внутри самого образца, что в свою очередь может быть достигнуто путем создания достаточно глубокого вакуума. 2. В уравнении (9) не учитываются теплопотери на излучение, которые также могут привести в некоторых случаях к существенным погрешностям.
Вместе с тем данный метод позволяет в значительной степени снизить погрешности, обусловленные теплопритоками из атмосферы.
Список литературы
1. Бочегов В. И. Методика прямого измерения теплопроводности термоэлектрических материалов. Термоэлектрики и их применение. СПб., 2004. С. 315-317.
2. Драббл Дж., Голдсмит Г. Теплопроводность полупроводников. М., 1963.
3. Физические величины: справочник / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. М.: Энергоиздат, 1991.
УДК 532.546 ББК В 253.327
С. В. Бочкарев
Задачи фильтрации жидкости со свободной поверхностью при наличии горизонтальной трещины (завесы)
Решены задачи о движении свободной поверхности грунтовых вод в ограниченной области при наличии горизонтальной трещины или завесы.
Ключевые слова: неустановившаяся фильтрация, свободная поверхность, трещина, завеса.
S. V. Bochkarev
Problems of liquid filtration with free surface if there is a horizontal crack (screen)
There have been solved problems connected with the movement of free surface of subsoil waters in the bounded sphere if there is a horizontal crack or screen.
Key words: unsteady filtration, free surface, crack, screen.
1. Случай трещины. Рассмотрим задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод в вертикальной плоскости xOy (ось у направлена вверх), когда область фильтрации состоит из двух
однородных зон D {у < —h]) и D2 (— h < у < yL) (yL - ордината свободной поверхности) постоянной проницаемости к, разделенных горизонтальной трещиной у = — h. Слева вдоль прямой x = 0 область фильтрации ограничена каналом со свободной жидкостью, уровень воды в котором совпадает с осью абсцисс, а справа вдоль прямой x = ж/2 - непроницаемым водоупором. Начальная форма свободной поверхности задается функцией у = f (x).
Следуя линеаризованной постановке задачи о растекании бугра грунтовых вод [2], полагаем, что свободная поверхность имеет малое возмущение относительно оси абсцисс и выполняющиеся на ней граничные условия приближенно сносим на эту ось. Отсюда, для потенциалов р(- (t, у, x) (t - время) в D [2,3] имеем задачу:
8 xxPi + д „К = 0, (p\x=0 = 0' 8 xP^x=ж/2 = 0' 1 = 12' (1)
P\t=0,у = 0 = —f {x ) ' (2)
д tP2 +Гд уР\у = 0 = 0 , (3)
