Измерение коэффициента поглощения ультразвука в жидкости в условиях нелинейного распространения ультразвуковых волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.222:534.6

ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА В ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ

УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН

© 2007 В. С.Кононенко1, А. В. Шацкий2

'Самарский государственный технический университет 2Самарский государственный аэрокосмический университет

Представлены результаты расчета спада амплитуды свободных нелинейных колебаний в ультразвуковом резонаторе, заполненном жидкостной диссипативной средой. По результатам расчета проведен анализ зависимости коэффициента поглощения ультразвука от времени спада колебаний, на основе которого предложена методика, позволяющая экспериментаторам избежать больших ошибок при измерении коэффициента поглощения ультразвука в условиях нелинейного распространения волн.

1. Проблема исследования поглощения

Из множества методов для исследования поглощения ультразвуковых волн в жидкости самыми распространенными являются резонаторный и импульсный методы. На частотах ниже 10 МГц используется резонаторный метод исследования, в котором ультразвуковой луч проходит достаточно большое расстояние посредством переотражений от пьезопреобразователей резонатора. Поглощение измеряется по половинной ширине резонансного пика снимаемого сигнала с помощью пьезопреобразователя или измеряется время спада амплитуды колебаний волн. Проблема состоит в том, что при измерении поглощения даже на достаточно небольших

амплитудах на частотах, близких 2,

3,...., где - собственная частота приемного пьезопреобразователя, в спектре приемного сигнала появляются высшие гармоники [1]. Это связано с тем, что уравнение движения в жидкости нелинейно. Данное обстоятельство может привести к значительному искажению получаемых результатов в ходе эксперимента. Таким образом, экспериментаторам приходится пропускать данные диапазоны частот при построении спектральной характеристики коэффициента поглощения в жидкости [2]. В статье проводится исследование данной проблемы, а также анализируются возможные методы ее устранения.

2. Постановка и решение задачи

Ультразвуковой жидкостный резонатор состоит, как правило, из цилиндрической полости, в торцах которой прикреплены пьезопреобразователи, один из которых является излучающим, а другой приемным. Ультразвуковой луч многократно отражается от пьезопреобразователей, что приводит к образованию стоячей ультразвуковой волны. Рассмотрим одномерный ультразвуковой резонатор с абсолютно жесткими стенками, между которыми распространяются ультразвуковые волны. Для нахождения амплитуд ультразвуковых волн воспользуемся волновым уравнением, записанным в переменных Лагранжа [3]:

П = ^ П

д(2 (1 + д<Х/да)7+1 да2 ' (1)

Данное уравнение описывает волны, бегущие в обе стороны - как вправо, так и влево, - и их взаимодействие между собой. Здесь X и а - смещение и координата в переменных Лагранжа, соответственно; с0 -скорость звука в жидкости, 7 - показатель адиабаты жидкости. В рассматриваемом случае жидкость является вязкой, и уравнение (1) приобретает достаточно сложный вид. Однако на основе качественных соображений его часто дополняют диссипативным членом, содержащим производную третьего порядка

[3]:

э 2 x

э2x ъ эзx s+- (l)

Эt2 (1 + ЭX|Эa)n1 Эa2 p G Э2 a ^t

где Ь - параметр диссипации, р 0 - плотность

жидкости. При малых X можно воспользоваться уравнением, полученным из (2) разложением члена (1 + ЭХ/Эа )_(ї+і) в степенной

ряд, оставляя первые два члена разложения. В итоге получим уравнение

э 2 X і э 2 X 0 эх э 2 X ь э 3 X

Эt2

le

Эa Эa2

p G Эa2 ^t ’

GG

1 d2 A4

+

CG dt CG2pG

= lek3 [б A' A3 + 1G A' A5 + 4 A221

16k

dA

24

+1бk A4 =

dt 4 (В)

1 d2 A5 ъ j2 dA5

—--------------5 + ——l5k —5

CG dt CG pG dt

= lekЗ [1G A' A4 +15 A2 A3 ].

+ 25 k 2 A5 =

(9)

(З)

Если считать далее, что нелинейные и диссипативные члены в уравнениях (5) - (9)

малы (~ т), то решение можно приближенно искать в форме:

где є = (у+1)/2 - параметр нелинейности среды. В качестве начального условия выберем стоячую волну обычного синусоидального типа. Также предположим, что в резонаторе могут взаимодействовать только пять основных мод, и будем искать решение уравнения (3) в следующем виде:

A' (t) = B' (it )exp (iwt)+ к.с.,

A2 (t) = B2 (it )exp (i lwt)+ к.C., АЗ (t ) = B3 (|it )exp (i3wt) + к.с., A4 (t) = B4 (|it )exp (i 4wt) + к.с., A5 (t) = B5 (it )exp (i5wt) + к .с.

(1G)

X = Ay (t) sin (ka) + A2 (t) sin ilka) +

+ A3 (t )sin(3ka) + A4 (t )sin(4ka) + A5 (t )sin(5ka).

(4)

Собирая выражения, стоящие при sin(ka),

sin(2ka), sin(3ka), sin(4ka) и sin(5ka), придем к следующим уравнениям:

1 d2 A

1+

ъ k2 ^+k'-A

dt 1

2

CG p G

CG dt

= lek3 [A' A2 + З A2 A3 + б A3 A4 + 1G A4 A5 ],

1 d2A, ъ лі2 dA2 лі2 .

+ ——4k2—2 + 4k a, =

dt

CG p G

dt

12

2 A + ЩА + ИД, +15 Аз a.

Здесь В1, В2, В3, В4 и В5 - медленно меняющиеся комплексные амплитуды распространяющихся гармоник. Сохраняя везде члены не выше первого порядка малости, получим

dB' + —k2 B' = -iewk [B'*B2 + 3B ,* B3 +

dt Ip G 1 112 23

+ 6b,,* B4 + 1G B4* B5 ],

(11)

(5)

dt 2p G

+ В B2* B4 +15 B3* B51

'в.2 + 3B* B3 + l 1 13 (12)

(б)

dB3 ъ

+ —9k2 B3 = -i1 ewk [бВ'*В4 + 3B'B2 +

dt lp

+15B2 B5

I

(1З)

2

ъ

C

G

2

C

G

C

G

1 d2 A3

dt

+

2

CG p G

9k

2 dA^ dt

+ 9 k 2 A З

lek3 [3 A' A2 + б A4 A' +15 A2 A5 ],

dBl + —16k 2B4 = -i1 ewk [6B'B3 + (7) dt lpG 4 4 L 1 3

+ 1GB'*B5 + 4B221

(14)

ъ

2

C

G

&В^ + — 25к 2В5 = -і1 єюк [і0В4В1 + & 2р 0 5

+ 15В2В3 ]

(15)

&С2

-4к 2С2 =1 юкє

2 С12 sin(2 51 - £2) +

& 2р0 2 2

+ 3С1С3 5іп(^3 - ^ - ^2) + 8С2С4 ят^, - (17)

- 2^2)+ 15С3С5 яіп^5 - 53 - ^2)]

&С3 Ь

+ —9к2С3 =1 юкє[бС1 С4 sin(S4 - ^ -

& 2р

- Sз)+3С1С2 sin(S1 + S2 - Sз)+ + 15С2С5 яіп(Ь15 - S2 - S3)]

(18)

&СЯ

+ —1бк 2С4 =1 юкє[бС1 С3 яіп(81 + S3

& 2р - S4)+10С1С5 яіп(Б5 - ^ - S4)+ + 4С22 sin(2S2 - S4)]

(19)

&С5 Ь

+ —^ 25к 2С5 =1 юкє[10С4С1 ят(8л + &£ 2р0 5

+ ^ - S5)+ 15С2С3 sin(S2 + S3 - S5)]

= -юкє[С1 С2 соя(S2 - 2S1) +

&

+ 3С2С3 соя ^3 - S2 - S1)+ 6С3С4 соя (S4 -- S3 - ^)+ 10С4С5 соя (S5 - S4 - Sl)]

(20)

(21)

dS2 1 ,

2 = —юкє

2С2 соя (2^ - S2) +

В уравнениях системы (11) - (15) удобно перейти к действительным амплитудам и фазам. Полагая для этого:

В1 = С1 ехр(і'^ ), В2 = С2 ехр(і82),

В3 = С3 ехр(і83), В4 = С4 ехр(і84),

В5 = С5 ехр(і$5)

и выделяя из каждого вещественную и мнимую части, получим следующую систему дифференциальных уравнений:

+ —кС =юкє[С1С2 ят^2 - 251)+

2р0

+ 3С2С3 ят^ - S2 - ^)+6С3С4 ят^, - S3 - (16)

- S1)+ 10С4 С5 яіп (S5 - S4 - S1)]

&Ґ 2

+ 3С1С3 соя ^3 - S1 - S2) + 8С2С4 соя (S4

- 2S2) + 15С3С5 соя - S3 - S2)]

(22)

dS 3

= -1 юкє[бС1 С4 соя (S4 - S1 - S3) +

&Ґ 3 + 3СС2 соя (Sl + S2 - Sз ) + + 15С2С5 соя ^5 - S2 - S3)]

= - 4 юкє[бС1 С3 соя & + S1 - S4) +

+ 10С1С5 соя(S5 -^ -S4)+ 4С22 соя(2S2 -S4)]

= -1 юкє[10С4С1 соя(^4 + ^ - £5)+ &Ї 5

+ 15С2С3 соя& + £3 - £5)].

(23)

(24)

(25)

Поскольку получить аналитическое решение системы (16) - (25) невозможно, система решалась численно методом Рунге-Кут-та. На рис. 1 приведены результаты расчета относительных комплексных амплитуд первых пяти гармоник в зависимости от величины х = ^ • ю: ю - циклическая частота возбуждаемого сигнала, В0 - суммарная амплитуда колебаний распространяющихся гармоник в начальный момент времени.

3. Анализ полученных результатов

Результаты расчета указывают на достаточно сложную зависимость спада амплитуд гармоник с течением времени. Это объясняется тем, что помимо диссипативных эффектов присутствуют также и нелинейные эффекты, и в резонаторе происходит обмен энергиями между всеми возникающими гармониками. Если не сделать ограничения на число образующихся гармоник, то зависимости будут иметь еще более сложный характер.

Решение данной задачи имеет практическую ценность. Суть в том, что при исследовании поглощения с помощью резонаторов экспериментаторы либо пропускают те диапазоны частот, в которых наблюдаются не-

Ь

Рис. 1. Зависимости спада амплитуд свободных колебаний первых пяти гармоник в акустическом резонаторе, заполненном жидкой диссипативной средой

линейные эффекты, либо пользуются допущением, что распространяющиеся моды не взаимодействуют друг с другом, то есть между ними не происходит обмена энергиями. Такое часто происходит, когда поглощение измеряется с помощью времени спада колебаний. При этом измеряется время, за которое амплитуда колебаний спадет в е раз, а затем рассчитывается коэффициент поглощения по достаточно простым формулам. Если взаимодействием гармоник пренебречь (правые части уравнений системы (11) - (16) будут равны нулю), то решение системы примет вид:

+ В4,0е

2,0е

•16 а-і , т> Л-25а-і

(26)

где а = Ък2/2р 0 - коэффициент поглощения

жидкости; £10, В2 0, В3 0, В4 0 и В5 0 - начальные амплитуды первой, второй, третьей, четвертой и пятой гармоники, соответственно.

На рис. 2 приведены кривая спада колебаний реально наблюдаемого сигнала (с учетом взаимодействия гармоник) и кривая, описываемая решением (26), построенные при одинаковых начальных условиях и одинаковых параметрах исследуемой среды. На рисунке указаны точки, в которых снимается отсчет времени спада колебаний т, за кото-

рое амплитуда уменьшается в е раз - это пересечение прямой Ж = 1 /е и кривых. Полученные точки: т - реальное время спада,

тт - время спада согласно (26) отличаются друг от друга.

Чем больше будет параметр нелинейности исследуемой среды, тем более значительно будут различаться т и тт. Это означает, что использование времени спада колебаний т, реально снимаемого прибором, при подстановке в (26) ведет к большому завышению рассчитываемого коэффициента поглощения а. Поправку к таким результатам сделать достаточно сложно. Единственно возможным способом приблизиться к истинному значению коэффициента поглощения при использовании выражения (26) является следующее. Отсчет времени спада колебаний нужно снимать не в момент, когда амплитуда колебаний уменьшится в е раз, как это принято, а когда влияние высших гармоник станет пренебрежимо малым, то есть их амплитуда вследствие диссипации станет достаточно малой по сравнению с основной модой. На рис. 2 видно, что кривая, снимаемая прибором, с течением времени ведет себя как кривая, построенная с допущением о не взаимодействии гармоник между собой. Это означает, что если приборы позволяют зафиксировать момент времени, когда на кривой спада амп-

Рис. 2. Спад суммарной амплитуды колебаний с течением времени: сплошная линия - с у$етом взаимодействия гармоник; пунктирная - без учета взаимодействия гармоник

литуды колебаний будут отсутствовать осцилляции, обусловленные взаимодействием гармоник, то можно провести одновременно отсчет амплитуды и времени спада колебаний и затем достаточно просто рассчитать коэффициент поглощения. Уравнение для расчета будет выглядеть следующим образом:

BT (а ,т) =

BT (а,О)

N

(27)

где N - число, показывающее, во сколько раз уменьшилась амплитуда колебаний за время х. Начальные значения амплитуд гармоник можно снять с анализатора спектра, использование которого обязательно при исследовании поглощения с помощью резонатора. Численным решением уравнения (27) определяется коэффициент поглощения, отличие которого от истинного значения станет существенно меньше.

Заключение

Использование данной методики исследования поглощения ультразвука в жидкости

при условии нелинейного распространения волн показывает необходимость дальнейшего теоретического исследования, которое позволит получить новые технические решения при создании прецизионных экспериментальных установок.

Список литературы

1. Кононенко В. С., Прокопьев В. И., Галанин В. В. Исследование нелинейных эффектов в одномерном ультразвуковом резонаторе с плоскими пьезопластинами // Исследование ресурсосберегающих технологий на железнодорожном транспорте: Межвузовский сборник научных трудов с международным участием / Под ред. д.т.н. В. Н. Яковлева. Вып. 23. - Самара: СамИИТ, 2002. - С. 455458.

2. Eggers F., Kaatze U. Broad-band ultrasonic measurement techniques for liquids / / Meas. Sci. Technol. 1996 - V. 7. - P. 1-19.

3. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. - Москва, 1975.- С. 127-138.

MEASURING ULTRASOUND ABSORPTION FACTOR FOR LIQUIDS IN CASE OF NON-LINEAR PROPAGATION OF ULTRASONIC WAVES

© 2007 V. S. Kononenko1, A. V. Shatsky2

'Samara State Technical University 2Samara State Aerospace University

The paper presents the results of calculating free non-linear oscillation amplitude decrease in an ultrasound resonator filled with liquid dissipative medium. On the basis of the calculation results the dependence of ultrasound absorption factor on the oscillation decrease time has been analysed. On the strength of this, a procedure is proposed that allows experimenters to avoid major mistakes when measuring the ultrasound absorption factor under non-linear wave propagation.