Изменение амплитуды альвеновских волн в коллапсирующем протозвездном облаке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 25 (163). Физика. Вып. 6. С. 55-65.

АСТРОФИЗИКА

А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра

ИЗМЕНЕНИЕ АМПЛИТУДЫ АЛЬВЕНОВСКИХ ВОЛН В КОЛЛАПСИРУЮЩЕМ ПРОТОЗВЕЗДНОМ ОБЛАКЕ*

Выводится уравнение для плотности энергии 8 ансамбля линейных альвеновских волн в слабо ионизованной плазме, испытывающей крупномасштабное сжатие. Основным диссипативным процессом считается магнитная амбиполярная диффузия. Представлены аналитические зависимости 8 от плотности р при одномерном сжатии. Рассмотрены три симметрии сжатия (плоская, осевая и центральная) и два типа сжатия: однородное нестационарное и неоднородное стационарное. Показано, что в неоднородном течении а(р) зависит от числа Аль-

вена, распределения фазовой скорости и направления распространения волн относительно течения. При однородном сжатии е(р) зависит от темпа сжатия и начального распределения амплитуды волн. Поглощение волн приводит к зависимости 8(р) от симметрии течения и сценария ионизации. Модель применяется к протозвездным облакам.

Ключевые слова: магнитная гидродинамика, альвеновские волны, амбиполярная диффузия, протозвездные облака, коллапс.

Введение

Исследования солнечного ветра с помощью космических аппаратов показали, что одним из основных элементов турбулентности в нем являются альвеновские волны [1]. Предполагается, что эти волны являются важной компонентой МГД турбулентности и в слабо ионизованных плотных структурах межзвездной среды, таких как молекулярные и протозвездные облака [2]. Крупномасштабное сжатие среды, вызванное столкновением облаков или самограви-тацией, приводит к усилению альвеновских волн. Мак-Ки и Цвайбель [2] показали, что при достаточно быстром сжатии давление бездиссипативных альвеновских волн Р№ растет как плотность р в степени ух 3/2, то есть быстрее, чем давление газа в изо-

термическом случае. Поэтому альвеновская компонента турбулентности в отсутствие поглощения может замедлить изотермическую стадию коллапса протозвездных облаков. В работе [3], используя приближение однородного плоского сжатия, мы показали, что в протозвездных облаках поглощение альвеновских волн вследствие амбиполярной диффузии должно быть настолько интенсивным, что Р становится

■> №

меньше давления газа даже в случае свободного коллапса.

В настоящей работе, используя статистический подход Рейнольдса, мы избавляемся от ограничения плоского сжатия и рассматриваем также осесимметричное и центрально-симметричное сжатие. Кроме того, в приближении стационарности исследуем неоднородное сжатие. Предложен-

* Работа поддержана Федеральным агентством по образованию в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/6711) и грантом для НИР 1.6.08.

ная нами модель состоит из двух уравнений в частных производных. В § 2 излагается метод вывода этих уравнений. В § 3 описывается их аналитическое решение для од-

номерных течений с различной симметрией (рис. 1). В § 4 обсуждаются зависимости волнового давления от плотности и применение модели к протозвездным облакам.

Рис. 1. Симметрии сжатия плазмы. Тонкие стрелки — крупномасштабное магнитное поле, фигурные стрелки — направление крупномасштабной скорости (индексом N обозначается тип симметрии)

1. Модель

В данной работе из всех механизмов поглощения альвеновских волн учитывается только магнитная амбиполярная диффузия (МАД) — совместное движение положительно и отрицательно заряженных частиц относительно нейтральных частиц под действием магнитного поля. Поглощение аль-веновских волн вследствие вязкости и омического трения в протозвездных облаках возможно на поздних стадиях коллапса, не рассматриваемых в данной работе. Для описания влияния МАД на распространение альвеновских волн в качестве исходной используем систему уравнений двухкомпонентной магнитной газодинамики. Учитывая несжимаемость возмущений и пренебрегая инерцией ионов, запишем уравнения движения и индукции в следующем виде:

р РтУп = —Р+р2-R (у -у.^ (11)

• Ш1, п пг\ п г у

т

0 = К,(Уп - у,)+-М™' в, В], (12)

— = гоі[ угБ], (1.3)

ді 1

где Vп — скорость нейтралов, V. — скорость ионов, Б — магнитная индукция, d / Л — лагранжева производная для нейтралов, рп, Рп — плотность и давление нейтралов, g — гравитационное ускорение, Яп. = ппп — коэффициент тре-

ния между нейтралами и ионами, пп, пі — их концентрации, Ц — приведенная масса иона и нейтрала, = 2пе^2х / и — темп

их столкновений, е — элементарный заряд, X — коэффициент поляризации нейтрала. Уравнение (1.2) описывает стационарную МАД. Приближение стационарности справедливо при изучении процессов, характерное время которых больше времени замедления ионов нейтралами ііп = Рі / Кпі . Это условие в нашей модели выполняется, поскольку рассматриваются слабо затухающие альвеновские колебания,

период которых больше времени замедления нейтралов ионами гп1 = рп / Яы, причем вследствие низкой степени ионизации

г >> г .

пг гп

Для изучения изменений амплитуды альвеновских волн в коллапсирующем облаке удобно свести уравнения (1.1-1.3) к уравнениям волновой энергии и длины волны. Следуя методу статистических моментов, разложим магнитную индукцию и скорости нейтралов и ионов на сумму средних по ансамблю и пульсаций (отклонений от среднего). В ходе усреднений применим правила Рейнольдса (см. [4]). Пусть Н, и, V — средние по ансамблю

значения векторов В , у п и уг , а

Ь, ', а — пульсации. Тогда

В=Н+Ь, уп = и+', у, =V+а. (1.4)

Пренебрегая кинетической энергией ионов, определим среднюю плотность энергии альвеновских волн выражением

где угловые скобки означают усреднение по ансамблю.

Уравнение для можно вывести

по следующему алгоритму:

- Подставим (1.4) в уравнения (1.11.3) и усредним их, чтобы получить уравнения для Н, и, V .

- Вычтем уравнения для Н, и, V из (1.1-1.3), чтобы найти уравнения для Ь,', а.

- Умножим уравнения для ' и Ь на ' и Ь / (4п), соответственно, и усредним;

уравнение для пульсаций скорости ионов используем как вспомогательное. Членами третьего порядка малости пренебрегаем.

Приведем список основных предположений, используемых при выводе уравнения для 6М!:

- Поперечность:

' г = 0, аг = 0, Ь г = 0, где ось 2 направлена вдоль Н.

- Несжимаемость: 5р = 0, V' = 0.

- Линейность в среднем: (('V)') = 0,

((Ь^Ь) = 0.

- Равнораспределение кинетической и магнитной энергий: бк = 8т =8№ /2.

- Нет турбулентных динамоэффектов и диффузии: ([а, Ь]) = 0.

Используя вышеупомянутые допущения, получим из (1.1-1.3) следующие уравнения для первых моментов:

р-^и+Рп% - К, (и - V), (1.б)

аг

1 (ь2) „ ~

0 = Кт(и-V) +—[гогН,Н]-^^-, (1.7) 4п 8п

— = гог[УН]. (1.8)

дг

Сложив уравнения (1.6) и (1.7), увидим, что альвеновские волны в нашей модели влияют на крупномасштабное течение только через градиент усредненного магнитного давления пульсаций. Уравнение для средней плотности волновой энергии имеет вид

Ор __

=-38Уи^а(8+-0 +D, (19)

сг

где уа = Н / ^4прп - альвеновская скорость,

8№+, 8К- — средние плотности энергии волн, распространяющихся в направлении среднего поля Н и против него.

Укажем смысл слагаемых в правой части (1.9). Первое слагаемое включает в себя три эффекта, благодаря которым растет при сжатии плазмы: (I) рост плотности, (II) усиление пульсаций скорости крупномасштабным течением и (III) тенденция магнитного поля быть вмороженным в проводящую среду. Второе слагаемое описывает перераспределение 8№ за счет распростра-

нения волн относительно среды. Третье слагаемое В, возникающее при учете МАД, разделяется на три части:

В В + Вср + В ,

Вь = I UDV8w + Сы^о,

С

Dcp =~it((r0t ^

2п

Dv=V{CDVsw ^

где Оь описывает влияние крупномасштабной МАД ( ио = и - V средняя скорость МАД) на плотность волновой энергии, Оср и Dv описывают диссипацию и диффузию волновой энергии, Со = у уа,гш --- ко-

эффициент диффузии, Сы = 1,‘2’,'э для N = 0,1,2, соответственно.

Неизвестными величинами в уравнении (1.9) являются 8

и Б .

w+ w- '

а также

{(г° b)^-

ч2\. Проанализируем две первые.

При строгом рассмотрении необходимо учесть, что волны, идущие в направлении среднего поля и против него, взаимосвязаны. Во-первых, при отражении на градиенте фазовой скорости первые порождают вторые и наоборот (см. [5]). Кроме того, при столкновении этих волн возможна генерация квазидвумерной турбулентности [6]. В такой турбулентности, как и в трехмерной, происходит каскад энергии к малым масштабам и диссипация. В итоге столкновение альвеновских волн приводит к их более быстрому затуханию.

Для простоты допустим, что волны распространяются только в одном из направлений: либо вдоль Н, либо против Н. Поэтому второе слагаемое справа в (1.9), описывающее перенос энергии волнами, приобретет вид

+Vv^w

(1.10)

где знак отрицателен для волн, идущих в направлении Н , и положителен для волн, идущих против Н .

Теперь найдем аппроксимацию для ((rotb)2^. Эта величина меняется по двум

основным причинам: (I) благодаря изменению амплитуды пульсаций и (II) благодаря изменению их масштаба. Например, для синусоидальных волн имеем

(rot b)2 = k 2b2, (1.11)

где k = 2n / Л- волновое число, Л — длина волны. Если не учитывать укручение аль-веновских волн, которое существенно только при большой амплитуде, то выражение (1.11) можно принять в качестве простейшей аппроксимации ((rotb)2^. Тогда получим Dcp =-v2atnik2 Бw. В итоге

уравнение для средней плотности волновой энергии приобретает вид

d-Б

dt

— = -2 Б VU + Vv Б -v21 k2Б +

2 w I aw am w

+ dl + Dv .

(112)

Уравнение (1.12) содержит волновое число, которое может зависеть от координаты и времени. Чтобы учесть этот эффект, выведем уравнение для длины волны. Представление о длине волны допустимо в том случае, когда расстояние между соседними горбами волны гораздо меньше, чем расстояние, на котором фазовая скорость меняется существенно:

Л<< ург(дург / &)-1, (1.13)

где у — г -компонента фазовой скоро-

рг

сти. Предположив, что это условие выполняется, получим следующее уравнение для длины волны:

дЛ дЛ д v

— + v — = Л——

dt pz дz дz

(1.14)

Заметим, что это уравнение похоже на уравнение для размера жидкой частицы, с той лишь разницей, что ург включает в себя еще г — компоненту альвеновской скорости (с учетом знака).

Итоговая модель состоит из уравнений

(1.12) и (1.14). Слагаемое в аналитических расчетах не учитывается. Уравнение

(1.12) справедливо для трехмерных течений с произвольной геометрией. Модель применима при условии, что характерное время сжатия-разрежения не должно быть меньше периода альвеновских колебаний.

Предложенная нами модель является обобщением модели Дьюара [7], поскольку переходит в нее в пределе бесконечно малой МАД. В этом пределе три последних члена справа в (1.12) исчезают, и уравнение для длины волны становится ненужным, как и у Дьюара. Наша модель, в отличие от модели Медведева и Даймонда [8], не описывает укручение альвеновских волн и эффект смешивания фаз, но учитывает МАД.

2. Аналитические решения

В этом параграфе представлены аналитические решения уравнений (1.12) и (1.14) для предписанных течений, т. е. без учета влияния волн на течение. Среднее поле считается степенной функцией плотности:

н -р: . (2.1)

Например, если среднее поле вморожено в плазму, то при однородном сжатии : = 0,1, -3 для N = 0,1, 2, соответственно.

Предполагается, что плотности ионов и нейтралов связаны соотношением

Р - Рая . (2.2)

Например, если скорость ионизации не зависит от рп, то а = 1/2 при фоторекомбинации и а = 0 — при рекомбинации на

заряженных пылинках.

При N = 2 для выполнения условия одномерности будем искать решение только при углах 0 = 0,п, то есть в магнитной трубке, проходящей через центр симметрии (центр шара).

Однородное нестационарное сжатие. При однородном сжатии скорость пропор-

циональна расстоянию r от центра (оси, плоскости) симметрии:

U (r, t) = h(t) r, (2.3)

где h(t) — произвольная функция времени

(закон Хаббла). Предположим для простоты, что

h(t) = -СГ-1, (2.4)

где tc — характерное время сжатия. В однородно сжимающейся среде среднее поле остается однородным, поэтому альвенов-ская скорость зависит только от времени. Кроме того, однородное среднее поле не создает пондеромоторной силы (второй член в (1.7)). Влиянием волн (третий член в (1.7)) пренебрежем. Поэтому крупномасштабная МАД отсутствует:

U d = 0. (2.5)

Следовательно, среднее поле вморожено, и альвеновская скорость является степенной функцией плотности:

Va ^PPn, в = m - 7. (2 6)

Значения в при разных симметриях сжатия представлены в табл. 1.

Таблица 1

Показатели степени для зависимостей альвеновской скорости (2.6) и длины волны (2.9) от плотности при однородном сжатии

N l в в-1

0 -1 -1/2 1/2

1 0 1/2 1/2

2 -1/3 1/6 1/2

Для поля скорости (2.3) уравнение неразрывности приобретает вид:

+ (N + 1)И(г )Рп = 0. (2.7)

т

Уравнение (1.14) для длины волн Л трансформируется в

тл дл ,, л,

-77 = + уа ^ + К*)Л. (2 8)

т д г

Из уравнений (2.7-2.8) путем разделе-

ния переменных (г, *) можно найти зависимость Л от плотности. Если в начальный момент времени Л не зависит от координаты, то в ходе сжатия

Л-рп, (2.9)

где I = -1/ ^ + 1), N Ф 1, что согласуется с простыми геометрическими соображениями. При N = 1 (сжатие поперек поля) I = 0, поскольку длина волн не меняется. Заметим, что при однородном сжатии текущая координата жидкой частицы зависит от начальной координаты г(0) по тому же закону:

г = г (0) ^, (2.10)

где q — отношение текущей плотности к

начальной.

После учета соотношений (2.2, 2.6, 2.9, 2.10) запишем уравнение для плотности энергии в лагранжевом безразмерном виде, который одинаков для всех симметрий сжатия (всех N ):

ёе ё 1п а 1/2 дє

■+ а —

д£

—="3 є

ёт ёт

А-а

а

г

К

2к;є-

^т V

где є = є / є

д2єл

д£2

(2.11)

т = і / і„

£ = г (0) / Я — безразмерные плотность энергии, время и начальная координата, соответственно, їа = Я / Vа0 — начальное альвеновское

время, Я0 — начальный размер системы. Уравнение (2.11) содержит два параметра:

К 0 =

2пЯ0

К_ = :П0, (2.12)

Я

т 0

которые являются безразмерными волновыми числами для начальной длины волны

Л0 и начальной минимальной длины волны

Л:0 = Пуа0п\0 .

Второй член справа в (2.11), описывающий перенос энергии волнами, оказался одинаков для всех N по той причине, что разность показателей степеней в (2.6) и

(2.10) всегда равна у (см. табл. 1).

Переменные в (2.11) разделяются только в том случае, когда а = 1/2. Если при этом полагать, что начальное распределение амплитуды волн стационарно, то решение уравнения (2.11) с граничным условием 8(0,^!) = 1 имеет вид

е({,г) = д(г)ше‘<™, (2.13)

где * = ±-2К: +^17К2: + 2К02 . При малой

диффузии К: ^ ^, поэтому * ^ 0 и

плотность волновой энергии имеет чисто степенную зависимость от плотности газа:

~ „3/2

8 — р , что соответствует выводам из работы [2].

Чтобы разделить переменные в (2.11) при произвольном а, нужно пренебречь либо переносом, либо диффузией волновой энергии. В случае не слишком сильной МАД можно пренебречь диффузией, поскольку она пропорциональна второй производной. В этом случае решение уравнения (2.11) имеет вид

£(£ я) = <1ШеКЛ{'(* , (2.14)

где КЛ = 2К02 / К: — параметр диссипации. Здесь интегрирование по времени заменено, с учетом (2.4) и (2.7), интегрированием по плотности:

I (*)=с |я (хш - Х-а )(1п *)1/ет-1 т 1п х,

С1 = (N + 1)-1/стКсУ/ст-1, (2.15)

Кса = / *а .

эинэнаМХ 'по) ї/у]Д[ (яХид^хіло^мониХсІл хэ -шгшаа K^doxoM 4Хкиэ хз^їґеоо оно 4игшїґос[ -онїґозн кэхиаон^хэ эжох иихбжэ ионїґосі -0НЇҐ09Н Hdn ЭКОП 99Htf9dO Хяакояэоц

(LVZ) '(N + by = T/ ‘rtx = b

Хноэгсе on КЭ

-хэкнэм (}l)ud / (л)ис! = b ахэонхокн xmdsw -e^desg охь ‘хэХйэкэ (gyz) и nxooHaiade^d

-эн кннэнаМХ ей ‘HHdxsMMHO (нхэояэокн 4иэо) Мхнэй xo эннкохээМ 90Hd9Me^de9g

— # / j = x ‘тшиїгїґ xmdsimdvx — ^ зїґх

(9 гг) ‘ux(s)/} = (-i)n

лахшнїМооя нзнґганХф ноннэнэхэ кэхэккак и HH9M9da хо хиэиа^е эн шхэнМхэ -odn эяьох иоїґжбя а эннэьэх охь ‘инхэХно^ 'ЭПШПЖЭ dOHdVHOnhmUD эондснЗондоэд

(Z‘0 шогпт о j од £‘q шо иэшэтэш 1Юу duidnvdvu) шитжо uwdiu KDiudtidmdvs :v9vduj •gZ‘0 = v‘Z = D ‘\ = myi ‘Z = N '.sodiudwvdvu хічнчіюшоо шндтнє •SZ‘0 wo?vm о і oq () шо KDW3^dmdv9 Y yj nnhvunoong diudvmdvu :v9duj

'ППШЮЖЭ WOHdVHOnhVlUDdH WOHQOdOHQO ndu IRQddo ПШООНШОии ШО nmddHE П090НЇЇ09 пьиэоньиоии ПШЭ0ШПЭП9П£ 'I DflJ

b b

SCH г0 і t(H oOL S0^ 30L ^ o°^

S_CH

г-OL t_(H Q0i

ЄСН

•КИЙБНИЭ

-ОИЇҐ и охь ‘Хноэгае эж Хмох он ихэонхокн хо хиэиа^е киеХффиїґ Хяакояэон ‘эн^кед хохє ХЭШПуШш ЭН ((£\'Z) 3HH9in9d) HHjd^HG иоа -онкоа ииеХффиії хэь^ ‘нкоа KHHSH^dxoodn -ovd хэьэ бє HHjd^HG MOMOXHdu ^H^aodHDH9H

-ИОЯЭ ОНЬОХ КИЇІШИООИЇҐ ОХЬ 4ХЭБЬВН£0 охє

ияээьишф ‘акХн a Koxs^tiredgo ($\'Z) iredxsx -ни Хяакояэон ‘иіадооо (p\'Z) KHHsmsd ккії кэхэккак %/\ = z) шъАло охь 4иихэиб£

•H^oifOHoanxodn хязффє (ю иинэжинон) ииїгешнои инэнэхэ иинэш -анэиХ nd]j ‘иэхэонхокн хитакод XHodoxo

а кэхэшиайэ (Ь)з иХииээгси (п sxood ики

иинэтанэиХ) кихбжэ шиэх иинэьикэаХ nd]j ‘юон^эн иігахязффє имээа їґ^н ах^їґ

-^Kgosdn хэшиьвн киїібниооиїґ охь 4^ішм о л -акохэш кэхиаон^хэ нкоа бникїґ Хяакояэон ‘^мХмиэтем ХЗБХИХООЇҐ киїїлнХф БХЄ ихэон -ХОІШ HOdOXOM9H nd]J ‘ИЭИЙЛнХф ионнэнэхэ -эн ионжокэ кохз^аіаоино эь^ни в 6Z/£ = ^ ИЭ11ШЖБЯОН о иэийлнХф ионнэнэхэ

кэхэккак (Ь)з ахэомиэиа^е (0=г^) ииіі

-шиооиїґ иоаэкХн nd]j • \— = 'о — -? онэж -окон vdsvmdn кк^ ' д Мохяэа HHH9Ka^du -ън a KOxoiKH^dxooduo^d іанкоа охь ‘кэхэ^х -иьз •x^dxsM^d^H хіаньикеМ ndu эхнэмэке

мoaэжнБdJБK MOHH^dgen а э b iafsdo ихэ -ОНХОІШ хо з HHxdsHG иоаонкоа ихэонхокн ихэомиэиа^е IqнэжБdgoeи z ‘ЭИ(^

•оннэкэиь охэ ax^dg ззндоїґХ Хиохєон ‘ииїїлнХф-^мм^х esdsh кэxэБЖБdIaa (Sl'Z) KBdxsxHH 70 xiaHaKoaenodu ndjj

19

"Н1Г09 ХПЯЭ90Нд9Чт гчдбшпиишп ЭПНдНдШЩ

(2.7)). Поэтому вмороженность среднего поля нарушается. Но мы пренебрежем этим эффектом.

Найдем одномерные решения уравнений (1.12) и (1.14) в случаях плоской и центральной симметрий. В случае осевой симметрии одномерное решение уравнения (1.12) невозможно, поскольку оператор иу содержит производные поперек оси симметрии, но £ меняется также вдоль

этой оси вследствие поглощения и усиления волн. Для получения одномерного решения в случае центральной симметрии необходимо ограничиться тонким магнитным жгутом, проходящим через центр. Исключив сам центр из рассмотрения, будем считать, что среднее поле в этом случае чисто радиальное. Поэтому можно записать для N = 0,2

Н х Х^ . (2.18)

Альвеновская скорость зависит от координаты следующим образом:

Vа х хк, к = -N -и/2 . (2.19)

Используя условие ё/уЫ = 0, запишем слагаемое УУ £ в виде

V а (У£-£У 1п /2).

(2.20)

Длина волны в стационарном потоке пропорциональна проекции фазовой скорости:

Лх V

рг ■

(2.21)

Пренебрегая членом , запишем уравнение (1.12) для плотности волновой энергии в безразмерной эйлеровой форме:

д£ „д£ („,, ч . и ,.к-\

+ ф(Х)_ = У(Х) ±^-х‘ 1 -

дт дх ^ 2

- КЛх2к-аи

Ф ( х )

-2

Л

£ ,

(2.22)

Ф(х) = Ахп ± хк ,

У ( х ) = Аихп~\ (2.23)

где Ф(х) — безразмерная фазовая скорость, А = и (Я)/ V а (Я) — отношение скорости течения к модулю альвеновской скорости (число Альвена с учетом знака) на поверхности с г = Я . Стационарное решение уравнения (2.22) с граничным условием £(т,1) = 1 имеет вид

£( Х) = е1 +1г +Ь

У (а) Ф(а)

ёа,

К-1

/2(Х) = ±и Г 2 2 }1 Ф(а)

ёа,

.Х а'2к-аи

13(х) = -КЛ Г --------с1а. (2.24)

^ Л1 Ф(а)3

Решение (2.24) может быть записано в компактном виде как функция безразмерной плотности:

£(д) = ?

3/2

1 ± А л

V? ± А

-Л(?)

(2.25)

На рис. 3 представлены графики функции (2.25) в случае центрально симметричного сжатия с параметрами N = 2, п = -1 / 2,

а = 1/2, А = -1, когда волны распространяются по течению к центру. Из рис. 3 видно, что при сильном поглощении волн зависимость плотности волновой энергии от плотности среды, £(д), имеет минимум.

Рост £(д) при больших д вызван уменьшением поглощения, так как длина волны растет вместе с фазовой скоростью по мере приближения к центру. При п > N фазовая скорость всегда уменьшается к центру и функция £(д) не имеет минимума. При

П е (0, N) фазовая скорость немонотонна по х , и £(д) ведет себя более сложно.

Рис. 3. Зависимость плотности волновой энергии от плотности среды при неоднородном стационарном сжатии (сплошные линии). Параметр диссипации варьируется от 0 до 40 с шагом 10. Значения остальных параметров:

N = 2, п = -1 / 2, а = 1/2, А = -1. Волны бегут по течению. Поскольку скорость течения сравнима с альвеновской, то даже в отсутствие диссипации (Кх = 0) зависимость £■(#) не является степенной. Штриховые линии показывают наклоны у = 3/2 и у = 1/2

Следует отметить, что при распространении волн против течения плазмы возможны поверхности, где фазовая скорость волн равна нулю. Вблизи этих поверхностей поглощение волн максимально (рис. 4), поскольку длина волн стремится к

нулю. Этот эффект предлагалось использовать для объяснения ярких точек в короне Солнца [9]. Однако ранее не обращалось внимание на то, что интенсивному поглощению волн предшествует заметное усиление, вызванное сжатием (см. рис. 4).

Рис. 4. Зависимости плотности волновой энергии от плотности среды при неоднородном стационарном сжатии для волн, распространяющихся против течения наружу облака (сплошные линии) и по течению внутрь облака (штриховые линии), в случае центральной (N=2) и плоской (N=0) симметрий. Параметры: А = -0,1, К = 10-4, л = -2, а = 1/2

3. Зависимость волнового давления от плотности

Альвеновские волны создают изотропное магнитное давление Pw [7], поскольку

составляющие /рУуя, (4я)-1(ЬУ)Ь потока импульса вещества и поля в этих волнах сокращаются. Вследствие равнораспределения кинетической и магнитной энергий имеем

(3.1)

В работе [2] отмечено, что при определенных условиях давление альвеновских волн зависит от плотности по политропно-му закону:

Рм кр . (3.2)

Первым условием для выполнения (3.2) является отсутствие генерации и диссипации волновой энергии. Второе условие накладывается на перенос волновой энергии. Если он несущественен (адиабатическое сжатие), то у * 3/2 для рассматриваемого лагранжева элемента среды. Это возможно, когда время сжатия много меньше времени пересечения неоднородностей: Д г << Ь / V ,

где Ь — размер неоднородностей. В противоположном случае, когда крупномасштабное течение отсутствует, перенос энергии волнами является главным фактором для соотношения Рм (р). В этом случае, приравнивая нулю дивергенцию потока волновой энергии, получим у * 1/2 в рассматриваемой магнитной трубке.

При произвольном темпе сжатия соотношение Рм (р) обычно не является политропой. Например, используя выражение для амплитуды альвеновских волн в сферически симметричном потоке из работы Паркера [10], получим

' Л2

что совпадает с (2.25) для волн, распространяющихся по течению в отсутствие поглощения. В пределе при А ^ 0 и А выражение (3.3) переходит в политропу с показателем у = 1/2 и у = 3/2, соответственно, что согласуется с выводами из работы [2].

Проанализируем, какие соотношения Рм (р) следуют из наших аналитических решений. При однородном сжатии решение (2.14) дает политропу с у = 3/2 либо в случае пренебрежимо малой диссипации, либо при р. к р^2, когда диссипация точно скомпенсирована притоком энергии за счет распространения волн. Иначе вид функции Рм(р) зависит от закона сжатия.

Коллапс протозвездных облаков почти однороден в центральной области, пока до нее не дошла волна разрежения от внешней границы. На этой стадии приблизительно

рг. к р, поэтому даже при наличии диссипации решение (2.14) допускает у = 3/2, то есть давление альвеновских волн может расти быстрее, чем давление газа в изотермическом случае.

При неоднородном сжатии соотношение Рм (р) может отличаться от политропы даже в отсутствие диссипации. Например, решение (2.25) в отсутствие диссипации дает политропу только в предельных случаях при А ^ 0 и А . В протозвезд-ных облаках основной рост плотности идет в режиме неоднородного коллапса, причем число Альвена близко к единице. В этом случае из решения (2.25) следует, что зависимость Рм (р) при слабой диссипации

близка к изотермической. Следовательно, поглощение альвеновских волн приводит к тому, что их давление постепенно становится меньше давления газа.

,3/2

1 + А

4а+а

(3.3)

Заключение

В этой работе с помощью статистического подхода Рейнольдса выведено уравнение для средней плотности энергии ансамбля линейных альвеновских волн в слабо ионизованной плазме, испытывающей крупномасштабное сжатие/расширение. В качестве основного диссипативного процесса рассматривается трение ионов и нейтралов в ходе МАД. С целью корректного учета диссипации выведено вспомогательное уравнение для длины волны. Статистическое усреднение позволило выйти за рамки приближения плоского сжатия [3], но внесло ограничение на время сжатия: оно не должно быть меньше периода аль-веновских колебаний. Поэтому для быстрых стадий коллапса протозвездных облаков представленная модель неприменима.

Тем не менее модель показала, что между давлением альвеновских волн Рм и

плотностью среды р нет универсальной взаимосвязи. В неоднородном течении соотношение Рм (р) зависит от числа Альве-

на, распределения фазовой скорости и направления распространения волн относительно течения. При однородном сжатии Рм (р) зависит от темпа сжатия и начального распределения амплитуды волн. Поглощение волн приводит к зависимости Рм (р)

от симметрии течения и сценария ионизации. В этой работе обращается внимание, что волна вблизи поверхности нулевой фазовой скорости сначала усиливается и только потом полностью поглощается.

В дальнейшем планируется применить развитую модель к конкретным протоз-вездным облакам для оценки роли альве-новской компоненты турбулентности в их эволюции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Horbury, T. S. Spacecraft observations of solar wind turbulence: an overview / T. S. Horbury, M. A. Forman, S. Oughton // Plasma physics and controlled fusion. 2005. V. 47. P. B703-B717.

2. McKee, C. F. Alfven waves in interstellar gasdynamics / C. F. McKee, E. G. Zweibel // Astrophys. J. 1995. V. 440. P. 686-696.

3. Dudorov, A. E. Turbulent pressure evolution in collapsing protostellar clouds / A. E. Dudorov, S. N. Zamozdra // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2003. V. 22, № 1. P. 43-46.

4. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М. : Наука, 1987. 840 с.

5. Бреховских, Л. М. Волны в слоистых средах / Л. М. Бреховских. М. : Наука, 1957. 502 с.

6. Shebalin, J. V. Anisotropy in MHD turbulence due to a mean magnetic field / J. V. Shebalin, W. H. Matthaeus, D. Montgomery // J. Plasma Phys. 1983. V. 29. P. 525-547.

7. Dewar, R. L. Interaction between hydro-magnetic waves and a time-dependent, in-homogeneous medium / R. L. Dewar // Phys. Fluids. 1970. V. 13, № 11. P. 27102730.

8. Medvedev, M. V. Towards a simple model of compressible Alfvenic turbulence / M. V. Medvedev, P. H. Diamond // Phys. Rev. E. 1997. V. 56, № 3. P. 23712374.

9. Ryutova, M. P. The effects on mass flows on the dissipation of Alfven waves in the upper layers of the solar atmosphere / M. P. Ryutova, S. R. Habbal // Astrophys. J. 1995. V. 451. P. 381-390.

10. Parker, E. N. Dynamical theory of the solar wind / E. N. Parker // Space Sci. Rev. 1965. V. 4, N. 5-6. P. 666-708.