Исследование устойчивости моделей биологической кинетики с помощью принципа максимума и метода гармоник Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63:532.55

А. В. Никитина

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА И МЕТОДА

ГАРМОНИК

Рассмотрим модель биологической кинетики на примере пространственно-неоднородной модели динамики фитопланктонной популяции:

где X, S, M, цх, ц^, ЦМ, vx, vs,vM - концентрация и диффузионные коэффициенты в горизонтальном и вертикальном направлении субстанций фитопланктона, биогенного вещества (азот, фосфор) и метаболита соответственно; и,У,Ж - компоненты вектора скорости; к2 = к1 = а0 +уМ

коэффициент роста X; ао - скорость роста фитопланктона в отсутствие М; у -параметр воздействия; 8 - коэффициент убыли фитопланктона за счет отмирания; В - удельная скорость поступления загрязняющего вещества; £' -предельно возможная концентрация загрязняющего вещества; Г (1, х, у ,2) -мощность источника загрязнения; в - коэффициент экскреции; е-коэффициент разложения метаболита; А - двумерный оператор Лапласа. К системе (1)-(3) необходимо добавить соответствующие начальные и граничные условия.

Задача о динамике фитопланктона (1)-(3) была реализована с помощью неявной разностной схемы, устойчивость которой исследовалась с помощью принципа максимума и признака Неймона. При исследовании получили, что принцип максимума дает более сильные ограничения на шаг по времени, гарантирующие сходимость.

— + Ш и • X) = и,ЬХ + д V —| + (а0 +]М)Х • 5-8Х, (1)

д д ( д Л

— + Ш и • 8) = + —V —|-(0 +тЫ)Х • 8 + В( - 5) + /, (2)