Исследование цифровой оценки функции корреляции М-последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621 396 1 Т. О. ПОЖАРСКИЙ

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИФРОВОЙ ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ М-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ______________________________

Исследована цифровая оценка функции корреляции. Определено математическое ожидание и произведена оценка значения дисперсии. Выявлена зависимость оценки функции корреляции от параметров коррелятора. Исследования проведены для случая использования М-последовательностей в качестве кодов.

Ключевые слова: коррелятор, цифровая обработка сигналов, кодовые последовательности, функция корреляции.

В цифровой корреляционной обработке сигналов одной из наиболее трудоемких и сложных задач является обнаружение и захват сигнала. При «поиске/захвате» сигнала реальный цифровой коррелятор рассчитывает не истинную функцию корреляции (ФК), а ее оценку. Значение этой оценки принимается за неизвестное истинное значение ФК [1]. Поэтому при разработке коррелятора необходимо минимизировать отклонение оценки от истинного значения ФК. На практике это сводится к двум требованиям:

— рассчитываемая коррелятором оценка должна быть несмещенной, т.е. ее математическое ожидание должно быть равно истинному значению ФК;

— дисперсия оценки ФК должна быть много меньше величины корреляционного пика.

Доступные источники по вопросам корреляционной обработки сигналов не содержат информации о том, какими должны быть параметры цифрового коррелятора, чтобы выполнялись эти требования. Исследование условий, при которых они выполняются, является предметом данной работы.

Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что случайные процессы Х(Щ) и У(Щ) центрированы, т.е. шХ=шУ=ш=0.

Функции автокорреляции и взаимной корреляции при этом определяются соотношениями:

К (г) = (X (г) X (г + г)) = | | х1 хК (х1 , х2,г)Лх1Лх2

—¥ — ¥

¥ ¥

кXV(г) = (X(г)У(г + г)) = | |ху К(х„у2,г)йх1Су2,

— ¥ —¥

где К(х1,х2,г) и К(х1,у2,г) двумерные плотности вероятности 2-го порядка.

Для эргодических по отношению к корреляционной функции случайных процессов Х(Щ) и У(Щ) эти же функции корреляции можно определить так:

т

К (г) = Нш т Г X (г ^ (г +г)Лг

т®¥ О

т

Км(г') = НттГX(г)У(г +г)Лг.

Соответствующие оценки корреляционных функций имеют вид:

К (г) = т Г X (г) X (г + г)Лг,

О т

к ж (г) = т Г X (гV (г + г)Л.

(1)

(2)

Математическое ожидание оценки (1) функции корреляции:

К \г)) = т К X (г) X (г +г)) Лг = К (г),

т.е. оценка (1) несмещенная. Аналогичный вывод справедлив и для оценки (2).

Проверим справедливость полученных выводов.

Сначала определим модель входных сигналов коррелятора. Сигнал на входе АЦП приемного устройства представляет собой аддитивную смесь сигнала передатчика в точке приема и шума после понижения частоты:

Ялла(АЮ—,г,г, п) = ■ 0(г — г) ■ соа(юп(г — г)) + п

Здесь: Ах—амплитуда сигнала; юп — промежуточная частота сигнала; г—момент начала очередной ПСП; С(Щ) — функция времени, квантованная по уровню. С(Щ) принимает значения ±1 и представляет собой модулирующую псевдослучайную последовательность; п — аддитивный гауссов шум с плотностью вероятности

1 п2

К (п) = ~П2= ^р(—. а 2ж 2с

Эталонный сигнал:

8втл1 (АЕ ,Юп > О = АЕ ■ С(1) ■ .

Рассмотрим случай, когда доплеровское смещение сигнала равно 0. Пусть шаг квантования входного и эталонного сигналов постоянен и равен О. Тогда при цифровой корреляционной обработке на вход коррелятора будут поступать сигналы, содержащие шумы квантования [2]: БЕТА1 + еЕТА1 и 3АОС + еАос. Здесь еЕТА1 и еАВС есть отсчеты шума квантования в момент снятия значения принимаемого и эталонного сигналов. Шумы квантования еЕтА1 и еАВс имеют равномерную плотность

К= I ( ЯЯ

вероятности у е ~ я на интервале

22

Отсюда следует, что шумы квантования имеют нулевое среднее значение. Согласно [1, 3], при обра-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

252

ботке каждой из квадратурных составляющих необходимо произвести вычисление функции корреляции вида

т

К(л,, Ае,шп,т) = |8ЛВС(А5,шп,т,I -10, п)х 0

Х 5 ЕТЛ1 (ЛЕ ,®п, 1 — ^о') ^ •

Пусть цифровой коррелятор вычисляет оценку функции корреляции как среднее арифметическое отсчетов произведения цифровых сигналов (такой способ наиболее прост в реализации и применяется на практике при захвате сигнала):

Тогда р1 при всевозможных I образуют случайный вектор, К есть среднее арифметическое его элементов.

1 N К = •

Согласно [4], дисперсия К есть 1 N

В(К) =

N 1,1=1

кц =<(Рі - тр XРі - тр )>

Р А-Г і р)

где к і =< (рі - тр )рі - тр ) > — ковариация или цент-

1 N Ґ \

К = N £ Р(А , АЕ ,Фп ,Т> 1т > П).

N т=1

(3)

Здесь р(А , Ае ,Юп ,Т, I, п)= (8аВс (Л ,®п ,Т’^ п) + еЛВС )х

х (,ЕТЛ1 (Ае,а„,I) + еЕТА1) — произведение принимаемого и эталонного сигналов в цифровой форме,

^-моменты времени, в которые коррелятор снимает отсчеты значения произведения сигнала и эталона. {ш={0+шА{, (т =0, 1, ..., N-1), N—число отсчетов.

Согласно [4] для математического ожидания оценки К верно равенство:

< К >=< р > •

Угловые скобки здесь означают усреднение по ансамблю реализаций. Если учесть, что шумы квантования имеют нулевое среднее, то можно продолжить это равенство:

< К >=< р >=< (5 ЛВС (А , (( п >т,1 -п ) + е ЛВС ) х А (,ЕТЛ1 (ЛЕ ,а п ,1) + еЕТЛ1 ) >=

=< 5 ЛВС (А , а п г?,1,п)- 5 ЕТЛ1 (ЛЕ , ® п 1 >

Рассмотрим набор реализаций случайного процесса 8ЛВС(А,,ап,т,I, п)- ,ЕТЛ1 (Ае, ап,I) в интервале времени I е [10; 10 + Т], по которому реально производит усреднение цифровой коррелятор. Для этого набора можем записать:

< 5ЛВС (Л5, ап ,Т, ^ п')' 5ЕТЛ1 (ЛЕ, ап,I) >=

tQ+T

=_[ 5ЛВС (А ап ,Т, I, п')' 5ЕТЛ1 (ЛЕ, ап, =

Т

= 5ЛВС (Аа п ,Т,I — п) ' 5ЕТЛ1 (ЛЕ, а п,I — Iо)dI =

0

= К (А > ЛЕ > ® п > Т ) .

Здесь угловые скобки означают усреднение не по всему ансамблю реализаций, а только по указанному набору. Таким образом, математическое ожидание оценки, рассчитываемое согласно (3) равно неизвестной функции корреляции. Следовательно, утверждение о несмещенности оценки функции корреляции верно для выбранной цифровой оценки ФК.

Найдем дисперсию оценки ФК. Для простоты сначала рассмотрим случай отсутствия квантования сигналов по уровню. Обозначим значение р в момент ]-го отсчета р(1, п.) = р.

II = ^ +1- А ( = 0,1...Ы -1) .

кіі =< РіРі - трРі - трРі + К >=< РіРі > -т1 • (4)

Последнее слагаемое в выражении (4) соответствует переходу от нецентрального момента к центральному. Подставим в (4) выражения для рі] (исключив шумы квантования).

ку =< Р1Р] - ШрР1 - трР] + тР >=< РгР] > -тр =

=< [А^ЛеО(II^(^ -т)со!1(апI)со8(ап(I, -т)) +

АвО(и )ео8(апI)' п ]х [А^ЛеО(^ - (5)

- т ) СО Э( Оп (1 ) СОвС (( п У ( -т ( ) + ЛЕ О (I( ) Со8( ((п I( ( • П ( ] > - ш] .

Рассмотрим недиагональные элементы ковариационной матрицы (1 Ф ( ). В выражении для к^ под знаком усреднения стоят 4 слагаемых, 3 из которых содержат выражения

| Пі ■ ^ ігі! = 0, | пі ■ Wnі = 0

І Пі ■ Пі ■ ^п ■ К, ЛпАПі = ([ Пі' К, ^і)'• ([ Пі ■ Ж» dпі Л = 0.

Таким образом, при і Ф і

кц =< АІАІОУі )0(іі -т )0(^ -т) х со^Фп^) х

X с°$(б)пй - т))со^(о\(і)с0іі((0пу і! -т)) > -тр

Физический смысл наличия недиагональных элементов в матрице ковариации вектора р^ (I = 1..М) заключается в наличии корреляции значений р в моменты снятия различных отсчетов. Эти недиагональные элементы входят как слагаемые в выражение для дисперсии оценки функции корреляции К . Отметим, что при малом шаге квантования уровня сигналов О шумы квантования независимы. Кроме того, значения каждого из них в разные моменты времени не коррелированны. Это означает, что при учете наличия в (5) шумов квантовании все дополнительные слагаемые будут равны 0, так как все они содержат еЕТА1 и еАВС в первой степени, причем

[ еЕТЛ1 ' ^ (еЕТЛ1 ЕТЛ1 0

{ еЛВС ' ^ (еЛВС У^еЛВС 0

Таким образом, и при учете шумов квантования выражение для недиагонального элемента ковариационной матрицы будет иметь вид (6).

Рассмотрим теперь диагональные элементы ковариационной матрицы, I = у. Снова временно считаем, что квантование по уровню отсутствует.

ральныи момент первого порядка рі и р1

ki =< p2 > -mp =

= =< [aSa! ■ G2(tt)g2(ti -rj-cos2(coJt)-cos2(ш„(t; -t)) +

+ 2AX-G2(tt)■ G(tt-t)-cos2(w„tt)-cos(w„(tt -t))■ n +

+ Ae- G (t t)- cos2Кtt )- n1 ]> -mP =

= ASAl (f Wn,dnt)([cos2 ((o„ti) ■cosl (w„ (tt-T))wt,dtt)+ (7)

+ 2АЛ ( G(t2 - r ) 2 c os 2(eJ2) 2 cos(W(t 2 - r )) 2 W2 dtt )'X

x' (f nt - W tt, dnt )+Ae2 ■ ( c o s t(w2t t) - Wt, dtt ttf n2 - W 2 dnt 2 - mtt.

Вспомним, что шум имеет симметричную нормированную плотность вероятности и дисперсию O'. То есть можем записать:

f Wnidni = I, f 2 ■ Wndn t = 0,

f 2 ■ Wndti = °2

Учтем также известное тригонометрическое равенство о преобразовании произведения косинусов в сумму:

coi(wnti)■ cos2(wn(tt -t)) = faimj)+cosK2wnti -wnT=

= - (cos2 (Ej) +2cos(wnr)cos(2wntl - wnr) + cos2 (2wntt - wnr)).

С учетом этих равенств выражение для диагонального элемента ковариационной матрицы преобразуется следующим образом:

kll =

A2 Ap

(cos2(тпт) + /cos2(2wntl -Епт)- W ^dtt) +

+ A-(J[1 + 2cos{2Enti)] • Wtdti°2 -m\

2

A2 A2 4 ' 2

+y-(J[1+2 cos{2Ent2)] • W dti °2 - mp

cos2 (ej) + 1 Д1 + cos(4Enti - 2тпт )] • Wh dti 0 +

AsA- f 2 j \ | 1 ■ | A- 2 2

■■ - p I c o s ІЕпт ) + - I +—о - mp 4 І v n ! 2 0 2 p.

1 Q -

D(Padc) = D-ETAl) = /-2 • W-d- = - /-2d- = -

ADC ETAL e Q-Q/2

Q/2

-Q/2

—

12

(lO)

ФизическиИ смысл диагональных элементов кіі ( і = 1..ЛТ) матрицы ковариации — дисперсия р в момент і-го отсчета. Видно, что к и не зависит от і, следовательно, все диагональные элементы равны. Таким образом, можно выделить сумму диагональных элементов матрицы ковариации вида (11):

1 N 1 N 1 N

°(К) = —г У К = Аг £ к„ + Ат У кй =

N2 і 11 N2 і 11 N2

1 N 1 1 м

= ~1ГУк„ И-к11 =--У к„ +

N2 ^ 11 N2 11 N2 ^ 11

1 f A2 AE

NІ 4 1 N A 2 A 2

= J_ У kn + A^AE N2 tjii 4 N

І* j

A2

2 N '

cos2(тпт) +1'| + — о2 -mp + —-

\ j ! 2 0 2 Р 144

+

N 144N

Первое слагаемое выражения дисперсии характеризует коррелированность отсчетов в различные моменты времени. Так как ковариация может принимать и положительные и отрицательные значения, это слагаемое также может иметь любой знак. Аналитическое определение значения к у (6) затруднительно в связи с отсутствием аналитического выражения для ПСП в зависимости от времени. Остается возможным произвести приближенную оценку ку. Согласно (6):

kj =< AS,AEG(tj)G(t jj -т^()G(tj -т) x

Х cosiEnt І )cos(En (ti -т))c0S(Ejtj ) x

x c os( E j((j - т) j > -m2(.

(l2)

Теперь учтем наличие квантования сигналов по уровню. Примем во внимание, что средние значения сигналов и шумов квантования равны 0:

M(SETAL) = 0 , M{SADC) = 0 (8)

M(eETAL ) = 0 , M (eADC ) = 0 . (9)

Далее найдем дисперсии шумов квантования.

Теперь, добавив в (7) выражения для шумов квантования и воспользовавшись (8-10), получим для диагонального элемента ковариационной матрицы:

Согласно [1], при умножении М-последователь-ности на такую же ПСП, но сдвинутую вправо или влево на целое количество элементов, получаем первоначальную последовательность, смещенную на другое число элементов и взятую со знаком минус.

В (12) множитель О(:,)- О(^ -т') есть произведение ПСП С на саму себя, смещенную на т. Обозначим результирующую последовательность С'. Заметим, что множитель О(^ )- О(^ -т) также представляет собой С', смещенную во времени на (( -1)А . Обозначим ее С''. Если кратно длительности бита ПСП, то С' и С" являются М-последовательностями. В противном случае каждая из этих ПСП распадается на пару побитно-перемежающихся М-последователь-ностей (О1' и О’2 или О’2 и О" соответственно). Длительности бит подпоследовательностей не равны, но в сумме дают исходную длительность бита ПСП С. Таким образом, (12) преобразуется:

к( =(ААЕО' ^,)О' (.^ ) cos(апIi) СОв(ап ^, --т))сов^п^)сов(ап(^ -т))} - ш2р .

Приняв во внимание псевдошумовой характер С', можем записать:

A2 A2 f , 1) A2

К =-JJJLI 2)+Y°2 -mp + D(-adc)• D(-etalI

kll = дs дE I cos2 (тпт ) + -0 + Ae о2 - mp + —-.

Ai AE

144

(ll)

kj £ < A2AEGXtj mt.) >

(13)

Пока относительный сдвиг двух ПСП С', равный (( - 1)А , не превышает длительности одного бита ПСП, равной IЫt, не исключено, что их корреляционная функция в правой части (13) может достигать

+—

4

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

253

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

своего максимального значения АЕ2АЕ . Это выполняется при условии

\( - А £ —.

1 1 АI

Такое неравенство имеет место в окрестности диагонали ковариационной матрицы, диагональной полосе

"ЦТ ~ О

длиной N и шириной 2 А! ■

Кроме того, может иметь место частичная корреляция на еще двух неглавных диагоналях матрицы, при синхронизации О[ и О'2 или О'2 и О".

Таким образом, из N элементов матрицы приблизительно А ограничены сверху значением А^АЕ ■ Их сумма ограничена сверху значением 'Ц А1АЕ.

Остальные элементы матрицы соответствуют относительному сдвигу ПСП С', превышающему длительность бита ПСП. В этом случае они имеют значение

А2 АЕ

порядка /ту— . Здесь N ..-число бит в ПСП С'. Число

таких элементов приблизительно равно N2 - 2N A.

Их сумма ограничена сверху значением

г Л А2 А

\Т2 6\т ЫН \ Б Е _

^ А10 ~ ■ Таким образом, можно записать:

^Гк( £ 2Ы—А1 АЕ +{N2 - 6Ы^1 АА

І, (=1 і*(

At

А2 А

A 2 A 2 t

Уki( + 2-^A;AEe -

І, (=1 і* і

NAt

Nut Nto-

Теперь для оценки дисперсии оценки ФК можно записать:

A2 A2 t A2A2 t

D(К) < + 2—Ь—АІAE - б ASA^ • h

Nbi

NAt

AS2AE2 f 2

+ s E I cos2(тпт )+

4N

1 А AE2 2 mp

(юпт)+-\ + —Е- о--------p +

y n J 21 2N N 144N

Nbt NAt

mp Q4 + -

JNi

tbi NAt

Nbi

Ет)+і £ a2 - mp

2 E I cos (тпт )^— \+—— о"

4N І - n - 2 I 2N N 144N

mp Q + -

Ослабив последнее неравенство, можно переписать его в таком виде:

A2 A2 t AsAe + 2 -bLA22.A2I! +

JNbi

3A2 AE 8N

+AL о2 - < +Q-

2N N 144N

(14)

соответствует минимизации дисперсии (14). Величина Л5 и Ае определяется выбором единицы измерения сигнала на выходе АЦП. Нет смысла уменьшать В(К) посредством уменьшения Л5 и Ае, так как при этом пропорционально уменьшится и значение <р>. То есть относительное СКО не зависит от единицы измерения сигнала.

Первые три слагаемых представляют собой верхнюю границу значения суммы недиагональных элементов ковариационной матрицы. Первое слагаемое можно уменьшить путем увеличения Ыьи — числа бит ПСП. Это единственное слагаемое, не зависящее от параметров усреднения коррелятора.

Второе слагаемое пропорционально числу длительностей бита ПСП 1;ш, укладывающихся в интервале усреднения коррелятора Т. Данное слагаемое можно уменьшить путем увеличения временного интервала усреднения коррелятора Т = ЫА1;.

Единственным способом минимизации третьего слагаемого является увеличение числа отсчетов в интервале усреднения N.

Четвертое слагаемое связано с наличием гауссова шума на входе коррелятора и приводит к снижению точности оценки функции корреляции. Предпоследнее слагаемое соответствует переходу от нецентрального момента второго порядка к дисперсии. Последнее слагаемое связано с наличием шума квантования. Оно зависит от шага квантования О и равно произведению дисперсий шумов квантования эталонного и принимаемого сигналов.

Как уже было сказано, снижение дисперсии увеличением числа отсчетов в интервале усреднения имеет ограничение, определяемое первым слагаемым, не зависящим от параметров коррелятора. Величина этого слагаемого определяется свойствами выбранной кодовой последовательности. Для снижения его роли необходимо увеличивать число бит в ПСП.

Полученные результаты могут применяться при практической реализации устройств с корреляционной обработкой сигналов для максимально точного определения истинного значения функции корреляции. Это является актуальной задачей, т.к. с уменьшением дисперсии оценки ФК снижается вероятность ошибки при приеме цифровых сообщений.

Библиографический список

1. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации [Текст] / Под ред. В.Б. Пестрякова.—М.: Сов. радио, 1973.—424 с.

2. Гольденберг, Л.М. Цифровая обработка сигналов : справочник [Текст] / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. — М.: Радио и связь, 1985. — 312 с.

3. Варакин, Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами [Текст] / Л.Е. Варакин. — М.: Радио и связь, 1985. — 384 с.

4. Пугачёв, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В. С. Пугачёв. — М.: Физматлит, 2002. — 496 с.

Нашей целью является построение коррелятора с наименьшим относительным отклонением вычисляемой им оценки ФК от самой ФК. Это требование

ПОЖАРСКИЙ Тимур Олегович, ассистент кафедры экспериментальной физики и радиофизики.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 16.06.2010 г.

© Т. О. Пожарский

+

3

+

22

+

T