CC BY
64
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ КОРРЕЛЯЦИИ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ПУТИ ОСЛАБЛЕНИЯ ЕЕ ВЛИЯНИЯ
Виктор Вельгельмович Яхман
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доцент кафедры астрономии и гравиметрии, тел. (383)3-61-01-59, e-mail: [email protected]
В статье приводятся понятия физической и математической корреляции спутниковых измерений. Раскрываются причины их проявления. Отмечается, что спутниковые измерения, выполненные в одно и то же время, подвержены общим внешним влияниям и физически коррелированны. Математическая корреляция спутниковых измерений проявляется через выбранную математическую модель. Если в ковариационной матрице наблюдений присутствуют даже малые по величине недиагональные элементы, то при больших объемах измерений это приводит к искажению оцениваемых параметров модели. Влияние физической и математической корреляции можно ослабить путем применения соответствующих методических приемов выполнения спутниковых измерений и дополнением функциональной модели наблюдений.
Ключевые слова: спутниковые измерения, математическая и физическая корреляция, математическая модель, искажение оцениваемых параметров модели, пути ослабления влияния корреляции, методические приемы выполнения спутниковых измерений.
MATHEMATICAL AND PHYSICAL CORRELATION OF SATELLITE MEASUREMENTS AND THE WAYS OF ITS EFFECT ATTENUATION
Viktor V. Yakhman
Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, docent of astronomy and gravimetry department, tel. (383)3-61-01-59, e-mail: [email protected]
The concepts of satellite measurements physical and mathematical correlations are presented, the reasons for them are shown. It is noted that the satellite measurements conducted simultaneously are subject to the same external influence and are physically correlated. Mathematical correlation of satellite measurements is revealed through the chosen mathematical model. If the covariance matrix of observations comprises even small off-diagonal elements, then large volumes of measurements will result in the distortion of the model parameters to be determined. The physical and mathematical correlations influence may be attenuated using the proper techniques for satellite measurements complemented by the functional observation model.
Key words: physical and mathematical correlations, mathematical model, the ways of its attenuation.
Спутниковые измерения из-за физических условий и методики их выполнения являются зависимыми между собой, то есть коррелированными. Это объясняется тем, что одни и те же наблюдения, сделанные в одно и то же время содержат подобные влияния атмосферных условий и ошибок часов спутников и приемников, а также типовые рефракционные задержки микроволновых сигналов при прохождении через ионосферу и тропосферу.
Если выполненные спутниковые измерения подвержены общим внешним влияниям, то о них говорят, что они физически коррелированны.
Математическая же корреляция проявляется через выбранную математическую модель обработки спутниковых измерений и связана с ее параметрами. Если функционально коррелированные величины используют один и тот же параметр в модели наблюдений, то говорят, что они функционально зависимы между собой. Если в ковариационной матрице спутниковых измерений присутствуют отличные от нуля недиагональные элементы, то говорят о стохастической корреляции [1, 2]. Эта корреляция наблюдается не только в стохастической модели уравнивания спутниковой геодезической сети, но и встречается тогда, когда рассматриваются функции спутниковых измерений, например, при образовании разностей фаз. Если в ковариационной матрице наблюдений присутствуют даже малые по величине недиагональные элементы, то при больших объемах измерений это приводит к искажению оцениваемых параметров модели. Более того, даже если ковариационная матрица наблюдений является диагональной (матрицей весов), то ковариационная матрица, полученная из оценивания параметров по методу наименьших квадратов, будет обычно полной матрицей, и поэтому будет показывать стохастические корреляции.
Естественно возникает вопрос о надежном установлении корреляционных связей спутниковых измерений. Однако этот вопрос не простой, так как зависимость спутниковых измерений изменяется во времени и пространстве. Более того, для надежного определения корреляционных связей спутниковых измерений требуется большой объем избыточной информации, что в свою очередь является проблемой.
Физические корреляции можно в какой-то мере учесть, если ввести соответствующие члены в функциональную модель спутниковых измерений. Примером является ошибка поправки часов приемника в модели абсолютного способа определения координат. Однако в этом случае необходимо вводить в функциональную модель и другие поправки (ошибки часов спутника, ошибки в положении спутника, ошибки задержек распространения сигнала в тропосфере и т. д.), что в свою очередь сделать невозможно из-за ограниченного числа наблюдаемых спутников. Поэтому при создании геодезических сетей используется относительный способ, в котором два или более приемников должны синхронно выполнять спутниковые измерения на одни и те же спутники. Физические корреляции тогда можно моделировать как общие члены смещений в функциональной модели. Использование математических операций, таких как вычитание, поможет значительно ослабить влияние корреляций. По мере того, как расстояние между спутниковыми приемниками будет увеличиваться, будет усиливаться и декорреляция физических эффектов от ошибок орбит и атмосферных задержек. Физические корреляции могут быть пространственными и временными или теми и другими одновременно. Примерами этого являются рефракционные задержки, которые испытывают микроволновые сигналы спутников при их прохождении через ионосферу и тропосферу. Эти задержки
являются значительным источником пространственной и временной физической корреляции, которой трудно управлять по целому ряду объективных причин.
Автор работы [3] на основании обработки большого объема экспериментальных данных вывел экспонентную ковариационную функцию, которая описывает временную физическую корреляцию:
(—/т/^
С(т) = ехр —— , (1)
V Т У
где СТ) - коэффициент корреляции для временного отставания т (в секундах),
Т - длина корреляции (в секундах).
Значения СТ) для различных темпов сбора данных (интервалов между эпохами) приведены в табл. 1.
Таблица 1. Значения коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции 0.996 0.981 0.944 0.891 0.794
Темп сбора данных, (сек) 1 5 15 30 60
Типичное значение Т составляет около 250-350 секунд, т.е. данные, собранные более чем через 350 секунд с одного и того же приемника на один и тот же спутник, можно рассматривать как слабо коррелированные (коэффициент корреляции для них будет около нуля).
Если считать темп сбора данных постоянным, то коэффициент корреляция между любыми двумя эпохами можно выразить как:
С) = С(1)'. (2)
Например, при темпе сбора данных в 15 секунд с(1)=0.944, и коэффициент корреляции для данных между последовательными эпохами равен 0.944, но он
2 3
равен 0.944 (0,891), для двух наборов данных через 30 секунд и 0.944 (0,841). Следовательно, временная корреляция уменьшается по мере увеличения интервала между данными. Эту эмпирически выведенную корреляцию невозможно ввести в ковариационную матрицу однопутных наблюдений. Более того, программное обеспечение, поставляемое производителями спутниковой аппаратуры тоже не вводит ее. Это только одна из многих причин, по которой точность базовых линий оказывается завышенной.
При обработке спутниковых измерений используются разности между результатами измерений, полученных: с одного пункта А на два спутника с номерами I и у; с двух пунктов А и В на один спутник /; с двух пунктов А и В на два спутника I и у; с двух пунктов А и В на два спутника I и у в эпохи ?0 и 1^_.
Это полезно для измерений, которые содержат ошибки времени (и другие ошибки), являющиеся линейно-коррелированными, например, если одинаковые смещения воздействуют на два измерения, то при их вычитании общие смещения будут исключаться. Получаемые в результате вычитания параметры рассматривают как новые измерения, обладающие как рядом преимуществ, так и недостатков. При образовании разностей исходные наблюдения фазы несущей
и их однопутная математическая модель модифицируются, следовательно, в полученных наблюдениях присутствует математическая корреляция. Это означает, что и математическая и стохастическая модели изменяются. Обычно предполагается, что все (однопутные) фазы несущей отдельной эпохи являются независимыми и имеют одну и ту же дисперсию. Однако это не совсем правильно, поскольку величина остаточных атмосферных смещений, вероятно, будет функцией высоты спутника над горизонтом и, следовательно, веса наблюдений должны изменяться как функция от этого угла.
Ковариационная матрица наблюдений двойных разностей зависит от оператора двойной разности, используемого для образования разностного наблюдения между спутниками I и у и приемниками А и В. При этом, если в образовании разностей взята весовая матрица, то ковариационная матрица наблюдений двойных разностей будет показывать стохастическую корреляцию (т.е. ненулевые недиагональные члены). Иными словами процесс образования двойных разностей вводит математическую корреляцию в полученные наблюдения. Более того, после образования разностей резко возрастают шумы наблюдений, что приводит иногда к искажению зависимости наблюдений. В отдельных программных продуктах, поставляемых производителями
спутниковой аппаратуры, обычно пренебрегают математической корреляцией, возникающей из-за вычитания, и для двойных и тройных разностей используют диагональные матрицы, что приводит к завышенной точности базовых линий.
В работах [1, 2] показано то, что если стохастическая модель спутниковой геодезической сети содержит ошибочную информацию о связях, то результаты уравнивания и оценка точности будут ненадежны.
Стохастическая модель задаётся ковариационными матрицами, получаемыми при решении отдельных базовых линий:
&ХУ ахх
К — и ь а! , (3)
®2Х а1
в которых диагональные члены - дисперсии приращений координат базовых линий, а недиагональные члены - их ковариации. Основной недостаток этих матриц заключается в том, что они характеризуют точность компонентов базовых линий по внутренней сходимости. Хотя ковариационные матрицы векторов базовых линий не дают возможности судить о реальной точности их координат, но по ним можно сделать некоторые выводы об условиях наблюдений.
Чтобы получить реальную оценку точности при уравнивании спутниковой геодезической сети необходимо выполнить итеративное уточнение ковариационных матриц (3) [1, 2].
Не претендуя на полноту изложения затронутых в статье вопросов, так как их решение требует очень большого объема экспериментальных исследований, хотелось бы обратить внимание на ряд методических приемов выполнения спутниковых измерений для ослабления влияния физической и математической корреляций:
- При выполнении спутниковых измерений в геодезических сетях не рекомендуется уменьшать дискретность записи менее 30 секунд;
- Необходимо учитывать тот факт, что короткие базовые линии имеют завышенную оценку точности. Чем длиннее базовые линии, тем состоятельнее оценка качества выполненных спутниковых измерений;
- Доступность большого числа наблюдаемых спутников будет улучшать геометрию наблюдений и, следовательно, будет лучше учитывать корреляции тропосферных зенитных задержек;
- Спутниковые геодезические сети необходимо создавать в виде замкнутых фигур, образованных из независимых базовых линий с отношением длин сторон не менее 1/6. Сеть должна быть близка к однородной;
- При выборе спутниковой аппаратуры следует учитывать стохастические аспекты наблюдений, которые зависят от типа приемника. Для этого необходимо провести пробные измерения и определить показатели качества для всех приемников, участвующих в измерениях;
- Знание стохастических свойств (стандартные отклонения, степень временной корреляции, корреляции между типами параметров) представляет большую важность в высокоточных геодезических работах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Яхман В.В. Стохастические модели уравнивания сети [Текст] / К.М. Антонович, В.В. Яхман // Сб. материалов II Международного научного конгресса «ГЕО-Сибирь-2006», 24-28 апреля 2006 г., т. 1, ч. 2 «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия», Новосибирск. - Новосибирск: СГГА, 2006. - С. 59-64.
2. Яхман В.В. Выбор стохастической модели при уравнивании спутниковых геодезических сетей [Текст] / К.М. Антонович, В.В. Яхман // Вестник СГГА, вып. 11. -Новосибирск: СГГА, 2006. - С. 58-64.
3. EL-RABBANY, A.E-S., 1994. The effect of physical correlations on the ambiguity resolution and accuracy estimation in GPS differential positioning. Dept. of Geodesy & Geomatic Eng., University of New Brunswick, Canada, Tech. rept. no.170, 161pp.
© В.В. Яхман, 2012
