Исследование течения перед минимальным сечением идеального звукового сопла Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 3

УДК 532.525.011.5

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ПЕРЕД МИНИМАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ ИДЕАЛЬНОГО ЗВУКОВОГО СОПЛА

С. В. ЯГУДИН

Рассмотрена задача о течении невязкого совершенного газа перед минимальным сечением сужающегося сопла с прямой звуковой линией. Используются два способа разложения решений в двойные степенные ряды.

Ключевые слова: идеальное звуковое сопло, невязкий газ, профилирование, характеристика, степенной ряд.

В работах [1, 2] было установлено, что при профилировании контуров сопл от верхней точки запирающей С— -характеристики, приходящей в центр с сопла и в которой угол 0 наклона вектора скорости к оси х в любых соплах (кроме идеальных звуковых) — отрицательный, можно получить семейство сужающихся-расширяющихся контуров с равномерным потоком с числом Ме на выходе и течением в них, отличающимся от известных представлений. Это отличие заключается в том, что линия 0 = 0 состоит из двух различных участков, располагающихся частично или даже полностью перед минимальным сечением: участка 0", отклоняющегося, как и в классической теории, влево от центра сопла до точки пересечения с конечной разгонной (опорной) характеристикой С", и участка 0+, отклоняющегося вправо от этой точки. При фиксированной неравномерности параметров на запирающей характеристике можно построить два контура со сверхзвуковым течением в минимальных сечениях, одинаково удаленных от центра сопла вниз по потоку.

Запирающие характеристики в [1, 2] рассчитывались с помощью известных решений (в виде рядов) прямой задачи о течении невязкого газа в области минимальных сечений сопл с плавными контурами в виде дуги окружности. В работах [3, 4] приведены результаты анализа профилирования контуров сопл с М е до 7.05 и крутосужающимся контуром дозвуковой части с углом сужения 0 = —90°, т. е. при сильноградиентном течении, когда значения М на запирающей характеристике изменяются от единицы до ~2.85 в осесимметричном случае (ю = 1) и до 2.764 в плоском (ю = 0).

При Ме ^ 1 + длины расширяющихся частей контуров, построенных как указано выше, уменьшаются до нуля, и методом характеристик можно спрофилировать [5] как сравнительно протяженные, так и предельно короткие сужающиеся части контуров (плоских и осесим-метричных), выравнивающих неравномерное сверхзвуковое течение в практически звуковое (в дополнение к контурам в виде границ струй предельного течения Чаплыгина).

При Ме = 1 в минимальном сечении сопла устанавливается прямая звуковая линия, и возникает вопрос о течении перед этой линией.

ЯГУДИН Станислав Викторович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ

Впервые случай прямой звуковой линии исследовался в работах [6, 7]. В них были найдены условия реализации прямой звуковой линии и показано, что линии тока в точках пересечения с нею имеют нулевую кривизну. Позже течение газа около прямой звуковой линии изучалось в работах [8 —14], однако полученные в них результаты не позволяют однозначно ответить на вопрос о том, каким является течение перед прямой звуковой линией.

В настоящей работе приведены результаты дополнительного исследования особенностей течения газа перед прямой звуковой линией. Газ принимается невязким, нетеплопроводным и совершенным с отношением удельных теплоемкостей у =1.4.

1. Схема построения контура сопла, обеспечивающего равномерный поток со значениями Ме и 9 = 0 на выходе, анализируется на приведенном в [4] примере расчета плоского сопла с Ме = 1.406 (рис. 1). Здесь и далее: х, у — декартовы или цилиндрические координаты с осью х на плоскости у = 0 или на оси симметрии. Течение из сопла с углом сужения 9а = —90° запирается на С"-характеристике ас в волнах разрежения, идущих из концевой (угловой) точки контура а. Вниз по потоку от ас течение продолжает ускоряться до значения Ме в нижней точке конечной разгонной (опорной) С—-характеристики ае. Из точки е проводится равномерная С"-характеристика ее+ с расходом, равным расходу Оа через ае. Контур сопла между точками а и е+ (линия тока с расходом Оа) строится при расчете течения между характеристиками ае

и ее+ (задача Гурса). Если в верхней точке ае угол 9> 0, контур ае+ расширяется, как и в хорошо известном случае, когда характеристика ас равномерная с М = 1 и совпадающая с вертикальным отрезком в сечении х = 0 (в приближении звукового потока в минимальном сечении).

Если же 9 < 0, контур ае+ — сужающийся-расширяющийся (на рис. 1 минимальное сечение

с верхней точкой Ь + находится правее центра сопла с). Контур можно строить двумя способами, приводящими к одному и тому же результату. Можно последовательно рассчитывать непересекающиеся между собой С— -характеристики (снизу — вверх до контура, начиная от ближайшей

к ае и идущей от точки ]). Пересечение С— -характеристик могут вызвать лишь возмущения, идущие вниз по потоку от заданного (а не искомого) контура. Можно также последовательно рассчитывать С + -характеристики (начиная от характеристики п+, ближайшей к ее+, см. рис. 1).

При плоском течении вдоль характеристик С + и С— выполняются конечные соотношения:

м)—9 = сх, м)+9 = с2, где сх, е2 — константы; &(М) — функция (угол) Прандтля — Мейера:

(1.1)

--1-ц-1-1—^—I-1-1-1—

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Рис. 1. Схема профилирования контура сопла:

ас, ае — характеристики С—, С—; с^+, ее+ — характеристики С+, С+; сЬЬ 9 = 0; е1к] — элементарный расчетный четырехугольник

+

&( М ) = 8—^аг^ (в1/2р) — аг^ (р), р = >/ М2 — 1, £ = 1,

у — отношение удельных теплоемкостей.

Из соотношений (1.1), если записать их для элементарных отрезков ¡к и ]к, а также для е/, следует, что в точке к значения & = &, 0к = 0. Очевидно, что и в других точках характеристики 77+ параметры & и 0 такие же, как и в точке 7, т. е. линия 77+ — прямая. Ясно также, что все отрезки С + -характеристик между ае и ае+ — прямые. Отрезки прямых, идущих от dе, расширяются, а от аd — сужаются. Но следует особо отметить, что рассчитываемая С+-характеристика, даже сужающаяся относительно уже рассчитанной, не может попасть на нее. Иначе это приведет к нарушению однозначности параметров на последней и, следовательно, к противоречию —

отрицанию того, что она и все рассчитанные ранее С+-характеристики — прямые линии. Таким образом, последовательностью расчетов гарантируется получение решения. В приведенном доказательстве число М е — не конкретное. Поэтому контур плоского сопла с равномерным потоком на выходе теоретически можно построить при любом Ме > 1. При этом, конечно, считается, что

линия ае соответствует известному уравнению для С— и условие совместности (1.1) на ней строго выполняется. Приведенные рассуждения основаны на доказанной Э. Гурса в работе [15] теоремы существования и единственности решения (в малом).

При построении контура методом простой волны [10] по параметрам в точках ае (с индексом 7), а также используя уравнение расхода, определяются координаты верхних точек прямых 77 + (помеченных индексом к):

,(М,)(1+е2)1 я(М, )(1+е2)1

где Оа, 01 — расходы через ае и /е; д (М) — известная газодинамическая функция.

Если контур строить от точки а, опускаясь по ае вниз, то последовательность абсцисс хк — возрастающая. Начиная с некоторого значения Мет, близкого к 1, такая закономерность для нескольких значений хк перед минимальным сечением контура (т. е. верхних точек С+, идущих от нижних точек аЬ) нарушается, что свидетельствует о пересечении С+. Выше было отмечено, что пересечения С + -характеристик в аее+ теоретически невозможны. В конкретных же случаях они обусловлены неизбежными погрешностями расчетов интегральных величин Оа, 07 и локальных параметров М7, ^7 в точках 7 на ае (см. (1.2)). Учитывая отсутствие точных данных

на С— с Ме ^ 1, можно лишь утверждать, что чем они точнее, тем с более близким к 1 значением Ме может быть рассчитан контур сопла.

При уменьшении Ме (см. рис. 1) верхние точки Ь и ё линий 0 = 0 и С+ (как известно, — парабол при ю = 0 и 1) опускаются по ним вниз, к центру сопла (область справедливости классического решения для линий 0 = 0 и С+ стягивается в точку). При М е = 1 линии 0 = 0 и С+ совпадают с вертикальным звуковым отрезком gc. Расход через него равен расходу Оа через ас (на рис. 1 у8 = 0.8507). Анализ возможного поля характеристик под искомым контуром аg между ас

и gc показал, что течение в аgс, вопреки предположению, сделанному в работе [16], не является простой волной (что было отмечено в [1, 2]). Более того, в [5] показано, что «запертое» сверхзвуковое течение (с «запирающей» ас) перед прямой звуковой линией gc невозможно. Действительно, при Ме = 1 кривая ае совпадает с ас, а отрезки е] и ]к оказываются на вертикали gc. При

расчете С—, идущей от контура чуть правее точки а, со значениями & = 0 = 0 в нижней ее точке,

всегда найдется близкая к е точка 1 с выходящим из нее отрезком ¡к С+-характеристики, попадающим на gc (а значит, и на С+), и условие (1.1) на нем выполняться не будет. «Запирающей»

С--характеристикой (т. е. со значениями & = 9 = 0 в нижней ее точке) может быть только одна — либо кривая ас, либо прямая gc. Поэтому при вариациях контура с Ме = 1 + к контуру с Ме = 1 произойдет изменение режима «запирания» (по аналогии с [17, 18]), т. е. возникнет процесс, в результате которого «запертое» сверхзвуковое течение с «запирающей» ас разрушится и перестроится в течение с прямой звуковой линией gc в минимальном сечении.

2. Для изучения безвихревого течения идеального газа около прямой звуковой линии используются уравнения неразрывности и отсутствия вихря:

[(у +1)(1 - и 2 )-(у-1) V2 + [(у +1)(1 - V2 )-(у- 1)и

-1)11 1Ч-2

дv „ д^

--4uv— +

ду дх

+ £ [у +1 -(у- 1)я2 ] = о, Х = (и 2+ V2 )12,

(2.1)

-= о, (2.2)

ду дх

где и, V — проекции вектора скорости на оси х, у (здесь и далее за масштаб скорости взята критическая скорость, начало координат помещено в центр сопла).

Следуя [9], в окрестности прямой звуковой линии, на которой и = 1, V = 0, решение для и с учетом симметричности по ординате, ищется в виде:

и = 1 + Ш1 (У ) х + й (У ) х2 + £з (У ) х3 +... (2.3)

Тогда, учитывая (2.2), решение для V должно иметь вид:

г

V = 11- х2+ ^ х3+ х 4+... (2.4)

2 3 4

Здесь и далее штрих означает дифференцирование функции по независимой переменной. После подстановки рядов для и и V в (2.1) и приравнивания нулю выражений при одинаковых степенях х, получаются: уравнение (у) = 0 — известное условие Гертлера [7] и система уравнений для определения функций (у), g3 (у), g4 (у),...

В2+-£2 = 6 (у + 1) Я22, (2.5) У

g'^ + - g'3= 20 (у + 1) £2^3, (2.6) У

£4+^ £4= 5(у + 1)Г б£2£4 +( 2у -1) £2+3£з21 +10 ( £2 )2, (2.7)

У 1- J 3

£5= 3(у + 1)[£5+14£3£4 +(14у-11) £22£3 ] + 7 £2 £3. (2 . 8)

При задании и на линии у = 0 в виде:

и(х, 0) = и0 (х) = 1 + ах + Ьх2 + сх3 + dx4 +... (2.9)

граничными условиями для решения системы являются

Поскольку система, как отмечено в [9 —11], «в общем случае не интегрируется в замкнутом виде», решение ее в случае ю = 1 (при значениях Ь 9, с = й = 0) было получено численно. Согласно ему от прямой звуковой линии при у « 0.25 вверх по потоку в сторону дозвуковой области отходит кривая звуковая линия. Используя результаты расчетов уравнения (2.5) при у « 0.5 [11], была построена модель течения с местной сверхзвуковой зоной, примыкающей к верхней части прямой звуковой линии. Течение в этой зоне сначала ускоряется, а затем тормозится до звуковой скорости в центрированной волне сжатия с центром в верхней точке минимального сечения с ординатой у = 0.725. При этом контур перед ним оказывается вогнутым внутрь потока. Но при обтекании такого контура звуковая скорость может возникнуть лишь в его нижней (концевой) точке и сверхзвуковой зоны перед нею быть не может [12, 19] (вследствие теоремы А. А. Никольского и Г. И. Таганова [20]). Согласно классификации течений с прямой звуковой линией [8], на ней возможны подвижные особые точки (угловые), однако они приводят к ускорению потока справа от звуковой линии. Вышесказанное обусловило проведение дополнительного исследования течения перед прямой звуковой линией, результаты которого приведены ниже.

Если решение для V, учитывая антисимметричность по у, искать в виде

^ = / (х)у + /з (х)у3 + / (х)у5 +...,

то из (2.2) следует, что и должно быть

/'

= ио ( х) + У

2

А у 4.

4

А у6 6

(2.10)

(2.11)

Ряды (2.10) и (2.11) лишь числовыми коэффициентами отличаются от рядов, применявшихся при изучении течения около минимального сечения сопла Лаваля (см., например, [21]). После подстановки их в (2.1) и приравнивания нулю выражений при одинаковых степенях у, получаются уравнения для определения функций (х), /3 (х), /5 (х),...:

(ш +1)(1 — ги1) ./1 = (и2 — 1),

(ю + 3)(1 — вио2 )/з = А(и02 — 1) + и'0 (и/ + в/12) + /13 (1 + юв) + и0/1/1(1±3 + ®в|, (ю + 5)(1 — вио2)/5 = А'(ио/1 + В/12) — — ио2) + ио/Аз [+ юв) +

+ (5 + Зюв) /12/з +

2 , , иоио/3 , ио (Я)

2

1

2 + ■+ 2ви'оЛ/з +~ /1 [_ 2ио/3 + ( /10

2

у + 7 у +1

+ юв .

Для получения решения исходной системы (2.1) — (2.2) в виде (2.10) — (2.11) нужно задать функцию и о (х) — начальные данные для решения обратной задачи теории сопла Лаваля.

При ио (х) = 1 + ах (а > о) получаются разложения и и V около центра сопла. В случае плоского течения (ю = 0) они такие:

и = 1 -

+ ах + (ау )2 1 + ( 2у — 1) ах + зу(у — 1) (ах )2 + ( 4уз — 6у 2 + у +1) (ах )з

+ (а

(2.12)

24

(ау)4 6у +1 + (збу2 — 2у —11)ах

V = (у +1) а 2 ху

Л 2у-1 , 1Ч/ ч2 4у3 -бу2 +у + Ь Ч3 1 + —-ах + у(у -1)( ах ) + —-'--( ах )

+

(у+1 )2

(аУ)3

1 + ( бу +1) ах -

3бу2 -2у- 11 (ах)2

(у+1)3

(2.13)

(ау )5 у +....

При а = 1 они совпадают с разложениями, полученными еще в 1908 г. Мейером [22] в ре-

зультате подбора разложения для потенциала скорости ф

(

V

дф дф

— = и, — = V

дх ду

\

. Впоследствии (на-

/

пример, [23, 12]) из степенных разложений и и V были выделены главные их части, которые при ю = 0 имеют вид:

и = 1 + ах + 1 (ау)2, V = (у +1)а2ху + (у +1) (ау)3 . 2 б

(2.14)

С помощью них, а также учитывая порядок малости членов в нижеприведенных формулах для числа М, угла 0 и в уравнениях характеристик,

М =

1 +

X2 -

1 -еХ2

0 = аг^—

и

V с!х ^ р±С

<*у РС + 1'

(2.15)

были получены известные классические уравнения (в главных порядках) для выходящих из центра сопла характеристик С- и С+, линий М=1 и 0 = 0, а также для распределений параметров на них. Для С- в случае ю = 0 они такие:

х = -^ау2, X = и = 1 + у+1 (ау )2, 0 = V = |(у +1)2 (ау)3.

(2.16)

Рис. 2. Расчеты Сс -характеристики: 1 — численно; 2 — классическая формула г = (п + т) —

По известным полям и и V из уравнений (2.12), (2.13) можно численно рассчитать кривые с М = 1, 0 = 0 и характеристики

С-, С+ по точным формулам (2.15). Расчеты С- представляют особый интерес, поскольку они могут использоваться в дальнейшем в качестве начальных данных. На рис. 2 рассчитанная таким образом характеристика С- (кривая 1) сравнивается с рассчитанной по первой формуле (2.16) (кривая 2) в системе координат (х1, у1), в которой х1 = ах, у1 = ау. Кривые

С- при у < 0.45 практически совпадают, но параметры М и 0 на

численно рассчитанной С- удовлетворяют точному условию совместности (1.1), тогда как на кривой 2 (рассчитанные с помощью формул (2.16)) — приближенному условию совместности (с учетом порядка малости входящих в (1.1) членов).

Если и0(х) в (2.9) задавать с а = 0, то оказывается, что полученные разложения и и V около центра сопла в виде (2.10) — (2.11) можно перегруппировать и представить в виде (2.3) — (2.4) (т. е. как решения около прямой звуковой линии, полученные в результате сравнительно простых действий с и0( х)). Например, при и0 (х) = 1 + Ьх2 в осесимметричном случае (ю = 1), учитывая в них члены хпут с суммарным показателем степени

б

и = 1 +

Ь+3 (у+1) Ь2 у2 + 9 (у +1)2 Ь3 у4 + 4 (у +1)3 Ь4 у6 +...

+

5 ( 2у - 1)(у +1) Ь3 у 2 +15 ( 4у - 1)(у +1)2 Ь 4 у 4 +...

8

х4 +

7 у (у 2 -1) Ь 4 у 2 +...

(2.17)

V =

(у +1) Ь2 у + 3 (у +1)2 Ь3 у3 + 3 (у +1)3 Ь 4 у5 +...

+

1 (у +1)( 2у -1) Ь3 у + 3 (у +1)2 ( 4у -1) Ь 4 у3 +...

'(у2 -1) Ь'

(2.18)

у+

Члены в квадратных скобках перед х2, х4 и х6 в (2.17) — это приближенные выражения функций ^2, ё4 и gб, а перед х3, х5 и х7 в (2.18) — £2/3, ё4/5 и g'6/7.

Использование разложений (2.10) — (2.11) привело к «подсказке» выражения для ряда ё2

да /г

в виде Ь + 3Ь^^2п [(у +1)Ьу2^ . Подставляя его в уравнение (2.5) и требуя, чтобы члены в левой

п=1

его части сокращались с членами в правой, можно последовательно определить коэффициенты .

(1 3 1^ 39

Первые три коэффициента I — , ^ I уже известны из (2.17), а следующие три такие: к24 = ^^,

к25 "

567

и к2б =

2553

. При расчете V ряд в квадратных скобках перед х в (2.18) определя-

6400 26 51200

да /г

ется из выражения 2Ь^к2ппу_1 [(у +1)Ьу2 ^ . Из (2.17) следует также

«подсказка», что члены

п=1

ряда ё4 должны быть вида 5Ь2к4п [(у +1)Ьу2^ с коэффициентами к4п (у) при п = 1, 2, 3, ...

С помощью уравнения (2.6), аналогично определению коэффициентов к2п, получаются уже при. 2у -1 3( 4у -1) „ 13( бу-1) веденные в (2.17) выражения к41 =—-—, к42 =---, а также найденное к43 =-—-.

да ^

Из выражений для /1 (х) и /3 (х) следует «подсказка»: ёб = 7Ь3^кбп [(у +1)Ьу2^ ,

кб1 =

п=1

у(у-1) 60у2 -37у-4

- и кб2 =-. Дифференциальное уравнение для ёб из-за громоздкости

2 16

не приведено и значения кбп по нему при п > 2 не определялись.

Из анализа разложений (2.17) — (2.18) следует возможность их продолжения. Так, следую-

щим членом разложения и будет выражение х89Ь4^к8п [(у +1)Ьу2^ , а разложения V — выра-

п=1

да п

жение х92Ь^ к8ппу~1 [(у +1) Ьу 2 ^ .

п=1

Для получения оценок по и при |х| — 0.1 и очевидном ограничении у — 1 члены с х4 и х6 в (2.17) можно не учитывать. Тогда получается, что звуковая скорость (равная и при малых V) достигается как при х = 0, так и при ё2 = 0. При Ь = -9 знакочередующийся ряд ё 2 быстро расходится. На рис. 3 показано изменение по у частичных сумм ряда ё2 с п = 5 и 6. Видно, что частичная сумма с п = 5 равна нулю при значении у«0.23 (кривая 1), которое находится выше «значения сходимости» ряда у5 « 0.15 (когда частичные суммы ряда с п и (п-1) членом практически совпадают). Уменьшение \Ь\ приводит к увеличению значений у, при которых и = 1, но они

б

х

да

Рис. 3. Расчеты частичных сумм ряда g2 (у) при ю = 1 с Ь = — 9:

1, 2 — п = 5, 6

Рис. 4. Расчеты и (у), V(у) в сечении х = —о.о5 при ю = 1 с Ь = —1:

1, 2 — п = 5, 6

достигаются только при нечетных п и выше значений . Подтверждают это приведенные на рис. 4 для случая Ь = —1 распределения и и V по сечению х = —о.о5, вычисленные с членами ряда g2 с п = 5 и 6. Для более строгого анализа были проведены расчеты частичных сумм ряда g2, дополненного членами с п = 12 включительно. Оказалось, что при этом увеличивается от значения 0.47 (при п = 6) до значения 0.58 (при п = 12), но соответствующая сумма ряда, приближаясь к нулю, остается отрицательной. Нулевое значение суммы ряда не достигается и при Ь = — о.9 и -0.8. Но анализ результатов расчета дает основания считать, что при \Ь\ < 1 ряд g2 с полным

числом членов будет сходиться к нулю при некотором значении у. Тогда возникающая при этом значении у кривая звуковая линия перед прямой звуковой будет верхней линией тока — границей струи предельного течения С. А.Чаплыгина (с критической скоростью на ней).

При у < ys течение перед прямой звуковой линией — дозвуковое, с растущими по высоте

сечения у значениями и и V (см. рис. 4). Линии тока течения приближенно описываются уравнением

(

у = уо

1 -

у±1 Ь2 х 4 + (у +1)( 2У — з) ЬЗ х6 4 12

в котором уо — ордината линии тока в сечении х = 0.

Полученные разложения решений для и и V (но с Ь > 0 при х > 0) описывают течение и справа от минимального сечения с прямой звуковой линией, на начальном участке сверхзвуковой части сопла. Контур ее не симметричен контуру дозвуковой части перед минимальным сечением

(из-за члена с Ьъ х6).

В случае плоского течения (ю = 0) при ио (х) = 1 + Ьх2 для сокращения записи приводится лишь разложение для потенциала скорости:

з

+

у

ф = х + 1-1

■ + (у +1) Ь2 у 2 + (у +1)2 Ь3 у 4 +(у + 0з Ь4 у 6 +...

( 2у — 1) Ь3 у 2 + 4у(у +1)2 Ь4 у 4 +...

у (у2 — 1)Ь4у 2

(2.19)

Следует отметить, что в работе [6] для случая и0 = 1 - х приведено разложение для ф с г <7 (без указания способа получения):

1

ф = х - ^ + (у +1) х3y2 -1 (у +1)2 х3y2 -1 (3у -1) х5y2 +...

1

3

2

2

(2.20)

Однако, чтобы уравнение неразрывности (2.1) удовлетворялось, из (2.19) при b = — 1 следу-

ет, что 4-й член в (2.20) должен быть равным — (у +1) х у , а коэффициент в 5-м члене перед

5 2 (у + 1)( 2у — 1)

х у таким: —--—--.

2

Из уравнения (2.5) при ю = 0 (плоское течение) в результате понижения порядка и интегрирования получается первый интеграл — уравнение (я'2)2 = 4(у +1)(&2 — Ь), решение которого

находится квадратурой (с эллиптическим интегралом): I —j

i

g 2 - ь3

= ±2 Уд/ул.

Разложениями g 2, g 4 и g6 в ряды являются умноженные на 3, 5 и 7 выражения в квадратных скобках перед х3, х5 и х7 в уравнении (2.19) (и = дф/дх). Общий вид рядов такой же, как и в осесимметричном течении, но значения коэффициентов другие. В ряде g2 значения

л ^ 6 5 4 285

«21 = «22 = к23 = 1, а дополнительно рассчитанные: «24 = —, «25 = —, «26 = _, «27 =-,

7 7 7 637

к28 =

219 637

. В ряде g4 значения «41, к42 и к43 равны 5у- —, 20у и 47у + —. Значения «61 и к{

2'

2

62

в ряде £6 равны у (у — 1) и 60у-14у—12. Более высокие значения коэффициентов к2п в плос-

6

ком течении, чем в осесимметричном, приводят к тому, что при Ь = —1 ряд £ 2 с п = 12 сходится к нулю при уя « 0.46. Для подтверждения на рис. 5 приведены частичные суммы ряда с п = 11 и 12, которые уже при у > 0.46 начинают едва заметно расслаиваться. При уменьшении Ь до —0.3 значения , при которых я 2 = 0, увеличиваются до 0.82.

3

Разложения и и V при ио(х) = 1 + сх имеют вид:

и = 1 + сх3 + -

3 (у + И)

2 (ю И)

5с 2 y 2 х 4 +

+ 105(у + 1) с3y4х5 + 4(2у - 1)с3y2х7

2 (ю + 3)

(2.21)

+...,

3 (у +1)

V = —-- х

ю+1

2 5 , 35(у + 1) 3 3 6 2у — 1 3 8

с ух +---г с у х +—--с ух

2 (ю + 3) 2

Если в разложении (2.21) учитывать только три первых члена, тогда из них следует, что перед прямой звуковой линией есть линия с и = 1, которая . опускается из у = да (при х ~ 0) на ось у = 0 (при х да), но ее следует считать фиктивной, по- Рис. 5. Расчеты частичных сумм ряда £2 (у) при скольку находится она вне области применимости ю = 0 с ь = — 1

разложений (2.10) и (2.11). А при учете в разложе- 2 — п = 11,12

3

нии u членов с х выше 4-й степени звуковая скорость перед прямой звуковой линией (при |х | <0.1) не достигается.

Из разложений u и v при u0 (x) = 1 + dx4 (d < 0)

u = 1 + dx4 +14 d 2 y 2 x6 +..., v = 4 d 2yx1 +...

Ш + 1 Ш+1

также следует, что звуковая скорость в сечениях перед прямой звуковой линией может достигаться, но происходит это вне области применимости разложений (2.10) — (2.11).

При u0 (x) = 1 + anxn получаются громоздкие выражения для u и v в общем случае. Из них

при конкретном значении n = 1 4 следуют приведенные выше формулы, а также то, что при n = 5/3 звуковая линия является прямой, а при n = 4/3 — кубической параболой (в главных порядках).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование двух способов разложения в двойные степенные ряды позволило получить достаточно полное решение, описывающее течение около минимального сечения идеально сужающегося сопла. Перед ним, согласно полученному решению, отсутствует сверхзвуковая зона, примыкающая к прямой звуковой линии. Течение здесь дозвуковое, с растущими по высоте сечения у значениями u и | v |. Звуковая скорость может достигаться на граничной линии тока (как в предельном течении С. А. Чаплыгина на границе критической струи).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ягудин С. В. О сверхзвуковом течении идеального газа в минимальном сечении сопла // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 3, с. 132—139.

2. Ягудин С. В. О течении и интегральных характеристиках потока невязкого газа в соплах // Ученые записки ЦАГИ. 1995. Т. 26, № 3 — 4, с. 70—81.

3. Ягудин С. В. Сопла с короткими дозвуковыми контурами и равномерным потоком на выходе // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 4, с. 32—41.

4. Ягудин С. В. Течение невязкого газа в соплах с крутосужающимся контуром // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 2, с. 92—101.

5. Ягудин С. В. Профилирование звуковых сопл // Ученые записки ЦАГИ. 2012. Т. XLIII, № 3, с. 69—76.

6. Франк ль Ф. И. О плоско-параллельных воздушных течениях через каналы при околозвуковых скоростях // Математический сборник. 1933. Т. 40, № 1, с. 59—72.

7. G ö г 11 e г G. H. Zum Übergang von Unterschall zu. Überschallgeschuin-digkeiten in Düsen // Z. Angew. Math. and Mech. 1939. Bd 19, N 6, с. 325—337.

8. Овсянников Л. В. Исследование газовых течений с прямой звуковой линией. // Тр. ЛКВВИА им. А. Ф. Можайского. 1950. Вып. 33, с. 3 — 24.

9. П и р у м о в У. Г. Расчет течения в сопле Лаваля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 5, с. 10—22.

10. Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Течения газа в соплах. — М.: Изд. МГУ, 1978, 351 с.

11. Пирумов У. Г. Обратная задача теории сопла. — М.: Машиностроение, 1988,

240 с.

12. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. — М.: Наука, 1981,

368 с.

13. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. — М.: ВЦ АН СССР, 1965, 238 с.

14. Христианович С. А. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1981, 483 с.

15. Гурса Э. Курс математического анализа. — М. — Л.: ГТТИ. 1933. Т. III, ч. I,

гл. 26.

16. Шифрин Э. Г. Об использовании течений с прямой звуковой линией в соплах с угловыми точками // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 1, с. 168—170.

17. Ягудин С. В. Запирание течения идеального газа в сужающихся соплах и их интегральные характеристики // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 6, с. 149—157.

18. Я г у д и н С. В. О течении невязкого газа в сопле с изломом контура перед минимальным сечением // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 1, с. 130 —136.

19. Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988, 424 с.

20. Никольский А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения // ПММ. 1946. Т. 10, вып. 4, с. 481 — 502.

21. О swatisch K., Rothstein W. Flow Pattern in a Convergent-Divergent Nozzle // NACA TM 1215, 1949.

22. Meyer Th. Ueber zweidimensional Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Ueberschallgeschwindigkeit strömt/ Inaugural — Dissertation. — Berlin. 1908.

23. Франкль Ф. И. К теории сопл Лаваля // Изв. АН СССР, серия матем. 1945. Т. 9, № 5, с. 387—422.

Рукопись поступила 19/III2013 г.