Исследование статистических характеристик минимального значения сглаженного энергетического спектра сигналов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.391

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ СГЛАЖЕННОГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА СИГНАЛОВ

А.Б. Токарев

Проведен анализ и получены аналитические соотношения, аппроксимирующие степень смещения минимального значения сглаженного энергетического спектра сигналов, что позволяет формировать приближенную оценку интенсивности шума, действующего в широком диапазоне частот совместно с большой совокупностью узкополосных радиоизлучений

Ключевые слова: радиоконтроль, панорамное обнаружение сигналов, оценка уровня шума, минимум сглаженного энергетического спектра

Практическая ценность статистики, определяемой минимальным значением сглаженного энергетического спектра

Для систем радиоконтроля типовой является задача панорамного обнаружения радиосигналов, когда в широком диапазоне частот на фоне аддитивного шума неизвестной интенсивности действует совокупность узкополосных радиосигналов, число и расположение которых на оси частот неизвестно. Нередко отсутствуют и априорные сведения о параметрах обнаруживаемых сигналов. В подобных условиях оптимальные алгоритмы обработки данных, предполагающие совместное оценивание множества параметров, характеризующих радиообстановку, как правило, не обеспечивают необходимого быстродействия из-за своей высокой вычислительной сложности. Повышение быстродействия можно обеспечить за счет перехода к квазиоптимальным алгоритмам, например, предполагающим оценку интенсивности шума не по всем, но лишь по части имеющихся данных. Это увеличивает дисперсию формируемых оценок интенсивности шума, однако существенно снижает вычислительную сложность обработки.

С позиций оценивания интенсивности шума интересно проанализировать подход , опирающийся на минимальное значение сглаженного энергетического спектра

-r (n) =

1

WW

n+int[ WW/2 ]

• Z -r (i)

i = n-int [(WW-1)/ 2]

(1)

где ЖЖ - ширина окна сглаживания, а ХЯ (п) -отсчеты усредненного энергетического спектра

1 R

-r (n) = ^ • D

R r=1

'(r)

(n)

(2)

Токарев Антон Борисович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]

получаемые путём обработки Я комплексных спектральных выборок

1 - У 2Р-

с(п) = Тг ‘2 м’(к)'и(к)'е * , (3)

* к=0

рассчитанных по временным выборкам и (к) наблюдаемого случайного процесса с помощью быстрого преобразования Фурье. Математическое ожидание отсчетов сглаженного энергетического спектра ХК (п), как и усредненного спектра ХЯ (п)

совпадает со средней мощностью аддитивного шума, приходящейся на отдельный отсчет спектра

m { -r (n) } = m1 { — r (n) }

41-

(4)

Как следствие, если бы расположение шумовых отсчетов было известно, то максимально правдоподобной оценкой средней мощности шума <0

являлось бы их среднее арифметическое; но в процессе обнаружения сигналов подобные сведения, естественно, отсутствуют и могут быть лишь объектом приближенной оценки.

Метод поиска хотя бы одного из шумовых участков оси частот в радиодиапазоне, занятом совокупностью узкополосных радиосигналов, был предложен в работе [1]. Установлено, что для весьма разнообразных условий радиообстановки начало участка, содержащего лишь шумовые отсчеты, может быть определено на основе правила

(arg min XR (n)) - int

WW -1 2

(5)

Следует, однако, иметь в виду, что правило (5) позволяет определить расположение не произвольного интервала с шумовыми отсчетами, но интервала с наименьшим средним значением подобных отсчетов. Как следствие, математическое ожидание среднего значения отсчетов на определяемом соотношением (5) промежутке относи-

2

2

тельно средней мощности шума <0 оказывается смещенным вниз. Таким образом, для получения правила оценивания интенсивности шума необходимо научиться прогнозировать степень подобного смещения, т.е. свойства статистики

*min = min XR (n)-

(6)

Факторы, определяющие степень смещения минимального среднего энергетического спектра

На свойства статистики хтт оказывают влияние многие факторы, такие как загруженность анализируемого диапазона частот узкополосными сигналами, наличие или отсутствие сетки радиоканалов, соотношение между шириной радиоканала и использованного в (1) окна сглаживания и т.п.

В частности, при значительной загруженности анализируемой полосы частот мощными узкополосными сигналами возникает опасность отсутствия во всём диапазоне частот промежутка между спектрами сигналов, превышающего ширину окна сглаживания ЖЖ . В подобных случаях вместо смещения вниз статистика хтт

будет завышенной, однако при выборе ширины окна сглаживания в соответствии с рекомендациями работы [1] подобный исход становится крайне маловероятным, Если в анализируемой полосе частот существует лишь один интервал между спектрами, с шириной, не намного превышающий ЖЖ отсчетов, то минимальное значение сглаженного спектра окажется близким к средней мощности шума. Если же реальная загруженность полосы частот невелика и между спектрами узкополосных сигналов наблюдаются многочисленные широкие промежутки, то хтт неизбежно приобретает существенное смещение вниз.

К сожалению, свойства минимальной из набора случайных величин определяются достаточно просто лишь в случае их статистической независимости, однако соседние по частоте отсчеты сглаженного энергетического спектра заметно коррелированны. Действительно, для совокупности значений с номерами п » п0 , разнесенных на расстояние заметно меньшее ЖЖ , большинство входящих в (1) спектральных отсчетов ХЯ (/) совпадают. Рассмотрим отсчеты усредненного спектра с номерами п1 и п2 , отличающимися друг от друга на ц = |п2 — п^, где ц < ЖЖ . В таком случае, в составе Хк (п1) и Хк (п2) будет ц общих и по (ЖЖ — ц) уни-

кальных отсчетов Хк (і) . Величины Хк (и1) и Хк (п2) при этом можно представить в форме

X* (пі) = Х+Лі и Хй (П2) = %+щ, (7)

где слагаемые статистически независимы и обладают числовыми характеристиками

м(=шХк, м,к= м,к =PMS-, (8)

D(=a DXr , Бщ= Ощ =0'- DXr , ()

а поправочные коэффициенты а и 0 равны

а = q/WW, 0 = (WW - q) / WW. (9)

С учетом независимости X, h1 и h2, ковариация величин XR (n1) и XR (n2) определится выражением Kn1n2 =

=m1 {[(x-Mx) + (h1- Mh)}[(x-Mx) + (h2- Mh2 )]} =

= Dx + Kh + KXh2 + Kh1h2 = a D-r . Соответственно, коэффициент корреляции отсчетов сглаженного по частоте спектра равен

r = K /Jd -d =

пп пп / V «1 «2

= а2DxJJ(a2D-r +0D-r )-(a2DXr +0D-r ) = (10)

= a2/(a2 + 02).

Таким образом, отсчеты сглаженного энергетического спектра, отстоящие друг от друга менее чем на 50 % ширины окна WW (те, для которых q > 0,5), действительно являются существенно коррелированными. Если же ограничиться контролем лишь отсчетов XR (и) , для которых q □ 0,5

и которые являются практически независимыми, то минимальное значение сглаженного спектра можно просто пропустить. Как следствие, допустимо считать, что свойства величины xmm зависят не от числа минимизируемых отсчетов непосредственно, но от количества Halves умещающихся на участках минимизации половин окна сглаживания.

Для проверки предположения о статистической зависимости статистики xmm от величины

Halves был проведен анализ свойств минимума сглаженного спектра для полосы частот, содержащей лишь шум с равномерной спектральной плотностью мощности. Анализ показал, что зависимость математического ожидания миниму-

ма сглаженного спектра от размеров области минимизации и параметров расчета спектра можно с приемлемой для практики точностью аппроксимировать выражением

m {min XR (n)} = 0,5 • S2xi • C(R, WW)x

x( Halves - 2)

P( R,WW)

(11)

где R - число усреднений при расчете спектра Xr (и), WW - ширина окна сглаживания из (1) в

отсчетах, Halves - число половин окна сглаживания в минимизируемом шумовом спектре, а величина поправочных коэффициентов зависит от применяемой в (3) весовой функции. При отсутствии весовой функции или для весовой функции с уровнем боковых лепестков, превышающим минус 50 дБ от максимума, эти коэффициенты равны

C( R,WW) = 1,95 - 0,4/(R + 0,7) +

+ (0,00095 + 0,0009 / (R - 0,4)) • WW, (12)

P(R, WW) = -0,02 - (0,7 + 2,8 /R) / (WW + 8),

а при использовании весовых функций с уровнем боковых лепестков ниже минус 50 дБ расчет

поправочных коэффициентов следует осуществлять по правилу

C(R,WW) = 1,95 - 0,6/(R+3)+0,001472 • WW P(R, WW) = -0,02 - (0,5 + 3,6 /R) / (WW+14).

(13)

На рис. 1-2 гладкими линиями представлены аналитические зависимости (11)-(13), а разнообразными символами показаны полученные для соответствующей радиообстановки результаты статистического моделирования. Как следует из рисунков, предложенные соотношения обеспечивают довольно высокую точность предсказания свойств xmm и, если бы до завершения обработки данных была известна ширина области минимизации Halves , то это позволило бы скорректировать найденный минимум сглаженного спектра для расчета оценки с математическим ожиданием близким к sx21 .

Реально, в процессе обработки данных, величина Halves является неизвестной, однако практика показывает, что если в подобных условиях взять за основу первого этапа обработки

Halvesx » round ( 2 N / WW ), (14)

m1 {min X%r (п)} I с

X1

0,95

0,85

0,75

0,65

0,55

0,45

R = 4

R = 1

Halves

2

\-lVW = \2, 2-1ГЖ = 16, 3-т¥ = 20, 4-тг = 24, 5-т¥ = 32, 6-т¥ = 40 .........X -----------о------------О ------------□------------Д -----------+

Рис. 2. Зависимость математического ожидания минимума сглаженного спектра Хк (п) при использовании весовых функций с уровнем боковых лепестков ниже минус 50 дБ

то при отсутствии узкополосных сигналов в обрабатываемой полосе частот уровень шума будет в среднем вычисляться правильно, а при реальном наличии сигналов будет возникать перекомпен-сация и получаемая с поправкой на определяемые (11)-(13) коэффициенты оценка средней мощности шума будет в среднем превышать истинное значение на 15.. .40 % в случаях усреднения Я = 4 и в 1,5-2 раза при расчете энергетического спектра без усреднения ( Я = 1 ). Однако, хотя подобное завышение ожидаемого уровня шума осложняет обнаружение слабых сигналов, все мощные и многие из сигналов невысокой интенсивности будут обнаружены корректно.

Заключение

Оценка интенсивности шума, формируемая на основе минимального значения сглаженного энергетического спектра, позволяет успешно реализовать первый этап двухэтапного квазиопти-мального алгоритма оценивания средней мощности шума, наблюдаемого в широкой полосе частот совместно с набором узкополосных сигналов с неизвестными параметрами.

Литература

1. А. Б. Токарев Рекомендации по выбору параметров обработки при поиске шумовых участков диапазона частот // Радиотехника. 2012. №2. С. 49-52.

Воронежский государственный технический университет

RESEARCH OF STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE RADIO SIGNALS SMOOTHED

ENERGY SPECTRUM MINIMUM VALUE

A.B. Tokarev

For the minimum value of smoothed energy spectrum of radio signals the statistical analysis is given and analytical relations are obtained. The results allow to predict the degree of the minimum value bias and so to form a noise estimation with respect to radio control in a wide frequency range, where a lot of narrow-band radio signals are operating

Key words: radio control, panoramic detection of signals, noise estimation, smoothed energy spectrum minimum value