CC BY
116
• 7universum.com
UNIVERSUM:
, ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПОВЫШЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ
ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
Галимова Ризагуль Фаритовна
магистр 2 курса Евразийского национального университета
им. Л.Н. Гумилева, Казахстан, г. Астана Email: [email protected]
Бейсенби Мамырбек Аукебайулы
д-р тех. наук, профессор, заведующий кафедрой системного анализа и управления ЕНУ им. Л.Н. Гумилева,
Казахстан, г. Астана
THE STUDY OF CONTROL SYSTEMS WITH INCREASED POTENTIAL OF ROBUST STABILITY BY LYAPUNOV FUNCTION
Rizagul Galimova
master 2nd year of Eurasian National University, Kazakhstan, Astana
Mamyrbek Beisenbi
doctor of Science, professor, Head of System Analysis and Control department
of Eurasian National University, Kazakhstan, Astana
АННОТАЦИЯ
Настоящая статья посвящена актуальным проблемам построения робастной устойчивой системы управления с неопределенными параметрами с подходом к построению системы управления в классе трехпараметрических структурно-устойчивых отображений (катастрофа «Ласточкин хвост»), позволяющих предельно увеличить потенциал робастной устойчивости.
Галимова Р.Ф., Бейсенби М.А. Исследование систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости методом функций Ляпунова // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2014. № 1 (2) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/906
Исследование робастной устойчивости систем управления базируется на новом подходе применения метода функций Ляпунова.
ABSTRACT
Article is devoted to actual issues of constructing a robust sustainable management system with indefinite parameters with the approach to the construction of a control system in a three-parameter structurally stable mappings class (catastrophe dovetail), gives you an opportunity to increase the potential for robust stability. Study of robust stability of control systems based on a new approach of applying the method of Lyapunov functions.
Ключевые слова: робастная устойчивость; функция Ляпунова; катастрофа «Ласточкин хвост».
Keywords: Robust Stability; Lyapunov function; Catastrophe dovetail.
Проблема построения систем управления занимает одно из центральных мест при создании систем автоматического и автоматизированного управления, которые широко применяются во всех сферах производства и техники: в машиностроении, энергетике, электронной, химической, биологической, металлургической и текстильной промышленности, транспорте, робототехнике, авиаций, космических системах, высокоточной военной технике и технологиях и т. д.
В настоящее время общепризнанно, что большинство реальных систем управления функционируют в условиях той или иной степени неопределенности. При этом неопределенность может быть обусловлена незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени (в процессе эксплуатаций). Поэтому проблема робастной устойчивости является одной из наиболее актуальных в теории управления и представляет большой практический интерес.
Известные методы [9] построения систем управления объектами с неопределенными параметрами в основном посвящены определению робастной устойчивости системы с заданной структурой с линейными законами управления. Также они не позволяют проектировать системы управления с достаточно широкой областью робастной устойчивости в условиях большой неопределенности параметров объекта управления и дрейфа их характеристик в больших пределах.
Настоящая статья посвящена актуальным проблемам построения робастной устойчивой системы управления с неопределенными параметрами с подходом к построению системы управления в классе трехпараметрических структурно-устойчивых отображений [2; 3], позволяющих предельно увеличить потенциал робастной устойчивости.
Исследование робастной устойчивости систем управления базируется на новом подходе применения метода функций Ляпунова.
Пусть система управления обладает единственным входом и единственным выходом и имеет скалярный закон управления и описывается уравнением состояния в стандартной форме:
йх
— = Ах + Ви, х е Я", и е Я1 йг
(1)
где:
А —
0 1 0 0
0 0
0 1
... 0 ... 0
... 1
а" а"-1 ап-2 ... а1
В —
X —
Закон управления и(г) задается в форме трёхпараметрических структурно-устойчивых отображений (катастрофа «Ласточкин хвост»)
х
х
2
0
0
1
х
п
1 .5 1 >13 1 7 2 „2 ^ 1
и — х 1 ^ 1 х 1 ^ 1 х 1 ^ ^ 1 хл х 5 ^ 1 х з — к2 х2 -,..., 5 1 3 1 1 2 1 1 11 52 3 222
-I хй5-! к\ хъп-- к2 х2 + къп х„
^ п ^ п п 2 " " п п
Система (1) в развернутом виде записывается
йх1 ж х2
ж хз
йхп = Ж -1 х 5 - 5 х) 1 к]х,3 -1 к2х2 3 1 1 2 1 1 + (к13 - «п ) х1 5 х2 3 к) х:з - 1 к2 х22 + (к23 - «п-1)х2 -
-)хп -1 кп х3 -1 к2 х2 + к3 п п п - «1) хп ,
Стационарные состояния системы определяются решением уравнения: п 11 1
У-1 х 5 -1 к) х 3 -1 к* х 2 + (к3 - а ,) X. = 0,
/ 1 с ~ 1 15 1 15 \ 1 П—1 +1 / 15 >
1=1 53 2
х25 = 0 Х35 = ^ ^ Х П—1,5 = 0 ХШ = 0
Из (4) можно получить стационарные состояния:
х1 = 0, х2^ = 0,..., х^ = 0
(4)
(5).
Для определения других стационарных состояний исследуем критические точки вырожденности. Они могут быть получены приравниванием различных производных градиентной функции ¥ (х, к), кг2, кг3) нулю:
¥(х,к),кг2,к3) = 1 х5 +1 к)х3 +1 к2х2 - (к3 - а 1+,)х,
31 15 '2,1 15 П-1+
(6).
Введем обозначение кг3 - аи_г+1 = кг
критические точки хг4 + к)хг2 + кг2хи - к = 0 (7);
• дважды вырожденные 4х3 + 2к) х» + к 0 (8);
• - трижды вырожденные 12 х* +2к) 0 (9);
• четырежды вырожденные 24 х™ 0 (10).
Четырежды вырожденные критические точки определяются по формуле:
(9) (8) (7)
(10) ^ х„ = о ^ к] = о ^ к? = о ^ к, = о
Это означает, что функция ¥(хи ,0,0,0) имеет четырежды вырожденную критическую точку хи = 0.
Линии, соединяющие точки, которые характеризуют поведение функции с трижды вырожденными критическими точками, имеют следующее параметрическое представление в пространстве управляющих параметров Я3 (рисунок 1)
(8)
(7)
(9) к] = -бх? ^ к? = 8х3 ^ к, = 3х4
(11)
Рисунок 1. Сепаратриса пространства управляющих параметров
Такое представление может быть получено следующим образом. Точки, характеризирующие функции с дважды вырожденными критическими точками, образуют поверхность, которая в пространстве параметров Я3 может быть представлена как
(7)
(8) ^ к,2 =-4х3 - 2к]хи ^ к, =-3х4 - к]
.■ х,.
(12),
т. е. в параметрическое представление двумерной поверхности, определяемой (12), входят как координата дважды вырожденной критической точки хи,
так и значение управляющего параметра к]. Для изучения этой поверхности
используем следующее наблюдение из теории подобия: если вводить новый
масштаб по хи с помощью множителя X , а по к) — с помощью множителя X2, то при этом к2 умножается на множитель X3, а к на X4:
17 х ^Хх к2 ^Х3 к2
Если , , ,, Тогда (13).
к) ^ X2 к), д к ^Х4 к ( )
Таким образом, необходимо лишь определить поперечное сечение к2 - к поверхности (12) в тех плоскостях, например, к) = 1, к) = 0, к) =-1. Затем, изменяя масштаб в этих поперечных сечениях и используя формулы (13), можно получить всю поверхность (рисунок 2).
Рисунок 2. Параметрическое представление в пространстве управляющих
параметров Я3
Поперечные сечения, изображенные на рисунке 2, получены при фиксированных значениях к1 . Если собрать эти поперечные сечения вместе, то, изменяя масштаб, можно получить поверхность, изображенную на рисунке 1. Данная поверхность делит Я3 на три открытые области. Качественное поведение функций, параметризуемых точками любой одной области, одинаково и изменяется только при прохождении сквозь эту поверхность.
Как известно, уравнение (6) может иметь до четырех реальных решений, характеризующих морсовские критические точки, и они совпадают локальным максимумом или минимумом потенциальной функции ¥(х, к), к2, к/), т. е. могут соответствовать устойчивым или неустойчивым установившимся стационарным состояниям системы (3).
Сепаратриса пространства управляющих параметров (рисунок 1) разделяет функцию на качественно различные открытые области. Как известно из [7; 12; 8; 11], чтобы определить качественное поведение функции ¥ (х, к), кг2, к/), параметризуемых точками из этих областей, достаточно выбрать любую точку из этой области и изучить качественные изменения в поведении соответствующей функции.
Удобной точкой для определения качественного поведения функции, параметризуемой точками на сепаратрисе, является точка (к),кг2,кг) = (1,-6,-4) для хг5 = 1. Эту точку находим, пользуясь формулой (12) для случая при хг5 = 1 и к) = 1. Можно проверить путем непосредственной подстановки, что эта точка также удовлетворяет уравнению (7) при значении = 1. Далее, пользуясь формулой подобия (13) критических точек к) = 1,к2 =-6,кг0 =-4 при хг5 = 1, будем пересчитывать до соответствующих точек (; к,1, к2, кг):
Х 2 = 3 Лг8 = Л
- к 2 к'- Д = 3
6
- к 2 ~—, к,1 =
с
6
V
Л
2
- к 2 к к3 =-4
6
У
V
- к
Т
6
У
+ (14).
Можно убедиться путем непосредственной подстановки, что полученные значения критических точек также удовлетворяют уравнению (7), т. е. являются морсовскими критическими точками.
Можно взять также другую точку для = -1 и к] = 1. Для определения качественного поведения функции, параметризуемой точками из области (к),к2,к) = (1,6,-4)для =-1, воспользуемся формулой (12) при =-1, к) = 1 и находим кг2 = 6, кг0 =-4. Найденные значения коэффициентов и заданное значение = -1 являются решением уравнения (7). Для определения
качественного поведения функции (6), параметризуемой точками из этой области, воспользуемся формулой подобия (13) критических точек к 1 — 1, к2 — 6, кг0 — -4, если хй — -1. Произведя пересчет по формуле (13) до соответствующих точек (хи;к1,кг2,кг), получим:
х — — Л18 — 1
к 2
^ Л — 3 6 ^
к 2 ^ к 1 —
6 —
3
к2
, к 3 — -4
3
к,2
+ а
п-г+1 '
(15).
Полученные точки (15) также будут лежать на поверхности, определяться решением уравнения (7) и являться морсовскими критическими точками, образующими поверхности сепаратрисы.
Возьмем для удобства точку с координатами хг0 — 1,к)й — 1,кг20 — 1,кг0 — 31/30, которая удовлетворяет уравнению, характеризующему другие стационарные состояния системы (3), кроме нулевого х1 — 0 (/ — 1,.....,п)
1( х„ )4 +1 к2( х„ )2 +1 к2 х„-к, — 0
(16).
Для определения качественного поведения функции, параметризуемой точками из этой области, воспользуемся формулой подобия (13). Произведя пересчет по этой формуле до соответствующих точек (х ; к1,к2,к ) , получим
: ^л — ^к1, к? — (тЩу, к3 — 31 ^д/к1)4 + ап-г+1, если к) > 0.
(17).
Полученные значения стационарного состояния системы и его параметров удовлетворяют уравнению (16). Это можно проверить путем непосредственной подстановки (17) в уравнение (16).
Можем взять точку хю — -1, кг1 — 1, к2 — -1, кг0 — 31/30. Эта точка
также удовлетворяет уравнению стационарного состояния системы (16).
2
4
6
6
4
Пользуясь формулой подобия (13) и произведя пересчет до соответствующих точек (хи; к), к2, кг), получим:
4 = -Тк1,1 = ^,к2 = -(^)3,к,3 = Ц^л/к1 )4 + ап_м,к, > 0. (18).
Найденные значения стационарного состояния и параметров (18) удовлетворяют уравнению (16), т.е. являются решением уравнения (16) при заданном законе изменения параметров.
Для определения качественного поведения функции, параметризуемой точками из любой области, достаточно рассмотреть любую её точку (к) ,0, кг). Уравнение (х2)2 + к)х2 - кг = 0 имеет решение
X6 =
Хг8 =
-(к)/2)±7(к)/2)2 + кг
1/2
(19)
х 7 =-Хг8 =
-(к)/2)±у1(к)/2)2 + кг
1/2
(20)
При к) > 0: два вещественных корня, если кг > 0, и ни одного вещественного корня, если кг < 0.
При к) < 0: два вещественных корня, если кг < 0, четыре вещественных корня, если 0 <к <(к) /2)2, и ни одного вещественного корня, если |кг| > (к) /2)2.
Интерес может также представлять тип функций, соответствующих точкам поверхности (12) на ребрах (11) или на линии самопересечения. Из (12) следует, что в точке 2 (рисунок 3) при хи = 0 имеется дважды вырожденная критическая точка, так что изолированные критические точки встречаются как справа, так и слева от нее.
Согласно (11), получаем, что в точке 1 трижды вырожденная критическая точка существует при хи < 0, а в точке 3 при хи > 0.
Обе левосторонние критические точки вырождены на кривой (рисунок 3), а обе правосторонние критические точки на кривой . Линия пересечения левосторонней и правосторонней поверхности (рисунок 1) описывает функции с двумя дважды вырожденными критическими точками. На этой линии к? = 0, а к = -(к] /2)2, так что уравнение (3) принимает вид
^4 + к] х?
гк с ^2
V 2 J
х 2 +■
= 0.
Рисунок 3.Разделение неморсовскими критическими точками пространства управляющих параметров на три открытые области
и имеет кратные корни
х,.„ = — -
д/- к] / 2, при к] < 0,
2
х9 = к] / 2 при к] < 0 .
Соответствующие значения потенциальной функции (6) изображены на рисунке 4.
Итак, множество точек, в которых ¥(хи;к],кг2,кг3) имеет неморсовские критические точки, разделяет пространство управляющих параметров Я3 на три открытые области. Любая точка Я3 может быть аппроксимирована с любой наперед заданной точностью последовательностью точек, полностью лежащих
в одной из этих областей. Это значит, что неморсовские функции могут быть приближены с любой необходимой точностью морсовскими функциями. Сепаратриса состоит из точек, характеризующих функции с дважды вырожденными критическими точками, двух кривых, описывающих функции с трижды вырожденными критическими точками, кривой, описывающей функции с двумя дважды вырожденными критическими точками, и трех поверхностей, описывающих функции с дважды вырожденными критическими точками.
Исследование устойчивости этих стационарных состояний (5), (14), (15), (17)—(20) проводится на основе разрабатываемого подхода, основанного на методе функций Ляпунова.
Рисунок 4. Параметрическое представление в пространстве управляющих
Рассмотрим устойчивость стационарного состояния (5). Для этого обозначим компоненты вектора антиградиента от вектор-функций Ляпунова V (х) через:
параметров
= 0 = х) = 0 = 0
Й^! ' Йх2 2' Йх3 ' ' Йхп
ЙУ2( х)= у ЙУ2( х) = 0
Й^! ' ЙТ2 Йх3 3' ' Й£п
= 0 ^!( х)_0 ^,( х)_0>.....^Д х) =_х
Й^! Й^2 ' Й^з Й^п "
Й^ (х) _ 1 5_1,1 3_1,2 2 ,, 3 _ ч
— _ Х1 - к1 Х1 _ к1 Х1 + (к1 «п )Х1
Й^! 5 3 2
ЙУ (х) _ 1 ^1,1 3__1 Ь-2 2 ,, 3 _ ч
— _ Х2 2 Х2 2 Х2 + (к 2 «п_1)Х2
Йх 5 3 2
ЙУп (х) _ 1 ^1,1 3_1т2 2 ,, 3 _ ч
— х3 - к3 х3 _ к3 х3 + (к3 «п-2 )х3
Йх 5 3 2
Й^М — _!х5 -1 хъп -1 к2х2 + (к3 )х„
•л г п ~ п п ГК п п \ п 1/ п
Йхп 53 2
(21)
Полная производная по времени от вектора-функций Ляпунова будет равна:
<
дV дV _ Мх 2 2 2 Г1 5 1,, 3 К, , 3 ч -,? Г1 5 1,1 3
"Г" — — _х2 _х32".....-х„2 _[-х; + -к1 х3 + -к12х' _(к13 _«п)х1]2 _[-х25 + -к1 х23 +
Ш Йх М 5 3 2 5 3
+ 1 к 2 х22 (к 2 _«п_1) х2]2 _[1 х35 + 1 к3 х33 + 1 к 3 х32 _(к33 _ «п_2 ) х3]2_....... " (22)
_[!х5 +1 к1 х3 +1 к2х2 _(к3 _«)х„]2
1-^п ^ п п ^ п п \ п 1 / п J
Из (22) получаем, что полная производная по времени от компонентов вектор-функций Ляпунова будет знако-отрицательной функцией, поэтому достаточное условие асимптотической устойчивости системы стационарного состояния (5) выполняется.
По компонентам вектора-градиента от вектор-функций Ляпунова (21) строим вектор-функции Ляпунова (V (х) — (Ул(х),^(х),...,у,(х)):
К п(х) = 0, уи(х) = -1 х22,
V 21(х) = 0, V 22(х) = 0,
^з( X) = 0,
1 2
У 23(х) = -
, У* (X) = 0
■ , У 2п( X) = 0,
У п - 1Д( X) = 0, У п-!,(X) = 0,
У„-1, з( X) = 0,
1 2
Уп- 1,п( X) = -1XI
Уп1 (X) = ^ ^ + ^ к1 X14 + 1 ^ ^ - 1 - ^ )Xí 30 12 6 2
Уп,2 (^ " 1 ^2 + . - к 1 ^ + 1 к2 -^2 1 (к2 ап-1 )^
30 12 6 2
^.з^) = ~ X3 + 7^ к3 xз + Т kзxз - Т(к3 - ап-2 ) xз
30 12 6 2
1 „6 . 1 / 1 4 . 1
1
Уп,п(X) = —X: + -КXI + -кп2X,3 --(кп3 -а1)X2
30 12 6 2
Функцию Ляпунова в скалярной форме можем представить в виде суммы компонентов вектор-функций
V(x) = ^ X6 + -1 к1 X4 + 1 к12 X13 -1 (к13 -ап )X12 + ^ 4 + -1 к\ X2 + 1 к 2 X2 -1 (к23 -ап-1 + 1) X22 +
30 12 6 2 30 12 6 2 (23)
16 1 7 1 4 1 7 2 3 1 /7 3 2 16 1 7 1 4 1 7 2 3 1 /7 3 1\ 2
+ — X. +— к1 X4 +— к2 X3 —(к, -а 2 + +,...,+ — X6 +— к1 X4 +— к„X3 —(к„ -а, +1)X2
'■>/-»^1^33 3 3 ~ V 3 п-2 /3''^ г\ п л п п п п \ п 1 / п
30 12 6 2 30 12 6 2
Для определения условия положительной или отрицательной определенности функций (23) воспользуемся леммой Морса из теории катастроф [6].
Рассматриваемая система (3) находится в состоянии устойчивого или неустойчивого равновесия, иначе говоря, находится в морсовских точках, т. е система (3) находится в стационарных точках X, где градиент функций
Ляпунова (потенциальной функции) V У = 0, и если У =
а 2у (X)
дxi
Ф 0
то в этих стационарных точках системы справедлива лемма Морса [6]
X
5
и гарантирует существование гладкой замены переменных, такой, что функция Ляпунова (23) локально может быть представлена квадратичной формой
п
V (х) = У^х2, (24).
I=1
Здесь Хг — собственные значения матрицы Гесса [1]
V (х* ) =
а V (х)
дх, дх,.
(25).
Положительная определенность функций Ляпунова будет определяться знаками коэффициентов квадратичной формы (24) (Дг > 0,1 = 1,.. ., п), т. е знаками собственных значений матрицы Гесса [6].
Следовательно, необходимо определить матрицу Гесса в точках равновесия (5). Вычисляем матрицу Гесса для функций Ляпунова (23) в стационарной точке (5).
Находим:
- ( ) =1 х1 + 1 к1х1 + 1 к1 х1 - (к1 - ап )х1
дх: 5 3 2
дV(x) _ 1 5 1 1 3 1 2 2_/,3_ п
Г = ~ х2 + Т к2 х2 + Т к2 х2 - (к2 - ап-1 + 1 х2
дх, 5 3 2
5 1 т 1 3 ),2 2 _ п
Г = Т х3 +Т к3 х3 + Т к3 х3 - (к3 - «п-2 + 1 х3
дх. 5 3 2
х
5
дV (х) дх
5
) 5 1 7 1 3 1 1
= - х 5 +- к 1 х 3 + — к
2
пх2
- (к1 - «1 + О хп
Вычисляем элементы матрицы Гесса:
3V(х)_л, ,, 2 , ю
— х! + к1х1 + к! х! (к! ап ^
3х 3х1
3V(х) _ 4 . /12 7 2
— х2 + к 1 х2 + к 2х2 (к 2 ап-1 + 1),
3х2 3х2
—2 ^х) — х3 + к3 х3 + к3 х3 - (к3 _ ап-2 + ^
3х3 3х3
3 V (х) —х —х. 3 V (х) 3^2—х ■ 3 V (х) 3х3 3х.
— 0, j * 1, j — 2,....,п
— 0, j * 2, j — 1,....,п
— 0, j * 3, j — 1,....,п
3 V (х) 3х 3х
— хп4 + к1 хп2 + кп2 хп -(кп3 +1),
3 2У (х)
3хп 3
— 0, j * п, j — 1,....,п-1
<
Находим собственные значения матриц Гесса в стационарной точке (5):
Л — -(к' -ап ) Л2 — -(к23 - ап-1 + 1)
^ — -(к| ап-2 + 1) , К — -(к3 -а1 + 1)
По лемме Морса функцию Ляпунова (23) локально в окрестности стационарного состояния (5) можно представить в виде квадратичной формы:
У(х) « -(к3 -а„)х2 -(к2 -а^! + 1)х2 -(к3 -а^ + 1)х2-,....,-(к„3 -а! + 1)х2 (26).
Условия устойчивости стационарного состояния (5) будут определяться системой неравенств
к3 - а < 0
1 п
к\ - аи_1 +1 < 0
<к3 -ап-2 +1 < 0 (27)
к 3 - а +1 < 0
Таким образом, показано, что система (1) за счет введения в закон управления трехпараметрических структурно-устойчивых отображений приобретает свойства робастной устойчивости в широких пределах изменения неопределенного параметра а, / — 1,..., п. Оказывается, что состояние х1ж — х2ж —... — хм — 0 является глобально асимптотически устойчивым при выполнений условий (27), т. е появляется возможность построить устойчивую систему управления при любом изменении неопределенных параметров а, / — 1,. . ., п.
Список литературы:
1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости — М.: Наука, 1966. — 540 с.
2. Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости системы управления. — Астана, 2011. — 352 с.
3. Бейсенби М.А. Модели и методы системного анализа и управление детерминированным хаосом в экономике. — Астана, 2011. — 201 с.
4. Бесекерский В.А., Небылов А.В. Робастные системы автоматического управления. — М.: Наука, 1983. — 239 с.
5. Воронов И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 540 с.
6. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. — Т. 1. — М.: Мир, 1981.
7. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977.
8. Мейлахс А.М. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях неопределенности // Автом. телемех. — 1975. — № 2. — С. 182—184.
9. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука 2002. — 303 с.
10. Томпсон Дж., Майкл Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. — М.: Мир, 1985. — 254 с.
11. Rantzer A., Megretski A. A convex parametrization of robustly stabilizing controllers // IEEE Trans. Autom. Control. — 1994. — V. 39. — No. 9. — P. 1802—1808.
12. Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. High-gain robust control // Eur. J. Control. — 1999. — V. 5. — No. 1. — P. 3—9.
