CC BY
14
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ЭМ ПОЛЯ, ВОЗБУЖДАЕМОГО линиями ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ
В.Ю. БЕЛАШОВ, А.М. ХАЛЬФИЕВА Казанский государственный энергетический университет
Предлагается метод численного исследования пространственно-временной структуры электромагнитного поля, генерируемого такими внешними источниками, как линии электропередачи. Алгоритм может быть легко адаптирован к расчету электромагнитных полей, возбуждаемых проводниками более сложной конфигурации, а также, в контексте проблем ЭМС, к оценке эффективности их экранирования.
Внимание к вопросам электромагнитной совместимости (ЭМС) в электроэнергетических и электротехнических системах обусловлено, в первую очередь, требованиями надежности их функционирования. В частности, это связано с тем, что в последнее время в системах управления такими системами все более используются электронные блоки и компьютерная техника, и вопросы защиты этих объектов от воздействия внешних по отношению к ним электромагнитных (ЭМ) полей как естественного, так и искусственного происхождения приобретают все большую актуальность [1]. Такие ЭМ излучения, проникая в системы питания и управления, могут спровоцировать, например, ложные срабатывания систем РЗиА, сбои в компьютерных системах управления или вывести из строя микропроцессорную технику. Что касается воздействия внешних ЭМ излучений на линии электропередачи, то они могут оказать серьезное негативное влияние на качество доставляемой потребителям электроэнергии, вызывая появление в питающих линиях искажений (отклонения амплитуды и частоты, нарушение синусоидальности, генерация высших гармоник и пр.), выходящих за допустимые («гостированные») пределы, что может приводить к нарушениям в работе электрооборудования [2]. Вопрос стоит наиболее остро при совместной прокладке силовых (питающих) линий электропередачи и кабельных линий систем управления электротехническими объектами и систем связи (в галереях, эстакадах, каналах).
В контексте проблемы ЭМС под внешними понимаются излучения, генерируемые в широком диапазоне частот внешними по отношению к электротехническим устройствам и комплексам источниками самой разнообразной природы. В качестве таких источников могут выступать различные элементы электротехнических систем, генерирующие ЭМ поля [3], например, линии электропередачи, коммутационные устройства, приемники и преобразователи электрической энергии низкого и высокого напряжения, а также электрические молниевые разряды, различного рода излучатели ЭМ энергии (например, мощные СВЧ-системы, радиопередатчики и локаторные системы), источники ионизирующего излучения и т.д.
В настоящей работе рассматривается алгоритм численного исследования пространственно-временной структуры ЭМ поля, генерируемого такими внешними источниками, как линии электропередачи.
© В.Ю. Белашов, А.М. Хальфиева Проблемы энергетики, 2007, № 9-10
Постановка задачи. Основные уравнения
Исследуем, в качестве достаточно простого примера, ЭМ поле, возбуждаемое прямолинейным проводником с током радиуса г (рис. 1). Введем цилиндрическую систему координат, ось г которой совпадает с осью симметрии проводника. С учетом геометрии задачи, предполагающей аксиальную симметрию проводника, из составляющих поля нас будут интересовать осевая составляющая электрического поля Ег и касательная составляющая магнитного поля Не.
Рис. 1. Модель участка линии электропередачи
При вычислении пространственно-временной структуры внешнего ЭМ поля прямолинейного проводника с током в качестве основных используются уравнения Максвелла, применяя к которым стандартные операции векторного анализа легко получить волновые уравнения для напряженностей:
У2Е = о^Е + гмд^Е, У2И = + г^И. (1)
С учетом геометрии задачи, предполагающей аксиальную симметрию проводника с током, подставляя в (1) для диэлектрика (а = 0) и для проводящей среды (е = 0) выражения векторного и скалярного лапласианов в цилиндрических координатах, перепишем первое уравнение системы (1) относительно Ег
составляющей напряженности электрического поля в следующем виде [4] — для диэлектрика:
д2Ег (г,г,г) + (1 /г)дгЕг (г,г,г)+д\ег (г,г,г) = в^д2Ег (г,г,г); (2)
для проводящей среды:
д 2гЕг (,г,г ) + (1/г )д гЕг (г,г,г )+д\Ег (г,г,г ) = оцд 2 Ег (г,г,г ). (3)
Аналогично запишем волновые уравнения для диэлектрика и проводящей среды относительно составляющей напряженности магнитного поля Не:
д2Не р,г,г) + (1 /г)дГНе (,г,г) + д\ие (,г,г) — г~2Не (,г,г) = вмд2Не (,г,г); (4)
д2Не (,г,г)+(1/г)дГНе (,г,г)+д2Не (,г,г) — г~2Не (Ьг,г) = омд2Не (,г,г). (5)
В качестве граничных условий, как и в работе [4], выберем следующие: а) для электрического поля на границе «диэлектрик - экран»
© Проблемы энергетики, 2007, № 9-10
Е г, диэл = Е г, экр , (6)
б) для магнитного поля на границе «диэлектрик - экран»
Н 0, д = Н 0, э, (7)
где Ег, диэл и Ег, экр - осевая составляющая напряженности электрического
поля в диэлектрике и экране соответственно; Не, д и Не, э — касательная
составляющая напряженности магнитного поля в диэлектрике и экране.
Метод интегрирования
Численное интегрирование уравнений (2)-(5) с граничными условиями (6), (7) проводилось с помощью соответствующим образом модифицированного конечно-разностного метода [5], алгоритм которого представлен ниже.
Не рассматривая в простейшем случае зависимость поля от осевой координаты (в случае синусоидальных токов в линии эта зависимость тривиальна), представим волновое уравнение (2) в конечно-разностной форме:
т —2 (Е”+1 — 2Еп + Еп—1 )= с2(2г)_1 к~2 [(2г + 1)Еп+1 — 4гЕп + (2г — 1)Еп—1 ], (8)
где ЕП—1, ЕП, ЕП+1 — значения компоненты Ег напряженности электрического поля в последовательные моменты времени с шагом т на расстоянии,
• *-* ТЧ П ТЧ П тч П *-*
соответствующем точке г пространственной сетки; Е г-1 , Е г , Ег +1 - значения той
же компоненты в последовательных точках пространственной сетки с шагом к в
_1/2
момент времени, соответствующий точке п временной сетки; с = (гоДо) -
скорость света.
Для определения составляющих уравнения (8) сформулируем начальные условия задачи Коши:
еп = т 1 (r,t), t = 0;
Ef =^2 (r,t)At + Ef-1; (9)
Т2(r ,0) = dT 1(r ,0)/dt,
где T1(r, t) и T2(r, t) — функции, зависящие от пространственных и временных координат. Зная распределение напряженности электрического поля по r на (п—1)-м и n-м шагах по времени, используя уравнение (8), можно определить распределение напряженности на (п+1)-м шаге. Примем
п—1 т
Е ■ = гд----cos rat при t = 0. (10)
1 2 nr
Амплитуда в выражении (10) представляет собой напряженность электрического поля, излучаемого заряженной нитью1, где т — линейная плотность заряда на поверхности нити, cos rat указывает на переменный характер поля. При t = 0 выражение (10) есть зависимость ~r_1.
1 При этом неявно учитывается влияние на поле в г-направлении всего проводника —» < г < ».
© Проблемы энергетики, 2007, № 9-10
Совершенно аналогично строится алгоритм для уравнения (3), справедливого для проводящей среды (в качестве которой может, например, рассматриваться экранирующая оболочка кабельной линии - при расчете поля в ней).
Что касается составляющей магнитного поля Hд, то для ее вычисления,
вместо решения волновых уравнений (4), (5), имеется более простой путь — касательная составляющая магнитного поля находится из уравнения Максвелла:
H 0 = — (гк)
д E
vrr‘z•
(11)
где k =2лА, — волновое число. Понимая далее под Hд ее модуль \Hд | = k 1 дГЕ7^ , будем находить магнитную индукцию из уравнения Вд = pH д .
Результаты численного моделирования ЭМ поля
На рис. 2 показан пример результатов численного моделирования электрического и магнитного полей, возбуждаемых синусоидальным током промышленной частоты, как функций расстояния от оси линии электропередачи в различные моменты времени. Осевая составляющая электрического поля вычислялась в соответствии с алгоритмом (8)-(10), касательная компонента магнитного поля - на основе разностного представления уравнения Максвелла (11). Программная реализация алгоритма предполагает также построение в соответствующих окнах диалогового модуля диаграмм зависимости компонент поля от пространственных координат и времени. На рис. 3 (нижнее окно) показана такая диаграмма для составляющей электрического поля Е г. Аналогичное по
структуре окно формируется программой при вычислении компоненты Вд магнитного поля.
Рис. 2. Результаты численного моедлирования электрического и магнитного поля, напряжение в линии 220 В, г=1; м; а - #=0,1 с; б - #=0,2 с
Рис. 3. Окно программы, реализующей метод расчета электрического поля
Выводы
Резюмируя результаты, отметим следующее. В настоящей работе представлен метод численного интегрирования волновых уравнений электродинамики, позволяющий достаточно эффективно моделировать пространственно-временную структуру ЭМ поля, генерируемого таким внешним источником, как участок линии электропередачи. На основе предложенного алгоритма создана программа, реализующая изложенный в работе конечно-разностный подход и позволяющая строить диаграммы изменения напряженности электрического поля и магнитной индукции как функций от пространственных координат и времени: Е = Дг^) и В = ДМ). Учет в основных уравнениях как диэлектрической, так и проводящей среды позволяет рассматривать линии электропередачи, имеющие слоистую структуру (жила, диэлектрическая оболочка, экран и т.д.), а также другие излучающие объекты, обладающие цилиндрической симметрией. Разработанный алгоритм может быть легко адаптирован к исследованию распределения ЭМ полей, генерируемых проводниками более сложной конфигурации (в местах изменения их сечений и свойств), а также, в контексте проблем ЭМС, к оценке эффективности их экранирования.
Summary
The method of numerical study of space-time structure of the electromagnetic field generated by such external sources, as the electric transmission lines is offered. The
algorithm can be easily adapted for calculation of the electromagnetic fields generated by conductors of more complex configuration, and also, in a context of the EMC problems, to an estimation of efficiency of their shielding.
Литература
1. Белашов В.Ю. Электромагнитные поля и помехи в ЭЭС промышленных предприятий // Российский нац. симп. по энергетике РНСЭ-3, 10-14 сентября 2004: материалы докладов. - Казань: КГЭУ, 2001. - Т. 2. - С. 28-41.
2. Белашов В.Ю., Денисова А.Р. Воздействие внешнего электромагнитного поля на кабельные линии // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2003. - № 11-12. -
С. 107-117.
3. Белашов В.Ю., Чураев Р.Р. Оценка уровня коммутационных полевых помех, возбуждаемых токоограничителем // Изв. вузов. Проблемы энергетики. -2004. - № 1-2. - С. 59-70.
4. Белашов В.Ю., Чураев Р.Р. Математическое моделирование переменного ЭМ поля, возбуждаемого в контактных системах электрических аппаратов // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2004. - № 11-12. - С. 41-49.
5. Хальфиева А.М. Электромагнитное воздействие внешних полей и вопросы безопасности электротехнических комплексов и управляющих систем // 13 Межд. научно-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». - М.: Изд. МЭИ, 2007. - Т. 2. - С. 83-84.
Поступила 26.03.2007
