Исследование оптимальных перелетов к Марсу с возвращением в атмосферу Земли с заданной скоростью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том II

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

__

М 1

УДК 629.78.015:531.55.523.43

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ К МАРСУ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ В АТМОСФЕРУ ЗЕМЛИ С ЗАДАННОЙ СКОРОСТЬЮ

В. В. Балашов

Рассмотрена задача оптимизации траекторий перелета к Марсу с возвращением в атмосферу Земли. Излагается методика расчета, основанная на введении пространственного годографа гелиоцентрических скоростей подлета к сфере влияния Земли, обеспечивающих вход в атмосферу Земли с заданной скоростью. Приведены результаты расчета оптимальных перелетов длительностью один-полтора года на период 1971 —1988 гг.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ

Принята следующая схема перелета Земля—Марс—Земля. Космический аппарат, находящийся на орбите ИСЗ, получает приращение скорости, выходит на геоцентрическую гиперболу и далее продолжает движение по баллистической траектории к сфере влияния Марса. В окрестности перицентра планетоцентрической гиперболы в сфере влияния Марса вновь включается двигательная установка и скорость аппарата уменьшается до местной круговой. По истечении запланированного срока пребывания на орбите ИСМ (времени ожидания) аппарат выводится на планетоцентрическую гиперболу ухода из сферы влияния Марса и совершает пассивный перелет к Земле с последующим торможением в атмосфере и выходом на орбиту ИСЗ.

Рассматривается следующая модель движения планет. Орбиты Марса и Земли полагаются некомпланарными. Орбита Марса—эллиптическая, а орбита Земли при расчете траекторий перелета Земля—Марс считается эллиптической, при расчете же траекторий Марс—Земля —круговой. Последнее предположение ввиду малости эксцентриситета орбиты Земли (с® ^0,0167) приводит к незначительным ошибкам вычисления элементов траектории и энергетиче-

ских затрат, позволяя в то же время существенно упростить алгоритм расчета межпланетных перелетов.

Траектория каждого из участков Земля—Марс и Марс —Земля считается состоящей из двух планетоцентрических гипербол движения^ в сферах влияния планет и соединяющей их гелиоцентрической кеплеровой траектории. Гелиоцентрические участки ограничены точками (г = 0, 1, 2, 3), которые можно считать совпадающими с центрами планет (фиг. 1). В соответствии с этими точками производится индексация параметров перелета в моменты старта с орбит планет и окончания перелета на рассматриваемом участке.

Орбиты ИСЗ и ИСМ, с которых космический аппарат стартует и на которые выходит после торможения, полагаются круговыми, имеют заданную высоту Н над поверхностью планеты и расположены в плоскостях соответствующих планетоцентрических гипербол. Активные участки работы двигателя аппроксимируются импульсами скорости, приложенными в какой-либо точке орбиты ИС планеты.

В качестве скорости входа космического аппарата в атмосферу принимается его скорость в условном перицентре геоцентрической гиперболы подлета. Применительно к поставленной задаче в статье развивается изложенный в работе [1] подход к решению некоторых задач оптимизации траекторий космических аппаратов.

ГОДОГРАФ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ КОСМИЧЕСКОГО

АППАРАТА НА СФЕРЕ ВЛИЯНИЯ ЗЕМЛИ ПРИ ЗАДАННОЙ СКОРОСТИ ВХОДА В АТМОСФЕРУ

Исследование перелетов с использованием атмосферы планет для торможения космического аппарата показывает, что оптимальные траектории Земля—Марс—Земля, соответствующие минимальным энергетическим затратам, как правило, определяют довольно большие значения скорости входа в атмосферу, что может оказаться неприемлемым. В связи с этим представляет интерес исследование межпланетных траекторий, для которых возвращение в атмосферу Земли происходит с заданной скоростью.

Будем считать, что влияние планеты на траекторию полета космического аппарата ограничено ее сферой влияния. В этом случае фиксирование условий входа в атмосферу Земли, а именно высоты Нвх условного перицентра геоцентрической гиперболы и величины скорости входа в атмосферу Земли ]/вх, позволяет найти геоцентрическую скорость аппарата Кзсф в сфере влияния

И,ф-у?1-2«в(7г-Л7г-_7г±_). (1)

Здесь /С® гравитационная постоянная Земли, /?$—радиус Земли, Ясф® — радиус сферы влияния Земли. Гелиоцентрическая скорость

космического аппарата на сфере влияния V3 определяется из векторного равенства

Va = йсФ + V®, (2>

в котором Уф = const, так как в данном случае орбита Земли считается круговой. При определении параметров перелета Марс—

Земля вектор V3 параллельно переносится в центр сферы влияния (т. е. в точку 3, расположенную на орбите Земли).

В случае произвольного направления Узсф пространственный годограф V3, определяемый уравнением (2), представляет собой

сферу радиусом 1^8Сф- Вектор V3. определяется величиной и направлением луча, проведенного из точки, отстоящей на величину К© от центра указанной сферы, да пересечения с ней (фиг. 2). В качестве скалярных параметров Vs, выбраны: ^ — величина гелио-

центрической скорости подлета к сфере влияния Земли, i3— наклонение плоскости перелета

^ „ Марс—Земля к плоскости эклип-

Фиг. 2 —

тики, — угол между Vs и транс-версалью, расположенной в плоскости перелета. Очевидны следующие ограничения:

— ^3 сф ^3 ^ "Ь V, сф! (3)

— arcsin ■ -.-/ф < /3, < arcsin ^3/ф . (4)

V®

Задание пары значений i3, р3, удовлетворяющих условию (4),. позволяет найти два значения V3, определяемые условием 1/вх = const (или, что то же самое, условием V3 сф = const):

V3 = V® cos i3 cos ft, ± V V\ Сф -f (l/e cos i3 cos ft)2 - V% . (5>

—►

Для заданного вектора скорости V3, с которой космический

аппарат пересекает орбиту Земли, определяется положение пло-

скости перелета Марс—Земля и элементы соответствующего конического сечения. Воспользовавшись известными формулами, приведенными, например, в работе [2], получаем для произвольных кеплеровых орбит соотношения для вычисления фокального параметра р23 (в астрономических единицах) и эксцентриситета е23 траектории Марс—Земля:

Vs COS ft Y

Далее, используя уравнение (5), получим соотношение, связывающее элементы траектории перелета Марс—Земля с параметрами входа в атмосферу Земли

= 1 — ^23 ( 3 - + 2 cos i3 р%*, (8)

\ ® /

которое назовем „уравнением \/вх = const*. Отметим, что при t3=0 найденное соотношение переходит в приведенное в работе [1]для случая перелетов между компланарными орбитами планет. .

При заданных VBX и t3 на плоскости р23, е23 уравнению (8) соответствуют „линии l/BX = const“ (фиг. 3). Каждая из линий l/BX=const

•соответствует положительному и отрицательному наклонению одинаковой величины. Поскольку расстояние до перицентра траектории Марс—Земля не может быть больше радиуса рассматриваемой круговой (г@ = const) орбиты Земли, получаем следующее ограничение на элементы конического сечения: ’

^2з >Р2 з — 1 • (а)

При этом возможные значения i3 выбираются из условия

со5г3>1-^. (10)

Элементы траектории Марс —Земля, достигающей некоторой точки на орбите Марса, отстоящей от Солнца на расстоянии п2 (в астрономических единицах), удовлетворяют неравенству

<?2з>1 3 ■ (11)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ МАРС—ЗЕМЛЯ ПРИ ЗАДАНИИ ТОЧКИ СТАРТА С ОРБИТЫ МАРСА

При расчете межпланетных траекторий необходимо учитывать положение планет на орбитах, однозначно определяемое календарными датами 7^(г = 0, 1, 2, 3) выполнения основных маневров. В рассматриваемой задаче целесообразно взять в качестве параметра, характеризующего временную привязку исследуемых траекторий, дату Т2 отлета космического аппарата с орбиты ИСМ. Для

используем угол у2 (фиг. 4) между проекцией радиус-вектора п2. на плоскость эклиптики и радиус-вектором Земли в момент Т2:

Здесь выбирается наименьшее из т = 0, 1, 2, удовлетворяющее условию Хг^-О; X® — средняя долгота Земли в момент Г2; 2^ — долгота восходящего узла [3], — проекция на плоскость,

эклиптики, определяемая соотношением

где — наклонение орбиты Марса к плоскости эклиптики, а четверть угла и%$ совпадает с четвертью угла и2^. Гелиоцентрическую угловую-дальность т]23 траектории Марс—Земля определим как разность истинных аномалий ч\2 и точек пересечения траектории перелета с орбитами Марса и Земли соответственно:

Далее будем использовать уравнение, связывающее элементы Рчз> егъ конических сечений, для которых перелет между орбитами

фиксированной даты Т2 задача нахождения траектории Марс—Земля сводится к отысканию параметров перелета из заданной точки орбиты Марса на орбиту Земли, удовлетворяющих условию VBX — const.

Фиг. 4

Воспользовавшись соотношениями для средних элементов планет, приведенными, в частности, в работе [3], определим гелиоцентрическое расстояние п2 Марса от Солнца и аргумент широты и в момент Т2.

В качестве характеристики, взаимного расположения планет

Хз— 2тгот -f-[X0(7’2) — іі2&(Т2) — йо- (Г)].

(12).

«ад = arctg (cos id tg «зет),

(13)

^28 ----- ^І2 ' Ъ>

(14)»

где

arccos -L (p2s - 1) .

планет происходит при фиксированной угловой дальности („уравнение линий т)23 = const11) [1]:

4»=&0 + ^1^28-Ь^* Р\г> (15)

где коэффициенты Ь0, Ьи Ь2 ЯВЛЯЮТСЯ функциями ТГ)28 и п2.

Связь между наклонением плоскости перелета Марс—Земля к плоскости эклиптики, угловой дальностью рассматриваемого участка и положением точки старта с орбиты Марса может быть определена с помощью соотношения

sin yi23 sin г3 = — sin M2cf sin i&. (16)

Зафиксировав значение угловой дальности Tfj23 и определив тем самым из (16) ориентацию плоскости перелета Марс—Земля для заданной даты Т2, получим возможность перейти от решения пространственной задачи к плоской задаче определения параметров конического сечения (в найденной плоскости перелета).

Величина р23 в этом случае может быть найдена из системы уравнений (8) и (15), эквивалентной следующему алгебраическому уравнению 4-й степени относительно ]/р2з:

Ь2 р\г - 2 cos г3 р%* + ( 3 + Ьх - ) р2Ъ + (b0 - 1) = 0. (17)

!«

К .

Вычислив далее, например из (15), значение е23, определим характеристики перелета Марс—Земля и, в частности, его продолжительность t23.

Среди траекторий Марс —Земля, удовлетворяющих условию VBX = const, необходимо для каждой фиксированной даты Т2 найти такие, при движении по которым осуществляется встреча аппарата с Землей. Для этого необходимо, чтобы время движения Земли из положения, определяемого датой Т2, до положения, определяемого точкой достижения орбиты Земли аппаратом, совершающим перелет Марс—Земля с угловой дальностью tj2S, было равно продолжительности t23 этого перелета.

В зависимости от взаимного расположения планет в момент Т2, характеризующегося углом х?, и от величины rf23 проекции угловой дальности перелета на плоскость эклиптики время t@ находится из соотношений:

при х20, т)«з<х2 или х2>«, г1е23>Ъ

= (18)

И)е

при Х2О, Чаз <Хз или Х»>ге. ^23 < Ъ

09)

ше

Здесь ше = const — угловая скорость движения Земли по принятой круговой орбите.

Условие встречи космического аппарата с Землей записывается следующим образом:

«=*2>-*е = 0, (20)

где Ы — невязка условия встречи. При проведении расчетов на

ЭЦВМ практически используется условие |8^К8£*, где 8£*>0— предварительно заданная точность временной стыковки.

Подобрав угловую дальность траектории, время перелета по которой удовлетворяет условию (20), определим все параметры участка Марс—Земля и, в частности, дату возвращения к Земле:

Т3 = Т2 4- *23. (21)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕЛЕТА ЗЕМЛЯ-МАРС

Если рассматривать задачу об отыскании параметров перелета Земля—Марс—Земля заданной продолжительности Га при фиксированной величине времени ожидания на орбите ИСМ ta, то для каждой даты Тг старта с орбиты Марса можно найти дату Тх прилета к Марсу

Т^Т, — ^. (22)

Так как предварительно была определена продолжительность ^2з перелета на участке Марс—Земля, находим время дви-

жения ?01 на участке Земля —Марс

t01 = Tz (f23 -j- tm) (23)

и дату старта Т0 с орбиты ИСЗ

Т0 = T1 t01 = TB — 7\. (24)

г Угловая дальность т)01 участка Земля—Марс может быть определена как функция ее проекции Tjgj на плоскость эклиптики и угла at между радиус-вектором Марса в момент Tt и его проекцией на плоскость эклиптики:

т)01 = arccos (cos rjg, cos aj).

Здесь угол at = arcsin (sin Uig sin ig) определяется в зависимости от аргумента широты Марса ui& в момент Ти а величина находится из соотношений

7loi = иЬ + 2cf — ^°© ПРИ и\j + > W

Kg, = — [Х0ф - (Qd + и\rf)] при и\^ < )>о®.

В приведенных выше формулах — проекция аргумента широты Марса в момент 7\ на плоскость эклиптики, Хо® — средняя долгота Земли в момент Т0 старта с орбиты Земли.

Задача определения параметров траектории Земля —Марс формулируется, таким образом, как задача о перелете между двумя точками с заданными радиус-векторами в моменты Г0 и Тг при известных значениях угловой дальности т|01 и времени перелета t0,. Указанная задача может быть решена с помощью уравнения Эйлера-Ламберта [4]. Достаточной точностью и быстротой сходимости итерационного процесса обладает использованный здесь метод [5] приближенного решения уравнения Эйлера—Ламберта, основанный на аппроксимации оптимально выбранными параболами истинной зависимости величины большой полуоси от времени перелета.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ПЕРЕЛЕТА. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

В качестве меры энергетических затрат рассматривается характеристическая скорость перелета Д1/з, представляющая собой сумму трех импульсов скорости, аппроксимирующих активные участки работы двигателя: .

Д1/Е = Д1/0 + ДК!+ ДК2. (25)

Здесь Д1/0 — ускоряющий импульс на орбите ИСЗ, Д1^ — тормозной импульс выхода на орбиту ИСМ, ДУг — ускоряющий импульс ухода с орбиты ИСМ при возвращении к Земле.

Полагая, что импульсы скорости прикладываются в перицентрах соответствующих планетоцентрических гипербол и их направление совпадает (для ускоряющих импульсов) с направлением скорости движения по орбите ИС планеты или противоположно ему (для тормозного импульса), определим их величину в г-й точке (г = 0, 1, 2) из соотношения

Здесь Н1 — высота круговой орбиты ИС над поверхностью планеты, ^пл. ^пл. /?сф. пл — соответственно гравитационная постоянная, радиус и радиус сферы влияния планеты, на орбите ИС которой прилагается импульс скорости, 1/гсф — планетоцентрическая скорость на сфере влияния:

Сформулируем следующую задачу. Для перелетов заданной продолжительности Тъ = Тг — Го = const с фиксированным временем ожидания на орбите ИСМ tm = T2—Тг = const и заданной скоростью возвращения в атмосферу Земли VBX = const определить в течение синодического периода такие даты выполнения основных маневров (разгона и торможения космического аппарата на орбитах ИС и входа в атмосферу Земли) Т0, Ти Т2, Т3, для которых характеристическая скорость перелета была бы минимальной.

Применительно к излагаемой методике задача оптимизации сводится к нахождению даты Т2 старта с орбиты ИСМ, соответствующей минимальному значению Д1/Е. Отметим, что условие постоянства скорости входа в атмосферу Земли учитывается при выводе соотношений, определяющих параметры перелета Марс-Земля, и поэтому точно выполняется для всех исследуемых траекторий.

В процессе отыскания параметров оптимального перелета производится последовательный перебор всех возможных взаимных угловых положений Земли и Марса, характеризующихся углом что соответствует варьированию Т2 на протяжении полного синодического периода Тсии между двумя последовательными TN и TN+1 моментами противостояния планет.

После проведения расчетов оптимальных (для каждой даты Т2) траекторий в указанном диапазоне Т2 получаем зависимость ДУъ(Т2). Для отыскания даты старта с орбиты Марса, соответ-

(26)

УісфЧ^- Vlaa\.

(27)

ствующей перелету с минимальным значением необходима

уточнить каждый из локальных минимумов АУ^(Т2), абсолютный же минимум Д 1/е и соответствующая ему дата Т2 находятся сравнением всех локальных минимумов.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Энергетические затраты, необходимые для осуществления перелета Земля—Марс —Земля, изменяются с периодичностью, определяемой основным синодическим циклом движения пары Земля-Марс (7 — 8 синодических периодов). Поэтому целесообразно рассмотреть возможные даты старта в диапазоне 1971—1988 гг., составляющем девять синодических периодов. Наибольший интерес представляют „быстрые" перелеты продолжительностью 360—640 суток. Время ожидания на орбите ИСМ принято равным 30 суткам. Ограничимся исследованием траекторий, для которых возвращение в атмосферу Земли происходит со скоростями 16 и 20 км/сек. Для определенности будем считать, что орбиты ИС планет, с которых стартует космический аппарат и на которые выходит после торможения, имеют нулевую высоту над поверхностью планеты. Получаемые значения импульсов скорости с достаточной точностью справедливы для низковысотных (до нескольких сот километров) круговых (или близких к круговым) орбит ИС планет.

Как показывают результаты расчета оптимальных перелетов: со скоростью входа в атмосферу Земли 16 км/сек, минимальные значения характеристической скорости соответствуют старту с орбиты ИС Марса спустя 40—120 суток после противостояния Земли и Марса, а в случае, когда скорость входа в атмосферу Земли равна 20 км/сек,— спустя 140—200 суток.

Оптимальная продолжительность перелета Земля—Марс—Земля составляет 440—520 суток для „благоприятных" периодов старта, соответствующих минимальным значениям потребной характеристической скорости, и 480—560 суток для „неблагоприятных11 периодов с повышенными требованиями к энергетике перелета.

Влияние даты старта Г0 с орбиты Земли на характеристическую скорость перелета Д1/ц проиллюстрировано на фиг. 5 для ^вх=16 и 20 км/сек. Здесь Аг= 1, 2,..., 9—моменты противостояний Земли и Марса, а значение Т0 отсчитывается в сутках от основной эпохи (0-го января 1900 г.). Следует отметить, что для перелетов с ^=16 км/сек характеристическая скорость сильно зависит от периода старта. Минимальные значения Д1/2 == 11,2 12,4 км/сек достигаются для перелетов в 1971—1973 гг. и 1985—1989 гг. Период 1977—1984 гг. следует считать неблагоприятным для осуществления полета к Марсу с возвращением к Земле,, так как в этом случае требуемые значения характеристической скорости составляют 16 — 18 км/сек. Для траекторий с Увх—20 км/сек энергетические затраты гораздо меньше зависят от периода старта, при этом минимальные значения Д = 11,4 12 км/сек соответ-

ствуют 1971—1975 гг. и 1988—1990 гг.

Для выявления зависимости характеристической скорости перелета от величины скорости входа в атмосферу Земли для перелетов в 1973—1975 гг. рассмотрим траектории с 1/вх= 14-г-24 км/сек (фиг. 6). Минимальные энергетические затраты достигаются в этом случае для 1/вх = 20 км/сек, а изменение последней в пределах:

+ 2 км/сек вызывает сравнительно небольшое увеличение АУЪ, в то время как достижение 1/вх= 14 км/сек увеличивает потребную энергетику на 3 кл1/сек.

Для того же периода дат старта увеличение времени ожида-

ния на орбите ИСМ ta от 30 до

-----

[км/сек]

1б\——

12

10

16км/сек

32000 Т0

8

8 9 А

*Vj\

[км/сек]

Я \——

Vg= 20 км/сен

100 суток приводит к возрастанию Д1Л: на 2—3 км/сек, при этом продолжительность оптимального перелета увеличивается на 100—140 суток.

В заключение следует отметить, что решение задачи оптимизации перелетов Земля—Марс— Земля с фиксированной скоростью

01.01.13 13 75 77 79 81 83 85 87 89 31г

/*

12

10

сек] 1973-1975г г 30 суток

Фиг. 5

/4 16 18 20 22 Vilt[KM/ceKj

Фиг. 6

входа в атмосферу Земли позволило найти семейства траекторий с характеристическими скоростями, близкими к характеристическим скоростям траекторий без ограничения скорости входа [6], для которых величины 1/вх получаются существенно больше рассмотренных в статье.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В. А. К расчету траекторий перелета космических аппаратов между компланарными круговыми орбитами в ньютоновском гравитационном поле. „Космические исследования", т. II, вып. 5,

1964.

2. Эрике К. Космический полет. М., .Наука", 1963.

3. Чеботарев Г. А. Аналитические и численные методы небесной механики М., „Наука", 1965.

4. Бэттин Р. Наведение в космосе. М., „Машиностроение", 1966.

5. Петухов С. В. Об одном способе приближенного решения уравнения Эйлера—Ламберта. „Космические исследования", т. IV, вып. 5, 1966.

6. Б а л а ш о в В. В. Некоторые вопросы использования атмосфер планет для снижения энергетических затрат при осуществлении межпланетных перелетов. Труды IV Циолковских чтений, М., 1970.

Рукопись поступила 7/II 1970 г-