CC BY
13
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. С. М. КИРОВА
Том 277
1977
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОУРОВНЕВОЙ СХЕМЫ ФОТОПРОЦЕССОВ В НЕОРГАНИЧЕСКИХ АЗИДАХ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Г. Б. АГУТОВА, Б. И. БАЛЫШЕВ, Ю. В. ГАВРИЩЕНКО,
А. И. РУБАН
(Представлена научным семинаром кафедры вычислительной техники)
Исследование фотопроцессов в твердых телах (фоторазложения, внутреннего фотоэффекта) позволяет установить механизм химических реакций, протекающих под действием световых излучений. Значительную помощь в установлении механизма реакций оказывает математическое моделирование процессов,, которое значительно сокращает объем экспериментальной работы.
Ранее уже предпринимались попытки исследования одноуровневой схемы разложения [4]. Однако использованные методы проб и ошибок и последовательного перебора позволили только качественно интерпретировать полученные результаты.
В данной работе проведен анализ подобной схемы симплексным методом [3]. Исследование производилось на электронной линейной моделирующей установке типа МПТ-9-3.
Система дифференциальных уравнений, описывающих кинетику фотопроцессов в твердых неорганических азидах, имеет следующий вид:
о) 1
^ ' а4(^-)*-авГ&+а1/ (Т^з)2—а10Ы§
<И
йе ~сй
<Ш2 п
-^М^+^з-Г+а
N4
Начальные условия:
№)*|/=о=0; е |<=о = 0;
Введем обозначения:
/N3"=/
тогда
(2)
И
йХъ
Ш <1х з ___
ш
йхк
Исходя из структурной схемы (рис. 1), машинное моделирующее уравнение запишется в следующем виде:
/ «и
ъЪ О-
Х2Х3о-(2)-
Н>—©-1 О-
О-
О"
о-
* гщ>~4
-1 о--[К.)-
-Хз
-©—'
-
ьх3с—(7Х—
/ О-
хгх3°-(£)—
нг>—б)-1
¿о
--
Рисг 1. Структурная схема,
йУх й-
йг
<Шг
йх
йи,
йх
к1и0-кьи1-к1и1+каи&3-1г9и1
г
= —Лб^з^з+ЛхС/о—Лаг/аСУз—
-к.и^+к.и.+к^и^
где /^ч-Лю машинные коэффициенты при машинных переменных которые изменяются от 0 до 10, и0 изменяется от 0 до 100 в. Для того чтобы уравнения (2,3) были тождественны, необходимо ввести масштабные коэффициенты.
(4)
тх=—; Хо
яг2 -г;
г /
т,=—; Т /П1 _ „ « т4 = 7"Г •
и,
Произведем замену машинных переменных в машинном уравнении, используя масштабные коэффициенты, тогда система (3) запишется в следующем виде:
(5)
кТ__1 Г Чу 1 к.К 1 0,01
с/г1 /71^1 /я, /я, ш%тътг
**I= —-—0,01 МЛ——
(и т1т1 . /г^т,
1
т%т1 1
■0,01 --—к^х
10^3
т
Кх\---—0,01 к§хгхз--
тш
й1 т1т1 т2т(
--1—0,01 ¿2-ВД---
т2т( - т(
йх
т
т
Ш т<1тг тхт1 т2 тг
Следовательно, критериальные уравнения будут равны:
( т9
ГПлГП
1 "Ч
Ь и _ ЛЬ-Ь п --«1 = а.
/пт/тг, /П1 т.
0,01 - 0,01 , - «9= -Ко — Я-
т
/??х т, т,т
— Л3 = а3
=-=
/Я,
¿5 = а5
т-
---—0,01 ¿0
т2т3т1
—^—0,61 й7 =
—-—0,01 ——-—0,01 &6 = ае
тгт1 щт1
т
т^т
—0,01 = а7
га,
8
т,
—- —--— — а9
т.
■к
т1т(
т,
т,
ю
т2тг
10 — ^10
Из выражения (6) следует: тх — т2 — тп^ = тА = тх=т. Тогда получим
¿1 _
т.
к20У01
тт,
т,
т
т,
0,01 /г6
т-т( 0,01 кч
т т
т{
= а<
т,
ю
= а
т,
ю
I (7)
Набор экспериментальных кривых на блоках нелинейности (БН) проводился методом кусочно-линейной аппроксимации. Предварительно задача решалась методом проб и ошибок при периодическом режиме счета. Этот метод заключался в последовательном приближении кривой решения уравнения на машине к экспериментальным кривым. При этом в виде количественного эталона, характеризующего ^степень сходства кривых, была взята функция качества Ф, получаемая со схемы, изображенной на рис. 2. В результате этого были получены следующие значе-
ния коэффициентов и возмущающего воздействия, при которых кривые с модели максимально приближаются к экспериментальным.
е модели
Рис. 2. Схема, реализующая функцию качества по двум параметрам.
1. Для области сильного поглощения
Таблица 1
К-2 К, К- «10 1в Ф,= 10 сек(Ь)
,0,32 0,1 1 1 0,344 0,804 0,85 0,1 0,15 | 0,54 95 47
2. Для области слабого поглощения
Таблица 2
Факторы кх К 2 Кх «7 щ «10 и0(Ь)
Основы, уровень . 0,645 7,5 1 10 0,68 4,8 5 0,094 0,15 0,88 98
Дальнейшее приближение кривых производилось симплексным методов. Для этого была построена матрица исходного симплекса:
О-/?*-
кп~ 1 кп кп~\ кп кп~\ кп
о о о о о о
кп-1 кп Яп-хкп
о-я„
(8)
где
Г
Ущ
1+1)
К V т+\);
/=1,2,..., п.
Для данной задачи исходная числовая матрица имеет вид (8*). Матрица требуемого симплекса натуральных переменных находится по формулам;
где
а, р — факторы;
х\, х2 — значения из исходной числовой матрицы; /ь /2 — основной уровень факторов; Дь Лг — интервалы варьирования. В нашей задаче в качестве основного уровня факторов выступают коэффициенты и возмущающее воздействие 00. Основные уровни факторов приведены в табл. 1, 2, интервалы варьирования в табл. 3 и 4.
1. Для области сильного поглощения
Таблица 3
Факторы кх к* к, К-1 К з лг9 иль)
Основной
уровень 0,32 0,1 1,0 1,0 0,344 0,804 0,85 0,1 0,15 0,54 95
Интервалы
варьиров. 0,07 004 0,05 0,1 0,06 0,015 0,03 0.01 0,01 0,15 8
2. Для области слабого поглощения
Таблица 4
Факторы Кп к, л-'.о К- кю и0(Ь)
Основной
уровень . 0,645 7,5 1 10 0,67 4,8 5 0,094 0,15 0,38 97
Интервалы
варьиров. 0,018 3,6 0,04 0 03 0,4 1,8 0,9 0,116 0.079 0,24 4
Анализ полученных результатов показал, что наихудший опыт из серии— опыт № 8 (Ф=16 в). «Отражение» наихудшей точки (опыта) относительно центра противоположной грани симплекса дает условия для проведения нового опыта взамен исключенного.
Координаты центра грани были определены по формуле
/г+1
. ПО)
Условия проведения опыта в отраженной точке:
х^^Ъх^-х^, /=1,2,..., п, (11)
х/ —¿-я координата центра противоположной грани; х/ —¿-я координата наихудшей точки;
х+2 —1-я координата новой точки, полученной © результате отражения.
Таблица 5
N ЛГ, «3 кк «5 «6 к7 к8 «9 «10 Ф
1 0,654 8,54 1,01 10,005 0,72 4,99 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 13
2 0,636 8,54 1,01 10,005 0,72 4,99 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 10
3 0,645 5,5 1,01 10,005 0,72 4,99 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 12
4 0,645 7,5 0,98 10,005 0,72 4,99 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 14
5 0,645 7,5 1 9,99 0,72 4,99 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 10
6 0,645 7,5 1 10 0,41 4,99 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 13
7 0,645 7,5 1 10 0,67 3,62 5,08 0,104 0,156 0,396 97,2 15
8 0,645 7,5 1 10 0,67 4,8 4,41 0,104 0,156 0,396 97,2 16
9 0,645 7,5 1 10 0,67 4,8 5 0,014 0,156 0,396 97,2 10
10 0,645 7,5 1 10 0,67 4,8 5 0,094 0,1 0,396 97,2 9
И 0,645 7,5 1 10 0,67 4,8 5 0,094 0,15 0,37 97,2 10
12 0,645 7,5 10 0,67 4,8 5 0,094 0,15 0,38 94,3 10
13 0,663 7,41 1,002 10,002 0,67 4,81 5,69 0,093 0,15 0,388 96,99 10
14 0,649 7,40 1 10,002 0,74 5,18 5,1 0,092 0,144 0,391 96,9 9
15 0,649 7,40 1 10,003 0,62 4,85 5,12 0,078 0,144 0,391 96,8 9
Как видно из табл. 5, наихудшим является опыт № 8. В соответствии с изложенной выше методикой, заменим точку № 8 новой точкой № 13. Координаты этой точки и координаты центра грани, образованной точками с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, имеют следующие значения:
ьс 0,654+0,63614-0,645-9 к\ =--—:-=0,6451,
кс2
11
2-8,51+5,5+7,5-8 11
7,48,
и Т. д.,
а координаты тринадцатой точки выражаются:
*(!13)=20,6451-0,645-0,5451, ¿213) = 2- 7,5—7,5 —7,5,
и т. д.
После проведения опыта в точке № 13 наихудшей точкой симплекса (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.13, 9, 10, 11, 12) оказалась точка № 7. Ее определение относительно грани (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 9, 10, 11, 12) дает также наихудшую точку № 4 в симплексе. Симплекс (1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) соответствует почти стационарной области. Коэффициенты этого симплекса даны в табл. 6.
Таблица 6
«1 «2 «3 к, «о «6 «7 «8 «9 «10 и0 Ф
0.649 7,4 1 10,003 0,62 4,85 5,12 0,078 0,144 0,391 96,8 | 9
Используя систему (7) и значения масштабных коэффициентов, найдем значения коэффициентов для системы (2):
т
0,649 1
0,649,
а о =
0,01
0,01-7,5
тт,
1-0,125-10! 1,
0,6-10"!
Ь.
т,
ас4: — — -
ть
-А-
ач>
т1
0,01 Лв
т • Щ
0,01 к7
т •т.
_
Щ
- — —
тг
аю
т1
= 0,548-Ю-9 = 0,409 -Ю-9, 0,078,
0,391.
Систему (2) можно записать йхх
сИ йх2 Ш
йх^
сИ
йхх ~сй
=/—0,62 хх-Ю ^х+0,548 • 10-9х,лг3-0,144 хх
= 0,649 дгх—0,548 • 10-9*2*3+0,649 /-0,6-Ю~9х2х3~
— 0,409* 10~9х>2—0,391 х2 Ю хх-0,548• Ю-эад+0,649 /-0,6- 10-9*2*з-
-0,078
0,409 • 10-9х224-0, 144 ^+0,391
Кривые, соответствующие проведению опыта № 15 для области слабого поглощения, представлены на рис. 3, 4, числовые данные — в табл.6 и 7. Аналогично проводились исследования фотопроцессов для области сильного поглощения. Для области сильного поглощения получены следующие результаты: графики на рис. 5, 6; числовые данные в табл. 8, 9; значения коэффициентов и возмущающего действия, соответствующих им в табл. 10.
Рис. 3. Кривая скорости газовыделения в области слабого поглощения. _____экспериментальная кривая, _кривая
с модели
Рис. 4. Концентрация дырок N3° при облучении светом (слабое поглощение)._____экспериментальная кривая, __кривая с модели.
Таблица 6а
т (сек) 1 2 3 4. 5 7 10
и2в 5 11 14 17,5 20 25 1 28 . ' а б л и ц а 7
г (сек) 1 2 3 4 5 7 10
^ (в/сек) ат 47 36 33 31,5 31 30,5 30 Таблица 8
^(сек) 1 2 3 4 5 6 7 10
и2(в) 25 33 32,5 28 25,5 24,5 24,5 24
Рис. 5. Кривая скорости газовыделения в области
сильного поглощения.____.__экспериментальная
кривая, _ кривая с модели.
"6Ш й
Рис. 6. Кривая концентрации дырок N3° (х 1010) при облучении светом (сильное поглощение). ______экспериментальная кривая,_ кривая с модели
Таблица 9
т (сек) 1 2 3 4 5 6 7 10
аи4 (в еек) (11 / 35 45 37,5 « 34 33 33 33 32,5
Таблица 10
кх к2 К4 «5 «6 к7 к8 «9 «10 ■ ¡(8) Ф (в)
0,32 1 0,99 1 0,59 1 0,65 0,01 0,135 0,9 95 37
В связи с тем, что погрешность измерения экспериментальных кривых соответствует 10%, полученные результаты являются хорошим приближением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Левин. Методы решения технических задач с использованием АВМ. «Мир», 1966.
2. Теория аналоговых и комбинированных вычислительных машин. Методы математического моделирования. «Наука», 1969.
3. В. Г. Горский, В. Э. Бродский. Симплексный метод лпланирования экстремальных экспериментов. «Заводская лаборатория», 1965, № 7.
4. Ю. В. Гаврищенко, Г. Г. С а в е л ь е в. Изв. ТПИ, 251, 255, (1970).
в Заказ 10892
