CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ То м VI ! 1975
М 3
УДК 629.735.33.018.4
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
В. И. Антомони
Рассматривается задача о нелинейных колебаниях прямоугольной пластины, которые могут возникать при больших перемещениях. Для исследования задачи о нелинейных колебаниях прямоугольной изотропной пластинки построена экономичная конечноразностная схема метода дробных шагов.
1. Рассмотрим прямоугольную пластинку со сторонами а, Ь и толщиной к. В безразмерных переменных основные уравнения нелинейной теории пластинок (без учета распространения упругих волн) [1] имеют следующий вид:
М-
12 \ X2
д4 но
(IXі
+ 2-
дх2 ду2
+ Х2
6і но ду*
)=
ф й2» ,
2. . --, +д ■
д2 Ф д3 но . д2 Ф д2 но ду3 дх2 дх2 ду2 д2 да1
дх ду дх ду
дР
1 д*Ф
+ 2
д*Ф
<Э*Ф
/ д2 но \2 \длг ду)
дз но д2 но
№ дх* ' дх1 ду2 ду4
Граничные условия для функций щ и Ф
дно , д2 т
т |г = 0,
дп
+ а2
дя2
дх2 ду2
= 0;
д2 Ф
ду2
д2Ф
■Т„ -
дх2
Т2,
дх ду д2 Ф
дх ду
при л: = 0, х — 1; при .у = 0, .у=1,
(1)
(2)
(3)
(4)
где Г — контур пластинки; п — направление внешней нормали к контуру; а1 = а1(5), а2 = а2 (5); 5 — произвольная точка контура Г.
Начальные условия
■ю|*=0 — <?(Х, у);
dw
dt
t=о
-•= Ф (X, у),
(5)
здесь . введены следующие безразмерные параметры и величины:
x = x*ja, у = у*/Ь, -
t* h
ab
V-
Е
(1
TV
w =
1
ф
V2) p * ф*
ЕЮ
S =
E \ *
5* ab
~E~ ~W
где T*, T*, S* —заданные усилия на контуре пластинки; w*, Ф* — прогиб и функция напряжений в срединной поверхности; Е, v, р — модуль упругости, коэффициент Пуассона и плотность материала; g* = q*(x*,y*, t*) —поперечная нагрузка.
2. Систему (1) с граничными условиями (2) — (4) и начальными условиями (5) будем решать в конечных размерностях методом дробных шагов. Построим в области G = G+r, G — {0 ■< ха ■< 1, <х=1,2}, Г — граница G, на отрезке O^t-^T равномерную сетку о)л х = 0)^ х<йг> wA = {jtj i = iVi], X2 j —jh2> i — 0, 1,,.., JVj, j =
= 0,1, Aj = 1/Ni,' h2 = l/N2}, 0)x={/n = «T, n = 0, 1, ..., TV,
г = T/iV} и рассмотрим уравнение _ .
' Lw — F(x, t), xeG, t(*(0, T)\
Z, /-11 “t~ Z-12 "I- ^21 1*22’
/ a = x2(a+i3-3)-
d4
a, 1, 2;
1 n / dw , с*2 w'
»|p=°,
=0,
® (x, 0) = <P (л),
0)
(6)
Оператор Ьав,ш = Х2(я+р 3) - аппроксимируем' разностным
оператором А^1И)~'к2{*+9~г)т- х - (основные обозначения заимствованы из [2]), так что
Л = Ли + Л12 + Л21 -)- Л22.
Кдк известно,: метод дробных шагов можно осуществить с помощью различных разностных схем [3]. В данной работе для решения
6—Ученые записки № 3
81
уравнения (6) предлагается так называемая схема стабилизирующей поправки
даИ+1/2 - 2Wn-\-Wn 1 . . -iiin , Г) А п I Л п СП
-------■ —s——---------------------h Au wn+l12 + 2Л12 wn + Л22 wn = Fn\
-^3 Г -^11 "Г ^42
■ + -Л22 (wn+1— wn) = 0.
а,я+1 _ да"+ 1/2
(7)
Положим Рп = 0, т. е. рассмотрим однородное уравнение. Схема (7) для решения однородного уравнения является аналогом разностной схемы, предложенной в работе [4] для многомерного уравнения колебаний. Исключая в (7) вспомогательную величину дал+1/2, получим схему в целых шагах
wn+1 — 2wn + wn 1
х2 +(ЛП+Л22)те»«+1 +
+ 2Л12 да" -{- х2 Лп Л22 (зд;я+1 — тюп) = 0.
Отсюда следует, что схема (7) аппроксимирует уравнение (6) с погрешностью 0(|Л|2 + т2).
Принимая во внимание тождество А1ХК22 = А\Ь перепишем схему (7) в факторизованном виде
(£ + т2Лп)(£' + т2 Л22)и>"+1 =» [£ + (Е + т*Л,2)2] ®/л — и»"-1.
Применяя к этой схеме анализ Фурье, получим, что дисперсионное уравнение имеет вид
2 1 + А — (Ьг + Ь2у , 1 _~
Р А —и’
4 т . , А, , х . , А*Л,
где А = (1 + b\) (1 + *§); Ъх = -I— sin* -^1. = sin2 ^
для корней которого независимо от величины отношения = const, /=1, 2, выполнено условие
I Р1,а | < 1 (8)
и, следовательно, из аппроксимации и условия устойчивости (8) следует сходимость разностной схемы (7).
3. Решение второго уравнения системы (1) с граничными условиями (3) и (4) можно представить так
‘ Ф = Ф, + Ф2, (9)
где
Ф 2=;±-Tly*-Sxy+±rT2x\ (10)
a есть решение уравнения
1 д* | 0 д* ,2 й4Ф] / д1 w \2 дг w д2 w ,.. ч
+ 2 дх*ду2 дхду ) дх2~ду>’
с граничными условиями
> L — П .___
дп
ф.|г = 0' ^|г-°- <12>
Для интегрирования уравнения (11) с граничными условиями (12; использована итерационная схема, предложенная в работе [5],
которая относится к тому же типу схем, что и рассмотренная выше, т. е. является схемой стабилизирующей поправки
ф* + 1/2_________ф*
гк+1
+ Ап Ф‘+«/* + 2Л12 Ф* + Л22 Ф* = р-
ф*+1 ___ фА+1/2
7—
+ Л22 (Ф* + 1 — Ф{“) = О,
(із;
где Гк+1 — итерационный параметр;
р=тг <«#'++«С + - ®£‘ <’•
Итерационные параметры гА выбирались в соответствии с [5], однако в данном случае они не являются оптимальными, так как в отличии от [5] здесь рассматриваются другие граничные условия.
Счет по итерационной схеме (13) прекращался, если для решения Ф1 выполнялось условие
шах|(Фі)* н
ч
(14)
4. Остановимся на методе решения поставленной задачи. Введем, следуя [2], такие обозначения
да = дая, да = да"+1/2,
Л V
да == дап+1, да =
Тогда (7) с учетом граничных условий можно записать в следующем виде (при этом если в уравнении один из индексов фиксирован, то он не пишется):
0С|А| -}— 2сс2 1
(а1 Л, — 2а2)
4 —
ъа1 — -5- + Т2 = Ри
1 = 2, З.....М-2;
1
+
а1^1 "Ь ^а2
т2 ' ^ (а,*! + 2а2)
’Ю — 0, і = 0, Л^;
/Ж-1,
]Л 4 Л 1 А
Щ (а1л2 — 2а2)
1 Л 4Л /6 і \ Л 4 л 1 л
4 ^+ (й + ^г" П-
4 л
‘2 / “2 У = 2, 3,..., Л^2 — 2;
я^2 — 2а2
г. 1 ^ -Г ь2
2
Л
да = 0; / = О, Л^,
(16)
где
F — Ф- w- + Ф- w-
уу хх хх уу
— (Ф„ + Ф5у + Ф,У- + ФГу) (wxy + w-y + wx~ + w-) + q; F' = F — 2Ai%w — Ai2w + ~w- -±-w;
- F2 = — w + A22w.
Пусть известны 'но — '®?1 и Ф = Фл. Тогда вычисляем Рх, затем методом прогонки [5] вдоль строк у =1,2,..., N2—1 решаем
задачу (15) и определим да во всех узлах сетки и>л, после чего вычисляем Т78 и решаем задачу (16) вдоль столбцов г =1,2,..
л
— 1, определяя ■ш = вуи+1. Далее из итерационного процесса (13)
Л ,
определяется функция напряжений Ф1 = Ф1 . В качестве начального приближения функции напряжений Фі использовалось значение Фц на предыдущем шаге по времени. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия (14).
Для аппроксимации начальных условий (5) использовались следующие соотношения:
ге>° — ср;
та;1 = <р -J- т ф ■
(A?~F).
5. По методу, изложенному в данной работе, была составлена программа и просчитан контрольный пример о собственных колебаниях квадратной пластины, шарнирно опертой по контуру [а,(5) = 0; а2(5) = 1; 5 6 Г]. Начальный прогиб задавался в виде
? (х, у) = A sin кх sin ку.
На фигуре дана зависимость прогиба в центре пластинки от времени при различных начальных отклонениях. При А — 1 колебания пластинки являются гармоническими, а форма изогнутой поверхности сохраняется первоначальной. Если же начальное отклонение превышает толщину пластины (Л=5), то колебания
резко отличаются от гармонических. Н& фигуре, кроме того, приведено решение этой же задачи, полученное в работе [6] методом Бубнова — Галеркина. Здесь Т0 — период основного тона малых колебаний квадратной шарнирно опертой пластинки [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.
М., .Наука" , 1972. ■ .
2. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., .Наука", 1971.
3. Я н е н ко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики., Новосибирск, „Наука", 1967.
4. Коновалов А. М. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний. ДАН СССР, т. 147, № 1, 1962.
5. Conte S. D., Dames R. J. An alternating direction method for solving the biharmonic equation. .Math. Tables and other Aids to Comp.", vol. XII, N 63, 1958.
6. Вольмир А. С.» Логвинская А. А., РогалевичВ. B. Нелинейные собственные колебания прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. ДАН СССР, т. 205. № 2. 1972.
Рукопись поступила 4/IV 1974 г.
