Исследование напряженно-деформированного состояния внецентренно сжатого стержня большой гибкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

2

Исследование напряженно-деформированного состояния

внецентренно сжатого стержня большой гибкости

1 12 А. С. Личковаха , Б.А. Шемшура , С.А. Кузнецов

1 Ростовский государственный университет путей сообщения (РГУПС)

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ),

2

Новочеркасск

Аннотация: Проблема формализации упругой линии тонкой стальной полосы большой гибкости возникла в процессе создания упругих элементов с нелинейной характеристикой для применения в различного рода демпфирующих устройствах. Такие упругие стержни испытывают большие перемещения при работе материала в пределах упругости, в частности, при осевом нагружении в закритической области, когда осевая нагрузка превышает Эйлерову силу, однако в докритической области перемещения недостаточно значительны для получения регрессивно-прогрессивной характеристики. В работе исследуются возможности смягчения упругой характеристики при осевом нагружении в начальный период путем применения жесткого консольного плеча, установленного на конце упругого стержня с приложением к нему вертикальной нагрузки. Одновременно исследуется влияние на упругую характеристику круговой траектории точки приложения вертикальной силы. Для формализации напряженно-деформированного состояния тонкой стальной пластины большой гибкости применяется метод эллиптических параметров. Ключевые слова: упругая линия, тонкая полоса, большая гибкость, формализация, внеосевое нагружение, эллиптические параметры, регрессивно-прогресивная характеристика.

Проблема формализации упругой линии тонкой стальной полосы большой гибкости возникла в процессе создания упругих элементов с нелинейной характеристикой для применения в различного рода демпфирующих устройствах [1,2]. Такие упругие стержни испытывают большие перемещения при работе материала в пределах упругости, в частности, при осевом нагружении в закритической области, когда осевая нагрузка превышает Эйлерову силу, однако в докритической области перемещения недостаточно значительны для получения регрессивно-прогрессивной характеристики [1].

В настоящей работе исследуются возможности смягчения упругой характеристики при осевом нагружении в начальный период путем применения жесткого консольного плеча, установленного на конце упругого стержня с приложением к нему вертикальной нагрузки. Одновременно исследуется влияние на упругую характеристику круговой траектории точки приложения вертикальной силы. Методы расчета внецентренно сжатых железобетонных стоек анализировались, в частности, в работе [3], но для формализации напряженно-деформированного состояния тонких стальных пластин большой гибкости перспективным представляется использование метода эллиптических параметров [4-7].

На рис. 1,а приведена система в начальном положении. Рассматриваемая система, состоит из упругого стержня «ОА», жёсткого плеча «АВ» и жёсткого рычага «ВО». Упругий стержень «ОА» одним концом закреплён шарниром в точке «О», а другим концом жёстко соединён под прямым углом с плечевой консолью «АВ», соединённой шарниром в точке «В» с рычагом «ВО», который другим концом шарнирно закреплён в точке «О». К шарниру «В» прикладывается направленная вертикально сила О рис. 1, б. Деформированное состояние системы определяется величиной силы О и геометрическими параметрами стержней. Система в нагруженном состоянии показана на рис. 1,б.

1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nly2018/4773

а) б)

Рис. 1. - Расчетная схема упругой системы

Согласно [4] для решения задачи методом эллиптических параметров используются правые системы координат. Одна из этих систем хОу

неподвижна, а другая х Оу ориентирована так, что ось х' совпадает всё время с направлением сжимающей упругий стержень силы ¥„ приложенной всё время в начале координат т. «О» рис. 1,б.

На рис.1,б обозначены углы: 5 - угол между осями х и х'

Са - угол между касательной (тА), проведённой в концевой точке «А» упругой

г

линии стержня и осью х , у - угол отклонения рычага «ВО» от вертикали.

Обязательное расположение шарниров «О» и «О» на одной вертикали необходимо для того, чтобы в заданном диапазоне нагрузок система при любом возмущении под действием реакции упругого стержня возвращалась в первоначальное положение.

Методика расчета предложена Е.П. Поповым [4] на основе решения точного дифференциального уравнения упругой линии гибкого стержня (1).

Л;

где I - длина гибкого стержня «ОА» (рис. 1,а),

£ - угол между касательной, проведённой в текущей точке упругой линии гибкого стержня и осью х' ,

в - силовой коэффициент подобия, который в зависимости от сжимающей стержень силы определяется по формуле (2), а в зависимости от конфигурации упругой линии - по формуле (3):

/2_2 = -ß2sin?, (1)

ß=€ ; <2>

ß = F (у a > - F(¥o), (3)

здесь H = EJmin - изгибная жёсткость, E - модуль упругости, Jmin -минимальный момент инерции гибкого стержня,

и эллиптические амплитуды в конечной и начальной точках гибкого стержня (точка А и точка О на рис. 1),

F(^a) и F(yo) - эллиптические интегралы Лежандра первого рода.

Для произвольного значения эллиптической амплитуды Щ эллиптические интегралы Лежандра первого рода ^(у) и используемые в дальнейшем эллиптические интегралы Лежандра второго рода Е(у) определяются соответственно по формулам (4) и (5):

F (V) =f

vo

v

v dv ф. - k 2sin2v' (4)

E(v) = í \l 1 - k2 sin2 ydy, (5)

vo

здесь k = sina - модуль, a - модулярный угол эллиптического интеграла.

Так как эллиптические интегралы не берутся в элементарных функциях, то они должны определяться либо по таблицам, приведённым в [6] , либо по приближённым формулам [8,9]. В настоящее время для определения эллиптических интегралов можно использовать ПО Mathcad.

Зависимость между модулем k и углом касательной к упругой линии с осью х, и эллиптической амплитудой у имеет вид

с

sin— = k sin у (6)

2

Связь между кривизной изогнутой оси стержня % и упругими параметрами в [6] установлена в виде

de 2ek

X = — = 2—cosV. (7)

ds l

Координаты точки «А» в системе х'Оу' определяются по формулам

= l{-j2[ E (у a ) - E (у o )] -1}, (8)

2kl

y A = —[cos(Vo ) - cos(V A )] . (9)

В неподвижной системе xOy - по формулам:

xA = xAcosb + yA sin 5; (10)

уА = уА cos 5 - Xa sin 5 . (11)

Изгибающий момент в любом сечении стержня определяется по формуле

2kFl cosy

М =-^ - HXo, (12)

где хо - начальная кривизна упругого стержня. В рассматриваемой задаче предполагается, что первоначальное положение стержня «ОА» является прямолинейным, поэтому Хо = 0.

Вертикальное перемещение точки приложения силы G (т. «В»)

hB = h(cosy0 - cosy), (13)

где h - длина рычага ВВ (рис. 1).

Уравнения равновесия сил, действующих на систему ОАВ (рис. 2,а):

F sin 5 - Rm sin у = 0;

F^sb - Rm cosy - G = 0.J (14)

Из (14) определяется зависимость G = f (F ,5,y)

G = F (cos5 - (15)

tgy . (15)

Для определения напряжённо-деформированного состояния упругого стержня в рассматриваемой задаче используем следующие граничные условия. Первое граничное условие: при s = 0 в точке «О» изгибающий момент равен нулю и из равенства (12) следует cosy о = 0. Тогда согласно [6] при кривизне х < 0 и ;О > 0 начальная эллиптическая амплитуда принимается равной у0 =

я/2. При переходе от точки «О» к точке «А» значение эллиптической амплитуды должно возрастать. В характерной точке (на рис. 1,б это точка сжатия «С») эта амплитуда должна быть кратной я/2, то есть = п.

1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nly2018/4773

Т X

1Л *

О

а) б)

Рис. 2. К выводу уравнения равновесия упругой системы

Значение эллиптической амплитуды в точке «Л» неизвестно. Это значение может быть определено из второго граничного условия (рис. 2,б): при 5* = I изгибающий момент в сечении «Л» равен

МА = — ¥г соб с А, (16)

где t = АВ - длина плечевой консоли.

Момент принимает отрицательное значение, так как кривизна упругой линии х < 0. Используя для концевой точки «А» равенства (2), (12) и (16), получим

2ксоБ^А =-^соБ^А . (17)

2 С А

С учётом того, что сОБСа = 1 — 2б1П "2" второе граничное условие (17) представим в виде

2 к соБу А t

в • (1 - 2k 2sin2yA) Г (18)

Алгоритм решения задачи с использованием ПО Mathcad состоит в следующем. Для положения системы, когда при первоначальном угле отклонения поводка у0 гибкий стержень прямолинеен и заданы геометрические размеры t, l, h, а также изгибная жёсткость гибкого стержня H и координата точки «D» задаётся модулярный угол эллиптического интеграла а (0< а < п/2) и вычисляется значение модуля k. Эллиптическую амплитуду уА (в точке А) определяем в Mathcad с помощью функции root из трансцендентного уравнения (18) (начальное значение уА задаем равным п, так как в точке сжатия «С» = п). При этом с учетом (4) и приближённых формул, полученных в работе [6] силовой коэффициент подобия (3), в зависимости от конфигурации упругой линии в конечной точке А (см. рис. 1) и начальной точке О гибкого стержня определяется по формуле

cosa 2 2уА 2 2 j- 2« ■ viyJ

g 2

Полученное значение уА позволяет проводить все дальнейшие расчёты и исследования деформированного гибкого стержня.

ПРИМЕР. Исследуется стальной упругий стержень ОЛ (рис. 1) в виде полосы длиной ОЛ = I = 0,4 м с поперечным прямоугольным сечением 0,6 х 5,1 мм, у которого: осевой момент инерции Jmin = 9,18■ 10-14 м4, момент сопротивления Ж = 3,0610- м и изгибная жёсткость Н = 0,01836 Нм2. Длина плеча ЛВ = t = 0,04 м, длина рычага ВВ = И = 0,08 м., длина стойки ОВ = 0,3216 м, у0=10°.

Решение. Для определения эллиптической амплитуды уЛ используя ПО Mathcad решаем трансцендентное уравнение (18) в соответствии с исходными данными. Силовой коэффициент в определяем также с помощью ПО Mathcad по формуле (3), взяв интеграл (4) в пределах от до уЛ. Далее определяем угол СЛ между касательной к упругой линии в точке Л и осью х из формулы (6). Угол получается отрицательным всегда, в данной схеме нагружения, так как х < 0. Зная силовой коэффициент в, силу ¥ сжимающую стержень,

определяем из формулы (2). Длина хорды «ОВ» равна: ОВ= х'А —1 этдА, где хА

координата точки «А» в системе х'Оу'. Определяем х'А с помощью ПО Mathcad по формуле (8), взяв интеграл (5) в пределах от до уЛ. Угол между

г

осями х и х по теореме косинусов равен

(ОВ)2 + (ОВ)2 - (ВВ)2 о = arccos—

2 • ОВ ■ ОВ

Угол отклонения поводка ВВ от вертикали у = п — АВОО , где угол

ВВО определяем также по теореме косинусов:

/ВВО (ВВ)2 + (ОВ)2 — (ОВ)2

АВВО = arccos—

2 • ОВ • ВВ

IH Инженерный вестник Дона. №1 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nly2018/4773

Из (15) определим величину силы G, соответствующую полученной конфигурации рассматриваемой системы. Вертикальное перемещение Ив точки приложения силы G (т. «В») определяем по формуле (13).

Согласно теоретическим предпосылкам максимальный прогиб упругого стержня имеет место в точке сжатия; при соответствующих заданных параметрах прогиб определим по формуле:

2kl

fmax = Утах " У'л = [COS(V0 ) " C0S(^C )] " t ' C0S? A . (20)

Максимальный изгибающий момент будет также в сечении, где находится точка сжатия, согласно (12) момент равен:

2kFl cosw

М =-- HXc . (21)

8 /

_ J max

где хс - J2— - фактическая кривизна упругого стержня.

Знак изгибающего момента при использовании метода эллиптических параметров [4] должен совпадать со знаком кривизны упругого стержня, которая в данной задаче отрицательна.

Максимальное нормальное напряжение определим по формуле:

^^max

W .

В таблице №1 приведены результаты расчётов для схемы на рис.1 с приведенными параметрами.

с

max

IH Инженерный вестник Дона. №1 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nly2018/4773

Таблица № 1

Расчетные параметры упругой системы

Вычисляемые параметры Значения параметров

а, град. 5 10 12,7 17,5 20 24 26,8 30 32,7 33,5

у а , град. 188,6 228 236,7 247 250 255 258 260,56 262,6 263

Za, град. -1,5 -14,8 -21,2 -32,1 -37,6 -46,3 -52,3 -59,1 -64,8 66,45

в 1,72 2,4 2,6 2,79 2,88 3 3,09 3,2 3,26 3,29

F, H 0,34 0,67 0,77 0,89 0,95 1,03 1,09 1.16 1,22 1,24

ОВ, см 39,6 38 36,89 34,7 33,3 31 28,9 26,77 24,7 24,1

5, град 5,2 9,26 10,94 13,3 14,1 14,6 14,1 11,93 6,74 2,33

Y, град 26,28 48,7 59,5 78,7 88 106 119,3 137,1 159,1 173,1

G, Н 0,27 0,56 0,67 0,83 0,92 1,07 1,21 1,4 1,6 1,66

hB, см.. 0,7 2,65 3,9 6,4 7,8 10,3 12 14,1 15,6 16

fmax, см. 0,046 1,8 3,07 5,2 6,33 8,1 9,24 10,5 11,54 11,8

KJ ,Нм 0,013 0,021 0,024 0,029 0,032 0,038 0,043 0,0495 0,056 0,058

^max ,МПа 43,7 69,6 78,5 95,3 105 124 140 161,6 183 189,8

На рис. 3 приведены зависимости вертикального перемещения точки «В» от нагрузки О, действующей на упругий стержень с плечом, полученные экспериментально (1), теоретически (2) и с помощью расчетного комплекса ANSYS (3).

1К1 Инженерный вестник Дона. №1 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/nly2018/4773

1,4

=н 4 1 *

•V

л г

у

Г

/

/ *•

1 1

*•

*

4

2 0* »

\

* • *

\

3 \

* 1

Щг,

¥

У

и

»*

/

,*Г

, и

' ш

•я

4 8 12 16 Ив, см

Рис. 3. - Зависимости вертикального перемещения точки В от нагрузки G

Результаты, полученные с помощью расчетного комплекса ANSYS [10] для системы с данными геометрическими параметрами достаточно хорошо коррелируются как с выведенными теоретическими зависимостями, так и с опытными данными, полученными экспериментально. Из диаграммы следует, что внецентренное сжатие упругого элемента формирует регрессивный участок упругой характеристики, а круговая траектория точки приложения вертикальной силы формирует прогрессивный участок. Некоторое расхождение теоретических зависимостей с экспериментальными связано с использованием в расчетах табличного значения модуля упругости.

Литература

1. Личковаха А.С., Шемшура Б.А., Кузнецов С.А. Исследование деформации стержня большой гибкости при осевом нагружении // Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Технические науки. 2016. №3. С. 71-76.

2. Языев Б.М., Смирнов И.И., Захарова К.В. Методика расчета силовой характеристики ленточного упругопластического элемента // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2140/.

3. Маилян Д.Р, Мурадян В.А. К методике расчета железобетонных внецентренно сжатых колонн // Инженерный вестник Дона, 2012, № 4. URL: ivdon.ru /magazine/archive/n4p2y2012/1333/.

4. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1986. 296с.

5. Kollbrunner Curt F, Meister Martin. Knicken, Biegedrillknicken, Kippen: Theorie und Berechnung von Knickstäben Knickvorschriften. Berlin: Springer-Verlag, 1961. 320 s.

6. Анфилофьев А. В., Замятин В. М. Геометрическое представление эллиптических интегралов // Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ]. 2005. Т. 308. № 5. С. 11-14.

7. Mises R. Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes // Z. angew Math. Mech. 1924. Bd 4. ss. 435-436.

8. Пономарёв С.Д., Бидерман В.Л., Феодосьев В.И. Расчёты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1956. Т.1. 886с.

9. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973. 400с.

10. Басов К.А. ANSYS: Справочник пользователя. М.: ДМК. 2005.

640с.

References

1. Lichkovaha A.S., Shemshura B.A., Kuznecov S.A. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-kavkazskij region. Tehnicheskie nauki. 2016. №3. pp. 71-76.

2. Jazyev B.M., Smirnov I.I., Zaharova K.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4 URL: ivdon.ru /ru/magazine/archive/n4y2013/2140/.

3. Mailjan D.R., Muradjan V.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1333/.

4. Popov E.P. Teorija i raschet gibkih uprugih sterzhnej [Theory and calculation of flexible elastic rods]. M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1986. 296 p.

5. Kollbrunner Curt F, Meister Martin. Knicken, Biegedrillknicken, Kippen: Theorie und Berechnung von Knickstäben Knickvorschriften. Berlin: Springer-Verlag, 1961. 320 p.

6. Anfilofev A. V., Zamjatin V. M. Izvestija Tomskogo politehnicheskogo universiteta [Izvestija TPU]. 2005. V. 308. № 5. pp. 11-14.

7. Mises R. Z. angew. Math. Mech. 1924. Nach 4. pp. 435-436.

8. Ponomarjov S.D., Biderman V.L., Feodos'ev V.I. Raschjoty na prochnost' v mashinostroenii [Strength calculation in mechanical engineering]. M.: Mashgiz, 1956. V.1. 886 p.

9. Feodos'ev V.I. Izbrannye zadachi i voprosy po soprotivleniju materialov [Selected tascs and questions on the resistans of materials]. M.: Nauka, 1973. 400 p.

10. Basov K.A. ANSYS: Spravochnik pol'zovatelja [User's quide]. M.: DMK. 2005. 640 p.