Исследование математической модели страховой компании в виде бесконечно линейной системы массового обслуживания при сихронном дважды стохастическом входящем потоке рисков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.Д. Даммер

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНО ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ СИХРОННОМ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ ВХОДЯЩЕМ ПОТОКЕ РИСКОВ

Предлагается рассмотреть математическую модель страховой компании как бесконечно линейную систему массового обслуживания. Поток входящих рисков считается синхронным дважды стохастическим. С использованием асимптотических методов исследования получены математическое ожидание и дисперсия числа рисков, находящихся в компании.

На сегодняшний день достаточно большое внимание уделяется математическим моделям экономических систем. В работах [1, 2] модель страховой компании представлена как система массового обслуживания, где срок действия договора моделируется экспоненциально распределенной случайной величиной; поток приходящих клиентов (или рисков) представлен как нестационарный поток Пуассона; количество заключаемых договоров между клиентами и страховой компанией может быть как ограниченным, так и неограниченным. В работе [3] страховая компания представлена в виде бесконечно линейной системы с рекуррентным обслуживанием. Мы будем рассматривать аналогичную модель, считая поток входящих рисков синхронным дважды стохастическим [4].

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

Предположим, что страховая компания имеет возможность заключать сколь угодно много договоров на услуги страхования. Клиенты, приходящие в страховую компанию, могут страховать свои риски (машину, квартиру, здоровье, жизнь и т.д.). Поток входящих рисков будем считать синхронным дважды стохастическим. Время, на которое заключается договор страхования, будем считать случайной величиной с функцией распределения вероятностей В(х). Таким образом, страховую компанию можно представить в виде бесконечно линейной системы массового обслуживания с реккурентным обслуживанием заявки на приборе и при синхронном дважды стохастическом потоке с интенсивностью Х(ґ) поступающих в систему заявок.

Также будем предполагать, что поток входящих рисков управляется цепью Маркова к(ґ) с бесконечным числом состояний интенсивности

X(ґ) = { = и, X2 = 2и, X3 = 3и,...}, где параметр и> 0 . На интервалах стационарности поток является пуассоновским с интенсивностью, определяемой состоянием управляющей цепи, которую, в свою очередь, будем считать цепью гибели и размножения с вероятностями переходов из состояния в состояние ріі+1 = р, і = 1,2,..., ріі-1 = д, і = 2,3,...,

Ри =1 -р-g, і = І2-..

ФИНАЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ ПОТОКА

Пусть Рк (ґ) = Р{X(ґ) = Xк}, к = 1, 2, 3,... По формуле полной вероятности можем записать систему

Р (ґ + Дґ) = (1 -X! рДґ)р (ґ)+ X2 дД/р2 (ґ) д + о (Дґ),

рк(ґ+Дґ) = ( -Ч (р+д) Дґ) рк(ґ)+К+1 дДґРк+1(ґ)+ +4-1 рДґРк-1 (ґ)+о(Дґ), к = 2д...

И система дифференциальных уравнений будет иметь вид

dPi (t)_

dt

■ = Xi ppi (t)+ ^2qp2 (t) q ,

(1)

dPk (t)

dt

= K (p+q) pk (t)+К+i qpk+i (t)+К-i ppk-i (t),

k = 2,3,...

Далее будем рассматривать систему в стационарном режиме при t . Обозначим Rk = lim Рк (t),

t ^го

к = 1, 2, 3,..., финальные вероятности состояний потока. Совершая предельный переход в системе (1), получаем уравнения для определения Rk, к = 2, 3,. :

Rk^kq -Rk-1^к-1Р = 0 ,

го

Ё Rk = 1.

k=1

С учётом условия нормировки получаем выражения для финальных вероятностей

k-1 Р\ 1

Rk = 4 q J ,k , k = 1, 2,... (2)

k ro / \k-1 л K '

да і

АССИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ

Проведем ассимптотический анализ системы методом [5]. Введём функцию £ (х) = 1 - В (х) = Р {£ > х} -вероятность того, что за время х заявка не обслужит-

ГО

ся. Обозначим Ь = | (1 - В (х)) ёх - среднее время об-

0

служивания заявки, і(ґ) - число заявок, находящихся на обслуживании в момент времени ґ. Попытаемся найти распределение и выражения вероятностных характеристик процесса і(ґ).

Рассмотрим некоторый момент времени ґ1. На рис. 1 на верхней оси изображена возможная реализация моментов наступления событий входящего потока. Выделен момент ґ1 и рассматриваются моменты времени / < /і.

t ^ t

SM) >

Рис. 1

Если событие исходного потока наступает в момент ґ, то с динамической (зависящей от момента времени ґ) вероятностью £(ґ1 - ґ) это заявка просеивается, т. е. отправляется в просеянный поток, а с вероятностью 1 - £(ґ1 - ґ) = В(ґ1 - ґ) не рассматривается. Обозначим п(ґ) - число событий просеянного потока, наступивших до момента времени ґ, или число занятых приборов. Тогда і (ґ1 ) = п (ґ1), т.е. число заявок, находящихся в системе в момент времени ґ1 , совпадает с числом занятых приборов в тот же момент времени.

Пусть Рк (п,ґ) = Р(к(ґ) = к,п(ґ) = п), к = 1,2,3,... Для Рк (п, ґ) можем записать систему Р (п,ґ + Дґ) = (1 ^^ґ) (п,ґ) + X1ДґP1 (п-1,ґ)£(ґ1 -ґ) + +X1ДґP1 (п,ґ)[1 - £(ґ1 -ґ)](1 - р) + £(ґ1 -ґ)д х XX2ДґР2 (п -1,ґ) + X2ДґР2 (п,ґ)[1 - £(ґ1 - ґ)] д + о (Дґ) , и для к = 2, 3, 4,.

Рк ( ґ + Дґ) = ( - Xk Дґ) Рк (п ґ) + Xk ДґРк (п -1ґ) х х£ (ґ1 - ґ)(! - р - д) + XкДґРк (n, ґ) [! - £ (ґ1 - ґ)]х х (1- р - д) + X к+1 ДґРк+1 (п ґ) £ (ґ1 - ґ) д + +Xk+lАtPk+l (n,ґ)[!-£(ґ1 -ґ)]д + Xk-lДґPk-l (п,ґ)х х£ (ґ1 - ґ)р + Xk-1 ДґРк-1 (п -1, ґ) [! - £ (ґ1 - ґ)] р + о (Дґ) .

После некоторых преобразований получим систему дифференциальных уравнений

йР1 (п, ґ)

dt

■ = -K1p1 (n, t)+ K1p1 (n -1, t)S (t1 -1)(1 - p) +

— sx' (t)-

- + К1П1 (y, T, s) =

5x dy

= Х1Л1 (y - s, t, s) S1 (T1 - t) (1 - p) +

+К1П1 ^, T, s) (1 - S1 (T1 - T)) (1 - p) +

+Х2n2 (y - s, t, s)S1 (t1 - t) q +

+Х2П (y, t, s)(1 - S1 (T1 -T))q , (4)

2 dnk (y, t, e) ,, 4dnk (y, t, e) „ , .

e2 k ^ ; - ex' (t) k d ’ ' + Xknk (, t, e) =

дт dy

= Xknk (y - e т, e) £1 (т1 - t) ( - Р - q) +

+X k nk (y, т, e) Q - £1 (т1- т)) (- p - q)+

+Xk+1nk+1 (y - e, т, e) £1 (т1- t) q+

+X k+1nk+1(y, т, e)(!- £1 (t1 -t))+

+X k-1nk-1 (y - e, т, e) £1 (т1 - t) Р +

+Xk-1nk-1 (y, т, e) (1- £1 (т1 - t) ),

где £1 (t1 -t) = £Pe^) = £((t1 -t)).

Найдем асимптотику в несколько этапов.

Этап 1. Обозначим nk (y,т) = limnk (y,т,e). Пе-

e^ü

рейдем в системе (4) к пределу е ^ 0. Раскрывая скобки и упрощая, получим

X1n1 (^ т)р = X 2 п2 ( T)q,

Xk nk (y, т)( р+q ) = X k+1nk+1

( T)q + X k-1nk-1 ( Ут) Р, k = 2,3,4,...

Для nk (y, т) можно записать nk (y, t) = Rkn(y, t) , где Rk - финальные вероятности состояний потока, определяются выражением (2).

Этап 2. Далее в системе (4) оставим те слагаемые, которые содержат е только в первой степени. Получим

X1n1 (y, т, e) р - X2п2 (y, т, e) q =

=s

+Xlрl (n, ґ) [!- £ (ґ1- ґ)] (- р)+X Р2 (п -1 ґ)£ (ґ1- ґ) д+

+X2Р2 (п, ґ)[1 - £ (ґ1 - ґ)] д, (3)

5Ркд(ґ”,ґ)=-Xkрk (п,ґ)+КРк (п - 1,ґ )£ (ґ1-ґ )(1-р -д)+ +ЧРк(n, ґ) [1 - £ (ґ1- ґ)] (1 - р - д)+Xk+1 Рк+1(п -1ґ) х

х£ (ґ1 - ґ) д + Я*+1Рк+1 (пґ) [1- £ (ґ1 - ґ)] д + Я*-1 х

хРк-1(п -1ґ) £ (ґ1 - ґ)р + Xк-1Рк-1(п,ґ)[1 - £ (ґ1 - ґ)] р .

Рассмотрим систему в случае больших загрузок. Будем считать, что интенсивность обслуживания мала и асимптотика получится в предположении, что

Ь —— ГО .

Обозначим є2 = -, є2ґ = т. Перейдём от процесса

Ь

п(ґ) к процессу є2п = х (т) + єу, где х(т) - некоторый детерминированный случайный процесс, у - случайная

Р (п ґ)

добавка. Введём также функцию пк (у, т, є) = ——■—,

є

и будем считать её непрерывной дифференцируемой функцией. Тогда система (1) будет иметь вид

2 дп (у, т, є) Зл- (у, т, є)

дП1 (У, T S) (x'(T)-X1 (1 - p) x S1 (T1 -T))-

dy

дпіСу^т, s)

dy

X2 qS1 (T1-T)

+ о (s),

Xk nk (^T, s)( p+q)- Xk+1nk+1 (, T, s)q --X k-1nk-1 (y, T, s)p =

dKk (yT’^ (x'(T)-X kS1 (T1 -T)x 5y

x(1 - p - q Xk +

(5)

dy

+ dnk-1 T, s)X „Ю

+ - X k-1p IS1 (t1 t)

dy

+0 (s)

Покажем, что этой системе удовлетворяет решение вида

Пк (у,т,є) = ркП(у,т) +

+є£1 (т1 -т)Нк —+ о (є), к = 1,2,..., (6)

ду

где Ик - некие константы. Подставим (6) в систему (5), тогда после некоторых преобразований и после сокращения на є получим выражение для к = 1:

дк (ут)- £1 (т1 р -X2 ¿2 д) =

dy

dn(y, t)

' dy

[R1 x'(T)- R1X1 (1 - p )>

+sh

xS1 (T1- T)- r2 X 2 qS1 (T1- T)]+ d 2п(y, T)(

1 dy2

-S1 (t1 -T)[x'(T)-X1q1 ].

Для k = 2, 3,... выражения получатся достаточно громоздкие. Поэтому запишем всю систему сразу после предельного перехода s ^ 0 :

S1 (т -T)(X1h p -X 2 h q) =

= R1x' (т)- S1 (т1- t) [ R1X1 (1 - p)- R2X 2 q],

S1 (t1 -t)(x khk (p+q)-X k+1hk+1q -X k-1hk-1 p) =

= Rkx' (t)- S1 (T1 -t)x (7)

x Xх kRk (1 - p - q)-X k+1Rk+1q - X k-1Rk-1 p],

k = 2,3,4,...

Сложим все уравнения системы (7), получим после ряда преобразований

ro

x'(T)=S1 (т1 -t)S RkXk.

k=1

ro

Обозначим X = ^ Rk X k. Тогда

k=1

x' (t) = XS1 (т1 - t) . (8)

С учётом (8) можно переписать систему (7) относительно hk, k = 1,2,3,., в следующем виде:

X1h1 p -X2h2q = R1 (X-X1),

Xkhk (p+q)- Xk+1hk+1q - Xk-1hk-1 p =

= Rk (X-Xk), k = 2,3,4,.

После некоторых преобразований получаем систему для определения hk, k = 1,2,3,.:

X khkp -X k+1hk+1q = ZRk (X-X k (, (9)

j=1

k = 1,2,3,.

Получили неоднородное уравнение в конечных разностях с переменными коэффициентами первого порядка. Запишем уравнение (9) в стандартном виде

hk+1 - m (k)hk = v (k), (10)

где Xk заменили на k u,

m «"Шй), v(k)=iRj ((-j),

X X

а X = —. и

Решение уравнения (10) определяется следующим образом:

hk = h1 пm(j) + Иv(r) П m(j), k = 1,2,3,~ (11)

j=1 r=0 j=r +1

Этап 3. Введем функцию

ro

п(y,т,s) = Snk ^т,s).

k=1

На этом этапе будем рассматривать те слагаемые, которые содержат s в степени не выше второй. Складывая уравнения системы (4), раскладывая функции n(y ±s, т, s) в ряд Тейлора в окрестности y и преобразовывая, получим

б2 а.(.yт,s) _ sS1 (т_ _ T)^Cy,^ = S1 (т1 _ T)x

дт dy

x^X k k=1

-sdnk(.y,^1e) + s dKk ^т,s)

+ о

(s2).

ду 2 ду

Подставим в последнее выражение разложение (6). После сокращения на е2 и предельного перехода е ^ 0 получим

дп(у, т, е) 1 д2п(у, т, е) (

дт 2 dy2

ro

X-2Z hk XkS1 (т1-т)

S1 (t1 -t)

k=1

(12)

где Ик, к = 1,2,3,..., определяются выражениями (11).

Получили уравнение Фоккера - Планка для процесса у (т). Стохастическое дифференциальное уравнение для диффузионного процесса у (т) можно записать в виде

dy (T) = VS1 (T1 -T)x I X- 2^ hkXkS1 (T1 -T) (T)

k=1

где w (т) - стандартный винеровский процесс. Решение этого уравнения запишем в виде

у (т)= \\lS1 (T1 - и) x /I X- 2^ hkXkS1 (T1 - и) Ш (и) .

k=1

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ

Рассмотрим процесс г (т) = пє2 = х (т) + єу (т). Для этого процесса имеем стохастическое дифференциальное уравнение вида

ёг (т) = ёх (т) + єй?у (т) = X£1 (т1 -т)ё т +

+sVS1 (T1 -т) x^[X- 2Х hkХkS1 (T1 -T)Jdw (т) .

Решение этого уравнения можем записать в виде

T

z (т) = z (т0 ) + Х| S1 (т1 - и )du + (13)

+s jyjS1 (T1 - u) X I X - 2^ hkXkS1 (T1 - u) I dw (u) .

k=1

Тогда для числа n =

-Cr)

занятых приборов из вы-

ражения (13) можно сделать вывод о его распределении. Так как винеровский процесс имеет нормальное распределение, то и п (^) тоже будет распределен по нормальному закону. Чтобы записать это распределение в явном виде, найдём характеристики - математическое ожидание и дисперсию п (^).

Запишем сначала выражения математического ожидания и дисперсии процесса г (т). Имеем для математического ожидания

т

М [г (т)} = г (т0) + х | (т1 - и)ёи ,

T

0

0

2

s

и для дисперсии

( I

D {z (т)}=є2 J Sj (т - и)l X- 2^hkXkSj (т - и) I du .

-0 к=1 Тогда для числа занятых приборов в системе получаем характеристики

( т1 А

— {n(xj )}= —{ (Ti )} = b z (т0 ) + X|Sj (xj - и )du

(14)

о {п Ы)==

Є2

т1 Ґ ш Л

= | £і (ті- и )|1- 2Х ьк1 л (ті -и) I • (15)

то V к=1 )

Таким образом, в момент времени ґ = ґ1 имеем п (ґ1) = і (ґ1), и характеристики числа заявок в системе будут иметь аналогичный (14), (15) вид.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Нахождение характеристик работы страховой компании с нестационарным входящим потоком и ограниченным числом рисков // Вестник ТГУ. Приложение № 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.

2. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании с входящими рисками в виде пуассоновского потока событий переменной интенсивности // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 4: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.

3. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бесконечно линейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей // Вестник ТГУ. 2002. № 275.

4. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров синхронного дважды-стохастического потока событий методом моментов // Вестник ТГУ. 2002. № 1(1).

5. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 20 мая 2005 г.