CC BY
35
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(15)
УДК 519.872
Д.Д. Даммер, А.А. Назаров
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛА ТРЕБОВАНИЙ НА СТРАХОВЫЕ ВЫПЛАТЫ В КОМПАНИИ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ДОГОВОРА
Настоящая работа посвящена исследованию модели страховой компании с неограниченным страховым полем, простейшим потоком входящих страховых рисков и величиной продолжительности договора страхования с произвольной функцией распределения. С помощью метода предельной декомпозиции получена формула для производящей функция числа требований на страховые выплаты, а также выражение для математического ожидания и дисперсии величины общей суммы страховых выплат.
Ключевые слова: математическая модель, страховая компания, производящая функция, страховые выплаты, метод предельной декомпозиции.
Математическим моделям экономических систем и их исследованию в последнее время уделяется достаточно большое внимание. В стороне не остаются и модели актуарной математики, изучающей различные аспекты страхового дела. В основном, во всех работах, посвященных исследованию математических моделей страховых компаний, все результаты получены для случая, когда величина продолжительности договора страхования распределена по экспоненциальному закону. Так, в работе [1] исследуется классическая модель страховой компании, в [2] рассматривается модель с учетом расходов на рекламу, в [3] - модель с неявной рекламой, когда интенсивность потока входящих рисков зависит от уже застраховавшихся в компании рисков, и компания не тратит на рекламу никаких денежных средств, а инвестирует часть своего капитала в безрисковые активы. В [4] рассматривается модель с возможностью перестраховки некоторых рисков. В этих работах находятся статистические характеристики капитала, числа застрахованных в компании рисков, также вероятность разорения или выживания компании. В данной же работе исследуется такая характеристика, как суммарное число требований на выплату страховых сумм всеми застрахованными в компании рисками при произвольном распределении величины продолжительности договора страхования, что, несомненно, приближает исследуемую математическую модель к адекватной.
1. Постановка задачи
Рассмотрим модель страховой компании с неограниченным страховым полем [5] в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов (рис. 1). Пусть в компанию поступают риски, образуя простейший поток событий интенсивности X. Каждый риск, находящийся в компании, на протяжении длительности действия договора страхования независимо от других рисков генерирует с интенсивностью у требование на выплату страховых сумм. И эти требования также образуют простейший поток событий. Естественно считать, что требование риска на выплату определяется наступлением страхового случая.
Величину продолжительности договора страхования для каждого риска, находящегося в компании, будем считать случайной величиной с функцией распределения В(х). Задача состоит в нахождении распределения числа требований на выплату страховых сумм, сгенерированных всеми рисками компании, а также среднего значения и дисперсии общей суммы всех страховых выплат.
Для решения данной задачи будем использовать метод предельной декомпозиции [6], согласно которому входящий поток по полиномиальной схеме делится на N независимых простейших потоков, каждый из которых имеет интенсивность ХШ. Заявка каждого такого потока попадает на соответствующий прибор. В момент времени, когда прибор занят, заявка, поступающая на этот прибор, теряется.
Таким образом, наша система массового обслуживания разделена на N независимых однолинейных СМО с потерями. При N^«1 вероятностью потерь заявок можно пренебречь, и тогда суммарные характеристики совокупности N однолинейных СМО сходятся к характеристикам исходной системы [6].
2. Распределение числа требований на страховые выплаты для модели, представленной в виде однолинейной СМО
Введем следующие обозначения:
п(і) - суммарное число требований на страховые выплаты за время Ї;
Р(п, і) = Р{п(і)=п} - распределение вероятностей числа требований на страховые выплаты за время і,
(0 - прибор свободен,
1(0 - состояние прибора: І (і ) = < ~
(1 - прибор занят;
2(ґ) - длина интервала от текущего момента времени і до момента окончания срока действия договора (текущего обслуживания), если 1(0=1;
Р(0,п,ґ,Щ = Р{І(і)=0, п(і,Л/)=п} - вероятность того, что в момент времени і прибор свободен, число требований на выплату равно п;
Р(1,п,7,і,Л/) = Р{І(і)=1, г(і)<2, п(і,Щ=п} - вероятность того, что в момент времени і прибор занят, число требований на выплату равно п, длительность интервала времени до окончания срока действия договора меньше г.
Используя Лі-метод, составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей P(0,n,/,N), Р^п^А^. Сначала запишем допредельные равенства
Р(0,п, ґ + Д/,N) = Р(0,п, і,N) —^ + Р(1,п, М,і,N) + о(),
Р(1,п, г-Ді + Ді,N) = [Р(1,п, г,і,N)-Р(1,п, Д1,Ї,N)](!-уДі) +
В(х)
Рис. 1. Представление модели страховой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов
+Р(0,п, і, N)В()—Дґ + Р(1,п -1, г,і, N)уДі + o(Дґ)
Система дифференциальных уравнений будет иметь вид
дР ( ' •Л' ) = -! Р (0, п,,, N ) + ?Р ( "-0-' •*»
ді N дг
дР (1, п, г, і, N) = дР (1, п, г, і, N) дР (1, п, 0, і, ^
ді дг дг
-уР (1, п, г, і, N)+ (1)
+NР(0,п, г, N)В(г) + уР(1,п -1, г,г, N).
Введем производящие функции
ад
Н (0, х,г, N) = £ хпР (0,п,г, N),
п=0
ад
Н (1, х, г, г, N ) = £ хпР (1, п, 7, г, N). (2)
п=0
Тогда из системы (1) следует, что производящие функции (2) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных:
дН (0, х, г, N) X , ч дН (1, х, 0, г, N)
=--Н(0,х,г,N)+- V > > > > >
ді N дг
дН (1, х, 2, і, N) = дН (1, х, г, і, N) дН (1, х, 0, і, N)
ді дг дг
-уН (1, х, г, і, N)+ (3)
+NН(0,х, і,N)В(г) + ухН(1,х, г,і,N).
Решение Н^х/Д) и Н^хг^^ системы (3) будем искать в виде
Н (0, х, і, N ) = 1 + N Р (0, х, і) + О 0N ~2 ),
Н (1, х, г,і, N) = NР (1, х, г, і) + О 0N~2 ) . (4)
преобразован = -Х + И (х, і),
N
Подставим (4) в систему (3) и после преобразований получим
дР(0, х, і)
ді
дР (1, х, г, і) дР (( х, г, і)
где И (х, і) =
ді дг
дР (1, х,0, і)
= у(х - 1)Р (1, х, г, і) +ХВ (г)-И (х, і), (5)
дг
Рассмотрим второе уравнение системы (5). Решение этого дифференциального уравнения первого порядка в частных производных определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристических кривых [7]
Л _ й¥
1 -1 у(х -1)^ + ХВ (г)-к (х, г)
Найдем два первых интеграла этой системы. Рассмотрим сначала уравнение —ёг = ёг, его решение
г = С, - г,
(6)
что и будет определять один первый интеграл. Другой первый интеграл найдем из уравнения
ёР = {(х-1)Р + ХВ(г)-к(х,г)} . (7)
Перепишем (7) в виде
ё¥
-----= У (х - 1)Р + ХВ (г)- к (х, г).
ёг
()
Относительно функции Р(1,х,г,г) получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, его общее решение запишем в виде
Р (1, х, г, г ) = е(х-1)уг
С2 +|е (х 1)т(ХВ(С1 -т)-к(х,т)ёт)
Введем произвольную дифференцируемую функцию Ф(С1)=С2, и тогда общее решение уравнения (8) с учетом (6) будет иметь вид
Р (1, х, г, г ) = е(х -1)уг
ф(г + г) + |е (х 1)ут(ХВ(г + г-т)-к(х,т)ёт)
(9)
Определим частное решение с помощью начальных условий. Из (2), (4) и (9) имеем
Р(1, х,г,0)= Иш N0(1,г, N) = ф(г).
N
Теперь задача состоит в определении функции 0(1,г). Имеем О (1, г) = Р {{ (у) = 1, г (у) < г} ,
0 (0 ) = Р { (0 ) = °}.
Используя Аг-метод, запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для этого распределения. По формуле полной вероятностей запишем равенства
О (0, г + дг) = ^1 --Хд ^ о (0, г ) + о (1, дг, г )+о(дг),
о (1, г -дг, г + дг) = ““Дго (0, г )в (г ) + о (1, г, г )-о (1, дг, г )+о(дг). (10)
Пусть 0(0,г)= 0(0), 0(1,г,г)= 0(1,г), тогда после предельного перехода при Аг^0 система (10) будет иметь вид
-1 о (0 )ЗШ = 0,
N ' дг
дО(1,г) дО(1,0) X , , , ,
+17 0 (0) В (г )=°.
Запишем решение этой системы
О (0) =
N
О (1,г ) = 1(1 - В ( х ))х,
N + Хт
N + Хт
()
(12)
где т = | (1 - В (х))ёх - среднее значение величины продолжительности догово-
ра. Таким образом, частное решение уравнения (8) имеет вид
Р (1, х, г, г ) = е(х-1)уг (х| (1 - В (у ))ёу + |е~(х-1)ут (ХВ (г + г-т)-к (х, т)ё т) . (13)
V 0 0 )
Продифференцируем (13) по г в нуле, получим выражение для функции к(х,г)
( г Л
к (х,г ) = е(х-1)уг Х (1 - в (г )) + х| е~(х-1)утХЬ (г-т)ё т , (14)
V 0 )
где Ь(г) - плотность распределения вероятностей значений продолжительности договора.
Запишем (13) при г^ да
(1 - (х-1 )уг Л г
Р(1,х,г) = Хте(х-1)уг -X —-------|-(е^1**-')к(х,т)ёт, (15)
V У(х-1) ) 0
где к(х,г) определяется (14).
Теперь найдем вид функции Р(0,х,г). Имеем следующее уравнение:
дР (0, х, г)
ді
■ = -X + И (х,і).
Его решение имеет вид
г
Р(0,х,г) = -Хг + |к(х,т)ёт + Р(0,х,0),
0
где Р(0, х,0)= -Хт. Таким образом, теперь можем записать выражение для функции Р(х, г):
Р (х,г) = Р (0,х, г) + Р (1,х,г) = Хт [е(х-1)уг -1] --Х ( ^-Г) +г) -1 [е_У(х-1)(Т-г} -1] к (х,т) ёт .
2. Распределение числа требований на страховые выплаты в компании с неограниченным страховым полем
Производящая функция числа суммарных страховых случаев определяется выражением
О(х,і)= М{xn(^}}= ііш М{хп (і^п2(і>+'■■+п«(і}}.
Учитывая независимость всех пг(і), /=1...N и то, что эти величины одинаково распределены, запишем последнее выражение в виде
О(х,і)= Ііш [Н(х)] = Ііш
N ^ад N ^ад
1 +—Р (х,і) + О р. N V ' IN2
Таким образом, получаем следующее выражение для функции О(х,і):
О (х,ґ) = ехр {(х,ґ)} =
где функция И(х,Г) имеет вид (14).
Для случая, когда Б(х)=1-е-дх, х > 0, д > 0, производящая функция величины п(0 будет иметь вид
Эта формула совпадает с результатом, полученным в работе [8], где решается аналогичная задача для модели с экспоненциальной величиной продолжительности договора страхования.
Обозначим 5(0 - величину общей страховой суммы, выплаченной по всем страховым случаям за интервал времени t, £ - величину выплаты по одному страховому случаю. Введем характеристическую функцию величины общей страховой суммы Б^): Рассмотрим теперь эту функцию подробнее.
Имеем
и тогда дисперсия суммы страховых выплат 8(0 будет иметь следующий вид
3. Числовые характеристики величины общей суммы страховых выплат
0
где ф(а)=М{е~а£} - характеристическая функция величины £. Таким образом,
= ]ф” (о)Р(п,/),
ад
Т(а,ґ) = ^фп (а)Р(п,ґ) = О(ф(а), ґ),
п=0
и с учетом вида функции О(ф(а), ґ) получим
то после преобразований получим
М {8 ^)} = .
Для второго начального момента 8(0 можем записать
1 г т
Б{(г)} = Ху2т(а1г)2 + Хта2у/ — Ху2а12г3 +2Ху2а12|(/-т)|(т-5)й5^т . (19)
3 0 0
Приведем пример расчета характеристик суммы страховых выплат £(/). Для этого рассмотрим два случая, когда функция экспоненциального распределения времени продолжительности договора страхования имеет вид В(х)=1-е-дх, х > 0, где д>0 - величина, равная обратному значению средней величины продолжительности договора. И второе распределение вырожденное:
в (х НО
X > ш, 0, х < ш,
где т - средняя продолжительность договора страхования. Тогда характеристики величины Б(г) для экспоненциального распределения будут иметь вид
М { (/)} = -Хуа1/,
Б (5 (ґ)} = Ха2 Цґ + 2Ха12 ( Ц ] ґ - 2Ха12 ^ (і - )
и для вырожденного распределения
М (5 (ґ )} = Хуша1ґ,
Б (5 (ґ )} =
Хуша2ґ + Ху2ша12ґ2 --Х-а1 у2ґ3, ґ < ш,
2 2 2 2 2 3
Хуша2ґ + Ху ш а1ґ - — а1 у ш , ґ > ш.
Рассмотрим еще одну характеристику величины 5(ґ) - коэффициент вариации ¥{5(ґ)}, который определяет разброс значений случайной величины 5(ґ) относительно М{5(ґ)} и рассчитывается по формуле
УБ (5 (ґ)}
V (5 (ґ )} = ■
М (5 (ґ)} '
Поведение коэффициентов вариации И(/) и У2(/) для экспоненциального и вырожденного распределений соответственно изображено на рис. 2 при следующих значениях параметров: X = 20, д = 0.002, у = 0.01, а1 = 10, а2 = 110, т = 500.
Рис. 2. Динамика изменения коэффициента вариации в зависимости от времени
Численные расчеты показывают: величина V{S(t)} с течением времени существенно убывает, достигая значение равное 0,01 при t = 406,2 для вырожденного распределения и при t = 451,4 - для экспоненциального, что позволяет найти достаточно точное прогнозное значение величины капитала страховой компании.
Заключение
Таким образом, в данной работе построена математическая модель страховой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов. С использованием метода предельной декомпозиции найдено выражение для производящей функции числа требований на страховые выплаты. Показано, что полученные результаты являются обобщением частных случаев. Также найдены математическое ожидание и дисперсия величины, определяющей общую сумму страховых выплат. Эти результаты могут быть использованы для анализа показателей экономической деятельности страховых компаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 180 с.
2. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика. 2001. № 1. С. 25-29.
3. Даммер Д.Д. Характеристики капитала страховой компании с учетом инвестиций в безрисковые активы и при наличии неявной рекламы // Материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. С. 23-27.
4. Глухова, Е В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки. // Изв. вузов. Физика. 2000. № 4. С. 3-9.
5. Гафуров Ш. Р., Гугнин В.И., Аманов С.Н. Язык бизнеса. Ташкент: Шарк, 1995. 738 с.
6. Назаров А. А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2005. 228 с.
7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.
8. Назаров А.А., Даммер Д.Д. Исследование числа требований на выплату страховых сумм // Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. Ч. 1. С. 50-55
Даммер Диана Дамировна Назаров Анатолий Андреевич Томский государственный университет
E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 18 декабря 2010 г.
