Исследование математической модели развития многосекторной экономической системы с функционалом качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.115

М.Т. Терёхин, Е.В. Шуварикова

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ МНОГОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ФУНКЦИОНАЛОМ КАЧЕСТВА

Исследовать и, следовательно, предположить методы решения экономических проблем в современном мире невозможно без использования математических методов, основным из которых является метод математического моделирования.

Задача математического моделирования экономических процессов состоит в том, чтобы исследование экономических проблем свести к исследованию математических объектов (моделей), результаты которого с достаточной уверенностью характеризовали бы состояние экономической системы в любой момент времени.

В настоящее время наиболее эффективными математическими моделями являются системы дифференциальных уравнений [1-6].

вектор, декартово произведение пространств, начальный объем, образ и прообраз мно-жества, плановое задание, пустое множество, ранг матрицы, эффективное развитие экономической системы.

Поскольку проблема развития экономической системы в общем случае не является локальной, то наиболее распространенной математической моделью для исследования экономических процессов является достаточно полно изученная система линейных дифференциальных уравнений.

1. В статье рассматривается математическая модель развития экономической системы

вида

х = А(€)х + В(€)и +¡(€), (1)

в которой х—мерный вектор, и — т-мерный вектор - управление, А(Ь),В(1) - матрицы, непрерывные на сегменте [0,Т],Т > 0 - некоторое число, /(Ь) - непрерывная на сегменте [0,Т] п-мерная вектор-функция.

Введем следующие обозначения: 1а1 = тах^щУ}, а е Е3,0(00> с Еп, и0 с Ет - замкнутые, ограниченные множества, Е^ — к-мерное векторное пространство, М X N - декартово произведение множеств М и N.

При любом у е 0(0 и при любом и е и0 решение модели (1) представим равенством

х(Ь) = Х(1)у + Х(Ь) ¡0)Х-1(т)[В(т)и + Пт)]йт, (2)

в котором Х(Ь) - фундаментальная матрица решений модели х = А(Ь)х,Х(0) = Е,Е - единичная матрица, х(0) = у.

На множестве решений х(Ь), удовлетворяющих равенству х(Т) = Ь,Ь - постоянный известный вектор, определим функционал

Т

1(х) = $0<р(ь,х)аь, (3)

где х) - заданная и непрерывная на множестве [0, Т] X Еп функция.

Для простоты рассуждений далее будем говорить, что решение х(Ь) модели (1), определенное равенством (2), есть решение, соответствующее векторам у и и.

Определение 1. Решение х0(Ь) модели (1) назовем решением, доставляющим минимум

функционалу (3), если / <р (ь, х0(Ь))йЬ < / <р(Ь, х(Ь)йЬ при любом решение х(Ь) модели (1).

Ставится задача 1: определить условия существования таких векторов у е и е и0, при которых соответствующее им решение х(Ь) модели (1) удовлетворяло бы равенству х(Т) = Ь.

Предположим, что у - объем производственных фондов, который экономическая системы имеет в момент Ь = 0 (начальный объем), и - объем инвестиционных вложений в экономическую систему (инвестиционный объем), х(Ь) - объем производственных фондов экономической системы в момент £ £ [0,Т],Ь - объем плановых заданий, 0(о) - множество начальных объемов, и0 - множество инвестиционных объемов. Эффективность развития экономической системы определяется функционалом (3) (функционал качества).

Экономическая задача (задача 2) ставится так: найти начальный объем Уо £ й(о), инвестиционный объем и0 £ и0 такие, чтобы экономическая система, развитие которой определяется решением х0(Ь) модели (1), соответствующим векторам у0 и и0, доставляющим минимум функционалу (3), могла бы выполнить задание х(Т) = Ь. Далее развитие экономической системы (модель (1)), определенное решением задачи 2 (решением х0(Ь)), будем называть эффективным развитием экономической системы.

Пусть у £ й(о), и £ ио - произвольные, но фиксированные векторы. Найдем условия, при которых модель (1) имеет решение х(Ь), соответствующее векторам у и и и удовлетворяющее равенству х(Т) = Ь, то есть найти условия разрешимости уравнения

Х(Т)у + Х(Т) [ Х-1(Ь)[В(Ь)и + = Ь,

о

которое может быть записано в виде

р = Яи, (4)

где

т

^ = У + $0 Х-1(1)Г(№ - Х-1(Т)Ь, (5)

я = -к(т),к(0 = - [ х-1(т)в(т)ат.

о

Следовательно, модель (1) тогда и только тогда будет иметь решение х(Ь), удовлетворяющее равенству х(Т) = Ь (решение задачи 1), когда векторы ^ и и, определяющие решение х(Ь), будут являться решением уравнения (4).

Множество Ио определим равенством

Эо = {^: /л = у + $1х-1(1)Г(1)с11 -Х-1(Т)Ь}. (6)

Очевидно, что множество И о замкнутое и ограниченное.

Найдем условия разрешимости уравнения (4). Равенство (4) можно рассматривать как отображение, определенное матрицей Я, множества и о в пространство Еп. Символом ЯИо обозначим образ множества ио при этом отображении, символом И1 - множество, определенное равенством = Я^о ^ Во- Следовательно, если 01 = 0,0 - пустое множество, то уравнение (4) не разрешимо на множестве Оо X ио. Это значит, что множества начальных объемов и объемов инвестиций и о не могут обеспечить выполнение планового задания х(Т) = Ь.

Поэтому далее будем предполагать, что Ф 0.

Рассмотрим следующие случаи.

1.1. Пусть т = n,detR Ф 0. Тогда любой вектор ^ £ И1 определяет решение х(Ь) модели (1), в котором и = Я-1^. Функционал (3), определенный на этом решении, представляет функцию 1(/л), непрерывную на замкнутом, ограниченном множестве й1, достигающую по теореме Вейерштрасса на этом множестве наименьшего значения в некоторой точке ^о. Следовательно, решение Хо(0 модели (1), доставляющее минимум функционалу (4), соответствует векторам уо и ио, определенным равенствами

Т

Уо=^о- ^ Х-1(1)Г(1)сИ+Х-1(Т)Ь,щ = Я-1^о .

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Пусть т — n,detR Ф 0. Тогда если D1 Ф 0, то существуют начальный объем Yq Е Dq и объем инвестиций u0 Е Uq такие, что соответствующее им решение x0(t) модели (1) определяет эффективное развитие экономической системы.

1.2. Предположим, что т < п, rang R — r,0 < г < т. (случай, когда т — п и 0 < г < т., рассматривается аналогично). Для определенности положим, что минор порядка г, отличный от нуля, расположен в верхнем левом углу матрицы R. Тогда элементарными преобразованиями уравнение (4) можно свести к выражениям

R1u — fa(1),0~Cfa(1) + fa(2),

в которых R1 — rXm — матрица rangR1 — r,fa(1) — (fa1,fa2, ...,far), fa(2) — (fai far+2,) ..., fan), С — (т — г) X г— известная постоянная матрица.

Множество D2 определим равенством D2 — {fa Е Dt: Cfa(1) + fa(2) — 0}, множество U2 определим как прообраз множества D2 согласно преобразованию, определенному матрицей R. Матрицу R1 представим так: R1 — [ R11R12], Рц т Xv — матрица, detR11 Ф 0, R12 — г X (m — г) — матрица. Тогда зависимость между векторами fa Е D2, и Е U2, удовлетворяющими уравнению (4), определится равенствами

и(1) — R-1(fa(1) + R12u(2)), fa(2) — —Cfa(1), (7)

в которых u(1 — (и1,и2,...,ur),u(2) — (ur+1,ur+2,...,um). Учитывая, что

u — (R-1(fa(1) + R12u(2),u(2)), (8)

Гт

У(1) — fa(1) — I p1(t)f(t)dt + P1(T)b, Jq

V(2) — fa(2) — f0TP2(t)f(t)dt + P2(T)b, (9)

где Y(1) — (Y1,Y2,-,Yr), Y(2) — (Yr+1,Yr+2,-,Yn), Y — (Y(1),Y(2)), X~1(t) —colon

(P1(t), P2(t)), P1(t) — г X n, P2(t) — (n — г) X n— матрицы, получим, что решение x(t) модели (1), соответствующее векторам у и и, определенными равенствами (8) и (9), будет удовлетворять равенству х(Т) — b и зависеть от вектора (fa(1),u(2)) Е М,М — множество, определенное равенством

М — M1 X М2,М1 — {fa(1)},M2 — {и(2)},

при этом (fa(1\fa(2)) Е D2,(u(1\u(2)) Е U2 .

Функционал (3), вычисленный на решении x(t), является функцией I*(fa(1\u(2)), непрерывной на замкнутом, ограниченном множестве М и, следовательно, достигающей на этом

множестве наименьшее значение в некоторой точке (fa(1), и(2)) согласно теореме Вейерштрасса.

Решение Xq(() модели (1), которое доставляет минимум функционалу (3), определяется равенством

Xo(t) — X(t)Yo + X(t) f Х~1(т)[В(т)ио + f(z)]dz, Jq

где Yq и Uq удовлетворяют соотношениям

Yo—fao—f X-1(t)f(t)dt+X~1(T)b, JQ

uQ — Pit (fa01) + P12uQ2),uQ2)),faQ — (faQ1),—CfaQ1)).

Итак, справедлива

Теорема 2. Пусть rang R — г, выполнено одно из следующих условий

11) m < n,0 < r < m,

12) m = n,0 < r < m.

Тогда если D1^0, существуют -мерный вектор у.(1\ п — r-мерный вектор pi(2), ^ = Е Di и элементарное преобразование уравнения (3) в систему равенств RiU = + ^(2) = 0,rangR1 = г, С - постоянная матрица, то существуют начальный объем Уо Е D0 и инвестиционный объем и0 Е U0 такие, что соответствующее им решение модели (1) определяет эффективное развитие экономической системы.

Таким образом, получены условия (теоремы 1, 2) разрешимости задач 1, 2.

2. Изложенную в пункте 1 теорию применим к нахождению условий развития экономической системы, математическая модель которой имеет вид

х = A(t)x + B(t)u + f(t), (10)

где х - двумерный вектор, A(t) - матрица 2x2, B(t) - матрица 2xm, u - m-мерный вектор -управление , f(t) - двумерная вектор-функция, m Е {1; 2}.

Как и в пункте 1, предположим, что матрицы A(t),B(t) и вектор-функция f(t) непрерывны на сегменте [0, Г], функционал качества определяется равенством (3), в котором х) - непрерывная на множестве [0, Т] x Е2 функция.

Аналогично, как и в пункте 1, определим множество

с учетом того, что п = 2, множество определим равенством = {и Е Em: |u| < q}, q > 0 - некоторое число.

Исследуем проблему разрешимости задачи 1 и 2 для модели (10), в частности найдем условия существования векторов у0 Е D(0 , и0 Е U(m) таких, чтобы соответствующее им решение x0(t) модели (10) удовлетворяло равенству х0(Т) = Ь, доставляло минимум функционалу (3) и, следовательно, определяло эффективное развитие экономической системы. Для этого найдем условия разрешимости уравнения

¡л = Ru, (11)

построенного для модели (10) методом, изложенным в пункте 1, ^ = (a, fi).

Множество D0 определим согласно равенству (6) (с учетом того, что п = 2) и будем предполагать, что множество

таково, что отображением (6) оно преобразуется во множество D0, ограниченное прямыми fi = к1а, fi = к2а, где 0 < к1 < к2 < œ,

- + Г=1 (А1), ~ + Г=1, (А2), ai bi 1У' а2 b2 2У' где 0 < а1 < а2 < œ и 0 < b1 < b2 < œ (рис. 1).

Р Ь,

Рис. 1. Множество D0

2.1. Пусть m = 1. Матрица R примет вид R = colon (r11,r21). Следовательно, равенство (11) можно представить в виде

к

Ъ

1

1

а

а

а

а

а

2

1

1

2

а = г1Ли,р = г21и. (12)

Из равенства (12) следует, что р = ка, где к = — (для определенности предполагаем, что

ги ^ 0). Тогда, если к е [к1,к2], то множество {(а,@):@ = ка} Пй0 = 0. Это значит, что во (1)

множестве О0хЩ уравнение (11) не разрешимо, экономическая система (модель (10)) при любом начальном объеме у Е В(0) и любом объеме инвестиций и Е и(1) не может обеспечить выполнение планового задания.

Поэтому далее будем предполагать, что к Е [к1,к2]. Пусть а1,а2 - абсциссы точек пересечения прямой р = ка соответственно с прямыми (А1), (А2). Следовательно, любое а Е [а1, а2] и только оно посредством равенства р = ка определяет в такое, что точка (а, Р) Е О0.

Заметим, что из того, что а > 0 и р > 0, следует что г11Г21 > 0. Поэтому для определенности положим, что г11 > 0,Г21 > 0, тогда и и > 0. Следовательно, в качестве множества и0 достаточно рассматривать множество и^ = [0, ц].

Равенство а = г11и можно рассматривать как отображение ф множества во множество [0, от). Символом фи^ обозначим образ множества и0 при отображении ф. Очевидно, что фи^ с [0,г11д]. Следовательно, если г11ц < а1, то равенство (10) неразрешимо во множестве [О0 х [/0], экономическая система (модель (10)) при любом начальном у Е О0 и любом объеме инвестиций и0 Е и0 не может обеспечить выполнение планового задания.

Пусть а1 < г11ц. Множество О^ определим равенством

= фи0> П [а1, а2\ = [а1, тт{г1:1д, а2}]. Тогда, учитывая, что а = г11и, получим, что прообразом

г\* ^ тт 1а1 тт^г^ц^тХ] г„ 1 _

множества и0 при отображении ф является множество и1 = [—,-] с [0, ц]. Таким

1-Г11 Гц J

образом, приходим к выводу о том, что на множестве О0 х и0 (следовательно, и на множестве х и0) задача 1 разрешима.

Выберем произвольное и Е и:. Тогда получим, что а = г11и,р = г21и,^ = (т1:и,г21и); у определим согласно равенству (5). Функционал (3), вычисленный на множестве решений х(Ь) модели (10), соответствующим векторам у и и, будет представлять функцию 11(и), непрерывную на множестве и:. Это значит, что согласно теореме Вейерштрасса на множестве и: существует точка и0, в которой функция 11(и) принимает наименьшее значение.

Полагая а0 = г11и0 ,р0 = г21и0 = (а0,@0),у0 определенным равенством (5) при ^ = ^0, получим, что решением модели (10), доставляющим минимум функционалу (3), является вектор-функция х0(Ь), соответствующая векторам у0 и и0 . Это значит, что существует начальный объем У0 Е О0, объем инвестиций и0 Е У0, что соответствующее им решение х0(Ь) модели (10) определяет эффективное развитие экономической системы. Задача 2 решена. 2.2. Пусть т = 2.

2.2.1. Предположим, что detR ^ 0. Тогда матрица Я определяет отображение множества

в пространство Е2, - образ множества при этом отображении.

(2)

Пусть 01 = ЯЩ П00. Если О1 = 0, то уравнение (11) не разрешимо на множестве

О0 х и(2\ экономическая система (модель (10)) при любом начальном объеме у Е В(0) и любом 0 (2)

0

объеме инвестиций и Е и(2) не может обеспечить выполнение планового задания.

(2) (2)

Предположим, что 0. Тогда существует не пустое множество Щ2' С Щ2,

удовлетворяющее равенству и( ) = Я-101. Следовательно, при любом ^ Е 01 и = Я-1^ Е

Щ2). Это

(2)

значит, что на множестве 0:х Щ задача 1 разрешима, то есть для любого ^ Е и = Я-1^ (у определено согласно равенству (5)) решение модели (10), соответствующее векторам у и и, удовлетворяет равенству х(Т) = Ь.

Функционал (3), вычисленный на этом решении, представляет функцию ¡2(м), непрерывную на замкнутом, ограниченном множестве и, следовательно, согласно теореме Вейерштрасса достигающую на этом множестве наименьшее значение в некоторой точке ^0. Полагая щ = , определяя У0 равенством (5), получим, что решение Х0(Ь) модели (10),

соответствующее векторам У0 и щ, определяет эффективное развитие экономической системы, для которой У0 - начальный объем, щ - инвестиционный объем. Задача 2 решена.

2.2.2. Пусть detR = 0,гапд Я = 1, Я = (Г1})\. Тогда существует число к, удовлетворяющее равенству = кг11,г22 = кг12 (для определенности положим г11 Ф 0). Следовательно, необходимым условием разрешимости уравнения (11) является выполнение равенства @ = ка и включения к 6 [к1,к2]. Для определения условий разрешимости уравнения (11) достаточно рассмотреть уравнение а = г11и1 + г12и2, и = (и1, и2), при условии, что @ = ка.

Пусть а1,а2 - абсциссы точек пересечения прямой @ = ка соответственно с прямыми

(А^, (А2) (рис. 1). Тогда при любом а 6 [аъ а2] будем иметь

1

и1=—(а-Г12и2). (13)

'и

Множество и2 определим равенством и2 = [щ: < ц}, множество Q - равенством Q = {(а,и2): а 6 [а1,а2],и2 6 и2}, множество и(00> - равенством и(00> = [щ: 1^1 < ц}.

Равенство (13) определяет отображение множества ^ множества Q в пространство £'1. Символом обозначим образ множества Q при отображении ф1.

Пусть и{ = П и1. Если = 0, то уравнение (11) не разрешимо на множестве йо X

(2)

Щ , экономическая система (модель (10)) при любом начальном объеме ц. 6 О0, при любом объеме (2)

инвестиций и 6 Щ не может обеспечить выполнение планового задания.

Предположим, что Ф 0. Тогда существует множество Q1 (прообраз множества при преобразовании ф1), удовлетворяющее равенству и1 = <рСледовательно, для любой точки (а, щ) 6 Q1 существует единственная точка и1 6 такая, что выполняется равенство (13).

Найдем множество Q1. С этой целью заметим, что для любой точки (а, и.2) 6 Q1

1

выполнено неравенство | — (а — г12и2)1 < д или все равно, что неравенства —1г111д < а—

ги

т12и2 < 1^111Ц- Следовательно, множество Q1 принадлежит множеству Р, ограниченному прямыми а = г12и2 — 1г111д,а = г12и2 + 1г11\ц, то есть Q1 С р п Q (рис. 2). Это значит, что на множестве йох ио задача 1 разрешима.

Функционал (3), вычисленный на решении х(Ь) модели (10), соответствующем векторам

1

у,и = (и1,и2),и1 = —(а — г12и2) (вектор у определен равенством (5), ц =(а, ка)), представляет

функцию ¡з(а,и2), непрерывную на замкнутом, ограниченном множестве Q1. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса существует точка (а0,щ2) 6 Q1, в которой функция 13(а,щ)

принимает наименьшее значение. Полагая р0 = ка0,^0 = (а0,р0), вектора Уо определенным

1

равенством (5) при ^ = и0 = (и10,и2о),и10 = —(а0 — г^Що), получим, что решением модели

Г11

(2)

(10), доставляющим минимум функционалу (3) на множестве ИоХ Щ , является вектор-функция Хо(0 (хо(Т) = Ь), соответствующая векторам уо и ио. Это значит, вектор-функция Хо(0 определяет эффективное развитие экономической системы (модель (10)), начальный объем и объем инвестиций которой соответственно равны Уо и ио. Задача 2 решена.

Рис. 2. Множество Р nQ 3 Q1 (r12 > 0)

Пример. Предположим, что развитие экономической системы определяется математической моделью

x = Bu + f, (14)

в которой х - двумерный вектор, В = colon(-2; -4), f = colon(4,3), и - управление.

(1) (1) Множество Uq инвестиционных объемов определим равенством = {и: |и| < 3},

функционал качества - равенством

А

l(x) = flxSxdt, (15)

в котором S - матрица вида S = [colon(2,0), colon (0,2)], b = (2,2) - объем плановых заданий. В

ве мн а р

а В

качестве множества D0 выберем множество, ограниченное прямыми p = a,fi = 3a, — + — =

1 (А1),4 + 8=1(А2).

Найдем условия разрешимости задач 1, 2 модели (14). Решение системы (14) запишется так:

Х1(г) = у1 — 2ш + 4г,х2(г) = у2 — 4ы + зь. (16)

Следовательно, при Ь = 1 х1(1) = у1 — 2и + 4,х2(1) = у2 — 4и + 3. С учетом того, что х1(1) = 2, Х2 (1) = 2, вычислением устанавливаем, что равенство (5) принимает вид

а = у1 + 2,р = у2 + 1,11 = (а,р). (17)

Матрица Я = со1оп(2,4). Система (12) для модели (14) запишется так:

а = 2и,@ = 4и. (18)

Вычислением устанавливаем, что а1 = 1,а2 = 2 - абсциссы точек пересечения прямой р = 2а соответственно с прямыми (А1), (А2)(рис. 1). Отсюда следует, что точка (а,@) тогда и только тогда принадлежит множеству Ио, когда а 6 [аъ «2]. Поэтому, учитывая, что а = 2и, получим, что

вместо множества ио достаточно рассмотреть множество и0 = [0,3]. Таким образом, решение системы (18) следует искать во множестве [а1, а.2] X [0,3].

Равенство а = 2и будем рассматривать как отображение Ф2 множества [0,3] во множество [0, от). Очевидно, что <р2и0 с [0,6] и Э0 = <р2и0 П [1,2] = [1,2]. Тогда прообразом множества

будет множество и1 = 1] с [0,3]. Это значит, что на множестве О0 X и(1 задача 1 разрешима.

1

Выберем произвольное и Е [-, 1]. Тогда а = 2и, р = 4и, ^ = (2и,4и),у = (2и — 2,4и — 1). Решение х(Ь) модели (14), соответствующее вектору (2и — 2,4и — 1)

и переменной и, то есть переменной и Е 1], запишется так:

х1(г) = 2и — 2 — 2Ш + 4г,х2(г) = 4и—1 — 4Ш + (19)

Функционал (15), вычисленный на решении (19), представляет функцию 1*(и),

40 п 8 ,14

— и2 —и +—

3 3 3

т Г \ 40 2 8 14

определенную равенством ¿^(и) = —и2 —и +-- и строго монотонно возрастающую на

,,(1, 20

12,-у -----------,-------------------------------------------охио \ равное —

1

1,(и) достигает в точке щ = -. Это значит, что решение Хо(0, доставляющее минимум

сегменте [1,1]. Следовательно, наименьшее значение на множестве Оо X и(1\ равное функция

20

функционалу, равный —, определяется равенствами

х10(£) = —1 + 3Ь,х20(Ь) = 1 + Ь.

Итак, приходим к выводу: решение х0(Ь) = (х10(1),х20(Ь)) определяет эффективное развитие экономической системы (модель (14)). Задача 2 решена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Замков, О.О. Математические модели в экономике [Текст] : учеб. / О.О. Замков, Ю.А. Черемных, А.В. Толстопятенко. - М. : Дело и сервис, 1999. - 368 с.

2. Колемаев, В.А. Математическая экономика [Текст] : учеб. - М. : ЮНИТИ, 1998. - 240 с.

3. Красс, М.С. Математические методы и модели для магистрантов экономики [Текст] : учеб. / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - СПб. : Питер, 2006. - 496 с.

4. Никайдо, Х. Выпуклые структуры и математическая экономика [Текст] : моногр. - М. : Мир, 1972. - 514 с.

5. Терёхин, М.Т. Двухточечная краевая задача управляемой математической модели стабильного развития экономической системы в условиях внешних воздействий [Текст] // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2015. - № 3. - С. 71-76.

6. Терёхин, М.Т. Математическая модель многоотраслевой экономической системы с функционалом издержек [Текст] // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2017. - № 3. - С. 115-118.

REFERENCES

1. Zamkov, O.O. Matematicheskie modeli v ehkonomike [Text] : ucheb. / O.O. Zamkov, Yu.A. Cheremnyh, A.V. Tolstopyatenko. - M. : Delo i servis, 1999. - 368 s.

2. Kolemaev, V.A. Matematicheskaya ehkonomika [Text] : ucheb. - M. : YUNITI, 1998. - 240 s.

3. Krass, M.S. Matematicheskie metody i modeli dlya magistrantov ehkonomiki [Text] : ucheb. / M.S. Krass, B.P. Chuprynov. - SPb. : Piter, 2006. - 496 s.

4. Nikajdo, H. Vypuklye struktury i matematicheskaya ehkonomika [Text] : monogr. - M. : Mir, 1972. -

514 s.

5. Teryohin, M.T. Dvuhtochechnaya kraevaya zadacha upravlyaemoj matematicheskoj modeli stabil'nogo razvitiya ehkonomicheskoj sistemy v usloviyah vneshnih vozdejstvij [Text] // Vestnik Ryazanskogo gosudarstvennogo radiotekhnicheskogo universiteta. - 2015. - N 3. - S. 71-76.

6. Teryohin, M.T. Matematicheskaya model' mnogootraslevoj ehkonomicheskoj sistemy s funkcionalom izderzhek [Text] // Vestnik Ryazanskogo gosudarstvennogo radiotekhnicheskogo universiteta. - 2017. - N 3. - S. 115-118.

M.T. Terekhin, E.V. Shuvarikova

A RESEARCH OF A MATHEMATICAL MODEL OF A MULTISECTORAL ECONOMIC SYSTEM WITH A QUALITY FUNCTIONAL

Economic issues can nowadays be properly investigated and solved only by means of mathematical modeling, a key mathematical method. Mathematical modeling of economic processes allows one to investigate economic issues as economic models describing economic systems. The most effective mathematical models are differential equations [1-6].

vector, Cartesian product of space, initial space, image and preimage, planned task, vacant set, matrix rank, economic system effective development.