Квазипериодические режимы в математических моделях с малым отклонением Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Т. Терехин, О.А. Чихачева

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

С МАЛЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ

1. Сведение задачи отыскания квазипериодических решений системы дифференциальных уравнений к исследованию разрешимости нелинейной системы уравнений с

алгебраической главной частью

Рассмотрим математические модели, представленные системой дифференциальных уравнений

Tx(t)+ Ax (t - f (e))+ Bx(t)+ Cx(t - f (e)) = 0, (1.1)

где x(t)e Rn, T,B - (nx n) -матрицы, A,C - (nx q) -матрицы, матрица Tможет быть особенной, f (e) - вектор* л с с lim f (e) = 0

форма степени d по e , e - малый вектор-параметр, e ^ о J v 7 ,

x(t - f (e)) = (xi(t - fii(e)), ..., xi(t - fimi(e)), ..., xn(t -fni(e)), ..., xn(t - fnmn(e))).

Символом Dj обозначим множество, элементами которого являются векторыp j = (ki ,k2 , ...,kmj )

ж *

при любом je N , любом ie {i, 2, ...,m}, k e Z , N - множество всех натуральных чисел, Z - множество

всех целых неотрицательных чисел,

m m

W = {0,^ k/ш,-,^ kj = j,je N} , Wi, ...,Шт - действительные рационально независимые чис/^i i=i ла, M (W ) - множество тригонометрических рядов, спектром каждого из которых является множество W, то есть множество рядов вида

/О = «о + f £ к/ cosMPj -+ bp] sini/i/) ,ш))],

j=i pjeDj

(i.2)

a

в котором о , при любом p j a pj, bpj - n -мерные векторы (коэффициенты ряда (i.2)), ( p j ,ш) - скалярное

произведение векторов p j , ш , j - некоторое натуральное число.

Нулевым элементом множества M(W) назовем ряд с нулевыми коэффициентами. Для любого x(t)e M(W) определим

оо

v(/) X 2 bpj (pj ,С0/ )Cos(t(pj ,ш)) - ад (/>; ,№)Sm(t(p j ,ш)). j=i pjeDj

Положим a i=maxi,...,n{ai } , где a = (ai;...,an) - произвольный вектор, при любом ie {i, ...,n} , ai e R , тогда под нормой элемента x(t)e M(W) будем понимать

^ ^ ^ ^ м x = ao I + ^ ^ ^ [apj + bpj ].

j=i pjeD j

Для произвольной матрицы A = (aj), i = i, ..., n, j = i, ..., m, норму матрицы определим как

A = i=maxi,...,n ^/=i aj .

m

Ставится задача: найти условия, при которых модели, описываемые системой (1.1), имеют квазипериодические

режимы,

спектр которых есть множество Ж .

С этой целью подставим ряд (1.2) в систему (1.1) и получим равенство

то

(В + С>о + 2 2 [ ТЬр, (р j ,ш)+ С а р)Соз(/ (£)(р j ,ш))+ С а р)- с а pj + Ва pj +

+ А'Ьр) (р ) ,ш)Соз(/(£)( р ) ,ш)) + А*( р ) ,ш)Ьр) - А*( р ) ,ш)Ъд,- -- СЪр^Н / (£) (р ),ш))+ А'ар) (р /(£)(р ),ш)) ]Соз^(р лш))+ [-Тар) (р лш)+ + Сар£т(/(£) (р ),ш)) + С'Ър)Соз( /

(£)(р ),ш) ) + ВЪр) + А'Ър) Sin(/(£) (р),ш)) -

- А"а р) (р ) ,ш)Соз(/(£)(р ) ,ш)) ]^(р ) ,ш)) = 0 ,

С -Р.. 1 •_ ,

— ) ] I — 1,. ,П , С) — 2 с) , т) е {ть...,т„} , с) - элементы

где

матрицы С,

) — 1,. ,п р—1

А —

[ А) ]

¡- 1, ,п

т)

) — 1, ,п

т )

А) — 2

т ) е {т1,...,тп} , - элементы матрицы А.

р—1

Следовательно, ряд (1.2) тогда и только тогда является решением системы (1.1), когда

*

(В+ С )ао — 0 ,

(1.3)

(В + С)ар) + (Т + А*)(р ),ш)Ър,- + [ С*Соз( / (£)(р ),ш)) + А'(р ),ш^п( / (£)(р ),ш)) -

- С* ]ар) + [ А'(р),ш)Соз(/(£)(р ),ш)) - С^п(/(£)(р),ш)) - А'(р),ш) ]Ър) — 0

, (1.4)

- (Т + А')(р),ш)ар) + (В+ С)Ър) + [ СЯп(/(£)(р),ш))- А*(р)Ш)Соз(/(£)(р ),ш))-- А*(р),ш)]ар) + [ С*Соз(/(£)(р),ш)) + А*(рлш)Йп(/(£)(р ),ш)) - С* ]Ър) — 0

Запишем систему (1.4) в виде, удобном для исследования,

Н р)-V р) + Gp) (£) -у р) — 0 ,

(1.5)

где при любомр) е Б), у р) — (ар),Ър)) , Нр} — □□□□ - (Т +ВА + *С)(*р ) ,Ш)(Т + ВА + *)(Ср*} ,ш)ПППП ,

Gpj(£)

С Соз(/(£)(р у ,ш))+ А (р у ,ш^гп(/(£)(р } ,ш))- С

р

а

□ □C Sin(f (£)(p j ,ш))- A (p j ,w)Cos(f (£)(p j ,ш)) + A (p j ,ш)

* * *

A (p j ,w)Cos(f (£)(p у ,ш))- C Sn(f (£)(p у ,ш))- A (p у ,ш)ПП

* * *

C Cos(f (£)(p y ,ш)) + A (p y ,w)Sin(f (£)(p y ,ш))- C □□

Далее будем предполагать, что найдутся числа j* s N и d > 0 , такие, что при любом j > j* det h pj |> d

H D lim G pj (s ) = 0

. Фиксируем некоторое j о > j . Тогда det pjo t 0 . Множество jo конечное, поэтому î -> 0

равномерно на множестве Dj0 . Следовательно, найдется число £0 > 0 , такое, что при любом £(£ < £0 )

H G II D

det( pj0 + pj0 (£)) ^ 0 на множестве j0 . Поэтому далее множество M (W) будем рассматривать

состоящим не из рядов (1.2), а из тригонометрических многочленов вида

х(Г) = ао + X X [а и С08(г( Р У ,ш)) + Ью зт(/( р у ,ш))].

(1.6)

Замечание. С целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением системы (1.5). Если разрешима система (1.3), то увеличится число собственных векторов оператора Н . В остальном ход рассуждений сохраняется. Поэтому, не уменьшая общности, будем полагать, что ао уже найдено и фиксировано.

Множество матриц {н р + GРj (£), у < у*} конечное. Для простоты записей матрицы этого

множества пронумеруем в порядке Н + 0\ (£), Н 2 + 02 (£), ..., Нд + Од (£) при любом 1е {1, 2, ..., д}

□

Н/ = □□□ - (Т +ВА+*С)(*риш)(Т + ВА+*)(Ср*', ш) □□□□ , О (£) = □□□□ С*&ПС*^( f (£()(/■ (р£/)(,шр))/,ш- ))А*+(рА1*,ш(р)^,ш)^Н(£(

М£р/)(,шр;)),ш+)М-*(Ср*/,ш)

А*(р f (£( )(/(р£/)(,шр))/,ш+ ))А- C*Sin( f(£)(pi,ш))- А*(р/,ш)ПП .

С *(pi,ш)Sin( f (£)(р/,ш)) - С* □□

(1.7)

Квадратна матрицу Н + О(£) порядка 2пд определим равенством

Н + О(£) = diag{нi + 0/ (£),i = 1, 2, ..., д} , при этом о°(£) = 0 . Тогда система (1.5) преобразуется в систему

Я(у,£) = Ну + С(£)у .

(1.8)

Определение 1.1. Под решением системы уравнений (1.8) будем понимать элемент уо е Е2пд , удовлетворяющий равенству Л(уо,£) = 0.

*

Щ10) (у : V < 1о, V е Е2Щ ,1о > °} , 1о - некоторое число.

Теорема 1.1. Если оператор Н не имеет собственного элемента, соответствующего нулевому собственному значению, то найдется такое £* , при котором уравнение (1.8) имеет только нулевое решение на множестве Ц7о ) .

Доказательство. Рассмотрим уравнение Л(у,£) = Ну + С(£)у = 0 .

По условию оператор Н не имеет собственного элемента. Следовательно, Е2пд - инвариантное пространство для оператора Н . А так как Н - 2пд х 2пд - матрица, то можно найти матрицу Н -1 . Тогда последнее уравнение эквивалентно уравнению

V = Д(у,£) ,

(1.9)

где R(Y,£) = - Н ^(£)у . При любом £ у = 0 является решением уравнения (1.9). Так как б(£)у непрерывна

по у и по £ , то оператор у R(Y,£) непрерывен пе у и по £ . Будем рассматривать у е и(1о ) . Покажем,

что у = R(Y,£) отображает некоторую замкнутую окрестност^ нуля по у в пространстве Е2щ в себя. Пусть н

< к~ . При любом iе (1, 2, ..., д} матрица Gi (£) определена равенством (1.7). Следовательно, для любых у е Е2пд выполняется неравенство

в(Е)у < G(Е) у , ** ||<

+ А ( pi ,Ш) -4*

( Р I > С(к( 1 (£ X )> - А

■■ тах( С cos( f (£)(р,-,ш)) - С* + А*(р,-,ш>т( f (£)(р,-,ш)) 8т( f (£)( pi ,Ш)) ) у <

+

< тах

/

С

12 f (£)(pi,^

□ □□ 2f(£)'(р^ш)2 + f(е)(р^ш)' ппу =п(£)- у ,

(1.10)

где П(£) =

тах

С ' f(£)(рч,ш) 2 + f(£)(рч,ш)Ьа[

поэтому имеем i ||я(у,£) < К||г|(£) -у

Пусть £ * е (О.Ео) таково, что при любом ^ ^ К . Тогда при любом у е и(1о ) R(Y,Е < 1о , то есть оператор R(Y,Е) отображает множество Що ) в себя. _ Покажем, что R(Y,Е) является сжимающим по у . Пусть у < 1о , у-< 1о . Тогда I I

II ~ "II II -1 |[н III "I - =|

Я(у,£) - Я(у,Е) < Н б<£) у-у < К - П(£)-у-у

Следовательно, £ * е (о,£о ] можно выбрать так, что при любом £ е (о,Е*] о < д < 1 , где д = К -П(Е) .

Таким образом, при любом £ е (о,Е*] оператор R(Y,Е) является сжимающим-то у . В силу полноты

пространства Е2щ при любом фиксированном е е (о,Е*] оператор R(Y,Е) во множестве и(1о ) имеет единственную неподвижную точку у* . Так как у = о является решением уравнения

*

+

*

+

(1.9), то у* = 0 . Итак, для всех е е (о,е*] на множестве U(lo ) уравнение (1.9) имеет только нулевое решение. Теорема доказана.

Поэтому далее будем полагать, что оператор H имеет ненулевые собственные элементы, соответствующие нулевому собственному значению.

Положим, rang H = r < 2nq .

Пусть hi, ..., hs - собственные элементы оператора H, соответствующие нулевому собственному значению. Обозначим линейную оболочку векторов x, y, ..., z символом L(x,y, ..., z) .

Все 2nq -мерное пространство E2nq представляется в виде прямой суммы трех подпространств

E

Einq = Eo ® L(hi , ..., hs) ® L(gi , ..., gt) , где о - инвариантное подпространство относительно оператора H

и для любого ненулевого элемента ye L(gi, ..., gt) выполняется условие y£ Eo Ф L(hi,...,,hs) .

Путем неособенных преобразований матрицу H можно свести к жордановой форме. В дальнейшем будем считать, что матрица H имеет вид жордановой нормальной формы. Следовательно, векторы hi, ..., hs , gi, ..., gt попарно ортогональны. Введем линейные функционалы Ь (x) = (x,hi), a u (x) = (x,g u ) , l = i, ..., s , u = i, ...,t , (i.ii)

где (•,•) - скалярное произведение. Нормируем базисные векторы hi,...,hs , gi,..., gt следующим образом: , ..., s , gi , ..., gt_. Далее будем предполагать, что базисные векторы h-h hi hs

gi gt I I I I I I II

hi, ..., hs , gi, ..., gt нормированы. Тогда линейные функционалы Ь (x),am(x) будут удовлетворять условиям:

1. Ь(hi) = i, где l = i, ..., s .

2. Ь (hj) = 0 , где l * j , l, j = i, ..., s .

3. Ь(gu ) = 0 , где l = i, ..., s , u = i, ...,t .

4. a u (gu ) = i, где u = i, ...,t . (i.i2)

5. a u (gi) = 0 , где u * i , u,i = i, ..., s .

6. a u (hl) = 0 , где l = i, ..., s , u = i, ...,t .

Теорема 1.2. Оператор H в инвариантном подпространстве E0 с E2nq имеет обратный оператор H

- i

, который является ограниченным и линейным.

Доказательство. Так как матрица H имеет вид жордановой нормальной формы, то

H = ППП N0n N°2iDDnn , где Nii - (px p)-

матрица, rang Nii = p , p < r ,

□

N2i - ((2nq - p)x (2nq - p))- матрица, rang Nn= r - p . Заметим, что матрица Nii и определяет

инвариантное подпространство E0 . Матрица Ni i имеет обратную Nii - i . Тогда оператор H в инвариантном подпространстве E0 с E2nq имеет обратный оператор вида

Н-1 = □□□□ М11- 1 ЛШ1 □□□□ . (1.13)

Очевидно, что оператор Н - 1 имеет норму. Пусть н ц1 < к . || Покажем линейность оператора Н -1 , то есть справедливость равенства

Н-1(ау1 + Ру2) =аН-1у1 +рн-1у2 .

(1.14)

Согласно формуле (1.13) Н-1(ау1 + Ру2 ) = (амГ^Ло) + (Р^х 1 -1у21,о) .

Пусть Н-1У1 = (#11-1у11,о), Н-1у2 = (Лц-1у21,о) . Используя формулу (1.13), получим:

оН-1у1 +рН-1у2 =а(М1-1уп,о) + Р(М1-1у21,о) = (аМ1-1уп,о) + (РМ1-1у21,о) =

= Н-1(ау1 + Ру2 ) .

Таким образом, равенство (1.14) выполняется. Теорема доказана.

5 г

Любой элемент у е Е2Щ можно представить в виде у = Ру + X Ъ (V )М + X а и (V ^и , где

1=1 и = 1 ..., Ъ ,С1, ...,а г

- линейные функционалы, заданные по формуле (1.11) и удовлетворяющие условиям 1-6, Р - оператор ортогонального проектирования на инвариантное подпространство Ео . Можно убедиться, что равенство НРу = РНу выполняется для любого элемента у е Ео .

Докажем, что ||Р|| = 1. Пусть у е Е2пд и у = Ру . Так как Р - оператор ортогонального

проектирования на инвариантное подпространство Ео , то у < у^ . Следовательно, Р < 1. НЬ е^ли у е Ео , то у = у . Отсюда Р =1 . '' ^ ^

5 г

Следовательно, Я(у,£) = Р(Я(у,£)) + X Ъ (Я(У,£))М + Хаи (Я(у,£)^и .

1=1 и=1

Теорема 1.3. Разрешимость системы (1.8) равносильна разрешимости следующей системы:

Р(Я(у,£)) = о ,

(1.15)

^1(Д(У,£)) = о , Ъ* (Я(у,£)) = о ,

... (1.16) а1(Д(у,£)) = о, ...

аг (Я(у,£)) = о. (117)

Доказательство очевидно.

* г

Будем искать решение системы (1.8) в виде У = Ру + X аМ + X ,

/=1

и= 1

а1, ...,а * , Ра, ...,в е Я . Тогда уравнение (1.15) запишем в виде

* г Отсюда

НРу + Р(О(£)(Ру + X аМ + X в&и )) = о . 1=1

и= 1

* г

Ру = - Н -1Рр(£)(Ру + 2 а!И1 + 2 рugu )) . 1=1

и = 1

Пусть у = Ру .

Введем множество /(го) Рассмотрим

{у: у I Го, уе Ео,го > 0} , где го - некоторое число.

оператор 5

ф - ^(^(а1,...,а?,р1,...,рг ,£))у = - Н-1Р(Р(£)(у + 2ак + 2 ри gu )) ,

/=1 и=1

который для краткости записи обозначим 5(а1,...,0Ь,Р1,...,Р/ ,£) = 5(а,р,£) , где а = (а1,...,а5 ) , р = (р1,...,р^ ) и а = а, + ... + а + ... + р I го , £ <£*, £ * !е (о,£о ]1 1 5 1 1 Г° ' |р ' = |р 1 1 1 ' 1

^ ^ Г п * I

Теорема 1.4. Найдется число о > о, такое, что при о и а |< г0 |р |< г £ <£*, £ | е (о,£о

] оператор ^(а,р,£) множество 1(го ) переводит во множество 1(го ) .

Доказательство. По теореме 1.2 || Н -1 || < к . Так как базисные векторы были нормированы, то к =

... = к 5= ^ = ...I = ^ = 1. МатриЦа G(£) определяется формулой (1.7), поэтому для любых уе /(го) выполняется неравенство

Р (£ ) II

р(£)(у +2а1 к

у + +2р g )

1=1 и = 1 5 t

Р (£ ) 11[у | + а 1+1р 1]< Зп (£ ) го . (1.18)

2 а/к/ + 2 ри gu

1=1 и= 1

Следовательно, имеем

Н-1 Р ( Р (£ )( у

2 а 1к 1 +2 р и g и ))

< Зп (£ )го

1Ь(а,р,£)у

(1.19)

(1.19)

Выберем £* так, чтобы при любом £ е следует, что

(о,£*] П(£)

< . Тогда из неравенства

ЗК

^(а,р,£)< го для любого элемента у из множества /(го ) . Теорема доказана.

5 t

Лемма 1.1. Вектор-функция Р(£)(у + 2 а1к1 + 2 р^и ) удовлетворяет условию Липши-

1=1 и=1

ца по переменной у с постоянной Липшица, равной г|(£) .

Доказательство очевидно.

Теорема 1.5. На множестве /(го ) оператор ^(а,р,£) удовлетворяет условию Липшица по переменной у с постоянной Липшица q = К -г|(£) .

Доказательство. Выберем произвольные переменные у е /(го ) и у е /(го ) . Используя то, что н -1 < к , Р =1 , а матрица! Р(£) определяется формулой (1.7), оценим норму разности:

II < II □ 5 í □

t

5

и и

+

1

я(оДЕ)У -я(а,р,£)у— И-\Рии G(£)(y + ^аЛ1 + Х ри§и)ПП +

□

1=1

И-1РППП С(£)(у" + ^ аЫ + ^

□ 1=1 и=1

< И - 1 |Р ||||о ( £ ) |

^и)ПППу - у

К

шах(с* cos( f (£ )(pi ,ш )) - С* + А*(pi ,ш ) яп( f (£ )

Pi )) +

* Ж Ж \

А ( р, ,Ш)^(/(£)( р, ,Ш)) - А ( р, ,Ш) -С sin(/(£)( р,- ,Ш)) )

КшахППС|| С* |+ А*(р,,ш) 12/(£)(р,Ш) 2 + /(£)(р,,Ш) у-КГ| (£ )

, у - у" , где Г|(£) =

(£)(р,,ш)ППп .

шахп * * п □ 1

□ □ С + А(р,,ш) Пр □□ 2/(£)р,ш) + /

II Обозначая q = Кг|(£) , I

я(а,р,£) У -я(а,р,£) у < д У - у". Теорема доказана.

получим

справедливость

неравенства

Теорема 1.6. Найдутся числа го > 0 £ * е (о,£о ] , такие, что при а < го, в < го и £ е (о,£*] оператор

г

5(а,р,£) на множестве 1( о ) имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Множество 1(го ) - замкнутое множество метрического пространства £2яд . На основании теоремы 1.4 оператор £(а,р,£) переводит 1(го ) в 1(го ) . По теореме 1.5 оператор £(а,р,£)

удовлетворяет условию Липшица по у с постоянной Липшица д = К • г|(£) на множестве 1(го ) . Выберем £*

так, чтобы при любом £ е (о,£*] постоянная Липшица д = К п(£) < 1. Следовательно, согласно принципу

сжатых отображений, в силу полноты пространства Е2пд и замкнутости множества 1(го ) , на множестве

1(го ) существует единственный элемент у , такой, что

Sy = у . Теорема доказана.

Теорема 1.7. Неподвижная точка у оператора S(а,p,£) удовлетворяет условию Липшица по переменной (а,Р) = и .

и = 1

"Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

I У У i

Доказательство. Действительно, оценивая модуль разности | и ' — u '' | с учетом теоремы 1.5, получим | yu ' — yu " | =| S(a ',ß ' )yu — S(a ",ß "}yu- |< q | yu ' — yu " | + qU ' —u - [ Отсюда

| yu ' — Уи '' | < 1-qq u' —ui, q< 1. Таким образом, неподвижная точка оператора S(a,ß,£)

удовлетворяет условию Липшица по переменной (a,ß) = u . Теорема доказана.

Перейдем к рассмотрению системы (1.16), которую запишем в виде ^1(G(£)y) =

—№Y) ,

... (1.20) ^s(G(E)Y) = —^s(HY) . Лемма 1.2. Для любого вектора y е Einq выполняются соотношения )

= #□□□□ «£>= 1ßugu □□□□ □□□□

□

Ь (Ну ) = ^sDDDD HDDD u2t= lß g □□□ □□□ . s t

□ u u □ □

Y

Доказательство. Так как вектор представлен в виде Y P 2 ^^ l 2 ßugu ' то

l=1 u=1

справедливость леммы 1.2 следует из того, что hb '' hs собственные элементы оператора Н ,

HPY = PHY Y е E

соответствующие нулевому собственному числу, и равенство выполняется для любого 0

Лемма доказана.

Следовательно, принимая во внимание лемму 1.2, систему (1.20) можно записать так: □

^1(G(£)Y ) = 51000 HsDDDD u2t=1ßu gut □□□□ □□□□ ,...,^s(G(£)y ) = 5sDDDD HDDDD

u2t= 1ßugu □□□□ □□□□ .

Учитывая, что Y = PY + 2 alhl + 2 ßugu , получим:

Откуда

Х Х Х

^(0(£)(Ру /+=1 5 аЫи+=А Ри §и, )) = ИЛП и (=

lРugu □□□ □□□ , 1= 1 и= 1 □ □□

□ □

ХХ

... ^ (0(£)(Ру + 5 а 1Ы + Ри §и, )) =

ИаПП иХ/= lРugu □□□□ □□□□ . 1= 1 и= 1 □

^(0(£)(Ха/Л/ + Х Ри gu )) + №(£)(Ру + ХаЫ + Х Ри gu, ) -/=1б(£)&а=1Ы + Х1 Ри gu)) = № ИЛП

/Х=^и □□ Ши=,1 / = 1 и= 1 □□ □□ и= 1 □□ □□

... (1.21) 5 1 5 1

^ (0(£)(Ха/Л/ + Х Ри gu )) + ^(Е)(Ру + Х а/Л/ + Х Ри gu ) -1=01 (£)(Х иа=/1Л/ + Х1 Р

и gu )) = ^ПП /1=1 □

□□и.=1 /=1 и= 1 □□ жюп Х Рugu □□

□ □ и = 1 □ □

Согласно лемме 1.1 и теореме 1.7 имеем

5 1 5 1

II 0(£)(Ру + Х аЫ + Х Ри gu) - 0(£)(Ха/Л/ + Х Ри gu ) ||< П(£> Ру < д /=1 dи=1 /=1 и=1

П(£) • 1-ди |= | о(( ) , где £ = (и,£),£ = шах{и, £}, д = К •п(£) . | | | | Следовательно, система (1.21) равносильна системе

^1(0(£)(Х5 а/Л/ + Х1 Ри gu)) + о(С \) I □□ ИЛПП Х' Рugu

□ □□ □□□ , =

/=1 и=Ш □ и = 1 □ □

+ о(С )

(1.22)

& (0(£)(Х5 а /Ы + Х1 Рugu))d ИЛПП Хt Рugu □□□ □□□ .

/= 1 и= Ш □ и= 1 □ □

Заметим, что

5 1

^1(0(£)(Ха/Л/ + Х Ри gu)) = Г1(£)а + Г1*(£)Р , /=1 и=1

1о

"Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

. (1.23) s t

h (G(£)(2 alhi + 2 ßu gu )) = Г s(e)a s + Г s*(£)ß , 1=1 u=1

r Г i- г * 0

где при любом j е {1,...,s} Г j(£) , Г*,- (£) — матрицы, lim j (£) = 0 , lim j (£) = .

0 0

Аналогичные рассуждения можно провести и для системы (1.17). В этом случае получим, что система (1.17) равносильна следующей системе:

n~1(£)a + Г~1* (£)ß + o(Z d) = a 1ÜDD #□□□ 2t ßu gu □□□ üDD,

□ □ u = 1 □ □

Г~ ~* (£)ß + o(Z d) = a t □□□ #□□□ 2t ßu gu □□□ □□□, (£)a + Г t

□ □ u = 1

□ □

(1.24)

" (£) — матрицы, lim ~k (£) = 0 , lim г~£*(£) =

0

где при любом к е {1,...,t} г к(£) , Гк Учитывая равенства (1.23) и (1.24), получим

F1(u,£) = 0,

0

0

следующую систему s + t уравнений: где

Fs (u,£) = 0, Fs+1(u,£) = 0,

Fs+t (u,£) = 0, □ □ t

□ □

(1.25)

Г1(и,£) = Г1(£)а + Г1*(£)р + о(( d ) - нлаа и2 = 1ри gu □□□ □□□,

г (и,£) = г 5 (£)а + г /(£)р + о(( d ) - ь □□□□ наша и2'=^и □□□□ □□□□ ,

Г5+ 1(и,£) = г~1(£)а + г~1*(£)р + о(( d) - шЫш НЛППП и2'= 1риgu □□□□ □□□□,

Г5+ г (и,£) = Г~г(£)а + г~*(£)р + о(( d) - а г □□□□ НЛППП и2'= фи gu □□□□ □□□□ .

г

Таким образом, проблема поиска условий, при которых математические модели, описываемые системой (1.1), имеют квазипериодические режимы, свелась к проблеме разрешимости системы недифференциальных уравнений (1.25).

2. Определение условий, при которых нелинейная система уравнений порядка

d

имеет ненулевые решения

Запишем систему (1.25) в виде нелинейной системы, содержащей 5 + ' уравнений,

Га (0+ оааа^а = о , (2.1)

где Га (О - вектор-форма порядка й по £ , £ = = (а,р) , а е К5 , ре К' , £ е Кт ,

оП^ Й Фщо Па □_= о. ' ' С

Пусть р = 5+ ' + т .

Теорема 2.1. Если найдется вектор ео, ео = 1, такой, что Гй (ео ) Ф о , то любая окрестность точки £ = о содержит множество, в котором нет решений системы (2.1).

Доказательство. Заменой переменных £ = ре , р > о , систему (2.1) преобразуем в систему

Fd (ре) + 0(ре ^ = о . (2.2)

Учитывая, что Fd (С ) - вектор-форма порядка d по переменной £ , систему (2.2) можно записать

как

Fd (е) + О(ре) = о ,

(2.3)

где О(ре) = o(ррed '1 ) , рНш- оО(Р е) о равномерно относительно е на множестве {е : } < 0,0 > 1}.

Из того, что Fd (ео ) Ф о , следует наличие положительного числа о , такого, что для любой

F е

точки ее и (ео ■¡о) , d (е) Ф о , где и (ео,о) - замыкание о -окрестности точки о ,

и (ео,о) С {е: е < 0,0 > 1} . А так как множество и (ео ,о) замкнутое и ограниченное, то по теореме

Вейерштрасса функция (е)| достигает своего наименьшего значения в некоторой точке

* *

е е и (ео ,о) , то есть найдется число d > о , такое, что для любого ее и (ео,о) | Fd(е) |>| Fd(е )|= d > о .

Из того, что НшО(ре) = о равномерно относительно е( е < 0) , следует, что найдется

р - о -

число 5 > о такое, что для любого р < 5 и любого ее и (ео,о) выполнено неравенство

0(ре) < 2с/. _

Тогда для любого ее и (ео,о) и любого р < 5

1

^ (е) + 0(ре) > Fd 4) - 0(ре)| > I ~ ' > о .

2

Следовательно, в о -окрестности точки ео при любом ре (о,5) система (2.3) не имеет решений. А это значит, что на множестве {^ = ре,р е (о,5 ),ее и(ео,О )} система (2.1) не имеет решений. Теорема доказана.

F

Аналогично доказывается, что если ' (С ) Ф о при любом £ , £ =1 , то найдется окрестность точки

£ = о , в которой нет ненулевых решений системы (2.1).

Таким образом, необходимым условием, при котором система (2.1) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности точки £ = о , является наличие вектора С , С* =1, удовлетворяющего равенству

Fd (С *) = о .

Пусть найдена точка ео , такая, что | ео | = 1, Fd (ео ) = о .

Тогда, полагая Z = ре , р > 0 , v = e- eo и применяя формулу Тейлора, систему (2.1) запишем следующим образом:

d

DFd (eo)v + 2 Pi(eo,v) + О(ре) = 0 , (2.4) i= 2 где DFd (eo ) - значение матрицы Якоби вектор-формы Fd (е) в точке е = eo , Pi (eo ,v) - форма

порядка i относительно V , limO(pe) = o равномерно относительно e ( e < Q , Q1 > 1) . р — o Для матрицы DFd (eo) возможны случаи:

1) rang DFd (eo) = s+ t ;

2) DFd (eo) = o; 3) o < rang DFd (eo) < s+ t .

Рассмотрим случай 1).

Теорема 2.2. Если rang DFd (eo) = s+ t , то система (2.1) имеет хотя бы одно ненулевое решение. Доказательство. Так как rang DFd (eo) = s+ t , то матрицу DFd (eo) можно представить

равенством DFd (eo) = [Qi,Q2], где Qi- ((s + t) x (s + t) ))-матрица, Q2 - ((s + t)x (p - (s + t))) матрица, Z rangQ

e R p, p = s + t + p , 1 = s + t . Систему (2.4) запишем в виде d

V1 = - Q1-1(Q2V2 + P(eo,V1) + 2 Pi (eo,V1,V2) + 0(р)) , где v = (V1,V2) , V1 = (v1,...,vs+t ) i= 2

, v2 = (vs+t+1,...,v P) , d

v2 limo 2 Pi (eo,v1,v2) = o равномерно относительно v1 , v1 <5* , 5* - некоторое число, i= 2 v1 limo || P(|evo1,v| 1) || = o .

Рассмотрим оператор V, определяемый равенством

Vvi = - Ql-1(Q2V2 + P(eo,vi) + 2 Pi (e0,vi,v2) + 0(p)) . Убедимся, что найдется число r > 0 i= 2 , такое, что на множестве I(r*) = {v1 :| v1 |< r*} оператор V будет иметь неподвижную точку vi . Положим, || Qi-1 || = Ji,|| Q2 || = J2 .

Так как v1 limo || P(|ev°Vv| i) 11 = 0 , то число r* > 0 можно выбрать таким образом, что для лю-

I i *

. |v1 I r

бого вектора vi , | vi |< r , будет выполнено неравенство || P(eo,vi) ||< < 4Ji4Ji .

d

Из равенства v2 lim0 2 Pi (e0,vi;v2) = 0 следует, что найдется число r < 0, такое, что для i= 2

*

r

любого v2 || 2-2Pi(eo,v1,v2) || <-4p1 , при | v2 |< r .

m

d

'Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

г*

Выберем г- = шт(г '_2 ) , тогда || Q\~lQ^У2 || < г4* , при V2 ^ < г-.

Так как р Пшр || Q(р) || = о , то найдется число г- > о , такое, что для любого р , удовлетворяр < г-,

выполняется ||0(р)|| < г* . ющего условию

4|Л

Следовательно, найдутся такие числа г-, г-, что при || v2 ||< г,р < г

||^1 || = || -Ql—1(Q2V2 + P(eо,Vl)+ ХтР,(ео,^) + О(р)) || < Ма(М2 * + 3 г* ) =

4

,=2 Н1Н2 4щ

г

г

Таким образом, оператор V при любых фиксированных v2( v2 L r) , p< r-множество I(r*)

переводит в I(r*) и, следовательно, по теореме Боля-Брауэра на множестве I(r*) имеет неподвижную точку.

Пусть при v2*( v2* L r) j p* < r неподвижной точкой оператора V является vi* . Тогда v* = (vi*,v*2) является

решением системы (2.4|) при p = p*, e = e* , e* = e0 + v* . Числа r , r можно выбрать так, чтобы v* <i и, следовательно, e* ^ 0 .

Тогда ненулевым решением системы (2.1) будет вектор Z* , определенный равенством Z* = p*e*. Теорема доказана.

Рассмотрим случай 2). Пусть r - такой наименьший номер, что Pr (eo ,v) не равно нулю тождественно при любом v. Следовательно, система (2.4) имеет вид

d

Pr (eo,v) + X Pi (eo,v) +0(pe) = 0 .

i= r+1

(2.5)

Теорема 2.3. Если найдется вектор v, v =1, такой, что Pr (eo ,v) Ф 0 , то любая окрестность точки Z = 0 содержит множество, в котором нет решений системы (2.1).

Доказательство теоремы 2.3 аналогично доказательству теоремы 2.1.

Следовательно, далее полагаем, найдена точка v = vo, удовлетворяющая равенству

Pr (e0,v0) = 0 .

Тогда, применяя формулу Тейлора, систему (2.5) запишем в виде

r __d

DPr (e0,v0)(v- v0)+ X P] (v0,v- v0)+ X Pi (e0,v) + 0(p) = 0 ,

j=2 i= r+1

(2.6) _

где DPr (e0 ,v0 )- значение матрицы Якоби вектор-формы Pr (e0 ,v) в точке v = vo, Pj (v0,v - v0) - форма

порядка j относительно v - vo .

Для матрицы DPr (e0 ,v0 ) возможны случаи: а)

rang DPr (e0 ,v0 ) = s+t ;

б) DPr (e0 ,v0 ) = 0;

в) 0 < rang DPr (e0 ,v0 ) = q < s+t .

Теорема 2.4. Если rang DPr (e0 ,v0 ) = s+t, то система (2.1) имеет, по крайней мере, одно ненулевое решение.

Доказательство теоремы 2.4 аналогично доказательству теоремы 2.2.

Если DPr (e0 ,v0 ) = 0, то исследования проводятся аналогично тому, как это сделано в случае, когда DFd (e0) = 0 (случай 2).

Рассмотрим случай 3). Предположим теперь, что 0 < rang DFd (e0) = q < s+t .

DFd(e0) можно свести к виду П^П , где

Тогда элементарными преобразованиями матрицу

"Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

N1 - (qx (5 + t)) -матрица, rang N1 = q, N2 - нулевая матрица. Следовательно, система (2.4) разбивается на две системы:

d

Niv + 2 A*(eo,v) + O*(pe) = 0 , i= 2

(2.7)

d

2 Pi**(eo,v) + O**(pe) = 0 . (2.8) i= 2

Введем замену v = Ru, где R - ( px ((s + t)- q)) -матрица, столбцами которой являются линейно

независимые решения системы Niv = 0. Тогда системы (2.7)-(2.8) преобразуются в систему

m

2 Pi (eo,Ru) + O (pe) = 0 . (2.9) i= 2 Эту систему рассматриваем аналогично системе (2.18) в случае 2).

Случай в) для системы (2.6) рассматривается так же, как и случай 3) для системы (2.1). В результате или будут найдены решения системы (2.1), или алгоритм будет бесконечным.

3. Квазипериодические режимы в математических моделях, описываемых неоднородной системой дифференциальных уравнений с малым отклонением

Рассмотрим математические модели, описываемые системой дифференциальных уравнений

Tx(t) + A(A)x(t - f (£)) + Bx(t) + C(A)x(t - f(E)) + ф(Г,м) = 0, (3.1)

где x(t)e Rn , T, B - (nx n) -матрицы, A(A),C(A) - (n x q) -матрицы, f (e) - многочлен степени d по £ , £ - малый вектор-параметр,

x(t -/(e)) = (X1(t - f11(£)),...,X1(t - f1m1(£)),...,Xn (t - fn1(£)),...,Xn (t - fnmn (£))),

ф(г,|) - квазипериодическая по t вектор-функция, ф(г,|) е M (W ),А,|- малые параметры, £е Rq1,Ae Rq2,|ie Rq3. Пусть функция ф(Г,|) е M (W ) имеет вид

ф(*,Ю = eo(M) + 2 2 apj(V)Cos(t( p

(3.2)

где a0 (м) при любом p j apj(м), b (м) - pj n -мерные векторы, такие, что

lim«o(M ) = 0 , при

- м - 0

любом p j limepj (м) = 0, limbpj (м ) = 0. м-0 м-0

Положим,

A(A ) = A0(A0) + Ai(Ai), lim Ai(Ai) = 0, C(A ) = C0(A0) + Ci(Ai), lim

Ci(Ai) = 0, Ai

— 0 Ai — 0

Ai = A - A0 .

Представим R(x(t),£,A,м) в виде

Я(х(0,£ЛкО = Тх• (t)+ Вх(0+ Ао (Ло )х • (t)+ Со (Ло )х (t) + +(Ао (Ло )+ А1(Л1))х • (? - / (£))+ (Со (Ло )+ С1(Л1))х(? - / (£))-

(3.3)

■ Ао (Ло )х • *(/)- Со (Ло )х*(0,

(3.5)

где х*(0 = -х1-<?),...,^х"_(?_),..-X-(0).

т1 тп

Тогда многочлен (1.2) тогда и только тогда является решением системы (3.1), когда

(В + Со*(Ло))ао = - ео(н) ,

(3.4)

(В + Со*(Ло))ар + (Ао*(Ло) + Т)(р ,,ш))Ьр + [ (Со*(Ло) + СГ(Л1))Са</(£)(р ,,ш)) + + (Ао*(Ло )+ АГ(Л1))(р ,

,ш)&п( / (£)(р j ,ш))- Со*(Ло ) ]ар + + [ (Ао*(Ло )+ А1*(Л1))(р j ,ш)Соз( / (£)(р j ,ш))-- (Со*(Ло )+ С1*(Л1))Яп(/(£)(р j ,ш))- Ао*(Ло )(р j,ш) ]Ьр = -ер,(м) ,

(В + Со*(Ло))Ьр - (Ао*(Ло) + Т)(р,,ш)ар + [ (Со*(Ло) + С1*(Л1))ЯП(/(£)(р ,,ш)) +

+ (Ао*(Ло )+ А1*(Л1))(р , ,ш)Со5( / (£)(р , ,ш))+ Ао*(Ло )(р , ,ш)шг ]ар + + [ (Ао*(Ло )+ А1*(Л1))(р , ,ш)( / (£)(р , ,ш))-

- (Со*(Ло )+ С1*(Л1))Со5(/(£)(р , ,ш))- Со*(Ло ) ]Ьр = -Ьр(м) ,

где Со*(Ло ),С1*(Л1), Ао*(Ло ), А1*(Л1) получаются аналогично матрицам А* и С* . Запишем систему

(3.5) в виде, удобном для исследования,

Н р, -у р, + GPj (£,Л)-у р, = у(м) , р,

(3.6) _

где при любомр, е °, , у» = (ар,Ьр),у® (м) = (-ар,(м),-Ьр(м)) ,

Нр = □□□□ - (Ао В(Л+о )С+о*Т(Л)(о )р(Ао*(ЛВо+)С+ о Т()(Лор)/,ш)ПППп , GVj(£,Л) =

□ □ (Со*(Ло)+ С:*(Л1))С05(/(£)(р ,,ш)) + (Ао*(Ло)+ А:*(Л1))(р Лш)(/(£)(р Лш)) □□ (А*(Ло) + А:*(Л1))(р , ,Ш)S/n(/(£)(рЛш)) - (Со*(Ло)+ С1*(Л1)^гп(/(£)(рлш)) Пп о

□ □ - Со*(Ло) - Ао*(Ло)(р ;,ш) ПП = □ □

□ □ □ (Со*(Ло)+ С1*(Л1)^гп(/(£)(рлш)) (Со*(Ло)+ С1*(Л1))С05(/(£)(рлш))+ □

□ □ □- (Ао*(Ло)+ А1*(Л1))(р/(£)(р,,ш)) (Ао*(Ло)+ А1*(Л1))(рлш)®п(/(£)(рлш))П

□ □ □□+ Ао*(Ло)(р ,,ш) - Со*(Ло) □□

полагать Ло = 0 . При этом Л1 = Л , Со*(Ло ) = Со* , Ао*(Ло ) = Aо* . Следовательно,

Далее будем

о

_ - Ао

0в?(£,Л) = '"'□□□□□□□О

+(+СA*(о*A*+о*СС+r*Al(*lA*Л(l(*Л))Л())Л))(SinСos))(p(pI/(,,w(,fEШ())(EСos))(SinpJp,(ш(Jf,fш))(E(E))-)()(-ppСJj,ш,о

*ш+))))+

(-(+AС((о*С*A* + + *(*p+AСl/*lС*,A(ш(lЛl**Л()())(Л))Л))Сos))(pS7n^p,ш(/■(,f)шfСos(£()£)(S7n)((pp/(/■(,/f£Ш,(ш)(£)))))(p --p,СWJ,о*w))+))- □□□□□□□□□□□

□ (Со +

о

□ - (Aо +

*

□ о( p/,ш) о + □

, Н = □□□□ - (AоB + Со* ^о* + 7)^ / ,ш)Ш .

* + 7)^ / ,ш) В + Со* □□

Замечание. С целью упрощения выкладок ограничимся рассмотрением системы (3.6). Будем считать, что система (3.4) разрешена.

Множество матриц {н ^ + GPJ (£,Л), / < /*} конечное. Для простоты записей матрицы этого множества

пронумеруем в порядке Н + О: (£,Л), Н 2 + О2 (£,Л),..., Н ^ + 0Д£,Л) при любом /е {1,2,...,^}

Н/ = □□□□ - (Aо*B+ + 7С)(о*p/■,ш)(Aо* +В7+ )(Сpо*/■,ш)□□□□ ,

(3.7)

0_/(£,Л) = □□□□пппппп

(-+(+(СA*A(о*о*оA*(+о*p+Сг+С1*,Aшl(*^A*Л()l(*Л))Л())Л))(S/nСos))(

p(p/;(iш(,/£ш)()(Сos£)S/n)(pp,(ш(j/;fш))((££))-)()(-ppiСi,ш,ош* ))+))+

(- - +AA(о**A*+*(о*pA+Сjl*l,С*Aш((lЛl**Л)(())(Л))Л))Сos))(pS/nг■,pш(j

/Со/фйтШ (pf(pг(,fi£ш,(ш)(£)))))(p-г-p,cшi,0ш*))+ (Со +

о

С0 +

(Со +

□

(3.8) _ _

Квадратную матрицу Н + о (£,Л) порядка 2щ определим равенством

_ Н + о (£,Л) = diag{нl + о, (£,Л),/ = 1,2,...,?} , 1 • ,л ) = о

ИШ 0( . Тогда система (3.6) преобразуется в систему

при этом

(£ ,Л )- о

Я(у ,£ ,Л ) = Ну + о (£,Л)У -у(м) .

(3.9)

Рассмотрим множество Ц7о) = {у-: V < 1о,у е Е2п^о > о} .

Теорема 3.1. Если оператор Н не имеет собственного значения, то найдется такой вектор I = (£,Л,р) , что уравнение (3.9) имеет только нулевое решение на множестве Ц7о ) .

Доказательство теоремы 3.1 аналогично доказательству теоремы 1.1.

Пусть И_ —1,. ., И* - собственные элементы оператора Н , соответствующие нулевому собственному значению. Всё 2«^--мерное пространство Е2п% представляется в виде прямой суммы трех

подпространств £2™^ = Ео © L(hl,.., И*) © L(gl,..., §) , где Ео - инвариантное подпространство оператора Н и для любого элемента у-е ¿(§1,..., ) выполняется условие

у<г Ео © ¿(И1,...,И*-) .

Неособенным преобразованием матрицу Н сведем к жордановой форме. В дальнейшем будем считать, что матрица Н имеет вид жордановой нормальной формы. Следовательно, векторы

И1,..., И*, §1,..., §1 попарно ортогональны. Введем линейные функционалы Оы (х) = (х,§ы)Д/ (х) = (х,И/ ) , I = 1,...,*, ы = 1,...,/ , _

(3.Ю)

"Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

удовлетворяющие условиям 1-6 (п. 1) и положим, что собственные векторы оператора H и базисные векторы нормированы.

Теорема 3.2. Оператор H в инвариантном подпространстве Eo с E2nq имеет обратный оператор H — 1, который является ограниченным и линейным.

Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоремы 1.2.

s _ _ t

Любой элемент у е Einq-, можно представить в виде + + Z 0 и (К , /=1

u=1 где - линейные функционалы, заданные по формуле (3.10) и удовлетворяющие

условиям 1-6 (п. 1), P — оператор ортогонального проектирования на инвариантное подпространство E0 . Оператор P обладает следующими свойствами: 1) равенство HPy = PHy выполняется для

любого элемента ye Eo ; 2) ||P|| = 1. Следовательно,

= ^ Г (R(y,e ))й + ' Г (R(y,e,Л, fjy)g% 11

X u u . l=1 u=1

Теорема 3.3. Разрешимость системы (3.6) равносильна разрешимости следующей системы

-Р(Я(у,еЛЮ) = 0 ,

(3.11)

" ^T(R(Y,£,A,M)) = o ,

_ _ • •• (3.12) ^(R(Y,£,A,P)) = 0 . e1(R(Y,£,A,p)) = 0, _ ... (3.13) т (R(Y,£,A,p)) = 0.

Доказательство очевидно.

s _ t _

Будем искать решение системы (3:9) в виде У ~ ^ + X а + £ Р uSu ¡=\

u= 1

«1,...,«s,P1,...,Pi e R . Тогда уравнение (3.11) запишем следующим образом:

HPy + P(G{e,\){Py + S ah + 'fig ) + н 00) = ,

l X u u . l=1 u=1

Введем множество I(ra) {y: y L Г0, ye Ear > 0}, Г0 — некоторое число. Пусть y - I'у . Рассмотриьюперат-ер «-_ t _ S (a-, в ,£,A,p)y = — H —!p(G(£,A)(Py + X alhi + X pugu ) + y(p)) , где a = (ab...,ot) ,

— — —_ l=1 u=1

в=(в1,...,в ) II |-| |-| _

и a-= a1 +...+ as < r0, p = p1 +...+ pf < r0 , £ ^ A <5, p <5 , Г0 ,5 — некоторые^ числа. ^ ^

Теорема 3.4. Найдутся числа r0 > 0, 5 > 0 , такие, что при любых фиксированных a

a < Г0, в в < r0 ] £ £ <5 , A A < 5 , p p < 5 оператор S ^ ^ (a,e,£,A,p) множество

I(r0 ) переводит во множество I(r0 ) . _ _

Доказательство. По теореме 3.2 || h—1 ||<k . Так как базисные векторы были нормированы,

то hi = |... = hs- = g[ = .... = gf =1. I "I

Матрица G (£,A) определяется формулой (3.8), поэтому для любых ye I(r0) выполняется неравенство

0(£,Л)(У+ £ а,И, + 2 Ри8«)+У(Ю

/=1

у+ ^ а,И, + 2

/=1 М=1

М = 1

Со + с;(А )|| + + 4(Л ))(А^)||||ЛО(А-^)|2 +

+ (Л) + ^ , ¿*->>\\

\[\у\ + \а\ + \р\] + т^) = ЗгГ(£,А)г0 + |нО)| ,

где

□

#

/? 0М) = таха: О) + С1 (/I)

7

Следовательно, имеем

¡5 (а, р ,£,Л,ю4 = ¡й^ро^Л^гъ +РСА/)]. (3.15)

- //"1Р((7(£,/1)0+ £ а ¡к, + 2 /?„£„) + кОО)

/ = 1 г/ = 1

(3.14)

< шахП

□ □

□

"Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

Выберем число 6 > о так, чтобы при любых £ £ <5 , Л Л < 51 , М м < 5 I I I I

Г|~(е -Л ) < - у~(ц ) < I |.Т)эгдапрЦо(|< го, И ГФ £ <5-ЛИ- М < б из нера-

венства (3.15) следует, что s (kp,£,\|j)y < го для любОГо элемента y из множества I( о ) . Теорема доказана.

__s _ _ t _

Лемма 3.1. Вектор-функция (' ^У + Е а ^ + Е Ри§и)+ Y С/7 ) удовлетворяет усло/=1

u = 1

вию Липшица по переменной у с постоянной Липшица, равной п(е,Л) . Доказательство очевидно.

г

Теорема 3.5. На множестве I( о ) оператор S (аДеДр) удовлетворяет условию Липшица по

переменной у с постоянной Липшица q- = K п(£,Л) . Доказательство. Убедимся, что

Ils («ДеДм)у1 - S («ДеД M)y2 < q-yi - y2. И '

(3.16)

Принимая во внимание теорему 3.1, равенство (3.8) и то, что P =1 , имеем

Us («ДеДру - S («ДеД м)у2 = s—t □ ^

г

£(e,A)(yi + 2 + 2 Pugu )+ у-(м)ПП +

-_i p

ugu ,

l=1 u=1

t

(£ , Л )( у 2 + * а И +-а

+ н 1 - £ //£ (Зн§7()+ * - у21.

1=1 ы= 1 □

Обозначая ц- = ^п(е,Л) , получим справедливость неравенства (3.16). Теорема доказана.

Теорема 3.6. Найдутся числа го > о,6 > о , такие, что при любых фиксированных а < го

'в < го , £ <6 , Л < 6 , м < 6 оператор 5 (аД£,Л,м) на множестве 1( о ) имеет единственную неподвижную точку. Доказательство теоремы 3.6 аналогично доказательству теоремы 1.6.

Теорема 3.7. Неподвижная точка у оператора 5 (а,в,£,Л,м) удовлетворяет условию Липшица по переменной (а, в) =и .

Доказательство теоремы 3.7 аналогично доказательству теоремы 1.7.

Перейдем к рассмотрению систем (3.12) и (3.13). Проводя рассуждения, аналогичные соответствующим рассуждениям п. 1 для систем (1.16) и (1.17), получим, что для определения условий, при которых математические модели (3.1) имеют квазипериодические режимы, достаточно найти условия, при которых ненулевые решения имеет следующая система недифференциальных уравнений:

D- (С ,м) = о,/е {1,...,*,*- + 1,...,*- + ) ,

(3.17)

где ,£) = Л 1(£)а-+ Л *1(£)в + Е (м) + о(С d) - НППП в §□□□ □□, ...,

ы ы П

г

НАУЧНЕЙ ЖУРНАЛ

DD+ k((ZZ ,,££))= = лл is((££))öa-++ Л *s (£)ß + Е (у) + o(DZ dü) - Ь

_ " " П DDDDDDDDDDD"

_ ..., u = 1

Ds+ t (Z ,£) =~Л~ (£)в-+~Л*г(£)Р + I (у) + ~$(Z d) - _ "

шШШОЖЮШ u^=tlßugu □□□□□□□□ Л

1

~*(£)ß + I (у) + o(Zd) - et□□□ #□□□□ u£ = ißugu □□□ □□ -,

j j к к где при любых / е{ 1 ...........~ к s {l,...,/} Л (е) Л* (£) Л~ (е) Л~* (£)- матрицы,

£lim- оЛ j (£) = 0 , £lim- ол *j (£ ) = 0 , £lim- оЛ к (£) = 0 , £lim- ол *к (£ ) = 0 ,

Е (у) = U(у(у)) , l е {i, ,s} , I(y) = eu(Y(y)),ue {l,...,t} , £lim- 0Е (у) = 0 ,

limI (у) = 0 £- 0 .

Запишем систему (3.17) в виде нелинейной системы, содержащей t уравнений,

Fd (с)+Ф(у)+оПППС Jnni=0 , (3.18)

F (Z ) - a j Z уф (у) д^ - у

где d v ' вектор-форма порядка d по , не содержащая , v 7 вектор-функция переменной ,

limO (у ) = 0

,Z = (и,£,Л) ,_и е Rs+t , Rq1,Ä£ Rq2,уе Rq3 , lim OÜÜßZdd EIDD = 0 . II

Л 1 1 гГ

у - 0 z-о z

Найдем условия, при которых система (3.18) имеет ненулевые решения.

Теорема 3.8. Если найдется вектор e0, ej = 1, такой, что Fd (eö ) , то любая окрестность точки Z_ = о содержит множество, в котором нет решений системы (3.18).

Доказательство. Заменой переменных Z = pe , р > 0" , систему (3.18) преобразуем в систему

- Fj(pe) + ф(у) + o( pe d) = 0 .

(3.19) _

Учитывая, что Fd (Z) - вектор-форма порядка d по переменной £_ , систему (2.11) можно записать в следующей виде:

_ ф(у)

FJ (e) + + O(pe) = 0 , (3.20)

Р

O(pe) = o( peJ)

TiimO(pe) = 0 равномерно относительно e на множестве pd p — 0 {e : e J 0,0 > 1}.

Из того, что Fd(e0 ) * 0 , следует наличие положительного числа О , такого, что для любой

F __e

точки eeu(еуО) , d(e) * 0 , где U (в0,о) — замыкание О -окрестности точки 0 ,

U (e0,o) С {e: e L -Q ,Q > 1}. А так ^ак множество U (e0 ,о) замкнутое и ограниченное, то по теореме Вейерштрасса функция Fd (e) достигает своего наименьшего значения в некоторой точке e* e U (eo,a) , то есть найдется число c > 0 , такое, что для любого ee U (e0,o) | Fd (e) | > | Fd (e*)| = c > o .

Из того, что P 0 равномерно относительно е( е < Q), следует, что найдется

число 51 > 0 , такое, что для любого р < 51 и любого eeU (ec,a) будет выполняться неравенство J_

0(ре) < 3 с .

Для произвольного фиксированного р < 51 Mlim^ Ф (p)/Pd □ = 0 , значит, найдется 5 > 0

(5 < р) , такое, что для любого p ®(Md p <5 . I I

р

Тогда для любого eeU (e0,o) и любого р < 51

_ _ I Т

\Fd\e) + Pfoe) > Fd 4) — O(Je) l> 3 c > 0 ._

Следовательно, в О -окрестности точки e0 при любом р _(0,51) система (2.15) не имеет

решений. А это значит, что на множестве {Z :Z = рe,р-_e (0,51),ee U (e0,o )} система (3.18) не имеет

решений. Теорема доказана.

Таким же образом доказывается, что если Fd (Z ) * 0 при любом Z , Z= , то любая окрестность точки С-= 0 содержит множество, в котором нет ненулевых решений системы (3.18). _

Поэтому далее будем полагать, что найдется точка e0 , такая, что | e0 | = 1, Fd (e ) = 0 . Тогда, применяя формулу Тейлора при С- = рe , р > 0 , v- = e— e0 систему (3.18) запишем как

DFj(e0)v + + £ Q,(e0,v) + О(рё) = О

р i= 2

_ (3.21) _

где DFd (e ) — значение матрицы Якоби вектор-формы Fd (e) ¿"точке e = e0 , Qi (ec ,v) — форма порядка i

относительно v- limO^e) = 0 равномерно относительно e ( e-< Q) ,

р ^ 0

Q > 1 .

Здесь так же, как и для матрицы DFd (e0) , возможны случаи:

1) rang DFd (e0 ) = s- + f ;

_ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ

2) DFd (eo ) = 0;

3) 0< rang DFd(eo ) < s- + t .

Остановимся подробнее на рассмотрении случая 1).

Теорема 3.9. Если rang DFd(eo) = s- + t , то система (3.21) имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Доказательство. Так как rang DFd(eo ) = s- + t , то матрицу DFd (eo ) можно представить равенством DFd (eo ) = [Pi P2], где P¿ ((s- + t)x (s- + t)) - неособенная матрица, P2

((s- + t)x (p- - s- + t)) - матрица, Z- e R p, s- + t < p, rangPi = s- + t , p- = s- + t + qi + q2 . Систему (3.21) запишем как

Vj = -P{\P2v2 + Q(je0,vO + £ e,(e0,vi,v2) + + O(pe))

i= 2 p d

где V- = (V1,V2 ),V1 = (v1,...,vs+t ),V2 = (Vs+t+1,...,V-p-) , v2 limo Y Qi(e0,vi,v2) = 0 равног = 2

мерно относительно V1 , V1 <5 * , 5 * - некоторое число, V1 limo ||Q(|eVU1'V| 1)11 = o . Рассмотрим

оператор V , определяемый равенством

_ -1(P2V2 + Q(eo,v1) + Yf Qi (eo,V1,V2 ) + Ф (M) + O(pe)) .

Vv1 = - P1 -

—d

1= 2 p

Убедимся, что найдется число r* > o , такое, что на множестве I(r*) = {v1 :| v1 |< r*} оператор V будет иметь неподвижную точку.

Положим, || P1- 1 ||= q1,|| P2 ||= Q2 .

Так как v-lim ||Q(eo.v1)|| = o , то число r* > o можно выбрать так, что для любого вектора 1 V

v1 , | v1 |< r* , будет выполнено неравенство 1 o |"V-| || Q(eo ,V1) || < 5Q1 < 5r^*1 .

d

Из равенства v2 limo Y Qi(eo,v1,V2) = o следует, что найдется число r-> o , такое, что для i=2

любого

d r* V2 || Yi=2 Qi (eo,V1,V2) || <-5^1

при | v2 | < r .

r* -1 r*

"Вестник Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина" • 2006 • № 1

Иыбиряем r- = min(r Г 1Г 2 ) , тпгдя || Ql Q2V2 || < 4 при V2 ^ ^ < r-.

Так как р Ншо ||0(р) ||= 0 , то найдется число г- > 0 , такое, что для любого р , удовлетворя-

ющего условию < r-, выполняется || 0(pe)|| <.

r*

5П

□г

Для произвольного фиксированного р-< r lim uDö Ф (|)/Pd '"'□D = 0 , значит найдется 5i > 0

0

(5i < р) , такое, что для любого |

Ф(М

при | < 6l .

Следовательно, найдутся такие числа r-, r-, что при

|| V2 ||< r,p < r-, | < il I

jjFvi || = || - Pi 1(P2V2) + Q(eo,vi) + £m Qi(e0,vi,v2) + O(pe) ||< Qfe

i= 2

r* r* *

+ 4 ) = r 5rir2 5qi

Таким образом, оператор V при любых фиксированных ¥ ( ¥ к г) , р< г-, м < 61 Множество 1(г) переводит в 1(г) и, следовательно, по теореме Боля-Брауэра на множестве 1(г) имеет неподвижную точку.

Пусть при ¥2*( < 1) , р* < г неподвижной точкой оператора V является ¥1* . Тогда V-* = (¥1*,¥2*) -

решение системы| (3.21) при р= р*, е = е* , е* = во + V* . Числа г , г можно выбрать так, чтобы V* <1, и, следовательно, е* ^ 0 .

Тогда ненулевым решением системы (3.18) будет вектор С- * , определенный равенством С- * = р*е* . Теорема доказана.

В результате рассмотрения указанных случаев будут найдены решения системы (3.18) или алгоритм будет бесконечным.

4. Математическая модель иммунной реакции

Рассмотрим математическую модель динамики иммунной реакции, представленную системой дифференциальных уравнений с малым отклонением [2]:

dn(t)

dt ^(м)- snn(t)-Knn(t - £1)Г(Л), ф(()

dt = Knn(t - £!)Г(Л) + |J0RX)y(t - £2) - КуГ(Л)у^ - £2) + Syy(t), dz(t) dt = Ky y(t)-

sz z(t), (4. i) da(t)

НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ

dt = hzz(t) + ^у(г) - уаГ (Л)а(г - £3) - saa(t),

в которой п(г) - концентрация клеток, предшественниц N , которые с постоянной скоростью поступают в лимфатические узлы, некоторое время там циркулируют, а затем, если не встретят «свой» антиген, погибают и выводятся из организма; у(г) - концентрация быстроделящихся незрелых плазмацитов, в

которые переходят клетки N после взаимодействия с антигеном; Г(Л) - концентрация антигена; Л -параметр, влияющий на изменение концентрации антигена; z(t) - концентрация зрелых плазмацитов, которые образуются из клеток при вторичном взаимодействии с антигеном; а(г) - концентрация антител;

у(р) - некоторая функция, зависящая от параметра ^ и влияющая на изменение концентрации клеток N ;

Sn, 11)1 , Sz константы, определяющие скорость пополнения пула клеток N^,1 в отсутствие антигена; кп -коэффициент, характеризующий скорость перехода клеток N в

У при взаимодействии с антигеном; 1 - время репродукции клеток У при больших дозах антигена; Ку - коэффициент, описывающий переход клеток У в Z ; sa - константа, характеризующая время

естественной гибели антител; hz и ^у - скорости производства антител клетками Z и У ; уаГ (Л)а(Г - £3) -взаимодействие антител с антигеном.

Указанные в теории матрицы будут иметь следующий вид:

□ □ (Со* + СГ(Л))^а (£)(р ,,ш)) - Со* +

°П + (Ао* + АГ(Л))(р f (£)(р у,ш))

□

GpJ (£,Л) = □□ (Со* + С1*(Л)^т(/ (£)(р у,ш)) + Ао*(р у,ш) -(Ао* + А1*(Л))(р j,ш)Cos( f (£)(р у,ш))

□ □

* * .

(Ао + А1 (Л))(р j,ш)Cos( f (£)(р ;,ш))- □□

* * - * П

- (Со + С (Л))&п(f (£)(р ;,ш))- Ао (р;,ш)ип □ ,

□

(Со* + С1*(Л))^а (£)(р ;,ш))- Со* + □

□

* * .

+ (Ао + А1 (Л))(р f (£)(р у,ш)) □□

Н р] = □□□□ - (Ао*В+ + ТС)(о*р ] ,ш) (Ао* +ВТ+)(Сро* ,ш)ПППп

□ □ ьпЕ + КпГ 0* о 0 0 □□

В + Со* = □□ - к0пГ 0* - М0Г 0* -+ ККууЕГ 0* + syE 0 0 □ где □ ,

□ szE 0 П

□ □0 - hyE - hzE уаГ 0* + saEПП

□ 1 0 0 0П

□ □

А0* + Т = ПП00 10 10 00Ш , А0* = 0 ; А0* + А1*(Л) = 0 ; □ □

□ □0 0 0 1Ш

□ □ КпГ0* 0 0 0 □□ С0* = □□ - КпГ0* (- м0 + К у)Г0* 0 0 □□ ,

□ 0 0 0 0 □ □ □ 0 0 0 уаГ0*ПП

□ □ Кп(Г0* + Г1*(Л)) 0 0 0 □□

* + С1*(Л) = □□ - Кп(Г0 + Г1 (Л)) (м0 - Кп)(Г0 + Г1 (Л)) 0 0 □

С0 □ .

□ 0 0 0 0 □

□ 0 0 0 уаГ0*ПП

□

Построим квадратную матрицу H + G(£,A) = diag{Hi + Gi(£,A),i = 1,...,q} порядка ~

8q , lim G(£ ,A ) = 0 . (£ ,A )- 0

В системе (3.26) сделаем замену n = n- no , У = y - yo ,z' = z - zo ,a = a- ao , где no , yo ,zo ,ao -величины, соответствующие здоровому организму (обозначения оставим прежними).

Пусть коэффициенты системы (4.1) удовлетворяют условиям, при которых det Hi = o при j = 4,k1A = 1,k24 = 3 , оператор H имеет единственный собственный элемент h и единственный базисный вектор g .

Конечномерное векторное пространство E8q представляется в виде прямой суммы трех подпространств E8q = Eo © L(h) © L(g) , а элемент x = (n, y, z,a) в виде x = Px+ah+ßg . В данном случае система (4.1) примет вид

Di(u,£,A,Li) = o,

D2 (и ,£,А,|) = o,

(4.2)

где Aß ,еЛм) = Л i(£)et-+ Л *i(e)ß + Е (м) + о(0 - ^ПпПП #□□□□ „£f=

lß«g?( □□□□ □□□□, -

J -G

D2(Z ,£,A,M) = Л~ (£)a-+ Л~*1(£)Р + I (|) + o(Z iDDDD HDDDD u£t= ißugu □□□□"□□□□ , Z(M) = 5(Y(M)), 1

i(i) = «(Yd))" limZ (i) = o , limI (i) = o . £- o £- o

Тогда система (4.1) есть система вида

F4(»,£,a)+ Ф(м) + оПаа»,£,А4 aaa = o ,

(4.3) - -

где £ = (£1,£2,£з), и-= (a,ß_),Ae R,|je R , F4 (и,£,А) - вектор-форма 4-го порядка по

и,£,А, не содержащая | , Ф(|) - вектор-функция переменной lim Ф (i ) = o.

i - o

Дальнейшие исследования ведутся согласно алгоритму нахождения ненулевого решения, приведенному в пункте 3.

С этой целью полагаем, что найдется точка eo = (eo1,eo2 ,eo3), eo I I = 1, F (eo ) = o , и систему

(3.28) записываем в виде

ФОР 4 —d

р i=2

DF4(e0)v + —^ + X ß<e0,v) + О(рё) = О

(4.4) _

Если 1) rangDF4 = 2 , то система (4.1) в силу теоремы 3.9 имеет хотя бы одно ненулевое

решение. В противном случае рассматриваем варианты: 2) DF4 (ео) = о ; 3) rangDF4 = 1.

В результате будут найдены решения системы (4.1) или алгоритм будет бесконечным. Полученный квазипериодический режим в математической модели (4.1) характеризует либо наличие в организме иммунитета и тогда он здоров, либо его отсутствие, что приводит к неминуемой гибели организма.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. - М. : Высшая школа, 1982. -

271 с.

2. Свирежев, Ю.М. Основы математической генетики / Ю.М. Свирижев, В.П. Пасеков. М. : Наука, 1982. - 511 с.

3. Терехин, М.Т. О периодических решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 11. - С. 2о98-2о99.