Исследование эффектов старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в двумерной XY-модели при моделировании из начального состояния с малым значением намагниченности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 4. С. 55-60.

УДК 544.344

В.В. Прудников, П.В. Прудников, И.С. Попов, С.В. Алексеев

ИССЛЕДОВАНИЕ

ЭФФЕКТОВ СТАРЕНИЯ И НАРУШЕНИЯ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОЙ ТЕОРЕМЫ В ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ИЗ НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ С МАЛЫМ ЗНАЧЕНИЕМ НАМАГНИЧЕННОСТИ*

Исследуется явление старения в низкотемпературном неравновесном критическом поведении двумерной ХУ-модели методами Монте-Карло из начального неупорядоченного состояния. Исследуется неравновесное поведение двухвременных автокорреляционной функции и функции отклика.

Ключевые слова: двумерная ХУ-модель, явление старения, флуктуационно-диссипа-тивная теорема, коротковременная динамика;

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы, как стекла: дипольные, металлические и спиновые стекла. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре Ткт фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулеса [2]. Под процессом старения материалов понимают явление роста времени релаксации системы к состоянию равновесия с увеличением «возраста» материала, т. е. времени, прошедшего после приготовления образца [3]. Явление старения проявляется математически прежде всего в двухвременных характеристиках системы, таких как корреляционные функции и функции отклика. При неравновесных процессах эти функции зависят от двух переменных временной природы: t и ^, при t > и не только от их разницы, но и от каждой в отдельности. Причем эта зависимость сохраняется и при достаточно больших временах наблюдения t. Временная переменная ^ характеризует возраст образца, т. е. время, прошедшее после его приготовления, и называется временем ожидания. При явлении старения процесс релаксации

* Работа поддержана грантами Минобрнауки 2.1.1/13956 и 2010-1.1-121-011-047, грантом РФФИ 10-0200507 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, И. С.Попов, С.В. Алексеев, 2011

системы как функции времени наблюдения Ї замедляется тем больше, чем больше возраст образца, т. е. с увеличением времени ожидания іш.

В данной работе методами компьютерного моделирования исследованы эффекты старения в двумерной ХУ-модели при температурах Т < Ткт посредством расчета временной зависимости автокорреляционной функции Л(ґ, ^) при реализации динамики Метрополиса из начального состояния с малым значением намагниченности.

Гамильтониан двумерной ХУ-модели можно записать следующим образом:

н=-/ х р;, (1)

і,;

где / > 0 - обменный интеграл, . - плоский классический спин, связанный с і-м узлом двумерной решетки. Рассматривалась плоская решетка, содержащая N = Ь2 узлов с линейным размером Ь = 256.

Для численного статистического описания применялся гамильтониан модели в форме

(2)

н=- / X со8(^- -Фі)

где фі - угол і-го спина относительно произвольной вертикальной оси, являющийся фазой.

При реализации алгоритма Метропо-лиса из созданной начальной спиновой конфигурации с малым значением намагниченности системы выбирался случайным образом узел решетки, занятый

спином ., и осуществлялось пробное изменение его направления на случайный угол из интервала [-ге,ге] в соответствии с соотношением ф' = ф + 5[2пг - п], где г -случайное число, равномерно распределенное в интервале [0,1], 5 - число из интервала (0,1), подбираемое таким образом, чтобы в результате принималось не менее 50 % пробных изменений направления спинов. Затем осуществлялось вычисление изменения энергии системы ДЕ, обусловленное пробным изменением состояния спина при учете его взаимодействия только с ближайшими спинами. Если при этом ДЕ < 0, то пробное изменение направления спина принимается, если же ДЕ > 0, то вычисляется вероятность изменения состояния W = ехр(-ДЕ / Т), сопоставляемое со случайным числом г в интервале (0,1), и если г < W, то пробное изменение направления спина также при-

нимается, в противном случае сохраняется исходная конфигурация. За единицу временного изменения процесса принимается шаг Монте-Карло на спин (МСБ/б), содержащий N случайных выборок спинов системы.

Динамика Метрополиса переворотов отдельных спинов, задаваемая данным алгоритмом, описывает диссипативные процессы в системе, сопровождающиеся релаксацией намагниченности (параметра порядка) из начального неравновесного отличного от нуля значения к равному нулю для двумерной ХГ-модели равновесному значению. Она отражает стохастические процессы динамики спиновых флуктуаций в критической области, описываемых уравнением Ланжевена с несо-храняющимся параметром порядка (динамическая модель А).

Автокорреляционная функция системы может быть задана в виде

АИ ’') = N ^ ^(0 ^(3)

Автокорреляционная функция обладает следующей скейлинговой зависимостью от корреляционной длины £ ~ ^1п(0 [4]:

Л{і, К) = ■

1

(

-Ф

Л

(4)

(; - К )П(Т)/2‘ {{(^)

В данной работе исследованы эффекты старения для трех значений времени ожидания: ^ =100, 500 и 1000 МСБ/б. Системе задается старт из начального состояния с малым значением намагниченности. Начальное неравновесное неупорядоченное состояние приготавливалось путём динамической эволюции системы в соответствии с алгоритмом Метрополиса при температуре, значительно большей ТкТ. В качестве такой температуры выбрано значение Т / / = 3,0. После достижения заданного значения намагниченности т0 = 0,001 с точностью Ат0 = 0,01 т0 состояние системы считалось начальным для последующего исследования. Из этого состояния системе предоставляется возможность свободно эволюционировать во времени в соответствии с алгоритмом Метрополиса до момента, равного времени ожидания ^, начиная с которого производился расчет автокорреляционной функции в течение времени наблюдения t - ^ = 20000 МСБ/б. Двухвременная зависимость автокорреляционной функции была иссследована в температурном интервале от Т / / = 0,1 до ТКТ / /~ 0,89 с шагом АТ / / = 0,1. Для каждой температу-

ры Т и времени ожидания tw проводилось усреднение получаемых временных зависимостей автокорреляционной функции по 1000 прогонкам. В качестве примера на рис. 1 (а, Ь, с) в двойном логарифмическом масштабе представлены графики полученных временных зависимостей автокорреляционной функции для трех различных времен ожидания ^ при температуре Т / / = 0,1, 0,5, 0,89. На графиках наглядно видно наличие двух линейных участков, отражающих степенную временную зависимость автокорреляционной функции в соответствующих временных интервалах, а также кроссоверной области, в которой осуществляется переход от одного степенного режима к другому. Для количественной характеристики данных степенных режимов были введены пока-

затели временной зависимости для автокорреляционной функции:

А^, ^^ ^ )-дА . (5)

В табл. 1 представлены полученные значения показателей Да для всех исследованных температур. Выявлено, что с ростом температуры Т режимы, характеризуемые различными показателями, а, следовательно, и эффекты старения становятся более ярко выраженными для различных tw, т. е. количественное отличие показателей для этих режимов увеличивается. Были вычислены значения аналогичных показателей в координатах временной зависимости корреляционной длины системы £ ~ t / 1и(0, с целью выделения влияния вихревых возбуждений на неравновесную динамику:

АЦ, ^^ /1п t)-А“ . (6)

Рис. 1. Временная зависимость автокорреляционной функции для различных значений времени ожидания:

1 - и = 100, 2 - и = 500, 3 - и = 1000 при температурах Т = 0,1 (а), Т = 0,4 (Ь), Т = 0,89 (с)

Таблица 1

Показатели для автокорреляционной функции, полученные для различных значений температур Т, времен ожидания (у и асимптотических временных интервалов

и У = 100 У = 500 У = 1000

[0,60] [1000,20000] [0,60] [5000,20000] [0,60] [1000,20000]

0,1 0,022(4) 0,430(8) 0,015(1) 0,432(3) 0,022(4) 0,430(8)

0,2 0,041(2) 0,461(3) 0,026(5) 0,457(8) 0,041(2) 0,461(3)

0,3 0,049(9) 0,473(1) 0,038(5) 0,464(3) 0,049(9) 0,473(1)

0,4 0,064(1) 0,484(1) 0,050(9) 0,461(8) 0,064(1) 0,484(1)

0,5 0,087(3) 0,492(1) 0,062(6) 0,475(1) 0,087(3) 0,492(1)

0,6 0,096(1) 0,499(3) 0,078(1) 0,479(7) 0,096(1) 0,499(3)

0,7 0,121(1) 0,503(2) 0,095(7) 0,481(6) 0,121(1) 0,503(2)

0,8 0,148(1) 0,514(9) 0,117(3) 0,489(8) 0,148(1) 0,514(9)

0,89 0,184(1) 0,612(3) 0,146(9) 0,614(7) 0,184(1) 0,612(3)

Значения показателей а“ представлены в табл. 2.

Таблица 2

Значения показателя А скейлинговой зависимости

автокорреляционной функции от корреляционной длины

ти П А

0,1 0,01 0,5216(3)

0,2 0,02 0,5428(5)

0,3 0,03 0,5384(9)

0,4 0,04 0,5267(4)

0,5 0,05 0,5188(9)

0,6 0,06 0,5200(8)

0,7 0,07 0,4983(8)

0,8 0,09 0,4812(9)

0,89 0,11 0,6151(3)

Был проведён анализ скейлинговой зависимости автокорреляционной функции

(4). Для этого было проведено построение функции Ф со значениями ц из работы [5]. В качестве примера на рис. 2 в двойном логарифмическом масштабе представлены графики полученных ависимостей скей-линговых функций от относительной корреляционной длины при 77./= 0,4.

1*Іп(Г)/Мп<і)

Рис. 2. Скейлинговая функция Ф при Т = 0,4

Из графиков зависимости Ф от корреляционной длины видно, что Ф(х) = 1 при малых значениях х, Ф(х) ~ х х при больших

х, и существует промежуточная кроссоверная область, в которой происходит переход от одного поведения к другому. Были рассчитаны значения показателя X, которые указаны в табл. 3.

Из вида графиков временной зависимости автокорреляционной функции и значений Да видно, что в структурно однородной системе при старте из начального состояния с малым значением намагниченности поведение автокорреляционной функции качественно отличается от случая старта из упорядоченного состояния [5], т. к. графики временной зависимости выпуклы вверх. Данное поведение схоже с поведением автокорреляционной функции системы с дефектами [6], как при старте из упорядоченного начального состояния, так и из состояния с малым значением намагниченности.

Анализ двухвременного поведения автокорреляционной функции показал, что зависимость автокорреляционной функции системы, эволюционировавшей из начального состояния с малым значением намагниченности, от времени ожидания отличается от аналогичной зависимости для системы, эволюционировавшей из начального упорядоченного состояния. В первом случае наблюдается рост времени релаксации с увеличением времени ожидания, во втором случае -уменьшение [4-6]. На начальных временных участках (ґ-ґ„~ґ№) показатели Да для системы, эволюционировавшей из начального состояния с малым значением намагниченности, превосходят аналогичные показатели для системы, эволюционировавшей из начального упорядоченного состояния, до 1,5 раз. В случае дальних временных участков (І;-^»^) показатели ДА системы, эволюционировавшей из на-

Таблица 3

Показатели АКФ, полученные для различных значений температур Т, времён ожидания їш и асимптотических временных интервалов, построенные в координатах корреляционной длины §~У1п(1),

для структурно однородной системы.

Ш = 100 Ш = 500 іш = 1000

[0,50] [5000,20000] [0,50] [5000,20000] [0,50] [5000,20000]

0,1 0,039(1) 0,549(1) 0,023(2) 0,492(8) 0,039(1) 0,549(1)

0,2 0,062(1) 0,580(5) 0,041(8) 0,521(1) 0,062(1) 0,580(5)

0,3 0,084(4) 0,584(5) 0,057(8) 0,46(32) 0,084(4) 0,584(5)

0,4 0,106(8) 0,578(5) 0,080(9) 0,51(77) 0,106(8) 0,578(5)

0,5 0,126(4) 0,580(4) 0,095(5) 0,53(25) 0,126(4) 0,580(4)

0,6 0,151(1) 0,594(2) 0,110(7) 0,53(78) 0,151(1) 0,594(2)

0,7 0,180(6) 0,583(8) 0,130(8) 0,53(99) 0,180(6) 0,583(8)

0,8 0,217(5) 0,580(4) 0,160(7) 0,54(91) 0,217(5) 0,580(4)

0,89 0,271(3) 0,756(1) 0,199(4) 0,68(92) 0,271(3) 0,756(1)

чального состояния с малым значением намагниченности, превосходят аналогичные показатели для системы, эволюционировавшей из начального упорядоченного состояния, в количество от іО до іОО раз.

В качестве тестового исследования на соответствие полученных значений показателей Да временной зависимости автокорреляционной функции был проведен расчёт при старте системы из полностью упорядоченного начального состояния для T / J = 0,5 и tw = 100. Полученный результат Ад = 0,05(1) сходится с результатами работы [З], где получено значение 0,048б(9).

Значение показателя Х = 0,5384(9) при T / J = 0,3 совпадает в пределах статистической погрешности со значением, полученным в работе [4], которое составило Х=0,54. Полученный вид скейлинговой зависимости показывает, что на ближнем временном участке (t-tw~tw) влияние вихревых возбуждений на динамику системы несущественно, т. е. вихри и антивихри не успевают образоваться, и основной вклад в динамику релаксации системы вносят возбуждения спин-волновой природы, обусловливаемые явлением спиновой диффузии - распространение и взаимодействие спиновых волн. С течением времени влияние вихревых возбуждений и их взаимодействие увеличивается, и на дальнем временном участке (t - tw >> tw) оно становится определяющим. Аналогичный результат следует из значений по-

KL

казателей A (табл. З). Из вида скейлин-

говой зависимости автокорреляционной функции (4) также видно, что основной вклад в релаксационные процессы происходит на больших пространственных масштабах. Это следует из того, что скейлин-говая функция Ф начинает существенно отличаться от единицы только на больших масштабах корреляционной длины.

Флуктуационно-диссипативная теорема - соотношение, устанавливающее связь между спектром флуктуации физических величин в равновесной диссипативной среде и её обобщёнными восприимчивостями, т. е. параметрами, характеризующими её реакцию на внешнее воздействие [7]. В настоящей работе нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы исследованы на основе анализа зависимости восприимчивости системы от автокорреляционной функции.

Флуктуационно-диссипативная теорема для исследуемой системы имеет вид [4].

Рассмотрим метод расчета восприимчивости и автокорреляционной функции, указанный в работе [4]. Генерируется случайное двухкомпонентное магнитное поле,

каждая компонента которого имеет бимодальное распределение ±Н. В момент времени, равного времени ожидания tw, в гамильтониан системы вводится слагаемое

АН = -£ ИгБг. (5)

г

С учётом этого вклада в гамильтониан реализуется алгоритм Метрополиса, описанный в данной работе ранее. Магнитная восприимчивость вычисляется по

формуле [4]:

1 N . .---

X(t,^к'^г > (6)

где <...> - усреднение по статистическим конфигурациям, черта над выражением -усреднение по распределениям случайных полей Ь.

Временная зависимость указанных характеристик была исследована для температуры Т / .7 = 0,1 для трех значений времени ожидания ^ = 100, 500 и 1000 МСБ/б. На рис. 3 представлена параметрическая зависимость восприимчивости от автокорреляционной функции. Для каждого времени наблюдения ^ проводилось усреднение по 2000 реализаций случайных полей.

А<«,)

Рис 3. Зависимость восприимчивости от автокорреляционной функции при Т / J = 0,1 1 - ^ = 100, 2 - ^ = 500, 3 - ^ = 1000

Из полученного результата видно, что в системе происходит нарушение флук-туационно-диссипативной теоремы. Из графика зависимости видно, что в данных координатах можно выделить два линейных участка и корссоверную область, в которой происходит переход от одной зависимости к другой. На ближнем

временном интервале выполняется флук-туационно-диссипативная теорема. С течением времени начинают проявляться эффекты её нарушения, и на дальнем временном интервале происходит существенное отклонение от флуктуационно-диссипативной теоремы.

Отклонение кривых происходит влево от прямой, иллюстрирующей флуктуаци-онно-диссипативную теорему. Для случая системы, эволюционировавшей из начального упорядоченного состояния [4], аналогичное отклонение происходит вправо. Видно наличие эффектов старения, так как скорость релаксации уменьшается с ростом времени ожидания tw.

Был проведён расчет коэффициентов наклона кривых параметрической зависимости восприимчивости от автокорреляционной функции на участке, где происходит нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы и кривые имеют линейный вид. Полученные результаты представлены в табл. 4.

Таблица 4 Коэффициенты наклона параметрической зависимости восприимчивости и АКФ

tw Временной интервал Коэффициент наклона

100 [1000,10000] 0,05(8)

500 [2000,8000] 0,05(7)

1000 [3000,8000] 0,05(1)

Из полученных результатов видно, что коэффициенты наклона линейных участков параметрической зависимости восприимчивости от автокорреляционной функции для разных времён ожидания ^ в пределах погрешности совпадают, т. е. эти участки идут параллельно. При этом от времени ожидания tw зависит времен-

ной интервал, на котором кривая зависимости ведёт себя линейно.

Подводя итог всем полученным в данной работе результатам, можно отметить:

1. Неравновесная эволюция системы из начального состояния с малым значением намагниченности существенно отличается от релаксации системы из начального упорядоченного состояния.

2. Неравновесное поведение двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе характеризуется нарушением ФДТ.

Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

ЛИТЕРАТУРА

[1] Calabrese P., Gambassi A. // J. Phys. A. 2005. V. 38. P. R133.

[2] Lei X. W., Zheng B. Short-time critical dynamics and ageing phenomena in two-dimensional XY model // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 040104.

[3] Struik L.C.E. Physical Aging in Amorphous Polymers and Other Materials. Amsterdam: Elsevier, 1978

[4] Berthier L, Holdsworth P.C.W., Sellitto M. Non-

equlibrium critical dynamics of the two-

dimensional XY model // J. Phys. A. 2001. V. 34. P. 1805.

[5] Прудников В. В., Прудников П. В., Алексе-

ев С. В. Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели // Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 2. С. 55.

[6] Прудников В. В., Прудников П. В., Алексеев С. В. Исследование влияния дефектов

структуры на динамику двумерной XY-модели в низкотемпературной фазе // Вестн. Ом. унта. 2010. № 4. С. 76.

[7] Зубарев. Д. Н., Морозов В. Г., Рёпке Г. Статистическая механика неравновесных процессов : в 2 т. Т. I. М. : Физ.-мат. лит-ра, 2002.