Исследование влияния различных начальных состояний на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга методами Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 3. С. 31-36.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, П.Н. Маляренко

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗЛИЧНЫХ НАЧАЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО*

Осуществлено исследование методами Монте-Карло влияния различных начальных значений намагниченности на неравновесное критическое поведение трехмерной модели Изинга. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционной функции и динамической восприимчивости выявлено существенное влияние начальных состояний на эффекты старения, характеризующиеся аномальным замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания. В структурно неупорядоченной модели, в отличие от чистой, в скейлинговом поведении автокорреляционной функции были выявлены эффекты сверхстарения, обусловленные пиннингом доменных стенок на дефектах структуры в процессе неравновесного изменения доменной структуры модели.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, влияние начальных состояний, структурно неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и c экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуаци-онно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы, как спиновые стекла [2]. В то же время данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться в системах, находящихся в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода [3], так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации.

Эффекты старения наблюдаются только на временах ^ много меньших времени релаксации системы Ъег, и проявляются в форме двухвременной зависимости корреляционной функции и функции отклика от времени наблюдения t и времени о^кидания tw. Время ожидания tw характеризует промежуток от момента приготовления образца до момента начала измерения его характеристик. При медленной эволюции из неравновесного начального состояния старение системы проявляется в замедлении релаксационных процессов при увеличении времени ожидания tw («возраста» системы) и сопровождается такими неэргодическими эффектами, как память о начальном и любом промежуточном состояниях в релаксационном процессе при ^ tw << Ъы и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы [4].

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562.

Исследования выполнены с привлечением вычислительных ресурсов суперкомьютерного центра НИВЦ

МГУ и СПб Филиала МСЦ РАН.

© Прудников В.В., Прудников П.В., Маляренко П.Н., 2016

В исследованиях влияния начальных состояний системы на характеристики неравновесного критического поведения различают высокотемпературные состояния, созданные при То > Тс и характеризуемые начальной намагниченностью то = 0, и низкотемпературные состояния с То < Тс с то ^0. Дальнейшая реализация неравновесного процесса характеризуется тем, что в начальный момент времени система приводится в контакт с термостатом при критической температуре Тс системы и затем с момента времени ^ проводится измерение двухвремен-ных величин корреляционной функции и функции отклика на временах 1<< ^ tw<< Ьег.

К настоящему времени исследование неравновесного критического поведения различных статистических систем наиболее полно проведено для случая их эволюции из высокотемпературного начального состояния (см. обзор [3]). В ряде работ [5-7] было осуществлено численное исследование методами Монте-Карло влияния дефектов структуры на особенности неравновесного поведения трехмерной модели Изинга при ее релаксации из высокотемпературного начального состояния. Изучены эффекты старения. Проведен расчет новой универсальной характеристики неравновесного критического поведения - предельного значения флуктуаци-онно-диссипативного отношения (ФДО) X Выявлена их зависимость от изменения концентрации дефектов. Однако случай неравновесной критической релаксации систем из низкотемпературных начальных состояний исследован заметно хуже.

В работе [8] авторами на основе ре-нормгруппового анализа неравновесной динамики диссипативной модели А в классификации Гальперина-Хоэнберга [9] было показано, что начальное состояние с намагниченностью то ? 0 приводит к появлению нового временного масштаба 1т ~ пТ0к с показателем к > 0, существенно влияющего на временное поведение автокорреляционной функции и функции отклика. Описаны предельные режимы: режим с временами tw < t << tm, который всегда реализуется для случая высокотемпературного начального состояния с то = 0 и характеризуется соответствующим этому начальному состоянию временным поведением корреляционной функции и функции отклика, а также режим с большими по сравнению с т временами t и tw, т. е. т << tw < 1 В последнем случае, соответствующем, например, приведенной начальной намагниченности системы с то = 1 при То = 0, долговременное поведение корреляционной функции и функции отклика характеризуется новыми показателями и новым значением предельного ФДО X™. В работе [8] результаты ренормгруппового описания были

дополнены расчетом характеристик неравновесной критической динамики диссипативной модели с помощью метода е-разложе-ния. Затем предсказания теории были сопоставлены с результатами проведенного компьютерного моделирования неравновесного критического поведения двумерной модели Изинга. Получено убедительное подтверждение их справедливости.

Проведенное в работе [10] исследование неравновесной критической релаксации намагниченности m(t) для «чистой» модели Изинга для различных начальных состояний то демонстрирует существенные как качественные, так и количественные отличия в релаксации намагниченности из высокотемпературного начального состояния с то << 1, низкотемпературного полностью упорядоченного состояния с то = 1 и промежуточного состояния с то = 0,4. Так, для случая высокотемпературного начального состояния с то << 1 на этапе неравновесной эволюции наблюдается характерный рост намагниченности, описываемый степенным законом

m(t) ~ te c 0' = 0.111(4), где 0' - независимый динамический критический индекс [11-13]. При временах t > tcr ~ m0ll(e+^lvz) данный этап эволюции сменяется режимом, характеризуемым степенной временной зависимостью

намагниченности m(t) ~ rplvz, где p, v - известные статические индексы, определяющие равновесное критическое поведение намагниченности и корреляционной длины, z - динамический критический индекс, характеризующий критическое замедление времени релаксации системы. При эволюции системы из начального упорядоченного состояния с то = 1 временная зависимость намагниченности в критической точке сразу определяется степенной зависимостью

m(t) ~ t-p/vz со значением показателя

p/vz = 0,241(8). Промежуточный случай с то = 0,4 характеризуется коротким этапом роста намагниченности по закону m(t) ~ te с последующим переходом к более длительному этапу релаксации по закону

m(t) ~ t~plvz. Таким образом, процесс неравновесной критической релаксации намагниченности т(t) из высокотемпературного начального состояния является наиболее «быстрым» по сравнению с релаксацией из других начальных состояний с то ï 0.

В данной работе мы впервые представляем результаты численного Монте-Карло исследования влияния различных значений начальной намагниченности то на характеристики неравновесного критического поведения трехмерной модели Изинга. Гамильтониан для ферромагнитной модели Изинга,

разбавленной немагнитными атомами примеси, с учетом влияния внешнего магнитного поля h задается выражением:

h = -j X p¡pjs¡sj - hXps > (1)

<i,j > i

где J > 0 характеризует короткодействующее обменное взаимодействие между спинами S¡ = ±1, зафиксированными в узлах решетки. В данной модели немагнитным атомам примеси сопоставляются пустые узлы. Числа заполнения pi вводятся как случайные числа, принимающие значения 0 или 1: pi принимается равным 1, если в узле i находится спин, и 0 в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры распределялись в системе каноническим образом в соответствии с функцией распределения

Р(р) = (1 - p)6(pi) + pS(pi), где p = (p^ задает величину спиновой концентрации в системе. Положение дефектов структуры фиксировалось для отдельной примесной конфигурации. Моделирование проводилось на кубической решетке с наложенными периодическими граничными условиями. Ns = pL3 характеризует число спинов в решетке с линейным размером L. В качестве характеристик неравновесного процесса выступают такие величины как намагниченность

M (t) = 1J d'x [( S (x, t » ]

à 1(t\

(2)

временная корреляционная функция C(t, tw) и линейная функция отклика R(t, tw) на малое внешнее поле, примененное в момент времени tw, которые могут быть определены соотношениями:

C(t, tw ) =1J ddx[( S ( x, t)S (0, tw}) -

-( S ( x, t))( S (0, tw})],

1 f , S(x,t))]

R(t,tw) = - J ddx * S

(3)

âh(x,tw ) "=0

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по реализациям начального состояния, квадратные - усреднение по различным конфигурациям распределения дефектов в решётке.

Согласно общим представлениям о неравновесных процессах ожидается, что для t > tw >> trel, C(t, tw) = Ceq(t - tw) и R(t, tw) = Req(t - tw), где Ceq и Req являются соответствующими равновесными величинами, связанными флуктуационно-диссипативной теоремой (ФДТ) TReq(t) = -dCeq(t)/dt. Принципиально важным проявлением медленной динамики является нарушение ФДТ [4-6], когда связь функции отклика системы на внешнее возмущение R(t, tw) и корреляционной функции C(t, tw) осуществляется через введение дополнительной величины X(t, tw),

получившей название флуктуационно-дис-сипативного отношения (ФДО): X(t, tw ) dC(t, tw )

R(t, tw ) = -

(4)

kT dtw

Для времен с t > tw >> trel ФДТ устанавливает, что X(t, tw) = 1. Однако в общем случае для времен с t, tw << trel X(t, tw) ^ 1. Асимптотическое значение ФДО, вводимое как

X™ = Um UmX(t, tw), (5)

tw ^X t^X

оказывается важной универсальной характеристикой неравновесных процессов в различных системах.

В настоящее время установлено, что временные зависимости автокорреляционной функции и функции отклика в неравновесном режиме при эволюции из низкотемпературного начального состояния с то ? 0 удовлетворяют следующим выражениям [8]:

с(х, ^, гт)=Ас (х - ^ г"'г (х / ^ г1 / х, х / гт) щ, ^, т)=Ак (х - ^ )а-Л/г (х / ^ у ^ ^ /х, х / хт\ (6)

где, как упоминалось выше, = Втт-к - новый временной масштаб, задаваемый начальным значением намагниченности, с показателем к = 1/(1+а+fi/vz) > 0, а = = (2 - п - г) /г, в = в' - (2 - г - п)/z, откуда к = 2.732(7) для системы с р = 1.0 и к = 2.917(24) в случае р = 0.8 [10]. Скейлинго-вые функции Рс (х„ / х, х / Хт ) и (х„ / х, х / Хт ) являются конечными при tw^ 0 и /0, Ая и Ас - неуниверсальные амплитуды, значения которых фиксируются условием Кс,я(0,0) = 1.

Для выявления особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной системе изинговских спинов при эволюции из начального состояния с то ? 0 и исследования влияния на них дефектов структуры в данной работе осуществлялось компьютерное моделирование в рамках статистического метода Монте-Карло. Был реализован динамический процесс односпино-вых переворотов с применением алгоритма тепловой бани [8], задающим вероятность перехода спина системы в новое состояние & ^ 5н' посредством формулы:

ехр Г-Н &)/ Т1

К Ф ^ 3) ^ ^ 1 , (7)

I exp [-Я (Sj )/T ]'

где суммирование по в знаменателе проводится по всем возможным состояниям спина & до переворота. В качестве единицы времени динамического процесса выбирается шаг Монте-Карло на спин (MCS/s), который обозначает Иэ последовательных переворотов спинов в узлах решетки. Для модели Изинга двумя возможными состояниями & = ±1, указанную вероятность переворота можно записать в виде:

S

exp[-H (S'.)/ T]

W (S ^ S) =___

sp ' ') expí H (Si)/T] + exp[-H(S,.)/T]

, (8)

с реализацией так называемой глауберов-ской динамики. В данной работе, по аналогии с работами [5; 8], мы применили методику, позволяющую рассчитать функцию отклика без применения внешнего магнитного поля, осуществляя расчет обобщенной восприимчивости в виде интегральной функции отклика (термостатической восприимчивости):

1 N

хаи= |мщ1л')=—^[{РМ)^))] (9) 0 1N ¿=l с функцией отклика, задаваемой соотношением (3), и функцией АБ^Ш), рассчитываемой при моделировании состояний системы от начального момента времени t = 0 до времени ожидания tw и определяемой соотношением:

L

¿s t(tJ = £ [s(s) - SW (4

s=0

где SW = th(j£ PmSm / T).

(10)

С другой стороны, если в (9) для функции отклика применить соотношение (4), то можно получить, что

тх(1, ^) = )х(Г, Г') ж. = У X(С)йС (11) 0 ™ 0 В результате флуктуационно-диссипа-тивное отношение может быть определено соотношением:

, К)

X (t, tw) = limT

0C(t, tw )'

(12)

с помощью которого можно определить предельное флуктуационно-диссипативное отношение (5).

Нами было осуществлено моделирование систем со спиновыми концентрациями р = 1.0 и 0.8 на кубической решетке с линейным размером Ь = 128 при соответствующих критических температурах Тс(р): Тс(1.0) = = 4.5114(1); Тс(0.8) = 3.4995(2) [14]. Формировались начальные состояния системы со значениями намагниченности, равными то = 0.02; 0.05; 0.1; 0.25; 0.4; 0.7 и 1.0. На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина еще достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Поэтому применение в исследованиях решетки с достаточно большим линейным размером Ь = 128 позволяет пренебрегать конечномерными эффектами по сравнению с их проявлением при моделировании равновесных критических явлений [13].

ю 100

t, MCS/s

а)

10 100 t, MCS/s

б)

Рис. 1. Неравновесные зависимости автокорреляционной функции C(t, t/3) для систем с концентрацией спинов p = 1.0 (a) и p = 0.8 (б)

x=tm„

а)

б)

Рис. 2. Скейлинговые зависимости для ^ 2fi'(vz)C(t, ^)

для р = 1.0 и р = 0.8 (б), демонстрирующие «коллапс» полученных для различных tw данных для системы с р = 1.0 и нарушение «коллапса» для случая p = 0.8

В работе было проведено вычисление двухвременной зависимости для автокорреляционной функции С(Х, tw) (3) и восприимчивости tw) (9) от времени наблюдения t для набора различных времен ожидания tw, зависящих от ^ Поведение систем исследовалось на временах до 3000 шагов Монте-Карло на спин. При моделировании «чистой» системы с р = 1.0 проводилось статистическое усреднение по 1500 прогонок. При моделировании структурно неупорядоченной модели Изинга усреднение вычисляемых величин проводилось по 500 примесным конфигурациям и 5 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Результаты расчетов для tw = / / 3 представлены на рис. 1(а,б), 3(а,б). Эффекты старения наглядно проявляются через отклонение С(Х,Х/3) от прямой, определяющей поведение автокорреляционной функции в случае постоянного значения tw, и характеризуются замедлением корреляции и релаксации системы с увеличением ее «возраста». Из представленных графиков также видно, что с ростом начального значения намагниченности происходит усиление эффектов старения, причем в структурно неупорядоченных системах, это явление проявляется значительнее, чем в однородных.

I, МСв/э б)

Рис. 3. Неравновесные зависимости динамической восприимчивости х(х, х /3) для систем с концентрацией спинов p = 1,0 и p = 0,8 (б)

б)

Рис. 4. Скейлинговые зависимости х.

2рКуг)

х(х, х„) от

хтк для p = 1,0 И и p = 0,8 (б), демонстрирующие «коллапс» полученных для различных то данных

Для чистых систем (р = 1) в случае с tw= и3 корреляционная функция и восприимчивость описываются соотношениями [8]:

2Р

С(%х/3) = х у вс(хтк),

(13)

2Р

Х(х,х / 3) = х у Ох (хт0к) . (14)

Для проверки этих скейлинговых соотно-построены зависимости

шений были

^гру'С(х, х /3) и ^ 1рУ2х(х, х /3) от х = хтк0 с использованием значений критических индексов: 2fi/v = 1.032(5) [13], г = 2.024(6) [14] (р = 1.0). Результаты приведены на рис. 2(а), 3(а), которые демонстрируют «коллапс» полученных для различных то данных на универсальных кривых, характеризуемых скейлин-

говыми функциями ^ (хт!к) и Gz (хтк).

В случае структурно неупорядоченных систем с р < 1 в поведении автокорреляционной функции и восприимчивости наблюдаются большие различия, обусловленные выявленным существенным влиянием дефектов структуры на корреляционные свойства системы на неравновесном этапе эволюции. Так, для системы с концентрацией спинов р = 0.8 восприимчивость характеризуется скейлинговым соотношением (13) с учетом

соответствующих значений критических индексов 23/и = 1.016(32), г = 2.191(21) [14] (рис. 4(б)). Однако поведение автокорреляционной функции показывает нарушение соотношения (12), определяемого Gc (Ш^) (рис/ 2(б)). Представление зависимости С2р/■""^С^, ^м) от tмтк0 позволяет при значении показателя ц = 2.30(6) [10] для системы с р = 0.8 получить совпадение данных при то > 0.25 (рис. 5). Таким образом, в случае структурно неупорядоченных систем для автокорреляционной функции реализуется более сложная скейлинговая зависимость вида

С(и11 м ) = t >" мтк ).

- miT 0,02 "

° m„= 0,05

• mo= 0,1

\ % \ — m0= 0,25

V v ■ • m„= 0,4 0,7 1 _----

10~3 10"2 10"1 10° 101 102 103 10" 105 106 107 10а 10э

Рис. 5. Эффект сверхстарения в скейлинговом поведении автокорреляционной функции tw 2р!t1/м)

от ^тк для системы с p = 0.8

Случай скейлинговой зависимости, характеризуемой показателем ц > 1, классифицируется в теории неравновесных процессов как явление «сверхстарения» [15].

В заключение отметим, что в результате численных исследований выявлено существенное влияние начальных состояний на неравновесную критическую динамику трехмерной модели Изинга. Показано, что с ростом начального значения намагниченности происходит усиление эффектов старения. В структурно неупорядоченных системах по сравнению с чистыми наблюдаются существенные изменения в поведении автокорреляционной функции, связанные с пин-нингом доменных стенок на дефектах структуры в процессе неравновесного изменения доменной структуры системы. Исследования выявили, что в структурно неупорядоченной модели, в отличие от чистой, в неравновесном критическом поведении автокорреляционной функции возникают эффекты сверхстарения, проявляющиеся при низкотемпературных начальных состояниях с то > 0.25.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F. Slow dynamics and aging in spin glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. P. 184.

[2] Bouchaud J.P., Cugliandolo L.F., Kurchan J., Mezard M. Out of equilibrium dynamics in spin-glasses and other glassy systems // In Spin Glasses and Random Fields, Directions in Condensed Matter Physics, Vol. 12. ed. A.P. Young. Singapore: World Scientific, 1998.

[3] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133.

[4] Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Флуктуационно-дис-сипационные соотношения: достижения и недоразумения // УФН. 2013. T. 183. C. 617.

[5] Прудников П.В., Прудников В. В., Поспелов Е.А. Расчет флуктуационно-диссипативного отношения для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2013. T. 98. C. 693.

[6] Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. T. 145. C. 462.

[7] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Pospelov E.A., Vakilov A.N. Influence of disorder on critical aging in 3D Ising model // Phys. Lett. A. 2015. Vol. 379. P. 774.

[8] Calabrese P., Gambassi A., Krzakala F. Critical aging of Ising ferromagnets relaxing from an ordered state // J. Stat. Mech. 2006. P06016.

[9] Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. Vol. 49. P. 435.

[10] Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Маляренко П.Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 192201.

[11] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. New universal short-time scaling behaviour of critical relaxation processes // Z. Phys. B. 1989. Vol. 73. P. 539.

[12] Прудников В.В., Прудников П.В., Калашников И.А., Циркин С.С. Ренорм-групповое описание процессов неравновесной критической релаксации в коротко-временном режиме: трехпетлевое приближение // ЖЭТФ. 2008. T. 133. C. 1251.

[13] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Krinitsyn A.S., Vakilov A.N., Pospelov E.A., Rychkov M.V. Short-time dynamics and critical behaviour of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 011130.

[14] Прудников В.В., Прудников П.В., Вакилов А.Н. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем. M. : Наука, 2013.

[15] Henkel M., Pleimling M. Non Equilibrium Phase Transitions. Vol. 2: Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, Heidelberg, 2010, p. 544.