CC BY
21УДК 621.86
DOI: 10.12737/article_59b11cbe7f5bc2.6096933
Т.В. Селенская, Е.И. Селенский, Д.М. Ястребов
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЙ КОНСОЛЬНОГО ПОВОРОТНОГО КРАНА, ТЕЛЕЖКИ И ГРУЗА ПРИ РАЗГОНЕ И УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ РАБОТЫ
ПРИВОДНЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ
Исследованы движения консольного поворотного крана, тележки и груза как механической системы с четырьмя степенями свободы при разгоне и установившихся режимах работы приводных асинхронных электродвигателей.
Ключевые слова: консольный поворотный кран на колонне, сферический маятник, асинхронный электродвигатель, механическая характеристика, время разгона, установившийся режим.
T.V. Selenskaya, E.I. Selensky, D.M. Yastrebov
MOTION INVESTIGATION OF SWING JIB CRANE, TROLLEY AND LOAD AT ACCELERATION AND STEADY STATE OF DRIVE ELECTROMOTORS OPERATION
In the paper by means of the method of generalized coordinates there is investigated a dynamics of a swing jib crane, a trolley and a load as a mechanical system with four degrees of freedom at acceleration and steady states of driving asynchronous electromotors taking into account a bilinear approximation of their mechanical characteristics. As generalized coordinates there is chosen an angle of a crane turn round a fixed pivot pin, a current distance from a trolley to a crane rotation axis, load spherical coordinates - azimuth and polar angles in a moving system of coordinates jointed rigidly to a trolley.
For the analysis of the motions of a crane, a trolley and a load and a check-up of the support with motors a crane typical operation with the aid of Lagrange equations of the second kind there are compiled nonlinear differential equations of motion of the mechanical system under consideration which are integrated numerically in MathCAD medium by RADAU5 meth-
od at specified initial conditions corresponding to operation requirements. As criteria of crane operation safety, safety of the load movable are accepted: motor acceleration time, maximum accelerations of a trolley, a factor of clutch margin of a trolley running wheel with a rail, maximum deviations of a fluctuating load from the position of a static balance in its motion regarding a trolley.
The developed algorithm and the program of a numerical analysis of a swing jib crane dynamics allow carrying out at the stage of analytical designing a check-up of the correspondence of driving electromotors to the required criteria of quality and also introducing substantiated limitations for the basic parameters effecting the motion of a trolley with load.
Key words: swing jib crane on column, spherical pendulum, asynchronous electro-motor, mechanical characteristic, acceleration time, steady state.
Движение крана при разгоне и установившихся режимах работы сопровождается сложными динамическими процессами, влияющими на надежность, безопасность эксплуатации, а также на сохранность перемещаемого груза.
В данной статье приведены результаты исследования динамики консольного поворотного крана, тележки и груза при разгоне и установившихся режимах работы приводных асинхронных электродвигате-
лей с учетом их механических характеристик.
Рассматривается вращение консольного поворотного крана, вдоль стрелы которого с номинальной скоростью \ном = 0,18 м/с перемещается тележка (таль) массы Мт = 2 т, к барабану которой на канате длины Ь = 1,5 м подвешен
груз номинальной массы М = 3 т (рис. 1).
2р
Основные технические параметры крана: к = 3 м — высота подъема груза;
Рис. 1. Кинематическая схема консольного крана на колонне: 1 - стрела; 2 - гильза; 3 - колонна; 4 - опорная рама; 5 - механизм поворота; 6, 7, 8 - подшипники; 9 - тележка; 10 - груз
X = 4 м — вылет стрелы;
х
Ш1П
= 0,85 м
минимальное расстояние от тележки до
оси вращения крана; = 1,37 • 105 кг-м момент инерции крана относительно оси вращения гх, учитывающий инерционность поворотной части крана (с грузом и противовесом) и инерционность механизма поворота; (ом = 0,2 рад/с — номинальная угловая скорость вращения крана.
Кран приводится в движение асинхронным электродвигателем типа 4АС90ЬБ6 через механическую передачу, общее передаточное число которой г = 487. Номинальная мощность элек-
.2
тродвигателя Р = 1,7 кВт, синхронная частота вращения пдс = 1000 об/мин, номинальная частота вращения пдн = 930 об/мин, номинальный момент Мн = 17,5 Н- м [1].
Выбор электродвигателя АА63А6У3 тележки произведен по требуемой мощности на преодоление сопротивления передвижению тележки при работе с номинальным грузом и КПД редуктора, передаточное число которого г = 63. Номинальная мощность электродвигателя 4АА63А6У3 тележки - 0,18 кВт, синхронная частота вращения - 1000 об/мин, номинальная частота вращения - 885 об/мин, номинальный момент - 1,94 Н- м.
Методом обобщенных координат исследуется движение крана, тележки и груза как механической системы с четырьмя степенями свободы. В качестве обобщенных координат выбраны: = р — угол поворота крана вокруг
неподвижной оси гх; q2 = у - текущее расстояние от тележки до оси вращения крана; сферические координаты груза q3 =у (азимутальный угол) и q4 = в
(полярный угол) в подвижной системе ко-
О/ / / /
х у г , жестко связанной с тележкой (рис. 1).
Соответствующими обобщенными силами являются
йх = Мдв (() — Мтр, 22 = Рдв (V) В этих выражениях Мдв(() - зависимость движущего момента крана от угловой скорости (0 = (р (определена в результате приведения вращающего момента двигателя крана к оси вращения г1 с учетом КПД механической передачи); Мтр = 334 Н- м - момент сил трения в
подшипниках колонны крана [1]; Едв (V) -зависимость движущей силы тележки от скорости V = у (движущая сила ¥дв равна отношению вращающего момента двигате-
рс, 23 = 0, йА =—Мгр gL ьтв.
ля тележки, приведенного к оси вращения приводного ходового колеса с учетом КПД редуктора, к радиусу этого колеса); ¥с = 809,3 Н - сила сопротивления передвижению тележки, учитывающая трение качения ходового колеса по рельсу, трение скольжения в опорах вала колеса и трение реборд ходовых колес и торцов их ступиц [2].
Кинетическая энергия Т механической системы равна сумме кинетических энергий Тк крана, Тт тележки и Тгр груза,
т.е.
Т = Т + Т + Т
к т гр •
Кинетическая
энергия
крана
ТК= 2 JZlф2, где 1 = 6,193 • 104 кг-м2 -
приведенный к оси вращения момент инерции крана, учитывающий инерционность поворотной части крана (без груза и тележки), инерционность механизма поворота и вращающихся частей двигателя.
Тележка и груз рассматриваются как материальные точки, участвующие в сложном движении.
Кинетическая энергия тележки определяется по формуле
Тт = 2 [М т У ( + ( М т + М Пр ) у 2 ],
где Мпр = 441 кг - приведенная масса,
учитывающая маховый момент ротора приводного электродвигателя тележки и кинетическую энергию вращения ее ходовых колес.
Кинетическая энергия груза, представляющего собой в относительном движении сферический маятник, определяется
по формуле Тгр = 1 МгрV2 , где ^ - модуль
абсолютной скорости \а груза. Вектор аб-солютной скорости груза равен Vа = + уг , где и - переносная и относительная скорости груза. При этом Vе = V1т} + ( х L, где у(т} - абсолютная скорость тележки, ( и L - соответственно
вектор угловой скорости вращения подвижной системы координат О'х'уг'и радиус-вектор груза как материальной точки в этой системе координат;
— . /т/ . г-г ■ гЧ~г
vr = х г + у] + г к .
Выражение кинетической энергии Т механической системы в ее абсолютном движении имеет вид
Т = ^С/ г +М у2 + МгрЬ2в1п2 в + 2 МгрЬу в1п в сову)ф2 + 1 (М + Мпр) у2 +
2
2
1
+ ^ Мгр 1}(у/2 в1п2 <9 + в2) + Мгр L [у (ф в1п в в1п у— у в1п в в1п у + в сов в сов у) —
— у ф (у в1п в сов у+ в сов в в1п у) — Lф у в1п2 в] где М = М т + М
гр '
Для исследования динамики консольного поворотного крана, тележки и груза и проверки обеспечения двигателями номинального режима работы с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода
а, г = 1, 2, з, 4,
составлены нелинейные дифференциальные уравнения движения механической системы:
а11ф + а12 у + а13у + а14в = Ъ1, а21р + а22 у + а23У + а24в = Ъ2 , а3рф + а32у + а33у + а34в = Ь3, а41ф + а42у + а43у + а44в = Ъ4 ,
где
а 11 = 3 г +Му2 + МгрЬ2 в1п2 в + 2 МгрЬ _ув1п всов у; а12 = М гр L в1п вв1п у; а13 = — Мгр Ьу в1п в сов у — Мгр L2 в1п2 в;
14
Мр Ly сов в в1п у;
b1 = M дв (p) - M тр - 2 Myyp - M гр Ь«р -y) в sin 2в+ 2 M гр Lp[ y(y sin qsiny-- 6 cos в cos pO - y sin в cos p] - M р Ly[(p2 + 6 2) sin #sin y - 2ув cos в cos p];
a21 = M гр L sin в sin y;
23
Mгр L sin в sin y;
a
24
Mгр L cos в cos y;
b2 = Fde (j) -Fc+My<p2 + MzpL (p2 +y2 + в 2)sin в cosy- 2MzpL <p {y sin ecos y + + #cos esin y) + 2M p Ly6 cos в sin y;
a= M + Mp ; a31 = -Мгр1? sin2 в - MpL y sin вcos y; a32 = -Mгр L sin вsin y;
— Л/,
l33
a34 0;
a33 = Mгр L2 sin2 в;
b3 = -МрЬу<р2 sin в sin y + 2M рЬу<р sin в cos y+ Mгр l}(<p -y) 6 sin 2в;
a41 = -MгрL y cos вsin y; a42 = Mгр L cos в cos y;
a43 — 0;
a 44 =M гр L2;
2 2 2 2 b4 = - M гр gL sin в+ MzvL (p +y - 2py)sin в cos в + MzpLy(p cos в cosy +
4 гро " ' гр'
+ 2MгрLyp cos в sin y.
Дифференциальные уравнения численно проинтегрированы в среде MathCad методом RADAU5 [3] при следующих начальных условиях:
p0= 0, p 0= 0, y 0 = 0,85 м,
y о = °> Уо = °> Уо =0, в0 = 0,0001 рад, в0 = 0.
Метод RADAU5, основанный на методе Рунге-Кутты пятого порядка точно -
сти, является одним из наиболее перспективных методов численного интегрирования.
В расчете была использована билинейная аппроксимация функций Мдв (¿У) и ¥де (у) с учетом паспортных данных двигателей по соотношениям пускового Мпуск, максимального Мтах и номинального Мном моментов (рис. 2).
Рис. 2. Графики функций Mдв (w) и Fd)e (v)
Участки билинейных функций описываются следующими выражениями:
при 0<(<(к
кр
Мдв (() = (10,69 + 7,05() кН- м; - при (Окр <(0<(0С
М дв (() = (80,95 — 376,52() кН-м, где (кр = 0,183 рад/с - значение угловой скорости вращения крана при максимально: (рад/с [ческой) величине Мтах движущего момента; (ОС = 0,215 рад/с - угло-вая скорость вращения крана, соответствующая синхронной частоте вращения двигателя;
- при 0 < V < Vкр Гдв (V) = (1,76 + ) кН;
при Vкр< V < Ус Рдв (V) = (7,66 — 36,87v) кН,
где Vкр = 0,155 м/с - значение скорости тележки при максимальной (критической) величине ^тах движущей силы; vс =0,208
м/с - скорость тележки, соответствующая синхронной частоте вращения двигателя тележки.
На рис. 3 для сравнения приведены графики зависимостей угловой скорости ( крана и скорости V тележки от времени ? при учете колебаний груза (кривые 1) и без их учета (кривые 2). В последнем случае рассматривалась динамическая модель механической системы с двумя степенями свободы, которым соответствуют обобщенные координаты д1 = ф и q2 = у .
Критерием безопасности движения крановой тележки может служить коэффициент запаса сцепления ксц ее ходовых
колес с рельсом. Для случая движения
тележки с грузом
_(_
к сц = '
^ +О (
а
пк — пх ^ Ж )
> 1,2,
шах "к х
g пк °х.к
где О = Mg - вес тележки с грузом; N = 0,5 О - сила давления ведущих ходовых колес на рельс; ¥с - сила сопротивления передвижению тележки; атах- максимальное ускорение тележки при движении
вдоль стрелы крана; пк = 4, пх = 2 - соответственно общее число колес и число холостых колес; Охк = 0,25 м - диаметр ходового колеса; Ж = 0,07 м - диаметр цапфы вала ходового колеса; / = 0,015-коэффициент трения в подшипниках ходовых колес; ф= 0,20- коэффициент сцепления ходового колеса с рельсом [2].
Колебания груза приводят к увеличе -нию максимального ускорения атах тележки от 0,18 до 0,39 м/с2, что уменьшает коэффициент запаса сцепления ходового колеса тележки с рельсом до значения
ксц = 1,85 (при допускаемом коэффициенте сцепления [ кц ] = 1,2). При этом для случая движения тележки без груза
кц, = 1,31. Таким образом, заданный запас
сц
колеса тележки с рельсом
сц
сцепления
обеспечен.
Для предотвращения чрезмерного раскачивания груза и перегрева двигателя время его разгона должно быть больше минимально допустимого [ Тр ] = 1 с, а максимально допустимое время разгона не должно превышать 10 - 12 секунд [4]. Из графика (рис. 3) следует, что в процессе разгона крана отмечаются незначительные затухающие колебания величины угловой скорости с около значения ауст = 0,21
рад/с, характеризующего установившийся режим вращения крана и практически равного номинальному значению аном =
0,2 рад/с. Время разгона крана, соответствующее угловой скорости с = 0,95 ауст ,
составляет 1рк = 1,3 с.
Разгон тележки с номинальным грузом вдоль стрелы крана является затухающим колебательным процессом (рис. 3). В установившемся режиме, в котором можно пренебречь колебаниями, скорость тележки ууст » 0,2 м/с. Время разгона тележки, соответствующее скорости у = 0,95ууст , равно ¿рт » 5,7 с. При этом на первом этапе скорость у тележки монотонно возрас-тает до значения у = 0,16 м/с за промежуток времени t = 0,6 с. Разгон тележки без груза происходит примерно за 1 с.
Таким образом, перегрев двигателей крана и тележки исключен.
Угловая скорость крана и скорость тележки в установившемся режиме с достаточной степенью точности равны номинальным значениям:
w
уст
whom =0,2 рад/с
и Vycm » Vhom = 0,18 м/с (погрешность составляет соответственно 5,0 и 11,1%).
Груз номинальной массы Мгр = 3 т,
подвешенный на канате длины L = 1,5 м, представляет собой сферический маятник. В относительном движении при принятых начальных условиях груз совершает малые затухающие колебания, при этом его максимальные отклонения от положения ста -тического равновесия не превышают 0,07 м, т.е. чрезмерное раскачивание груза исключено (рис. 4).
Характер и интенсивность колебаний груза существенно зависят от его параметров, в частности от массы и начальных условий. Так, при Мгр = 2т и в0 = 0,35 рад колебания груза являются затухающими, максимальные отклонения rm„v от положе-
Шал
ния статического равновесия достигают 0,51 м. С уменьшением массы гашение ico -лебаний происходит менее интенсивно. Практически незатухающие колебания со -вершает, например, груз массы Мгр = 0,1 т
при q0 = 0,35 рад, в этом случае максимальное отклонение rmax = 0,53 м (рис. 5,
6).
Рис. 4. Графики зависимостей координат х' и у' относительных колебаний груза от времени t
/,М
Рис. 5. Проекция относительной траектории
О г г г
х у , жестко связанную
с тележкой
Рис. 6. Абсолютная траектория тележки (кривая 1) и проекция абсолютной траектории груза на
плоскость О1 х1 у1 (кривая 2)
Разработанные алгоритм и программа численного анализа динамики консольного поворотного крана позволяют на этапе аналитического проектирования провести проверку соответствия приводных элек-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ермоленко, В.А. Расчет механизма поворота крана на колонне: метод. указания / В.А. Ермоленко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 32 с.
2. Руденко, Н.Ф. Курсовое проектирование грузоподъемных машин / Н.Ф. Руденко, М.П. Александров, А .Г. Лысяков. - М.: Машиностроение, 1971. - 464 с.
1. Yermolenko, VA. Computation of Crane Turn Mechanism on Column: Method. Instructions / VA. Yermolenko. - М.: Publishing House of Bauman STU of Moscow, 2003. - pp. 32.
2. Rudenko, N.F. Hoisting Machine Course Design / N.F. Rudenko, M.P. Alexandrov, А .G. Lysyakov. -М.: Mechanical Engineering, 1971. - pp. 464.
тродвигателей требуемым критериям каче -ства, а также ввести обоснованные ограничения на основные параметры, влияющие на движение тележки с грузом.
3. Плис, А .И. MATHCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: учеб. пособие/А .И. Плис, Н.А. Сливина.- М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.
4. Мусин, А.М. Аварийные режимы асинхронных электродвигателей и способы их защиты / А .М. Мусин. - М.: Колос, 1979.- 111 с.
3. Plis, А.I. MATHCAD 2000. Practical mathematical work for economists and engineers: manual / А .I. Plis, NA. Slivina. - М.: Finances and Statistics, 2000. - pp. 656.
4. Musin, А.М. Asynchronous Electro-Motor Malfunctions and Protection Methods / А.М. Musin. -М.: Kolos, 1979. - pp. 111.
Статья поступила в редколлегию 15.06.17. Рецензент: к.т.н., доцент Брянского государственного технического университета
Жиров П.Д.
Сведения об авторах:
Селенская Татьяна Васильевна, к.т.н., доцент кафедры «Механика, динамика и прочность машин» Брянского государственного технического университета, e-mail: [email protected].
Селенский Евгений Игоревич, к.т.н., доцент Брянского государственного технического университета, тел.: 8-915-807-19-73.
Ястребов Дмитрий Максимович, студент Брянского государственного технического университета, e-mail: [email protected].
Selenskaya Tatyana Vasilievna, Can. Eng., Assistant Prof. of the Dep. "Mechanics, Dynamics and Machine Strength", Bryansk State Technical University, e-mail: [email protected].
Selensky Yevgeny Igorevich, Can. Eng., Assistant Prof. of Bryansk State Technical University, Phone: 8915-807-19-73.
Yastrebov Dmitry Maximovich, Student of Bryansk State Technical University, e-mail: re-vil2014@ yandex.ru.
